Bentuk Dasar Persamaan Logaritma dengan Bentuk Eksponensial
Materi Matematika
📘 Materi: Hubungan Logaritma dan Bentuk Eksponensial
🔍 Kegiatan 1: Mengamati
Perhatikan hubungan berikut ini:
Definisi Dasar
Jika \( a^b = c \), maka bentuk logaritmanya adalah:
\[ ^a\!\log c = b \]
dengan syarat: \( a > 0,\; a \neq 1,\; c > 0 \)
Contoh pengamatan:
- \( 2^3 = 8 \) ⟺ \( ^2\!\log 8 = 3 \)
- \( 5^2 = 25 \) ⟺ \( ^5\!\log 25 = 2 \)
- \( 10^4 = 10000 \) ⟺ \( ^{10}\!\log 10000 = 4 \)
- \( 3^{-2} = \frac{1}{9} \) ⟺ \( ^3\!\log \frac{1}{9} = -2 \)
❓ Kegiatan 2: Menanya
Setelah mengamati hubungan di atas, muncul pertanyaan:
- Bagaimana cara mengubah persamaan logaritma menjadi bentuk eksponensial?
- Bagaimana cara mengubah bentuk eksponensial menjadi persamaan logaritma?
- Bagaimana menyelesaikan persamaan logaritma menggunakan sifat eksponensial?
💡 Kegiatan 3: Menalar
Dari definisi logaritma, kita dapat membangun hubungan bolak-balik:
Konversi Logaritma ⟺ Eksponensial
\[ ^a\!\log c = b \quad \Longleftrightarrow \quad a^b = c \]
Prinsip Penyelesaian Persamaan Logaritma:
Bentuk 1: Jika \( ^a\!\log f(x) = n \)
Maka: \( f(x) = a^n \)
Syarat: \( f(x) > 0 \)
Bentuk 2: Jika \( ^a\!\log f(x) = {^a\!\log}\; g(x) \)
Maka: \( f(x) = g(x) \)
Syarat: \( f(x) > 0 \) dan \( g(x) > 0 \)
Bentuk 3: Jika \( ^{f(x)}\!\log g(x) = n \)
Maka: \( g(x) = [f(x)]^n \)
Syarat: \( f(x) > 0,\; f(x) \neq 1,\; g(x) > 0 \)
Langkah-langkah penyelesaian:
- Identifikasi bentuk persamaan logaritma (Bentuk 1, 2, atau 3)
- Ubah ke bentuk eksponensial yang setara
- Selesaikan persamaan aljabar yang dihasilkan
- Periksa syarat (numerus > 0, basis > 0 dan ≠ 1)
✏️ Kegiatan 4: Mencoba
Cobalah mengubah bentuk-bentuk berikut:
| Bentuk Logaritma | Bentuk Eksponensial |
|---|---|
| \( ^2\!\log 16 = 4 \) | \( 2^4 = 16 \) ✓ |
| \( ^3\!\log 81 = \;?\) | \( 3^? = 81 \) → ? = 4 |
| \( ^5\!\log x = 3 \) | \( 5^3 = x \) → x = 125 |
| \( ^4\!\log \frac{1}{64} = \;? \) | \( 4^? = \frac{1}{64} \) → ? = −3 |
🗣️ Kegiatan 5: Mengkomunikasikan
Kesimpulan:
- Persamaan logaritma \( ^a\!\log c = b \) dan bentuk eksponensial \( a^b = c \) adalah dua cara berbeda untuk menyatakan hubungan yang sama.
- Mengubah logaritma ke eksponensial sangat berguna untuk menyelesaikan persamaan logaritma.
- Selalu periksa syarat: basis > 0 dan ≠ 1, serta numerus > 0.
📝 Contoh Soal & Pembahasan
MUDAH
1. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^2\!\log x = 5 \)
Lihat Pembahasan
Ubah ke bentuk eksponensial:
\( ^2\!\log x = 5 \Rightarrow x = 2^5 = 32 \)
Jadi, \( x = 32 \)
2. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^3\!\log x = 4 \)
Lihat Pembahasan
Ubah ke eksponensial:
\( x = 3^4 = 81 \)
Jadi, \( x = 81 \)
3. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^{10}\!\log x = 3 \)
Lihat Pembahasan
\( x = 10^3 = 1000 \)
Jadi, \( x = 1000 \)
4. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^5\!\log x = 2 \)
Lihat Pembahasan
\( x = 5^2 = 25 \)
Jadi, \( x = 25 \)
5. Ubah \( ^4\!\log 64 = 3 \) ke bentuk eksponensial dan verifikasi.
Lihat Pembahasan
Bentuk eksponensial: \( 4^3 = 64 \)
Verifikasi: \( 4 \times 4 \times 4 = 64 \) ✓
Terbukti benar.
SEDANG
1. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^2\!\log (3x – 1) = 4 \)
Lihat Pembahasan
Ubah ke eksponensial: \( 3x – 1 = 2^4 = 16 \)
\( 3x = 17 \Rightarrow x = \frac{17}{3} \)
Cek syarat: \( 3(\frac{17}{3}) – 1 = 16 > 0 \) ✓
Jadi, \( x = \frac{17}{3} \)
2. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^3\!\log (x^2 – 1) = 2 \)
Lihat Pembahasan
\( x^2 – 1 = 3^2 = 9 \)
\( x^2 = 10 \Rightarrow x = \pm\sqrt{10} \)
Cek syarat: \( x^2 – 1 > 0 \Rightarrow x^2 > 1 \). Karena \( 10 > 1 \), kedua nilai memenuhi.
Jadi, \( x = \sqrt{10} \) atau \( x = -\sqrt{10} \)
3. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^2\!\log (x+3) = {^2\!\log}\;(2x-1) \)
Lihat Pembahasan
Karena basis sama: \( x + 3 = 2x – 1 \)
\( 3 + 1 = 2x – x \Rightarrow x = 4 \)
Cek syarat: \( x + 3 = 7 > 0 \) ✓ dan \( 2x – 1 = 7 > 0 \) ✓
Jadi, \( x = 4 \)
4. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^5\!\log (2x + 3) = 2 \)
Lihat Pembahasan
\( 2x + 3 = 5^2 = 25 \)
\( 2x = 22 \Rightarrow x = 11 \)
Cek: \( 2(11) + 3 = 25 > 0 \) ✓
Jadi, \( x = 11 \)
5. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^{(x-1)}\!\log 27 = 3 \)
Lihat Pembahasan
Ubah ke eksponensial: \( (x-1)^3 = 27 \)
\( x – 1 = \sqrt[3]{27} = 3 \)
\( x = 4 \)
Cek syarat basis: \( x – 1 = 3 > 0 \) dan \( x – 1 \neq 1 \Rightarrow 3 \neq 1 \) ✓
Jadi, \( x = 4 \)
SULIT
1. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^2\!\log (x^2 – 3x + 2) = 3 \)
Lihat Pembahasan
\( x^2 – 3x + 2 = 2^3 = 8 \)
\( x^2 – 3x – 6 = 0 \)
Gunakan rumus kuadrat: \( x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2} \)
Cek syarat \( x^2 – 3x + 2 > 0 \):
\( x^2 – 3x + 2 = (x-1)(x-2) > 0 \) → \( x < 1 \) atau \( x > 2 \)
\( x_1 = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \approx 4.37 > 2 \) ✓
\( x_2 = \frac{3 – \sqrt{33}}{2} \approx -1.37 < 1 \) ✓
Jadi, \( x = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \) atau \( x = \frac{3 – \sqrt{33}}{2} \)
2. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^3\!\log (x+5) + {^3\!\log}\;(x-1) = 3 \)
Lihat Pembahasan
Gunakan sifat: \( ^3\!\log [(x+5)(x-1)] = 3 \)
\( (x+5)(x-1) = 3^3 = 27 \)
\( x^2 + 4x – 5 = 27 \)
\( x^2 + 4x – 32 = 0 \)
\( (x+8)(x-4) = 0 \Rightarrow x = -8 \) atau \( x = 4 \)
Cek syarat: \( x + 5 > 0 \) dan \( x – 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \)
\( x = -8 \): tidak memenuhi (−8 < 1)
\( x = 4 \): memenuhi ✓
Jadi, \( x = 4 \)
3. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^{(x+1)}\!\log (2x^2 + 5x – 3) = 2 \)
Lihat Pembahasan
Ubah ke eksponensial: \( 2x^2 + 5x – 3 = (x+1)^2 \)
\( 2x^2 + 5x – 3 = x^2 + 2x + 1 \)
\( x^2 + 3x – 4 = 0 \)
\( (x+4)(x-1) = 0 \Rightarrow x = -4 \) atau \( x = 1 \)
Cek syarat basis: \( x + 1 > 0 \) dan \( x + 1 \neq 1 \Rightarrow x > -1 \) dan \( x \neq 0 \)
Cek numerus: \( 2x^2 + 5x – 3 > 0 \)
\( x = -4 \): basis = −3 < 0 ✗
\( x = 1 \): basis = 2 > 0, ≠ 1 ✓; numerus = 2+5−3 = 4 > 0 ✓
Jadi, \( x = 1 \)
4. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^2\!\log (x-1) – {^2\!\log}\;(x-3) = 3 \)
Lihat Pembahasan
Gunakan sifat: \( ^2\!\log \frac{x-1}{x-3} = 3 \)
\( \frac{x-1}{x-3} = 2^3 = 8 \)
\( x – 1 = 8(x-3) = 8x – 24 \)
\( -1 + 24 = 8x – x \Rightarrow 23 = 7x \Rightarrow x = \frac{23}{7} \)
Cek: \( x – 1 = \frac{16}{7} > 0 \) ✓ dan \( x – 3 = \frac{2}{7} > 0 \) ✓
Jadi, \( x = \frac{23}{7} \)
5. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^4\!\log (x^2 – 4x) = {^4\!\log}\;(2x – 8) + 1 \)
Lihat Pembahasan
\( ^4\!\log (x^2 – 4x) – {^4\!\log}\;(2x-8) = 1 \)
\( ^4\!\log \frac{x^2 – 4x}{2x – 8} = 1 \)
\( \frac{x^2 – 4x}{2x – 8} = 4^1 = 4 \)
\( \frac{x(x-4)}{2(x-4)} = 4 \) (untuk \( x \neq 4 \))
\( \frac{x}{2} = 4 \Rightarrow x = 8 \)
Cek: \( x^2 – 4x = 64 – 32 = 32 > 0 \) ✓ dan \( 2x – 8 = 8 > 0 \) ✓
Jadi, \( x = 8 \)
🎯 Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
MUDAH
1. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^2\!\log x = 6 \)
2. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^7\!\log x = 2 \)
3. Ubah \( ^6\!\log 216 = 3 \) ke bentuk eksponensial
4. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^4\!\log x = 3 \)
5. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^9\!\log x = \frac{1}{2} \)
SEDANG
1. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^3\!\log (4x – 7) = 3 \)
2. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^2\!\log (x+1) = {^2\!\log}\;(3x – 5) \)
3. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^{(x+2)}\!\log 16 = 2 \)
4. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^5\!\log (x^2 + x) = 2 \)
5. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^2\!\log (2x-1) + {^2\!\log}\;3 = 4 \)
SULIT
1. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^2\!\log (x+2) + {^2\!\log}\;(x-2) = 5 \)
2. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^{(2x-1)}\!\log (x^2 + 3x – 4) = 1 \)
3. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^3\!\log (x-2) – {^3\!\log}\;(x+1) = 2 \)
4. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^2\!\log (x^2 – 5x + 6) = {^2\!\log}\;(x-2) + 2 \)
5. Tentukan nilai \( x \) jika \( ^{(x-2)}\!\log (3x^2 – 5x – 2) = 2 \)
📚 Materi Persamaan Logaritma — Bentuk Eksponensial