Menyelesaikan Persamaan Logaritma dengan Substitusi
Materi Matematika — Logaritma
Materi: Metode Substitusi pada Persamaan Logaritma
Kegiatan Mengamati
Perhatikan persamaan-persamaan logaritma berikut:
1. $(\log x)^2 – 5\log x + 6 = 0$
2. ${}^2\!\log^2 x – 3 \cdot {}^2\!\log x + 2 = 0$
3. $\log^2 x + \log x – 2 = 0$
Amati bahwa persamaan-persamaan di atas memiliki pola yang mirip dengan persamaan kuadrat, tetapi variabelnya berupa bentuk logaritma.
Kegiatan Menanya
Pertanyaan yang muncul:
- Bagaimana cara menyelesaikan persamaan logaritma yang berbentuk kuadrat?
- Apa yang dimaksud dengan metode substitusi pada persamaan logaritma?
- Kapan kita perlu menggunakan substitusi?
- Bagaimana menentukan syarat penyelesaian agar hasilnya valid?
Kegiatan Menalar
Pengertian Metode Substitusi
Metode substitusi pada persamaan logaritma adalah teknik menyelesaikan persamaan logaritma yang memiliki bentuk kuadrat atau bentuk kompleks lainnya dengan cara memisalkan (mensubstitusi) bentuk logaritma menjadi variabel baru, sehingga persamaan menjadi lebih sederhana.
Kapan Menggunakan Substitusi?
Substitusi digunakan ketika:
- Persamaan mengandung pangkat dari logaritma, misal $(\log x)^2$
- Persamaan berbentuk kuadrat dalam logaritma
- Terdapat bentuk logaritma yang berulang dalam persamaan
Langkah-Langkah Metode Substitusi
- Identifikasi bentuk logaritma yang berulang.
Tentukan bagian logaritma yang muncul berulang kali dalam persamaan. - Lakukan substitusi.
Misalkan bentuk logaritma tersebut dengan variabel baru, biasanya $p$ atau $t$.
Contoh: Misalkan $p = \log x$ - Ubah persamaan menjadi bentuk sederhana.
Ganti semua bentuk logaritma dengan variabel baru sehingga diperoleh persamaan kuadrat biasa. - Selesaikan persamaan kuadrat.
Gunakan pemfaktoran, rumus kuadrat, atau melengkapkan kuadrat sempurna. - Substitusi balik.
Kembalikan variabel baru ke bentuk logaritma semula dan selesaikan untuk mendapatkan nilai $x$. - Periksa syarat.
Pastikan nilai $x$ memenuhi syarat logaritma: numerus > 0 dan basis > 0, basis ≠ 1.
Syarat Penyelesaian Logaritma
Untuk ${}^a\!\log b$ berlaku:
- Basis: $a > 0$ dan $a \neq 1$
- Numerus: $b > 0$
⚠️ Setiap penyelesaian harus diuji terhadap syarat ini!
Bentuk Umum
Persamaan berbentuk:
Dengan substitusi $p = \log_b x$, menjadi:
Setelah diperoleh nilai $p$, maka $x = b^p$.
Kegiatan Mencoba
Mari kita coba selesaikan satu contoh bersama:
Selesaikan: $(\log x)^2 – 3\log x + 2 = 0$
Langkah 1: Misalkan $p = \log x$
Langkah 2: Persamaan menjadi $p^2 – 3p + 2 = 0$
Langkah 3: Faktorkan: $(p-1)(p-2) = 0$
Langkah 4: $p = 1$ atau $p = 2$
Langkah 5: Substitusi balik:
- $\log x = 1 \Rightarrow x = 10^1 = 10$
- $\log x = 2 \Rightarrow x = 10^2 = 100$
Langkah 6: Cek syarat: $x = 10 > 0$ ✓ dan $x = 100 > 0$ ✓
HP = {10, 100}
Kegiatan Mengkomunikasikan
Kesimpulan yang dapat dikomunikasikan:
- Metode substitusi mengubah persamaan logaritma kompleks menjadi persamaan kuadrat sederhana.
- Kunci utama adalah mengenali pola berulang dari bentuk logaritma.
- Setelah mendapatkan nilai variabel substitusi, selalu kembalikan ke variabel asli.
- Selalu periksa syarat: numerus harus positif.
- Metode ini sangat efektif untuk persamaan logaritma berpangkat dua atau lebih.
Contoh Soal — Tingkat Mudah
Mudah1. Selesaikan $(\log x)^2 – 4\log x + 3 = 0$
Pembahasan:
Misalkan $p = \log x$, persamaan menjadi:
$p^2 – 4p + 3 = 0$
$(p-1)(p-3) = 0$
$p = 1$ atau $p = 3$
Substitusi balik:
$\log x = 1 \Rightarrow x = 10$
$\log x = 3 \Rightarrow x = 1000$
Cek: $x = 10 > 0$ ✓, $x = 1000 > 0$ ✓
HP = {10, 1000}
2. Selesaikan $(\log x)^2 – 5\log x + 6 = 0$
Pembahasan:
Misalkan $p = \log x$:
$p^2 – 5p + 6 = 0$
$(p-2)(p-3) = 0$
$p = 2$ atau $p = 3$
$\log x = 2 \Rightarrow x = 100$
$\log x = 3 \Rightarrow x = 1000$
HP = {100, 1000}
3. Selesaikan $({}^2\!\log x)^2 – 3 \cdot {}^2\!\log x + 2 = 0$
Pembahasan:
Misalkan $p = {}^2\!\log x$:
$p^2 – 3p + 2 = 0$
$(p-1)(p-2) = 0$
$p = 1$ atau $p = 2$
${}^2\!\log x = 1 \Rightarrow x = 2^1 = 2$
${}^2\!\log x = 2 \Rightarrow x = 2^2 = 4$
HP = {2, 4}
4. Selesaikan $(\log x)^2 – \log x = 0$
Pembahasan:
Misalkan $p = \log x$:
$p^2 – p = 0$
$p(p – 1) = 0$
$p = 0$ atau $p = 1$
$\log x = 0 \Rightarrow x = 10^0 = 1$
$\log x = 1 \Rightarrow x = 10$
HP = {1, 10}
5. Selesaikan $({}^3\!\log x)^2 – 4 \cdot {}^3\!\log x + 4 = 0$
Pembahasan:
Misalkan $p = {}^3\!\log x$:
$p^2 – 4p + 4 = 0$
$(p-2)^2 = 0$
$p = 2$ (akar kembar)
${}^3\!\log x = 2 \Rightarrow x = 3^2 = 9$
HP = {9}
Contoh Soal — Tingkat Sedang
Sedang1. Selesaikan $(\log x)^2 + \log x – 6 = 0$
Pembahasan:
Misalkan $p = \log x$:
$p^2 + p – 6 = 0$
$(p+3)(p-2) = 0$
$p = -3$ atau $p = 2$
$\log x = -3 \Rightarrow x = 10^{-3} = 0{,}001$
$\log x = 2 \Rightarrow x = 100$
Cek: keduanya positif ✓
HP = {0,001 ; 100}
2. Selesaikan $2(\log x)^2 – 5\log x + 2 = 0$
Pembahasan:
Misalkan $p = \log x$:
$2p^2 – 5p + 2 = 0$
$(2p-1)(p-2) = 0$
$p = \frac{1}{2}$ atau $p = 2$
$\log x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 10^{1/2} = \sqrt{10}$
$\log x = 2 \Rightarrow x = 100$
HP = {$\sqrt{10}$, 100}
3. Selesaikan $({}^2\!\log x)^2 – {}^2\!\log x^4 + 3 = 0$
Pembahasan:
Ingat: ${}^2\!\log x^4 = 4 \cdot {}^2\!\log x$
Misalkan $p = {}^2\!\log x$:
$p^2 – 4p + 3 = 0$
$(p-1)(p-3) = 0$
$p = 1$ atau $p = 3$
${}^2\!\log x = 1 \Rightarrow x = 2$
${}^2\!\log x = 3 \Rightarrow x = 8$
HP = {2, 8}
4. Selesaikan $\log^2 x – \log x^2 – 3 = 0$
Pembahasan:
$\log x^2 = 2\log x$, sehingga:
$(\log x)^2 – 2\log x – 3 = 0$
Misalkan $p = \log x$:
$p^2 – 2p – 3 = 0$
$(p-3)(p+1) = 0$
$p = 3$ atau $p = -1$
$\log x = 3 \Rightarrow x = 1000$
$\log x = -1 \Rightarrow x = 0{,}1$
HP = {0,1 ; 1000}
5. Selesaikan $({}^5\!\log x)^2 = {}^5\!\log x^3 – 2$
Pembahasan:
${}^5\!\log x^3 = 3 \cdot {}^5\!\log x$
Persamaan: $({}^5\!\log x)^2 – 3 \cdot {}^5\!\log x + 2 = 0$
Misalkan $p = {}^5\!\log x$:
$p^2 – 3p + 2 = 0$
$(p-1)(p-2) = 0$
$p = 1$ atau $p = 2$
${}^5\!\log x = 1 \Rightarrow x = 5$
${}^5\!\log x = 2 \Rightarrow x = 25$
HP = {5, 25}
Contoh Soal — Tingkat Sulit
Sulit1. Selesaikan $(\log x)^2 + \log x = \log x^3 + 2\log 10$
Pembahasan:
Sederhanakan ruas kanan: $\log x^3 + 2\log 10 = 3\log x + 2$
Persamaan: $(\log x)^2 + \log x = 3\log x + 2$
$(\log x)^2 – 2\log x – 2 = 0$
Misalkan $p = \log x$:
$p^2 – 2p – 2 = 0$
Rumus kuadrat: $p = \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$
$x = 10^{1+\sqrt{3}}$ atau $x = 10^{1-\sqrt{3}}$
Cek: keduanya positif ✓
HP = {$10^{1+\sqrt{3}}$, $10^{1-\sqrt{3}}$}
2. Selesaikan ${}^2\!\log^2 x + {}^4\!\log x = 3$
Pembahasan:
Ubah basis: ${}^4\!\log x = \frac{{}^2\!\log x}{{}^2\!\log 4} = \frac{{}^2\!\log x}{2}$
Misalkan $p = {}^2\!\log x$:
$p^2 + \frac{p}{2} = 3$
$2p^2 + p – 6 = 0$
$(2p-3)(p+2) = 0$
$p = \frac{3}{2}$ atau $p = -2$
${}^2\!\log x = \frac{3}{2} \Rightarrow x = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}$
${}^2\!\log x = -2 \Rightarrow x = 2^{-2} = \frac{1}{4}$
HP = {$\frac{1}{4}$, $2\sqrt{2}$}
3. Selesaikan $\log_x 100 + \log x = 3$
Pembahasan:
$\log_x 100 = \frac{\log 100}{\log x} = \frac{2}{\log x}$
Misalkan $p = \log x$:
$\frac{2}{p} + p = 3$
$2 + p^2 = 3p$
$p^2 – 3p + 2 = 0$
$(p-1)(p-2) = 0$
$p = 1$ atau $p = 2$
$\log x = 1 \Rightarrow x = 10$
$\log x = 2 \Rightarrow x = 100$
Cek syarat basis: $x > 0, x \neq 1$ → keduanya memenuhi ✓
HP = {10, 100}
4. Selesaikan $9(\log x)^2 + 2 = 9\log x \cdot \log x^2 – (\log x^2)^2$
Pembahasan:
$\log x^2 = 2\log x$. Misalkan $p = \log x$:
Ruas kiri: $9p^2 + 2$
Ruas kanan: $9p \cdot 2p – (2p)^2 = 18p^2 – 4p^2 = 14p^2$
$9p^2 + 2 = 14p^2$
$5p^2 = 2$
$p^2 = \frac{2}{5}$
$p = \pm\sqrt{\frac{2}{5}}$
$x = 10^{\sqrt{2/5}}$ atau $x = 10^{-\sqrt{2/5}}$
Keduanya positif ✓
HP = {$10^{\sqrt{2/5}}$, $10^{-\sqrt{2/5}}$}
5. Selesaikan ${}^2\!\log^2(x-1) – 3\cdot{}^2\!\log(x-1) – 4 = 0$
Pembahasan:
Misalkan $p = {}^2\!\log(x-1)$:
$p^2 – 3p – 4 = 0$
$(p-4)(p+1) = 0$
$p = 4$ atau $p = -1$
${}^2\!\log(x-1) = 4 \Rightarrow x-1 = 16 \Rightarrow x = 17$
${}^2\!\log(x-1) = -1 \Rightarrow x-1 = 2^{-1} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{3}{2}$
Cek syarat numerus: $x – 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
$x = 17 > 1$ ✓, $x = \frac{3}{2} > 1$ ✓
HP = {$\frac{3}{2}$, 17}
Latihan Soal — Tingkat Mudah
Mudah1. Selesaikan $(\log x)^2 – 2\log x = 0$
2. Selesaikan $(\log x)^2 – 6\log x + 8 = 0$
3. Selesaikan $({}^2\!\log x)^2 – 5\cdot{}^2\!\log x + 6 = 0$
4. Selesaikan $({}^3\!\log x)^2 – 2\cdot{}^3\!\log x = 0$
5. Selesaikan $(\log x)^2 – 7\log x + 10 = 0$
Latihan Soal — Tingkat Sedang
Sedang1. Selesaikan $3(\log x)^2 – 7\log x + 2 = 0$
2. Selesaikan $({}^2\!\log x)^2 – {}^2\!\log x^5 + 6 = 0$
3. Selesaikan $(\log x)^2 = \log x^4 – 4$
4. Selesaikan $2({}^5\!\log x)^2 – 3\cdot{}^5\!\log x – 2 = 0$
5. Selesaikan $(\log x)^2 + 3\log x – 10 = 0$
Latihan Soal — Tingkat Sulit
Sulit1. Selesaikan ${}^3\!\log^2 x + {}^9\!\log x = 3$
2. Selesaikan $\log_x 1000 + \log x = 4$
3. Selesaikan ${}^2\!\log^2(x+3) – 4\cdot{}^2\!\log(x+3) + 3 = 0$
4. Selesaikan $4(\log x)^2 – (\log x^4)^2 + 12\log x = 0$
5. Selesaikan $(\log x)^3 – 6(\log x)^2 + 11\log x – 6 = 0$