Menyelesaikan Persamaan Logaritma
Bentuk: \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\)
📘 MATERI
🔍 Kegiatan 1: Mengamati
Perhatikan persamaan-persamaan berikut:
- \(\log_2 (x+1) = \log_2 (3x-5)\)
- \(\log_3 (2x) = \log_3 (x+4)\)
- \(\log_5 (x^2) = \log_5 (4x+5)\)
Perhatikan bahwa ketiga persamaan di atas memiliki kesamaan: basis logaritma di ruas kiri sama dengan basis logaritma di ruas kanan.
Jika basis kedua logaritma sama, maka kita dapat menyamakan argumen (numerus) dari kedua logaritma tersebut.
❓ Kegiatan 2: Menanya
Pertanyaan yang muncul:
- Bagaimana cara menyelesaikan persamaan logaritma yang memiliki basis sama?
- Syarat apa saja yang harus dipenuhi agar penyelesaian valid?
- Mengapa kita perlu memeriksa syarat numerus?
💡 Kegiatan 3: Menalar
Prinsip Dasar
Jika \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\), dengan \(a > 0\) dan \(a \neq 1\), maka:
Dengan syarat yang HARUS dipenuhi:
- Syarat basis: \(a > 0\) dan \(a \neq 1\)
- Syarat numerus (argumen): \(f(x) > 0\) dan \(g(x) > 0\)
⚠️ PENTING!
Setelah mendapatkan nilai \(x\), kita WAJIB memeriksa apakah nilai \(x\) tersebut memenuhi syarat numerus. Jika tidak memenuhi, maka nilai \(x\) tersebut bukan penyelesaian (ditolak).
Langkah-langkah Penyelesaian:
- Pastikan basis logaritma di kedua ruas sama.
- Samakan argumen (numerus): \(f(x) = g(x)\).
- Selesaikan persamaan \(f(x) = g(x)\) untuk mendapatkan nilai \(x\).
- Periksa syarat numerus: substitusikan nilai \(x\) ke \(f(x)\) dan \(g(x)\), pastikan keduanya bernilai positif.
- Tuliskan himpunan penyelesaian.
Mengapa Syarat Numerus Penting?
Logaritma hanya terdefinisi untuk argumen (numerus) yang bernilai positif. Artinya:
- \(\log_a x\) terdefinisi hanya jika \(x > 0\)
- Jika \(f(x) \leq 0\) atau \(g(x) \leq 0\), maka logaritma tidak terdefinisi
Oleh karena itu, setiap solusi yang menghasilkan numerus ≤ 0 harus ditolak.
✏️ Kegiatan 4: Mencoba
Mari kita coba selesaikan satu contoh bersama:
Selesaikan: \(\log_2 (x+3) = \log_2 (2x+1)\)
Langkah 1: Basis sama (basis 2), maka samakan numerus:
\(x + 3 = 2x + 1\)
Langkah 2: Selesaikan:
\(x + 3 = 2x + 1\)
\(3 – 1 = 2x – x\)
\(2 = x\)
\(x = 2\)
Langkah 3: Periksa syarat numerus:
\(f(x) = x + 3 = 2 + 3 = 5 > 0\) ✓
\(g(x) = 2x + 1 = 2(2) + 1 = 5 > 0\) ✓
Kesimpulan: HP = {2}
📢 Kegiatan 5: Mengkomunikasikan
Kesimpulan yang dapat dikomunikasikan:
Untuk menyelesaikan persamaan logaritma bentuk \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\):
- Samakan numerus: \(f(x) = g(x)\)
- Selesaikan persamaan yang diperoleh
- Periksa syarat: \(f(x) > 0\) dan \(g(x) > 0\)
- Tulis himpunan penyelesaian dari nilai \(x\) yang memenuhi semua syarat
📗 CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
🟢 Tingkat Mudah
Contoh 1:
Tentukan penyelesaian dari \(\log_3 (x+2) = \log_3 (7)\)
Lihat Pembahasan
Basis sama (basis 3), samakan numerus:
\(x + 2 = 7\)
\(x = 5\)
Periksa syarat numerus:
\(f(x) = x + 2 = 5 + 2 = 7 > 0\) ✓
HP = {5}
Contoh 2:
Tentukan penyelesaian dari \(\log_5 (2x) = \log_5 (10)\)
Lihat Pembahasan
Basis sama (basis 5), samakan numerus:
\(2x = 10\)
\(x = 5\)
Periksa syarat numerus:
\(f(x) = 2x = 2(5) = 10 > 0\) ✓
HP = {5}
Contoh 3:
Tentukan penyelesaian dari \(\log_2 (3x-1) = \log_2 (x+5)\)
Lihat Pembahasan
Basis sama (basis 2), samakan numerus:
\(3x – 1 = x + 5\)
\(3x – x = 5 + 1\)
\(2x = 6\)
\(x = 3\)
Periksa syarat numerus:
\(f(x) = 3(3) – 1 = 8 > 0\) ✓
\(g(x) = 3 + 5 = 8 > 0\) ✓
HP = {3}
Contoh 4:
Tentukan penyelesaian dari \(\log_4 (x-1) = \log_4 (3)\)
Lihat Pembahasan
Basis sama (basis 4), samakan numerus:
\(x – 1 = 3\)
\(x = 4\)
Periksa syarat numerus:
\(f(x) = 4 – 1 = 3 > 0\) ✓
HP = {4}
Contoh 5:
Tentukan penyelesaian dari \(\log_7 (4x+1) = \log_7 (2x+9)\)
Lihat Pembahasan
Basis sama (basis 7), samakan numerus:
\(4x + 1 = 2x + 9\)
\(4x – 2x = 9 – 1\)
\(2x = 8\)
\(x = 4\)
Periksa syarat numerus:
\(f(x) = 4(4) + 1 = 17 > 0\) ✓
\(g(x) = 2(4) + 9 = 17 > 0\) ✓
HP = {4}
🟡 Tingkat Sedang
Contoh 6:
Tentukan penyelesaian dari \(\log_2 (x^2 – 3) = \log_2 (2x)\)
Lihat Pembahasan
Samakan numerus:
\(x^2 – 3 = 2x\)
\(x^2 – 2x – 3 = 0\)
\((x-3)(x+1) = 0\)
\(x = 3\) atau \(x = -1\)
Periksa syarat numerus:
Untuk \(x = 3\):
\(f(3) = 9 – 3 = 6 > 0\) ✓
\(g(3) = 2(3) = 6 > 0\) ✓
Untuk \(x = -1\):
\(f(-1) = 1 – 3 = -2 < 0\) ✗ (ditolak)
HP = {3}
Contoh 7:
Tentukan penyelesaian dari \(\log_3 (x^2 + x) = \log_3 (x + 9)\)
Lihat Pembahasan
Samakan numerus:
\(x^2 + x = x + 9\)
\(x^2 = 9\)
\(x = 3\) atau \(x = -3\)
Periksa syarat numerus:
Untuk \(x = 3\):
\(f(3) = 9 + 3 = 12 > 0\) ✓
\(g(3) = 3 + 9 = 12 > 0\) ✓
Untuk \(x = -3\):
\(f(-3) = 9 + (-3) = 6 > 0\) ✓
\(g(-3) = -3 + 9 = 6 > 0\) ✓
HP = {-3, 3}
Contoh 8:
Tentukan penyelesaian dari \(\log_5 (x^2 – 4x) = \log_5 (x – 6)\)
Lihat Pembahasan
Samakan numerus:
\(x^2 – 4x = x – 6\)
\(x^2 – 5x + 6 = 0\)
\((x-2)(x-3) = 0\)
\(x = 2\) atau \(x = 3\)
Periksa syarat numerus:
Untuk \(x = 2\):
\(f(2) = 4 – 8 = -4 < 0\) ✗ (ditolak)
Untuk \(x = 3\):
\(f(3) = 9 – 12 = -3 < 0\) ✗ (ditolak)
HP = { } (himpunan kosong)
Contoh 9:
Tentukan penyelesaian dari \(\log_2 (x^2 – 5x + 10) = \log_2 (x + 1)\)
Lihat Pembahasan
Samakan numerus:
\(x^2 – 5x + 10 = x + 1\)
\(x^2 – 6x + 9 = 0\)
\((x-3)^2 = 0\)
\(x = 3\)
Periksa syarat numerus:
\(f(3) = 9 – 15 + 10 = 4 > 0\) ✓
\(g(3) = 3 + 1 = 4 > 0\) ✓
HP = {3}
Contoh 10:
Tentukan penyelesaian dari \(\log_4 (2x^2 + x – 1) = \log_4 (x^2 + 3x + 2)\)
Lihat Pembahasan
Samakan numerus:
\(2x^2 + x – 1 = x^2 + 3x + 2\)
\(x^2 – 2x – 3 = 0\)
\((x-3)(x+1) = 0\)
\(x = 3\) atau \(x = -1\)
Periksa syarat numerus:
Untuk \(x = 3\):
\(f(3) = 18 + 3 – 1 = 20 > 0\) ✓
\(g(3) = 9 + 9 + 2 = 20 > 0\) ✓
Untuk \(x = -1\):
\(f(-1) = 2 – 1 – 1 = 0\) ✗ (numerus = 0, ditolak)
HP = {3}
🔴 Tingkat Sulit
Contoh 11:
Tentukan penyelesaian dari \(\log_2 (x^2 + 2x – 8) = \log_2 (6x – 12)\)
Lihat Pembahasan
Samakan numerus:
\(x^2 + 2x – 8 = 6x – 12\)
\(x^2 – 4x + 4 = 0\)
\((x-2)^2 = 0\)
\(x = 2\)
Periksa syarat numerus:
\(f(2) = 4 + 4 – 8 = 0\) ✗ (numerus = 0, ditolak)
HP = { } (himpunan kosong)
Contoh 12:
Tentukan penyelesaian dari \(\log_3 (x^2 – 2x) = \log_3 (8 – x)\)
Lihat Pembahasan
Samakan numerus:
\(x^2 – 2x = 8 – x\)
\(x^2 – x – 8 = 0\) (tidak bisa difaktorkan bulat)
Gunakan rumus kuadrat:
\(x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{33}}{2}\)
\(x_1 = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \approx 3{,}37\)
\(x_2 = \dfrac{1 – \sqrt{33}}{2} \approx -2{,}37\)
Periksa syarat numerus:
Untuk \(x_1 \approx 3{,}37\):
\(f(x_1) = (3{,}37)^2 – 2(3{,}37) \approx 4{,}63 > 0\) ✓
\(g(x_1) = 8 – 3{,}37 \approx 4{,}63 > 0\) ✓
Untuk \(x_2 \approx -2{,}37\):
\(f(x_2) = (-2{,}37)^2 – 2(-2{,}37) \approx 10{,}36 > 0\) ✓
\(g(x_2) = 8 – (-2{,}37) \approx 10{,}37 > 0\) ✓
HP = \(\left\{\dfrac{1 – \sqrt{33}}{2},\ \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2}\right\}\)
Contoh 13:
Tentukan penyelesaian dari \(\log_2 (x^2 – 3x + 2) = \log_2 (x^2 – 5x + 8)\)
Lihat Pembahasan
Samakan numerus:
\(x^2 – 3x + 2 = x^2 – 5x + 8\)
\(-3x + 2 = -5x + 8\)
\(2x = 6\)
\(x = 3\)
Periksa syarat numerus:
\(f(3) = 9 – 9 + 2 = 2 > 0\) ✓
\(g(3) = 9 – 15 + 8 = 2 > 0\) ✓
HP = {3}
Contoh 14:
Tentukan penyelesaian dari \(\log_5 (x^3 – 4x) = \log_5 (x^2 + 2x)\)
Lihat Pembahasan
Samakan numerus:
\(x^3 – 4x = x^2 + 2x\)
\(x^3 – x^2 – 6x = 0\)
\(x(x^2 – x – 6) = 0\)
\(x(x-3)(x+2) = 0\)
\(x = 0\), \(x = 3\), atau \(x = -2\)
Periksa syarat numerus:
Untuk \(x = 0\):
\(f(0) = 0 – 0 = 0\) ✗ (ditolak)
Untuk \(x = 3\):
\(f(3) = 27 – 12 = 15 > 0\) ✓
\(g(3) = 9 + 6 = 15 > 0\) ✓
Untuk \(x = -2\):
\(f(-2) = -8 + 8 = 0\) ✗ (ditolak)
HP = {3}
Contoh 15:
Tentukan penyelesaian dari \(\log_2 (x^2 – x – 2) = \log_2 (2x^2 – 7x + 2)\)
Lihat Pembahasan
Samakan numerus:
\(x^2 – x – 2 = 2x^2 – 7x + 2\)
\(0 = x^2 – 6x + 4\)
Rumus kuadrat:
\(x = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 – 16}}{2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \dfrac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}\)
\(x_1 = 3 + \sqrt{5} \approx 5{,}24\)
\(x_2 = 3 – \sqrt{5} \approx 0{,}76\)
Periksa syarat numerus:
Untuk \(x_1 = 3 + \sqrt{5} \approx 5{,}24\):
\(f(x_1) = (5{,}24)^2 – 5{,}24 – 2 \approx 20{,}22 > 0\) ✓
\(g(x_1) = 2(5{,}24)^2 – 7(5{,}24) + 2 \approx 20{,}22 > 0\) ✓
Untuk \(x_2 = 3 – \sqrt{5} \approx 0{,}76\):
\(f(x_2) = (0{,}76)^2 – 0{,}76 – 2 \approx -2{,}18 < 0\) ✗ (ditolak)
HP = \(\{3 + \sqrt{5}\}\)
📙 LATIHAN SOAL
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Periksa selalu syarat numerus!
🟢 Tingkat Mudah
1. Tentukan penyelesaian dari \(\log_2 (x+4) = \log_2 (9)\)
2. Tentukan penyelesaian dari \(\log_3 (5x) = \log_3 (15)\)
3. Tentukan penyelesaian dari \(\log_4 (2x+3) = \log_4 (x+7)\)
4. Tentukan penyelesaian dari \(\log_6 (x-2) = \log_6 (4)\)
5. Tentukan penyelesaian dari \(\log_2 (3x+2) = \log_2 (x+10)\)
🟡 Tingkat Sedang
6. Tentukan penyelesaian dari \(\log_3 (x^2 – 5) = \log_3 (4x)\)
7. Tentukan penyelesaian dari \(\log_2 (x^2 + 2x) = \log_2 (3x + 6)\)
8. Tentukan penyelesaian dari \(\log_5 (x^2 – x – 2) = \log_5 (4x – 8)\)
9. Tentukan penyelesaian dari \(\log_4 (2x^2 – 3x) = \log_4 (x + 6)\)
10. Tentukan penyelesaian dari \(\log_2 (x^2 + x – 6) = \log_2 (2x + 2)\)
🔴 Tingkat Sulit
11. Tentukan penyelesaian dari \(\log_3 (x^3 – 3x^2 + 2x) = \log_3 (6x – 12)\)
12. Tentukan penyelesaian dari \(\log_2 (x^2 – 4x + 3) = \log_2 (x^2 – 6x + 11)\)
13. Tentukan penyelesaian dari \(\log_5 (2x^2 – x – 6) = \log_5 (x^2 + 2x – 3)\)
14. Tentukan penyelesaian dari \(\log_2 (x^2 + 3x – 10) = \log_2 (3x^2 – 7x + 2)\)
15. Tentukan penyelesaian dari \(\log_3 (x^3 – x) = \log_3 (x^2 + 5x)\)