Menyelesaikan Persamaan Logaritma dengan Menggunakan Sifat Logaritma
Matematika — Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan
1. Pendahuluan & Sifat-Sifat Logaritma
Perhatikan persamaan berikut:
\( \log_2(x+3) = \log_2(7) \)
Kedua ruas memiliki basis yang sama (basis 2). Jika \(\log_a M = \log_a N\), maka \(M = N\). Dari sini kita peroleh \(x + 3 = 7\), sehingga \(x = 4\).
Bagaimana jika persamaan logaritma tidak langsung berbentuk \(\log_a M = \log_a N\)? Sifat-sifat logaritma apa saja yang bisa kita gunakan untuk menyederhanakannya?
Sifat-Sifat Logaritma yang Digunakan
Sifat-sifat penting:
1. Sifat Persamaan Dasar:
\(\log_a f(x) = \log_a g(x) \implies f(x) = g(x)\), syarat \(a > 0, a \neq 1, f(x) > 0, g(x) > 0\)
2. Logaritma Penjumlahan:
\(\log_a M + \log_a N = \log_a (M \cdot N)\)
3. Logaritma Pengurangan:
\(\log_a M – \log_a N = \log_a \dfrac{M}{N}\)
4. Logaritma Pangkat:
\(n \cdot \log_a M = \log_a M^n\)
5. Konversi Basis:
\(\log_a M = \dfrac{\log_b M}{\log_b a}\)
6. Nilai Logaritma:
\(\log_a a = 1\) dan \(\log_a 1 = 0\)
7. Invers:
\(a^{\log_a M} = M\)
Semua sifat di atas bertujuan untuk mengubah persamaan logaritma menjadi bentuk \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\) sehingga kita bisa menyamakan argumennya. Setelah itu, kita wajib memeriksa syarat: basis \(a > 0, a \neq 1\), dan argumen harus positif.
2. Bentuk 1: \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\)
Langkah penyelesaian:
- Pastikan basis kedua ruas sama.
- Samakan argumen: \(f(x) = g(x)\).
- Selesaikan persamaan aljabar.
- Periksa syarat: \(f(x) > 0\) dan \(g(x) > 0\).
Contoh Cepat:
\(\log_3(2x – 1) = \log_3(x + 4)\)
Samakan argumen: \(2x – 1 = x + 4 \implies x = 5\)
Cek: \(2(5)-1 = 9 > 0\) ✓ dan \(5+4 = 9 > 0\) ✓
Jawaban: \(x = 5\)
3. Bentuk 2: Persamaan yang Disederhanakan dengan Sifat Logaritma
Perhatikan persamaan: \(\log_2 x + \log_2(x-2) = 3\)
Ruas kiri bisa digabung menjadi \(\log_2[x(x-2)] = 3\), lalu ubah ke bentuk eksponen: \(x(x-2) = 2^3 = 8\).
Langkah-langkah:
- Gabungkan logaritma di satu ruas menggunakan sifat penjumlahan/pengurangan.
- Jika ruas lain berupa konstanta \(c\), ubah menjadi \(\log_a a^c\).
- Samakan argumen atau ubah ke bentuk eksponen.
- Periksa syarat argumen positif.
Contoh Cepat:
\(\log_2 x + \log_2(x-2) = 3\)
\(\log_2[x(x-2)] = 3\)
\(x^2 – 2x = 8\)
\(x^2 – 2x – 8 = 0 \implies (x-4)(x+2) = 0\)
\(x = 4\) atau \(x = -2\)
Cek: untuk \(x = -2\), argumen \(\log_2(-2)\) tidak terdefinisi. ✗
Jawaban: \(x = 4\)
4. Bentuk 3: Persamaan Logaritma Berbentuk Kuadrat
Jika muncul persamaan seperti \((\log x)^2 – 5\log x + 6 = 0\), kita bisa memisalkan \(p = \log x\) sehingga menjadi persamaan kuadrat biasa: \(p^2 – 5p + 6 = 0\).
Langkah-langkah:
- Misalkan \(p = \log_a f(x)\).
- Selesaikan persamaan kuadrat dalam \(p\).
- Substitusi kembali untuk mencari \(x\).
- Periksa semua syarat.
Contoh Cepat:
\((\log x)^2 – 5\log x + 6 = 0\)
Misalkan \(p = \log x\): \(p^2 – 5p + 6 = 0 \implies (p-2)(p-3) = 0\)
\(p = 2 \implies \log x = 2 \implies x = 100\)
\(p = 3 \implies \log x = 3 \implies x = 1000\)
Jawaban: \(x = 100\) atau \(x = 1000\)
Dalam menyelesaikan persamaan logaritma, selalu tuliskan:
- Sifat logaritma yang digunakan
- Proses penyederhanaan langkah demi langkah
- Pemeriksaan syarat (argumen > 0, basis > 0 dan ≠ 1)
- Kesimpulan himpunan penyelesaian
5. Contoh Soal & Pembahasan
MUDAH
Soal 1. Selesaikan \(\log_5(x+1) = \log_5 9\)
Pembahasan:
Basis sama → samakan argumen:
\(x + 1 = 9\)
\(x = 8\)
Cek: \(x + 1 = 9 > 0\) ✓
HP = {8}
Soal 2. Selesaikan \(\log_2(3x) = \log_2 12\)
Pembahasan:
\(3x = 12\)
\(x = 4\)
Cek: \(3(4) = 12 > 0\) ✓
HP = {4}
Soal 3. Selesaikan \(\log_3(x-2) = 2\)
Pembahasan:
Ubah ke bentuk eksponen: \(x – 2 = 3^2 = 9\)
\(x = 11\)
Cek: \(11 – 2 = 9 > 0\) ✓
HP = {11}
Soal 4. Selesaikan \(\log_4(2x+3) = \log_4(x+7)\)
Pembahasan:
\(2x + 3 = x + 7\)
\(x = 4\)
Cek: \(2(4)+3 = 11 > 0\) ✓ dan \(4+7 = 11 > 0\) ✓
HP = {4}
Soal 5. Selesaikan \(\log(x) = 3\) (basis 10)
Pembahasan:
\(\log x = 3 \implies x = 10^3 = 1000\)
Cek: \(1000 > 0\) ✓
HP = {1000}
SEDANG
Soal 6. Selesaikan \(\log_2 x + \log_2(x+6) = 4\)
Pembahasan:
Gunakan sifat penjumlahan: \(\log_2[x(x+6)] = 4\)
\(x(x+6) = 2^4 = 16\)
\(x^2 + 6x – 16 = 0\)
\((x+8)(x-2) = 0 \implies x = -8\) atau \(x = 2\)
Cek: \(x = -8\) → \(\log_2(-8)\) tidak terdefinisi ✗
\(x = 2\) → \(\log_2 2 = 1\) ✓ dan \(\log_2 8 = 3\) ✓, total = 4 ✓
HP = {2}
Soal 7. Selesaikan \(\log_3(x+5) – \log_3(x-1) = 1\)
Pembahasan:
Sifat pengurangan: \(\log_3\dfrac{x+5}{x-1} = 1\)
\(\dfrac{x+5}{x-1} = 3^1 = 3\)
\(x + 5 = 3(x-1) = 3x – 3\)
\(8 = 2x \implies x = 4\)
Cek: \(4+5=9>0\) ✓ dan \(4-1=3>0\) ✓
HP = {4}
Soal 8. Selesaikan \(2\log_5(x) = \log_5(4x+5)\)
Pembahasan:
Sifat pangkat: \(\log_5 x^2 = \log_5(4x+5)\)
\(x^2 = 4x + 5\)
\(x^2 – 4x – 5 = 0 \implies (x-5)(x+1) = 0\)
\(x = 5\) atau \(x = -1\)
Cek: \(x = -1\) → \(\log_5(-1)\) tidak terdefinisi ✗
\(x = 5\) → \(\log_5 25 = 2\) dan \(\log_5 25 = 2\) ✓
HP = {5}
Soal 9. Selesaikan \(\log_2(x^2 – 3x) = \log_2(2x)\)
Pembahasan:
\(x^2 – 3x = 2x\)
\(x^2 – 5x = 0 \implies x(x-5) = 0\)
\(x = 0\) atau \(x = 5\)
Cek: \(x = 0\) → \(\log_2(0)\) tidak terdefinisi ✗
\(x = 5\) → \(25-15=10>0\) ✓ dan \(2(5)=10>0\) ✓
HP = {5}
Soal 10. Selesaikan \(\log_4(x+3) + \log_4(x-3) = 2\)
Pembahasan:
\(\log_4[(x+3)(x-3)] = 2\)
\(x^2 – 9 = 4^2 = 16\)
\(x^2 = 25 \implies x = 5\) atau \(x = -5\)
Cek: \(x = -5\) → \(-5+3=-2<0\) ✗
\(x = 5\) → \(8>0\) ✓ dan \(2>0\) ✓
HP = {5}
SULIT
Soal 11. Selesaikan \((\log_2 x)^2 – 4\log_2 x + 3 = 0\)
Pembahasan:
Misalkan \(p = \log_2 x\): \(p^2 – 4p + 3 = 0\)
\((p-1)(p-3) = 0 \implies p = 1\) atau \(p = 3\)
\(p = 1 \implies x = 2^1 = 2\)
\(p = 3 \implies x = 2^3 = 8\)
Cek: keduanya positif ✓
HP = {2, 8}
Soal 12. Selesaikan \(\log_3 x + \log_9 x = 6\)
Pembahasan:
Ubah basis: \(\log_9 x = \dfrac{\log_3 x}{\log_3 9} = \dfrac{\log_3 x}{2}\)
Misalkan \(p = \log_3 x\): \(p + \dfrac{p}{2} = 6\)
\(\dfrac{3p}{2} = 6 \implies p = 4\)
\(\log_3 x = 4 \implies x = 3^4 = 81\)
Cek: \(81 > 0\) ✓
HP = {81}
Soal 13. Selesaikan \(\log_2(x-1) + \log_4(x-1) = 3\)
Pembahasan:
\(\log_4(x-1) = \dfrac{\log_2(x-1)}{\log_2 4} = \dfrac{\log_2(x-1)}{2}\)
Misalkan \(p = \log_2(x-1)\): \(p + \dfrac{p}{2} = 3 \implies \dfrac{3p}{2} = 3 \implies p = 2\)
\(\log_2(x-1) = 2 \implies x – 1 = 4 \implies x = 5\)
Cek: \(x – 1 = 4 > 0\) ✓
HP = {5}
Soal 14. Selesaikan \((\log x)^2 = \log x^3 + 4\) (basis 10)
Pembahasan:
\(\log x^3 = 3\log x\). Misalkan \(p = \log x\):
\(p^2 = 3p + 4\)
\(p^2 – 3p – 4 = 0 \implies (p-4)(p+1) = 0\)
\(p = 4 \implies x = 10^4 = 10000\)
\(p = -1 \implies x = 10^{-1} = 0{,}1\)
Cek: \(10000 > 0\) ✓ dan \(0{,}1 > 0\) ✓
HP = {0,1 ; 10000}
Soal 15. Selesaikan \(\log_2(x+1) + \log_2(x-1) = \log_2(x+7) + 1\)
Pembahasan:
Ruas kiri: \(\log_2[(x+1)(x-1)] = \log_2(x^2-1)\)
Ruas kanan: \(\log_2(x+7) + \log_2 2 = \log_2[2(x+7)]\)
Samakan argumen: \(x^2 – 1 = 2(x+7) = 2x + 14\)
\(x^2 – 2x – 15 = 0 \implies (x-5)(x+3) = 0\)
\(x = 5\) atau \(x = -3\)
Cek \(x = -3\): \(x-1 = -4 < 0\) ✗
Cek \(x = 5\): \(6>0, 4>0, 12>0\) ✓
Verifikasi: \(\log_2 6 + \log_2 4 = \log_2 24\) dan \(\log_2 12 + 1 = \log_2 12 + \log_2 2 = \log_2 24\) ✓
HP = {5}
6. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Periksa selalu syarat argumen dan basis logaritma!
MUDAH
- Selesaikan \(\log_7(x+2) = \log_7 10\)
- Selesaikan \(\log_3(4x) = \log_3 20\)
- Selesaikan \(\log_5(x-4) = 1\)
- Selesaikan \(\log_2(2x+1) = \log_2(x+5)\)
- Selesaikan \(\log(x) = 2\) (basis 10)
SEDANG
- Selesaikan \(\log_3 x + \log_3(x-8) = 2\)
- Selesaikan \(\log_5(x+4) – \log_5(x-2) = 1\)
- Selesaikan \(2\log_2 x = \log_2(5x – 4)\)
- Selesaikan \(\log_6(x^2 – x) = \log_6(2x + 4)\)
- Selesaikan \(\log_2(x+1) + \log_2(x+3) = 3\)
SULIT
- Selesaikan \((\log_3 x)^2 – 5\log_3 x + 6 = 0\)
- Selesaikan \(\log_2 x + \log_8 x = 8\)
- Selesaikan \((\log x)^2 + \log x^2 – 3 = 0\) (basis 10)
- Selesaikan \(\log_3(2x+1) + \log_9(2x+1) = 3\)
- Selesaikan \(\log_2(x+3) + \log_2(x-1) = \log_2(3x) + 1\)