Grafik Fungsi f(x) = alog x dan g(x) = 1/alog x
Materi Matematika — Fungsi Logaritma
A. Pengertian Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma adalah fungsi yang didefinisikan sebagai:
Fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponen. Jika \(y = a^x\), maka \(x = {}^{a}\!\log y\).
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan dua fungsi berikut:
- \(f(x) = {}^{2}\!\log x\) — basis \(a = 2 > 1\)
- \(g(x) = {}^{1/2}\!\log x\) — basis \(a = \tfrac{1}{2}\), artinya \(0 < a < 1\)
Amati tabel nilai dan grafik kedua fungsi tersebut di bawah ini.
B. Tabel Nilai Fungsi
Tabel untuk \(f(x) = {}^{2}\!\log x\)
| \(x\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | 1 | 2 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Tabel untuk \(g(x) = {}^{1/2}\!\log x\)
| \(x\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | 1 | 2 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | 2 | 1 | 0 | −1 | −2 | −3 |
Kegiatan: Menanya
Dari tabel di atas, cobalah ajukan pertanyaan:
- Mengapa \(f(1) = 0\) dan \(g(1) = 0\)?
- Apa hubungan antara nilai \(f(x)\) dan \(g(x)\) untuk \(x\) yang sama?
- Mengapa domain kedua fungsi hanya \(x > 0\)?
C. Grafik Fungsi Logaritma
Grafik \(f(x) = {}^{2}\!\log x\) (biru) dan \(g(x) = {}^{1/2}\!\log x\) (merah)
Kegiatan: Menalar
Dari grafik di atas, kita dapat menyimpulkan:
- Kedua grafik melewati titik (1, 0) karena \({}^{a}\!\log 1 = 0\) untuk semua basis \(a\).
- Grafik \(f(x) = {}^{a}\!\log x\) dengan \(a > 1\) merupakan fungsi naik (monoton naik).
- Grafik \(g(x) = {}^{1/a}\!\log x\) dengan \(0 < \tfrac{1}{a} < 1\) merupakan fungsi turun (monoton turun).
- Kedua grafik simetris terhadap sumbu-x, karena \({}^{1/a}\!\log x = -{}^{a}\!\log x\).
- Sumbu-y (garis \(x = 0\)) merupakan asimtot tegak untuk kedua grafik.
- Domain: \(x > 0\) ; Range: semua bilangan real \((-\infty, \infty)\).
D. Sifat-Sifat Grafik Fungsi Logaritma
| Sifat | \(f(x) = {}^{a}\!\log x\), \(a > 1\) | \(g(x) = {}^{1/a}\!\log x\), \(0 < \tfrac{1}{a} < 1\) |
|---|---|---|
| Domain | \(x > 0\) | \(x > 0\) |
| Range | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| Titik potong sumbu-x | (1, 0) | (1, 0) |
| Asimtot | \(x = 0\) (sumbu-y) | \(x = 0\) (sumbu-y) |
| Sifat monoton | Naik | Turun |
| Jika \(0 < x < 1\) | \(f(x) < 0\) | \(g(x) > 0\) |
| Jika \(x > 1\) | \(f(x) > 0\) | \(g(x) < 0\) |
Hubungan Penting:
Artinya, grafik \(g(x) = {}^{1/a}\!\log x\) adalah pencerminan grafik \(f(x) = {}^{a}\!\log x\) terhadap sumbu-x.
Bukti:
Misalkan \(y = {}^{1/a}\!\log x\), maka:
Terbukti bahwa \({}^{1/a}\!\log x = -\,{}^{a}\!\log x\). ∎
E. Langkah-Langkah Menggambar Grafik
Kegiatan: Mencoba
Ikuti langkah-langkah berikut untuk menggambar grafik fungsi logaritma:
- Tentukan basis \(a\) dan identifikasi apakah \(a > 1\) atau \(0 < a < 1\).
- Buat tabel nilai — pilih nilai \(x\) yang mudah dihitung, seperti \(x = \frac{1}{a^2}, \frac{1}{a}, 1, a, a^2\).
- Tentukan titik-titik penting:
- Titik potong sumbu-x: selalu di (1, 0)
- Titik \((a, 1)\) untuk \({}^{a}\!\log x\)
- Gambar asimtot tegak \(x = 0\) (garis putus-putus pada sumbu-y).
- Hubungkan titik-titik dengan kurva mulus.
- Beri label pada grafik dan sumbu.
F. Transformasi Grafik Logaritma
Grafik \(y = {}^{a}\!\log x\) dapat ditransformasi menjadi:
| Fungsi | Transformasi |
|---|---|
| \(y = {}^{a}\!\log(x – h)\) | Geser horizontal sejauh \(h\) satuan ke kanan |
| \(y = {}^{a}\!\log x + k\) | Geser vertikal sejauh \(k\) satuan ke atas |
| \(y = -{}^{a}\!\log x\) | Refleksi terhadap sumbu-x (= \({}^{1/a}\!\log x\)) |
| \(y = {}^{a}\!\log(-x)\) | Refleksi terhadap sumbu-y, domain \(x < 0\) |
| \(y = c \cdot {}^{a}\!\log x\) | Peregangan vertikal dengan faktor \(c\) |
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada teman sekelasmu:
- Mengapa grafik \({}^{1/a}\!\log x\) merupakan cerminan dari \({}^{a}\!\log x\) terhadap sumbu-x?
- Bagaimana cara menentukan apakah grafik logaritma naik atau turun hanya dengan melihat basisnya?
- Apa yang terjadi pada grafik jika basis diperbesar?
G. Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah
Soal 1. Tentukan nilai \(f(4)\) jika \(f(x) = {}^{2}\!\log x\).
Pembahasan:
\(f(4) = {}^{2}\!\log 4 = {}^{2}\!\log 2^2 = 2\)
Soal 2. Tentukan nilai \(g(8)\) jika \(g(x) = {}^{1/2}\!\log x\).
Pembahasan:
\(g(8) = {}^{1/2}\!\log 8 = -\,{}^{2}\!\log 8 = -\,{}^{2}\!\log 2^3 = -3\)
Soal 3. Di mana grafik \(f(x) = {}^{3}\!\log x\) memotong sumbu-x?
Pembahasan:
Grafik memotong sumbu-x ketika \(f(x) = 0\).
\({}^{3}\!\log x = 0 \Rightarrow x = 3^0 = 1\)
Jadi titik potong sumbu-x adalah (1, 0).
Soal 4. Tentukan domain fungsi \(f(x) = {}^{5}\!\log x\).
Pembahasan:
Syarat logaritma: numerus harus positif, maka \(x > 0\).
Domain: \(\{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}\) atau \((0, \infty)\).
Soal 5. Apakah grafik \(f(x) = {}^{4}\!\log x\) merupakan fungsi naik atau turun?
Pembahasan:
Karena basis \(a = 4 > 1\), maka grafik merupakan fungsi naik (monoton naik).
Sedang
Soal 6. Gambarkan grafik \(f(x) = {}^{2}\!\log x\) dan \(g(x) = {}^{1/2}\!\log x\) pada satu bidang koordinat. Tunjukkan bahwa keduanya simetris terhadap sumbu-x.
Pembahasan:
Kita buat tabel nilai:
| \(x\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)={}^{2}\!\log x\) | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
| \(g(x)={}^{1/2}\!\log x\) | 2 | 1 | 0 | −1 | −2 |
Untuk setiap \(x\), \(g(x) = -f(x)\). Ini berarti grafik \(g\) adalah pencerminan grafik \(f\) terhadap sumbu-x. ✓
Soal 7. Tentukan persamaan asimtot dan titik potong sumbu-x dari \(h(x) = {}^{3}\!\log(x-2)\).
Pembahasan:
Fungsi \(h(x) = {}^{3}\!\log(x-2)\) adalah translasi dari \({}^{3}\!\log x\) sejauh 2 satuan ke kanan.
Asimtot tegak: \(x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
Titik potong sumbu-x: \({}^{3}\!\log(x-2) = 0 \Rightarrow x-2 = 1 \Rightarrow x = 3\)
Titik potong: (3, 0), Asimtot: \(x = 2\)
Soal 8. Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi \({}^{2}\!\log x = {}^{1/2}\!\log x\).
Pembahasan:
Kita tahu \({}^{1/2}\!\log x = -{}^{2}\!\log x\), sehingga:
\({}^{2}\!\log x = -{}^{2}\!\log x\)
\(2 \cdot {}^{2}\!\log x = 0\)
\({}^{2}\!\log x = 0\)
\(x = 2^0 = 1\)
Jadi \(x = 1\).
Soal 9. Untuk nilai \(x\) berapa saja \(f(x) = {}^{2}\!\log x > 0\)?
Pembahasan:
\({}^{2}\!\log x > 0\)
Karena basis \(2 > 1\), logaritma positif ketika numerus > 1:
\(x > 1\)
Jadi \(f(x) > 0\) untuk \(x > 1\).
Soal 10. Tentukan range fungsi \(f(x) = {}^{2}\!\log x + 3\) untuk \(x \in [1, 8]\).
Pembahasan:
Untuk \(x = 1\): \(f(1) = {}^{2}\!\log 1 + 3 = 0 + 3 = 3\)
Untuk \(x = 8\): \(f(8) = {}^{2}\!\log 8 + 3 = 3 + 3 = 6\)
Karena \({}^{2}\!\log x\) monoton naik, range: \([3, 6]\).
Sulit
Soal 11. Tentukan titik potong grafik \(f(x) = {}^{2}\!\log(x+1)\) dengan \(g(x) = {}^{1/2}\!\log(x+1) + 4\).
Pembahasan:
\({}^{2}\!\log(x+1) = {}^{1/2}\!\log(x+1) + 4\)
Substitusi \({}^{1/2}\!\log(x+1) = -{}^{2}\!\log(x+1)\):
\({}^{2}\!\log(x+1) = -{}^{2}\!\log(x+1) + 4\)
\(2 \cdot {}^{2}\!\log(x+1) = 4\)
\({}^{2}\!\log(x+1) = 2\)
\(x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3\)
\(f(3) = {}^{2}\!\log 4 = 2\)
Titik potong: (3, 2).
Soal 12. Buktikan bahwa \({}^{a}\!\log x + {}^{1/a}\!\log x = 0\) untuk semua \(x > 0\).
Pembahasan:
Kita tahu \({}^{1/a}\!\log x = \dfrac{\ln x}{\ln(1/a)} = \dfrac{\ln x}{-\ln a} = -\dfrac{\ln x}{\ln a} = -{}^{a}\!\log x\)
Maka: \({}^{a}\!\log x + {}^{1/a}\!\log x = {}^{a}\!\log x + (-{}^{a}\!\log x) = 0\) ∎
Soal 13. Grafik \(f(x) = {}^{a}\!\log(2x – 1)\) melalui titik (5, 2). Tentukan nilai \(a\) dan persamaan asimtot grafik tersebut.
Pembahasan:
Substitusi (5, 2): \({}^{a}\!\log(2(5) – 1) = 2\)
\({}^{a}\!\log 9 = 2\)
\(a^2 = 9 \Rightarrow a = 3\) (karena \(a > 0, a \neq 1\))
Asimtot tegak: \(2x – 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\)
Jadi \(a = 3\) dan asimtot: \(x = \frac{1}{2}\).
Soal 14. Tentukan semua nilai \(x\) sehingga \({}^{2}\!\log x > {}^{1/2}\!\log x\).
Pembahasan:
Substitusi \({}^{1/2}\!\log x = -{}^{2}\!\log x\):
\({}^{2}\!\log x > -{}^{2}\!\log x\)
\(2 \cdot {}^{2}\!\log x > 0\)
\({}^{2}\!\log x > 0\)
Karena basis 2 > 1: \(x > 1\)
Dengan syarat domain \(x > 0\), jawaban: \(\boldsymbol{x > 1}\).
Soal 15. Diketahui \(f(x) = {}^{3}\!\log x\) dan \(g(x) = {}^{1/3}\!\log x\). Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kedua grafik dan garis \(x = 9\).
Pembahasan:
Karena \(g(x) = -f(x)\), daerah yang dibatasi simetris terhadap sumbu-x.
Untuk \(1 \leq x \leq 9\): \(f(x) \geq 0\) dan \(g(x) \leq 0\).
Jarak vertikal = \(f(x) – g(x) = 2\,{}^{3}\!\log x = 2\cdot\dfrac{\ln x}{\ln 3}\)
Luas \(= \displaystyle\int_1^9 2\cdot\frac{\ln x}{\ln 3}\,dx = \frac{2}{\ln 3}\int_1^9 \ln x\,dx\)
\(\displaystyle\int_1^9 \ln x\,dx = [x\ln x – x]_1^9 = (9\ln 9 – 9) – (0 – 1) = 9\ln 9 – 8\)
\(= 9 \cdot 2\ln 3 – 8 = 18\ln 3 – 8\)
Luas \(= \dfrac{2}{\ln 3}(18\ln 3 – 8) = 36 – \dfrac{16}{\ln 3} \approx 36 – 14{,}56 \approx 21{,}44\) satuan luas.
H. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri.
Mudah
1. Tentukan nilai \(f(16)\) jika \(f(x) = {}^{2}\!\log x\).
2. Tentukan nilai \(g(27)\) jika \(g(x) = {}^{1/3}\!\log x\).
3. Tentukan titik potong sumbu-x dari grafik \(f(x) = {}^{5}\!\log x\).
4. Apakah grafik \(g(x) = {}^{1/4}\!\log x\) merupakan fungsi naik atau turun? Jelaskan!
5. Tentukan domain dan asimtot tegak dari \(f(x) = {}^{2}\!\log x\).
Sedang
6. Buat tabel nilai dan gambarkan grafik \(f(x) = {}^{3}\!\log x\) untuk \(x = \frac{1}{9}, \frac{1}{3}, 1, 3, 9, 27\).
7. Tentukan persamaan asimtot dan titik potong sumbu-x dari \(h(x) = {}^{2}\!\log(x-4)\).
8. Untuk nilai \(x\) berapa \({}^{1/3}\!\log x > 0\)?
9. Tentukan range fungsi \(f(x) = {}^{3}\!\log x – 1\) untuk \(x \in [1, 27]\).
10. Jelaskan transformasi yang mengubah grafik \(y = {}^{2}\!\log x\) menjadi \(y = {}^{2}\!\log(x-3) + 2\).
Sulit
11. Grafik \(f(x) = {}^{a}\!\log(3x+1)\) melalui titik (1, 2). Tentukan nilai \(a\).
12. Tentukan titik potong grafik \(f(x) = {}^{3}\!\log(x-1)\) dan \(g(x) = {}^{1/3}\!\log(x-1) + 4\).
13. Selesaikan pertidaksamaan \({}^{1/2}\!\log(2x-1) \geq -3\).
14. Tentukan semua nilai \(x\) sehingga \({}^{2}\!\log(x^2) < {}^{1/2}\!\log(x^2) + 8\).
15. Diberikan \(f(x) = {}^{a}\!\log x\) dan \(g(x) = {}^{1/a}\!\log x\). Jika luas daerah yang dibatasi kedua grafik, sumbu-x, dan garis \(x = a^2\) adalah 4 satuan luas (dengan \(a > 1\)), tentukan nilai \(a\).