Pengertian Persamaan Logaritma
Materi Matematika Kelas X SMA/SMK
A. Pengertian Persamaan Logaritma
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan persamaan-persamaan berikut:
- 2log x = 3
- log (x + 1) = 2
- 3log (2x − 1) = 3log 5
- xlog 16 = 4
Amati bahwa semua persamaan di atas mengandung bentuk logaritma dan variabel (x) yang belum diketahui nilainya.
Definisi:
Persamaan logaritma adalah persamaan yang memuat logaritma dengan variabel (peubah) pada numerus, basis, atau keduanya.
Bentuk umum logaritma:
alog b = c ⟺ ac = b
Syarat: a > 0, a ≠ 1, dan b > 0
Keterangan:
- a = basis (bilangan pokok) logaritma
- b = numerus (bilangan yang di-logaritma-kan)
- c = hasil logaritma
❓ Kegiatan: Menanya
Pertanyaan yang muncul dari pengamatan:
- Bagaimana cara menyelesaikan persamaan logaritma?
- Apa saja tipe persamaan logaritma yang ada?
- Kapan kita menggunakan sifat-sifat logaritma dalam menyelesaikan persamaan?
- Mengapa syarat basis dan numerus harus dipenuhi?
B. Tipe-Tipe Persamaan Logaritma
Tipe 1: alog f(x) = alog g(x)
Jika alog f(x) = alog g(x), maka:
f(x) = g(x)
Syarat: f(x) > 0 dan g(x) > 0, a > 0, a ≠ 1
Penjelasan: Jika basis kedua ruas sama, maka numerus kedua ruas harus sama.
Tipe 2: alog f(x) = c (konstanta)
Jika alog f(x) = c, maka:
f(x) = ac
Syarat: f(x) > 0, a > 0, a ≠ 1
Penjelasan: Ubah bentuk logaritma ke bentuk eksponen.
Tipe 3: h(x)log f(x) = h(x)log g(x)
Jika h(x)log f(x) = h(x)log g(x), maka:
f(x) = g(x)
Syarat: f(x) > 0, g(x) > 0, h(x) > 0, h(x) ≠ 1
Tipe 4: f(x)log g(x) = f(x)log h(x)
Jika basisnya sama dan merupakan fungsi x, maka:
g(x) = h(x)
Syarat: g(x) > 0, h(x) > 0, f(x) > 0, f(x) ≠ 1
Tipe 5: Persamaan logaritma yang dapat disederhanakan dengan substitusi
Persamaan seperti (alog x)2 + p · alog x + q = 0
Misalkan alog x = y, maka menjadi: y² + py + q = 0
Selesaikan persamaan kuadrat, lalu substitusi kembali.
💡 Kegiatan: Menalar
Dari tipe-tipe di atas, kita dapat menyimpulkan:
- Langkah utama menyelesaikan persamaan logaritma adalah menyamakan basis atau mengubah ke bentuk eksponen.
- Syarat numerus > 0 dan basis > 0, basis ≠ 1 wajib diperiksa untuk memvalidasi jawaban.
- Solusi yang tidak memenuhi syarat harus dibuang (ekstraneous solution).
C. Langkah-Langkah Penyelesaian Persamaan Logaritma
- Tentukan tipe persamaan logaritma.
- Samakan basis jika memungkinkan, atau ubah ke bentuk eksponen.
- Selesaikan persamaan yang diperoleh.
- Periksa syarat: numerus > 0 dan basis > 0, basis ≠ 1.
- Tentukan himpunan penyelesaian.
✏️ Kegiatan: Mencoba
Sebelum melihat contoh soal, coba selesaikan persamaan berikut secara mandiri:
- 2log x = 5
- 3log (x − 2) = 3log 7
- log (x² − 1) = log 3
Setelah mencoba, bandingkan jawabanmu dengan contoh soal di bawah.
D. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Contoh Soal Mudah
Soal 1:
Tentukan nilai x dari 2log x = 4
Pembahasan:
2log x = 4
Ubah ke bentuk eksponen: x = 24 = 16
Periksa syarat: x = 16 > 0 ✓
Jadi, x = 16
Soal 2:
Tentukan nilai x dari 5log x = 2
Pembahasan:
5log x = 2
x = 52 = 25
Periksa syarat: x = 25 > 0 ✓
Jadi, x = 25
Soal 3:
Tentukan nilai x dari 3log (x + 1) = 3log 10
Pembahasan:
Basis sama, maka numerus sama:
x + 1 = 10
x = 9
Periksa: x + 1 = 10 > 0 ✓
Jadi, x = 9
Soal 4:
Tentukan nilai x dari log x = 3 (basis 10)
Pembahasan:
10log x = 3
x = 103 = 1000
Periksa: x = 1000 > 0 ✓
Jadi, x = 1000
Soal 5:
Tentukan nilai x dari 4log (2x) = 4log 8
Pembahasan:
Basis sama, numerus sama:
2x = 8
x = 4
Periksa: 2x = 8 > 0 ✓
Jadi, x = 4
📙 Contoh Soal Sedang
Soal 1:
Tentukan nilai x dari 2log (x² − 3x) = 2log (x + 5)
Pembahasan:
Basis sama, maka: x² − 3x = x + 5
x² − 4x − 5 = 0
(x − 5)(x + 1) = 0
x = 5 atau x = −1
Periksa syarat numerus > 0:
• x = 5: x² − 3x = 10 > 0 ✓ dan x + 5 = 10 > 0 ✓
• x = −1: x² − 3x = 4 > 0 ✓ dan x + 5 = 4 > 0 ✓
Jadi, x = 5 atau x = −1
Soal 2:
Tentukan nilai x dari 3log (x − 1) + 3log (x + 1) = 3log 8
Pembahasan:
Gunakan sifat: alog m + alog n = alog (m·n)
3log [(x−1)(x+1)] = 3log 8
(x−1)(x+1) = 8
x² − 1 = 8
x² = 9 → x = 3 atau x = −3
Periksa syarat:
• x = 3: (x−1) = 2 > 0 ✓, (x+1) = 4 > 0 ✓
• x = −3: (x−1) = −4 < 0 ✗ (tidak memenuhi)
Jadi, x = 3
Soal 3:
Tentukan nilai x dari 2log (3x − 2) = 3
Pembahasan:
Ubah ke eksponen: 3x − 2 = 23 = 8
3x = 10
x = 10/3
Periksa: 3(10/3) − 2 = 8 > 0 ✓
Jadi, x = 10/3
Soal 4:
Tentukan nilai x dari (x−1)log 27 = 3
Pembahasan:
Ubah ke eksponen: (x−1)3 = 27
(x−1)3 = 33
x − 1 = 3
x = 4
Periksa syarat basis: x − 1 = 3 > 0 ✓ dan x − 1 ≠ 1 ✓
Jadi, x = 4
Soal 5:
Tentukan nilai x dari 5log (x² − 4) = 5log (4x − 4)
Pembahasan:
x² − 4 = 4x − 4
x² − 4x = 0
x(x − 4) = 0
x = 0 atau x = 4
Periksa syarat:
• x = 0: x² − 4 = −4 < 0 ✗
• x = 4: x² − 4 = 12 > 0 ✓ dan 4x − 4 = 12 > 0 ✓
Jadi, x = 4
📕 Contoh Soal Sulit
Soal 1:
Tentukan nilai x dari (2log x)2 − 5 · 2log x + 6 = 0
Pembahasan:
Misalkan y = 2log x, maka:
y² − 5y + 6 = 0
(y − 2)(y − 3) = 0
y = 2 atau y = 3
Substitusi kembali:
• y = 2 → 2log x = 2 → x = 22 = 4
• y = 3 → 2log x = 3 → x = 23 = 8
Periksa: x = 4 > 0 ✓, x = 8 > 0 ✓
Jadi, x = 4 atau x = 8
Soal 2:
Tentukan nilai x dari xlog (3x − 2) = 2
Pembahasan:
Ubah ke eksponen: x2 = 3x − 2
x² − 3x + 2 = 0
(x − 1)(x − 2) = 0
x = 1 atau x = 2
Periksa syarat basis: x > 0 dan x ≠ 1
• x = 1: basis = 1 ✗ (tidak memenuhi)
• x = 2: basis = 2 > 0 ✓, basis ≠ 1 ✓, numerus = 3(2)−2 = 4 > 0 ✓
Jadi, x = 2
Soal 3:
Tentukan nilai x dari 3log (x + 6) − 3log x = 3log (x − 2)
Pembahasan:
Gunakan sifat: alog m − alog n = alog (m/n)
3log [(x+6)/x] = 3log (x−2)
(x + 6)/x = x − 2
x + 6 = x(x − 2) = x² − 2x
x² − 3x − 6 = 0
Dengan rumus kuadrat: x = (3 ± √(9 + 24))/2 = (3 ± √33)/2
Periksa syarat (x > 0, x + 6 > 0, x − 2 > 0):
• x = (3 + √33)/2 ≈ 4,37: semua syarat terpenuhi ✓
• x = (3 − √33)/2 ≈ −1,37: x < 0 ✗
Jadi, x = (3 + √33)/2
Soal 4:
Tentukan jumlah semua nilai x dari (3log x)2 = 3log x4
Pembahasan:
Ruas kanan: 3log x4 = 4 · 3log x
Misalkan y = 3log x:
y² = 4y
y² − 4y = 0
y(y − 4) = 0
y = 0 atau y = 4
Substitusi:
• y = 0 → 3log x = 0 → x = 30 = 1
• y = 4 → 3log x = 4 → x = 34 = 81
Periksa: x = 1 > 0 ✓, x = 81 > 0 ✓
Jumlah semua nilai x = 1 + 81 = 82
Soal 5:
Tentukan nilai x dari 2log (x − 1) + 4log (x − 1)2 = 3
Pembahasan:
Ubah basis 4 ke basis 2:
4log (x−1)2 = 2²log (x−1)2 = (2/2) · 2log (x−1) = 2log (x−1)
[Karena anlog bm = (m/n) · alog b]
Maka persamaan menjadi:
2log (x−1) + 2log (x−1) = 3
2 · 2log (x−1) = 3
2log (x−1) = 3/2
x − 1 = 23/2 = 2√2
x = 1 + 2√2
Periksa: x − 1 = 2√2 > 0 ✓
Jadi, x = 1 + 2√2
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Setelah mempelajari materi dan contoh soal, tuliskan:
- Rangkuman tentang tipe-tipe persamaan logaritma dengan bahasa sendiri.
- Langkah-langkah penyelesaian yang menurutmu paling penting.
- Kesalahan yang sering terjadi saat menyelesaikan persamaan logaritma.
Diskusikan hasilmu dengan teman atau presentasikan di depan kelas.
E. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Periksa selalu syarat numerus dan basis!
📗 Latihan Mudah
1. Tentukan nilai x dari 3log x = 4
2. Tentukan nilai x dari 7log (x + 3) = 7log 12
3. Tentukan nilai x dari 2log (5x) = 5
4. Tentukan nilai x dari log (x − 7) = 1 (basis 10)
5. Tentukan nilai x dari 6log x = 2
📙 Latihan Sedang
1. Tentukan nilai x dari 2log (x² − x) = 2log (2x + 4)
2. Tentukan nilai x dari 5log (x + 1) + 5log (x − 3) = 5log 5
3. Tentukan nilai x dari (x+2)log 64 = 3
4. Tentukan nilai x dari 4log (x² + 3x) = 4log 10
5. Tentukan nilai x dari 2log (3x + 1) − 2log (x − 1) = 3
📕 Latihan Sulit
1. Tentukan nilai x dari (2log x)2 − 4 · 2log x + 3 = 0
2. Tentukan nilai x dari xlog (5x − 6) = 2
3. Tentukan semua nilai x dari 2log (x − 2) + 2log (x + 2) = 2log (2x + 1)
4. Tentukan jumlah semua nilai x dari (5log x)2 = 5log x6
5. Tentukan nilai x dari 3log (x − 3) + 9log (x − 3)2 = 4