Menyelesaikan Persamaan Logaritma
Bentuk: \({}^{a}\!\log f(x) = {}^{a}\!\log p\)
dengan \(a > 0\) dan \(a \neq 1\)
Materi Pembelajaran
🔍 Kegiatan 1: Mengamati
Perhatikan persamaan-persamaan berikut:
- \({}^{2}\!\log x = {}^{2}\!\log 8\)
- \({}^{3}\!\log (x+1) = {}^{3}\!\log 9\)
- \({}^{5}\!\log (2x-3) = {}^{5}\!\log 7\)
Amati bahwa ketiga persamaan di atas memiliki basis yang sama di kedua ruas. Apa yang dapat kamu simpulkan tentang hubungan antara numerus di ruas kiri dan numerus di ruas kanan?
❓ Kegiatan 2: Menanya
Dari pengamatan di atas, muncul pertanyaan:
- Jika \({}^{a}\!\log f(x) = {}^{a}\!\log p\), apakah berarti \(f(x) = p\)?
- Apakah ada syarat tambahan yang harus dipenuhi?
- Mengapa basis \(a\) harus positif dan tidak boleh sama dengan 1?
💡 Kegiatan 3: Menalar
Mari kita pahami konsep dasarnya secara mendalam.
📌 Sifat Dasar Logaritma
Fungsi logaritma \(y = {}^{a}\!\log x\) adalah fungsi satu-satu (injektif), artinya:
Jika \({}^{a}\!\log A = {}^{a}\!\log B\), maka \(A = B\)
dengan syarat \(A > 0\) dan \(B > 0\).
Prinsip Penyelesaian
Untuk persamaan berbentuk:
dengan \(a > 0,\ a \neq 1\), maka penyelesaiannya adalah:
⚠️ Syarat yang WAJIB Dipenuhi
Setelah mendapatkan nilai \(x\), kita harus memeriksa syarat berikut:
| No | Syarat | Keterangan |
|---|---|---|
| 1 | \(f(x) > 0\) | Numerus harus positif |
| 2 | \(p > 0\) | Numerus ruas kanan harus positif |
| 3 | \(a > 0,\ a \neq 1\) | Basis harus positif dan bukan 1 |
Mengapa Syarat Ini Penting?
- Numerus harus positif: Logaritma hanya terdefinisi untuk bilangan positif. \({}^{a}\!\log x\) tidak ada jika \(x \leq 0\).
- Basis harus positif dan bukan 1: Jika \(a = 1\), maka \(1^y = 1\) untuk semua \(y\), sehingga logaritma tidak unik.
🖊️ Kegiatan 4: Mencoba
Coba selesaikan persamaan berikut dengan langkah-langkah yang telah dipelajari:
Selesaikan: \({}^{2}\!\log (3x – 5) = {}^{2}\!\log 7\)
Langkah 1: Karena basis sama, samakan numerus: \(3x – 5 = 7\)
Langkah 2: Selesaikan: \(3x = 12\), maka \(x = 4\)
Langkah 3: Cek syarat: \(f(x) = 3(4) – 5 = 7 > 0\) ✓
Jadi, \(x = 4\) memenuhi. ✓
📢 Kegiatan 5: Mengkomunikasikan
Rangkuman langkah penyelesaian persamaan \({}^{a}\!\log f(x) = {}^{a}\!\log p\):
- Pastikan basis kedua ruas sama.
- Samakan numerus: tuliskan \(f(x) = p\).
- Selesaikan persamaan \(f(x) = p\) untuk mendapatkan nilai \(x\).
- Periksa syarat: substitusi nilai \(x\) ke \(f(x)\) dan pastikan \(f(x) > 0\).
- Tuliskan himpunan penyelesaian.
Contoh Soal Mudah
MUDAHContoh 1: \({}^{3}\!\log x = {}^{3}\!\log 27\)
Penyelesaian:
Basis kedua ruas sama (basis 3), maka:
\(x = 27\)
Cek syarat: \(x = 27 > 0\) ✓
HP = {27}
Contoh 2: \({}^{2}\!\log (x+1) = {}^{2}\!\log 5\)
Penyelesaian:
Basis sama (basis 2), samakan numerus:
\(x + 1 = 5\)
\(x = 4\)
Cek syarat: \(f(x) = 4 + 1 = 5 > 0\) ✓
HP = {4}
Contoh 3: \({}^{5}\!\log (2x) = {}^{5}\!\log 10\)
Penyelesaian:
Basis sama (basis 5), samakan numerus:
\(2x = 10\)
\(x = 5\)
Cek syarat: \(f(x) = 2(5) = 10 > 0\) ✓
HP = {5}
Contoh 4: \({}^{4}\!\log (x – 3) = {}^{4}\!\log 1\)
Penyelesaian:
Basis sama (basis 4), samakan numerus:
\(x – 3 = 1\)
\(x = 4\)
Cek syarat: \(f(x) = 4 – 3 = 1 > 0\) ✓
HP = {4}
Contoh 5: \({}^{10}\!\log (3x + 2) = {}^{10}\!\log 17\)
Penyelesaian:
Basis sama (basis 10), samakan numerus:
\(3x + 2 = 17\)
\(3x = 15\)
\(x = 5\)
Cek syarat: \(f(x) = 3(5) + 2 = 17 > 0\) ✓
HP = {5}
Contoh Soal Sedang
SEDANGContoh 1: \({}^{2}\!\log (x^2 – 3x) = {}^{2}\!\log 4\)
Penyelesaian:
Samakan numerus: \(x^2 – 3x = 4\)
\(x^2 – 3x – 4 = 0\)
\((x-4)(x+1) = 0\)
\(x = 4\) atau \(x = -1\)
Cek syarat \(f(x) > 0\):
- \(x = 4\): \(f(4) = 16 – 12 = 4 > 0\) ✓
- \(x = -1\): \(f(-1) = 1 + 3 = 4 > 0\) ✓
HP = {-1, 4}
Contoh 2: \({}^{3}\!\log (x^2 + 2x) = {}^{3}\!\log (x + 6)\)
Penyelesaian:
Samakan numerus: \(x^2 + 2x = x + 6\)
\(x^2 + x – 6 = 0\)
\((x+3)(x-2) = 0\)
\(x = -3\) atau \(x = 2\)
Cek syarat:
- \(x = -3\): \(f(-3) = 9 – 6 = 3 > 0\) ✓ dan \(g(-3) = -3+6 = 3 > 0\) ✓
- \(x = 2\): \(f(2) = 4 + 4 = 8 > 0\) ✓ dan \(g(2) = 2+6 = 8 > 0\) ✓
HP = {-3, 2}
Contoh 3: \({}^{2}\!\log (x^2 – 5x + 6) = {}^{2}\!\log (x – 1)\)
Penyelesaian:
Samakan numerus: \(x^2 – 5x + 6 = x – 1\)
\(x^2 – 6x + 7 = 0\)
Gunakan rumus abc: \(x = \frac{6 \pm \sqrt{36-28}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}\)
Cek syarat untuk \(x = 3 + \sqrt{2} \approx 4{,}41\):
- \(f(x) = (4{,}41)^2 – 5(4{,}41) + 6 \approx 3{,}41 > 0\) ✓
- \(g(x) = 4{,}41 – 1 = 3{,}41 > 0\) ✓
Cek syarat untuk \(x = 3 – \sqrt{2} \approx 1{,}59\):
- \(f(x) = (1{,}59)^2 – 5(1{,}59) + 6 \approx 0{,}59 > 0\) ✓
- \(g(x) = 1{,}59 – 1 = 0{,}59 > 0\) ✓
HP = {\(3 – \sqrt{2},\ 3 + \sqrt{2}\)}
Contoh 4: \({}^{5}\!\log (x^2 – 4) = {}^{5}\!\log (4x – 7)\)
Penyelesaian:
Samakan numerus: \(x^2 – 4 = 4x – 7\)
\(x^2 – 4x + 3 = 0\)
\((x-1)(x-3) = 0\)
\(x = 1\) atau \(x = 3\)
Cek syarat:
- \(x = 1\): \(f(1) = 1 – 4 = -3 < 0\) ✗ (tidak memenuhi)
- \(x = 3\): \(f(3) = 9 – 4 = 5 > 0\) ✓ dan \(g(3) = 12 – 7 = 5 > 0\) ✓
HP = {3}
Contoh 5: \({}^{2}\!\log (2x+1) = {}^{2}\!\log (x^2 – 2x + 3)\)
Penyelesaian:
Samakan numerus: \(2x + 1 = x^2 – 2x + 3\)
\(x^2 – 4x + 2 = 0\)
\(x = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}\)
Cek syarat untuk \(x = 2 + \sqrt{2} \approx 3{,}41\):
- \(f(x) = 2(3{,}41)+1 = 7{,}83 > 0\) ✓
Cek syarat untuk \(x = 2 – \sqrt{2} \approx 0{,}59\):
- \(f(x) = 2(0{,}59)+1 = 2{,}17 > 0\) ✓
HP = {\(2 – \sqrt{2},\ 2 + \sqrt{2}\)}
Contoh Soal Sulit
SULITContoh 1: \({}^{2}\!\log (x^2 – 3x + 2) = {}^{2}\!\log (2x^2 – 7x + 6)\)
Penyelesaian:
Samakan numerus: \(x^2 – 3x + 2 = 2x^2 – 7x + 6\)
\(0 = x^2 – 4x + 4\)
\(0 = (x-2)^2\)
\(x = 2\)
Cek syarat:
- \(f(2) = 4 – 6 + 2 = 0\) → Numerus = 0, TIDAK memenuhi! ✗
HP = {} (himpunan kosong)
Catatan: Meskipun perhitungan aljabar menghasilkan \(x=2\), syarat numerus positif tidak terpenuhi.
Contoh 2: \({}^{3}\!\log (x^2 – 9) = {}^{3}\!\log (2x + 6)\)
Penyelesaian:
Samakan numerus: \(x^2 – 9 = 2x + 6\)
\(x^2 – 2x – 15 = 0\)
\((x-5)(x+3) = 0\)
\(x = 5\) atau \(x = -3\)
Cek syarat:
- \(x = 5\): \(f(5) = 25-9 = 16 > 0\) ✓ dan \(g(5) = 10+6 = 16 > 0\) ✓
- \(x = -3\): \(f(-3) = 9-9 = 0\) → Numerus = 0 ✗
HP = {5}
Contoh 3: \({}^{2}\!\log \left(\frac{x+3}{x-1}\right) = {}^{2}\!\log 2\)
Penyelesaian:
Samakan numerus: \(\frac{x+3}{x-1} = 2\)
\(x + 3 = 2(x-1)\)
\(x + 3 = 2x – 2\)
\(5 = x\), maka \(x = 5\)
Cek syarat: Numerus \(= \frac{5+3}{5-1} = \frac{8}{4} = 2 > 0\) ✓
Cek penyebut: \(x – 1 = 4 \neq 0\) ✓
HP = {5}
Contoh 4: \({}^{4}\!\log (x^2 + 6x + 8) = {}^{4}\!\log (3x + 12)\)
Penyelesaian:
Samakan numerus: \(x^2 + 6x + 8 = 3x + 12\)
\(x^2 + 3x – 4 = 0\)
\((x+4)(x-1) = 0\)
\(x = -4\) atau \(x = 1\)
Cek syarat:
- \(x = -4\): \(f(-4) = 16 – 24 + 8 = 0\) → Numerus = 0 ✗
- \(x = 1\): \(f(1) = 1 + 6 + 8 = 15 > 0\) ✓ dan \(g(1) = 3 + 12 = 15 > 0\) ✓
HP = {1}
Contoh 5: \({}^{2}\!\log (x^2 – x – 2) = {}^{2}\!\log (x^2 + 2x – 8)\)
Penyelesaian:
Samakan numerus: \(x^2 – x – 2 = x^2 + 2x – 8\)
\(-x – 2 = 2x – 8\)
\(6 = 3x\)
\(x = 2\)
Cek syarat:
- \(f(2) = 4 – 2 – 2 = 0\) → Numerus = 0 ✗
HP = {} (himpunan kosong)
Perhatikan bahwa \(x^2 – x – 2 = (x-2)(x+1)\), sehingga saat \(x=2\), numerus bernilai 0.