Persamaan Logaritma dengan Basis Berbeda

Bentuk Dasar Persamaan Logaritma dengan Basis Berbeda

Matematika — Materi Logaritma

Tujuan Pembelajaran

Memahami konsep persamaan logaritma dengan basis berbeda
Menyelesaikan persamaan logaritma dengan mengubah basis ke bentuk yang sama
Menerapkan sifat-sifat logaritma untuk menyelesaikan persamaan basis berbeda

Kegiatan: Mengamati

Perhatikan persamaan-persamaan berikut:

²log x = ⁴log x
³log (x+1) = ⁹log (2x−1)
²log x + ⁸log x = 4

Apa yang berbeda dari persamaan logaritma biasa? Perhatikan basisnya! Basis pada ruas kiri dan ruas kanan berbeda. Inilah yang disebut persamaan logaritma dengan basis berbeda.

Kegiatan: Menanya

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan logaritma jika basisnya berbeda?
Sifat logaritma apa yang digunakan untuk mengubah basis?
Apakah semua persamaan logaritma basis berbeda bisa diselesaikan?

Materi: Persamaan Logaritma dengan Basis Berbeda

A. Sifat Dasar yang Diperlukan

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma basis berbeda, kita memerlukan sifat-sifat berikut:

Sifat Mengubah Basis (Change of Base):

^alog b = ^clog b^clog a

dengan a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1

Sifat Logaritma Berpangkat pada Basis:

^anlog b = 1n · ^alog b

Sifat Invers Basis:

^alog b = 1^blog a

Sifat Rantai:

^alog b × ^blog c = ^alog c

B. Strategi Penyelesaian Persamaan Logaritma Basis Berbeda

Ada beberapa strategi utama untuk menyelesaikan persamaan logaritma dengan basis berbeda:

Strategi 1: Menyamakan Basis

Jika basis-basis dalam persamaan merupakan pangkat dari bilangan yang sama, ubah semua basis ke bilangan pokok yang sama.

Contoh: Basis 2, 4, 8 → semua bisa dinyatakan sebagai pangkat dari 2

Gunakan sifat: ^anlog b = 1n · ^alog b

Strategi 2: Menggunakan Rumus Perubahan Basis

Ubah semua logaritma ke basis yang sama menggunakan rumus change of base.

^alog b = ^clog b^clog a

Strategi 3: Substitusi (Pemisalan)

Misalkan salah satu bentuk logaritma sebagai variabel baru, lalu selesaikan persamaan yang terbentuk.

Kegiatan: Menalar

Perhatikan bahwa:

4 = 2², maka ⁴log x = 12 · ²log x
8 = 2³, maka ⁸log x = 13 · ²log x
9 = 3², maka ⁹log x = 12 · ³log x
27 = 3³, maka ²⁷log x = 13 · ³log x

Kesimpulan: Jika basis merupakan pangkat dari bilangan yang sama, kita bisa menyederhanakan menjadi basis yang sama!

C. Bentuk-Bentuk Persamaan Logaritma Basis Berbeda

Bentuk 1: ^alog f(x) = ^blog f(x)

Syarat: f(x) = 1 (agar kedua ruas bernilai 0)

Bentuk 2: ^alog f(x) = ^anlog g(x)

Strategi: Ubah ^anlog g(x) = 1n · ^alog g(x), lalu samakan basis

Bentuk 3: ^alog f(x) + ^anlog g(x) = k

Strategi: Samakan basis, lalu selesaikan persamaan

Bentuk 4: ^alog f(x) · ^blog g(x) = k

Strategi: Gunakan rumus perubahan basis atau substitusi

Kegiatan: Mencoba

Coba selesaikan langkah demi langkah:

Selesaikan: ²log x + ⁴log x = 6

Langkah 1: Ubah ⁴log x ke basis 2

Karena 4 = 2², maka ⁴log x = ½ · ²log x

Langkah 2: Substitusi ke persamaan

²log x + ½ · ²log x = 6

Langkah 3: Sederhanakan

3/2 · ²log x = 6

²log x = 4

Langkah 4: Tentukan nilai x

x = 2⁴ = 16

Langkah 5: Periksa syarat: x > 0 ✓

Contoh Soal dan Pembahasan

Tingkat Mudah

Mudah

Contoh 1:

Selesaikan: ²log x = ⁴log x³

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Ubah ruas kanan ke basis 2

4 = 2², maka ⁴log x³ = ½ · ²log x³ = ½ · 3 · ²log x = 32 · ²log x

Langkah 2: Persamaan menjadi

²log x = 32 · ²log x

Langkah 3: Sederhanakan

²log x − 32 · ²log x = 0

−½ · ²log x = 0

²log x = 0

Langkah 4: x = 2⁰ = 1

Periksa: x = 1 > 0 ✓

Jadi, x = 1

Mudah

Contoh 2:

Selesaikan: ³log x + ⁹log x = 3

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Ubah ⁹log x ke basis 3

9 = 3², maka ⁹log x = ½ · ³log x

Langkah 2: Substitusi

³log x + ½ · ³log x = 3

32 · ³log x = 3

Langkah 3: ³log x = 2

Langkah 4: x = 3² = 9

Jadi, x = 9

Mudah

Contoh 3:

Selesaikan: ⁵log x = ²⁵log 9

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Ubah ²⁵log 9 ke basis 5

25 = 5², maka ²⁵log 9 = ½ · ⁵log 9

Langkah 2: Persamaan menjadi

⁵log x = ½ · ⁵log 9

⁵log x = ⁵log 9^½

⁵log x = ⁵log 3

Langkah 3: Basis sama, maka x = 3

Jadi, x = 3

Mudah

Contoh 4:

Selesaikan: ²log x − ⁸log x = 2

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Ubah ⁸log x ke basis 2

8 = 2³, maka ⁸log x = ⅓ · ²log x

Langkah 2: Substitusi

²log x − ⅓ · ²log x = 2

⅔ · ²log x = 2

Langkah 3: ²log x = 3

Langkah 4: x = 2³ = 8

Jadi, x = 8

Mudah

Contoh 5:

Selesaikan: ⁴log x = ²log 5

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Ubah ⁴log x ke basis 2

4 = 2², maka ⁴log x = ½ · ²log x

Langkah 2: Persamaan menjadi

½ · ²log x = ²log 5

²log x = 2 · ²log 5

²log x = ²log 5²

²log x = ²log 25

Langkah 3: x = 25

Jadi, x = 25

Tingkat Sedang

Sedang

Contoh 6:

Selesaikan: ²log (x+1) = ⁴log (3x−1)

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Ubah ruas kanan ke basis 2

⁴log (3x−1) = ½ · ²log (3x−1)

Langkah 2: Persamaan menjadi

²log (x+1) = ½ · ²log (3x−1)

2 · ²log (x+1) = ²log (3x−1)

²log (x+1)² = ²log (3x−1)

Langkah 3: Basis sama, maka

(x+1)² = 3x−1

x² + 2x + 1 = 3x − 1

x² − x + 2 = 0

Langkah 4: Hitung diskriminan

D = 1 − 8 = −7 < 0

Kesimpulan: Tidak ada solusi real

Jadi, persamaan tidak memiliki penyelesaian

Sedang

Contoh 7:

Selesaikan: ³log x · ^xlog 9 = 4

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Gunakan sifat rantai

^xlog 9 = ³log 9³log x = 2³log x

Langkah 2: Substitusi

³log x · 2³log x = 4

2 = 4

Langkah 3: Persamaan 2 = 4 tidak benar

Jadi, persamaan tidak memiliki penyelesaian

(Catatan: Ini terjadi karena sifat rantai mengeliminasi variabel x)

Sedang

Contoh 8:

Selesaikan: ²log x + ⁴log x + ¹⁶log x = 7

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Ubah semua ke basis 2

⁴log x = ½ · ²log x (karena 4 = 2²)

¹⁶log x = ¼ · ²log x (karena 16 = 2⁴)

Langkah 2: Substitusi

²log x + ½ · ²log x + ¼ · ²log x = 7

(1 + ½ + ¼) · ²log x = 7

74 · ²log x = 7

Langkah 3: ²log x = 4

Langkah 4: x = 2⁴ = 16

Jadi, x = 16

Sedang

Contoh 9:

Selesaikan: ⁹log (x−2) = ³log (x+2)

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Ubah ruas kiri ke basis 3

⁹log (x−2) = ½ · ³log (x−2)

Langkah 2: Persamaan menjadi

½ · ³log (x−2) = ³log (x+2)

³log (x−2) = 2 · ³log (x+2)

³log (x−2) = ³log (x+2)²

Langkah 3: Basis sama

x − 2 = (x+2)²

x − 2 = x² + 4x + 4

0 = x² + 3x + 6

Langkah 4: D = 9 − 24 = −15 < 0

Jadi, tidak ada penyelesaian real

Sedang

Contoh 10:

Selesaikan: ⁵log (2x+1) = ²⁵log (x+7)

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Ubah ruas kanan ke basis 5

²⁵log (x+7) = ½ · ⁵log (x+7)

Langkah 2: Persamaan menjadi

⁵log (2x+1) = ½ · ⁵log (x+7)

2 · ⁵log (2x+1) = ⁵log (x+7)

⁵log (2x+1)² = ⁵log (x+7)

Langkah 3: Basis sama

(2x+1)² = x+7

4x² + 4x + 1 = x + 7

4x² + 3x − 6 = 0

Langkah 4: Rumus abc

x = −3 ± √(9 + 96)8 = −3 ± √1058

x₁ = −3 + √1058 ≈ 0,906

x₂ = −3 − √1058 ≈ −1,656

Langkah 5: Periksa syarat

Syarat: 2x+1 > 0 → x > −½ dan x+7 > 0 → x > −7

x₁ ≈ 0,906 ✓ (memenuhi)

x₂ ≈ −1,656 ✗ (tidak memenuhi karena x > −½)

Jadi, x = −3 + √1058

Tingkat Sulit

Sulit

Contoh 11:

Selesaikan: ²log x · ³log x = 6

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Gunakan rumus perubahan basis

Misalkan ²log x = p, maka log x = p · log 2

³log x = log xlog 3 = p · log 2log 3 = p · ³log 2

Langkah 2: Substitusi ke persamaan

p · p · ³log 2 = 6

p² · ³log 2 = 6

Langkah 3: Hitung p²

p² = 6³log 2 = 6 · ²log 3 (menggunakan sifat invers)

Langkah 4: Karena ²log 3 ≈ 1,585

p² = 6 × 1,585 ≈ 9,51

p = ±√(6 · ²log 3)

Langkah 5: x = 2^p

x = 2^{√(6·²log 3)} atau x = 2^{−√(6·²log 3)}

Periksa: Kedua nilai x > 0 ✓

Jadi, x = 2^{±√(6·²log 3)}

Sulit

Contoh 12:

Selesaikan: ^xlog 2 + ^xlog 3 = 1

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Gunakan sifat penjumlahan logaritma

^xlog 2 + ^xlog 3 = ^xlog (2·3) = ^xlog 6

Langkah 2: Persamaan menjadi

^xlog 6 = 1

Langkah 3: Dari definisi logaritma

x¹ = 6

x = 6

Periksa: x = 6 > 0, x ≠ 1 ✓

Jadi, x = 6

Sulit

Contoh 13:

Selesaikan: ²log x + ^xlog 8 = 4

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Ubah ^xlog 8 ke basis 2

^xlog 8 = ²log 8²log x = 3²log x

Langkah 2: Misalkan ²log x = p

p + 3p = 4

Langkah 3: Kalikan dengan p

p² + 3 = 4p

p² − 4p + 3 = 0

(p−1)(p−3) = 0

p = 1 atau p = 3

Langkah 4: Kembali ke x

p = 1 → ²log x = 1 → x = 2

p = 3 → ²log x = 3 → x = 8

Periksa: x = 2 > 0, x ≠ 1 ✓; x = 8 > 0, x ≠ 1 ✓

Jadi, x = 2 atau x = 8

Sulit

Contoh 14:

Selesaikan: ³log x + ^xlog 27 = 6

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Ubah ^xlog 27 ke basis 3

^xlog 27 = ³log 27³log x = 3³log x

Langkah 2: Misalkan ³log x = p

p + 3p = 6

Langkah 3: Kalikan dengan p

p² + 3 = 6p

p² − 6p + 3 = 0

Langkah 4: Rumus abc

p = 6 ± √(36−12)2 = 6 ± √242 = 3 ± √6

Langkah 5: Kembali ke x

x = 3^(3+√6) atau x = 3^(3−√6)

Periksa: Kedua nilai x > 0 dan x ≠ 1 ✓

Jadi, x = 3^(3±√6)

Sulit

Contoh 15:

Selesaikan: (²log x)² + ⁴log x − 3 = 0

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Ubah ⁴log x ke basis 2

⁴log x = ½ · ²log x

Langkah 2: Misalkan ²log x = p

p² + ½p − 3 = 0

2p² + p − 6 = 0

Langkah 3: Faktorkan

(2p−3)(p+2) = 0

p = 3/2 atau p = −2

Langkah 4: Kembali ke x

p = 3/2 → x = 2^3/2 = 2√2

p = −2 → x = 2⁻² = ¼

Periksa: x = 2√2 > 0 ✓; x = ¼ > 0 ✓

Jadi, x = 2√2 atau x = ¼

Kegiatan: Mengkomunikasikan

Dari contoh-contoh di atas, kita dapat menyimpulkan langkah penyelesaian persamaan logaritma basis berbeda:

Identifikasi basis-basis yang terlibat dan cari hubungannya
Samakan basis menggunakan sifat ^anlog b = 1n · ^alog b
Sederhanakan persamaan sehingga semua logaritma memiliki basis yang sama
Selesaikan persamaan yang terbentuk
Periksa syarat: numerus > 0, basis > 0 dan basis ≠ 1

Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!

Tingkat Mudah

Selesaikan: ⁵log x + ²⁵log x = 6
Selesaikan: ³log x = ²⁷log 8
Selesaikan: ²log x − ⁴log x = 1
Selesaikan: ⁷log x + ⁴⁹log x = 9
Selesaikan: ⁴log x = ²log 3

Tingkat Sedang

Selesaikan: ³log (x+1) = ⁹log (2x+5)
Selesaikan: ²log x + ⁴log x + ⁸log x = 11
Selesaikan: ⁵log (3x−2) = ²⁵log (x+4)
Selesaikan: 2 · ³log x − ⁹log x = 3
Selesaikan: ⁴log (x+3) + ²log (x−1) = 3

Tingkat Sulit

Selesaikan: ²log x + ^xlog 4 = 3
Selesaikan: (³log x)² − ⁹log x − 2 = 0
Selesaikan: ^xlog 3 + ^xlog 5 + ^xlog 7 = 2
Selesaikan: ⁴log x · ^xlog 8 + ²log x = 5
Selesaikan: ²log (x²−1) = ⁴log (x+1)³

Ringkasan

1. Persamaan logaritma basis berbeda adalah persamaan yang memuat logaritma dengan basis yang tidak sama.
2. Kunci utama: ^anlog b = 1n · ^alog b
3. Strategi: Samakan basis, gunakan perubahan basis, atau substitusi.
4. Selalu periksa syarat: numerus > 0, basis > 0, basis ≠ 1.
5. Jika muncul bentuk kuadrat, faktorkan atau gunakan rumus abc.

Persamaan Logaritma – Bentuk Dasar Persamaan Logaritma dengan Bentuk Basis Berbeda

Bentuk Dasar Persamaan Logaritma dengan Basis Berbeda

Tujuan Pembelajaran

Kegiatan: Mengamati

Kegiatan: Menanya

Materi: Persamaan Logaritma dengan Basis Berbeda

A. Sifat Dasar yang Diperlukan

B. Strategi Penyelesaian Persamaan Logaritma Basis Berbeda

Strategi 1: Menyamakan Basis

Strategi 2: Menggunakan Rumus Perubahan Basis

Strategi 3: Substitusi (Pemisalan)

Kegiatan: Menalar

C. Bentuk-Bentuk Persamaan Logaritma Basis Berbeda

Kegiatan: Mencoba

Contoh Soal dan Pembahasan

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Kegiatan: Mengkomunikasikan

Latihan Soal

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Ringkasan

By admin

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

Perangkat Pertama OpenAI Berupa Speaker AI Tanpa Layar

Terungkap! Begini Wujud Gadget AI Pertama OpenAI yang Disebut Bakal Saingi Apple

Lingkungan Belajar Aman, Nyaman, dan Menggembirakan (LBANM)

Eksplorasi Diri : Mengenali Potensi yang Ada (Analisis SWOT)

Tujuan Pembelajaran

Kegiatan: Mengamati

Kegiatan: Menanya

Materi: Persamaan Logaritma dengan Basis Berbeda

A. Sifat Dasar yang Diperlukan

B. Strategi Penyelesaian Persamaan Logaritma Basis Berbeda

Strategi 1: Menyamakan Basis

Strategi 2: Menggunakan Rumus Perubahan Basis

Strategi 3: Substitusi (Pemisalan)

Kegiatan: Menalar

C. Bentuk-Bentuk Persamaan Logaritma Basis Berbeda

Kegiatan: Mencoba

Contoh Soal dan Pembahasan

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Kegiatan: Mengkomunikasikan

Latihan Soal

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Ringkasan

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed