Menyelesaikan Persamaan Logaritma
Bentuk: \(\log_a f(x) = \log_b f(x)\)
📘 Materi
Mengamati
Perhatikan persamaan berikut:
\[\log_2 (x-1) = \log_3 (x-1)\]
Kedua ruas memiliki numerus (argumen) yang sama yaitu \(f(x) = x – 1\), tetapi basis berbeda (2 dan 3). Kapan kedua ruas bisa bernilai sama?
Menanya
Bagaimana cara menyelesaikan persamaan logaritma yang memiliki basis berbeda tetapi numerus (argumen) sama?
Menalar
Konsep Kunci:
Diberikan persamaan:
\[\log_a f(x) = \log_b f(x)\]
dengan \(a \neq b\), \(a > 0\), \(b > 0\), \(a \neq 1\), \(b \neq 1\).
Analisis:
Misalkan \(\log_a f(x) = \log_b f(x) = k\), maka:
- \(f(x) = a^k\)
- \(f(x) = b^k\)
Sehingga \(a^k = b^k\).
Karena \(a \neq b\) dan keduanya positif serta bukan 1, maka satu-satunya nilai \(k\) yang memenuhi adalah:
\[k = 0\]
Jika \(k = 0\), maka:
\[\log_a f(x) = 0 \implies f(x) = a^0 = 1\]
⚡ Kesimpulan (Rumus Cepat):
\[\log_a f(x) = \log_b f(x) \quad \text{dengan } a \neq b\]
\[\Longrightarrow f(x) = 1\]
Syarat yang harus dipenuhi:
- \(a > 0,\; a \neq 1\)
- \(b > 0,\; b \neq 1\)
- \(a \neq b\)
- \(f(x) > 0\) (syarat numerus)
- Nilai \(x\) yang diperoleh dari \(f(x) = 1\) harus memenuhi semua syarat di atas
Mencoba
Mari coba terapkan rumus pada persamaan \(\log_2 (x-1) = \log_3 (x-1)\):
- Basis: \(a=2\), \(b=3\), keduanya positif, bukan 1, dan \(a \neq b\) ✓
- Maka: \(f(x) = 1 \implies x – 1 = 1 \implies x = 2\)
- Cek syarat numerus: \(f(2) = 2 – 1 = 1 > 0\) ✓
- Verifikasi: \(\log_2 1 = 0\) dan \(\log_3 1 = 0\). Benar! ✓
Mengkomunikasikan
Untuk menyelesaikan \(\log_a f(x) = \log_b f(x)\) dengan \(a \neq b\):
- Pastikan basis berbeda (\(a \neq b\)), keduanya positif dan bukan 1.
- Langsung selesaikan \(f(x) = 1\).
- Periksa apakah nilai \(x\) memenuhi syarat numerus \(f(x) > 0\).
- Tuliskan himpunan penyelesaian.
📝 Contoh Soal
Mudah
1. Selesaikan: \(\log_2 (x+3) = \log_5 (x+3)\)
▶ Lihat Pembahasan
Basis: \(a=2, b=5\), \(a \neq b\) ✓
\(f(x) = x + 3\)
Syarat: \(f(x) = 1\)
\(x + 3 = 1\)
\(x = -2\)
Cek: \(f(-2) = -2+3 = 1 > 0\) ✓
HP = {-2}
2. Selesaikan: \(\log_3 (2x-1) = \log_7 (2x-1)\)
▶ Lihat Pembahasan
Basis: \(a=3, b=7\), \(a \neq b\) ✓
\(f(x) = 2x – 1\)
\(2x – 1 = 1\)
\(2x = 2\)
\(x = 1\)
Cek: \(f(1) = 2(1)-1 = 1 > 0\) ✓
HP = {1}
3. Selesaikan: \(\log_4 (x) = \log_9 (x)\)
▶ Lihat Pembahasan
Basis: \(a=4, b=9\), \(a \neq b\) ✓
\(f(x) = x\)
\(x = 1\)
Cek: \(f(1) = 1 > 0\) ✓
HP = {1}
4. Selesaikan: \(\log_5 (3x+2) = \log_2 (3x+2)\)
▶ Lihat Pembahasan
Basis: \(a=5, b=2\), \(a \neq b\) ✓
\(f(x) = 3x + 2\)
\(3x + 2 = 1\)
\(3x = -1\)
\(x = -\dfrac{1}{3}\)
Cek: \(f\!\left(-\frac{1}{3}\right) = 3\!\left(-\frac{1}{3}\right)+2 = -1+2 = 1 > 0\) ✓
HP = {−1/3}
5. Selesaikan: \(\log_6 (x-5) = \log_{10} (x-5)\)
▶ Lihat Pembahasan
Basis: \(a=6, b=10\), \(a \neq b\) ✓
\(f(x) = x – 5\)
\(x – 5 = 1\)
\(x = 6\)
Cek: \(f(6) = 6-5 = 1 > 0\) ✓
HP = {6}
Sedang
1. Selesaikan: \(\log_2 (x^2 – 4) = \log_3 (x^2 – 4)\)
▶ Lihat Pembahasan
Basis berbeda ✓. \(f(x) = x^2 – 4\)
\(x^2 – 4 = 1\)
\(x^2 = 5\)
\(x = \pm\sqrt{5}\)
Cek: \(f(\sqrt{5}) = 5-4 = 1 > 0\) ✓
\(f(-\sqrt{5}) = 5-4 = 1 > 0\) ✓
HP = {−√5, √5}
2. Selesaikan: \(\log_3 (x^2 + 2x) = \log_5 (x^2 + 2x)\)
▶ Lihat Pembahasan
\(f(x) = x^2 + 2x\)
\(x^2 + 2x = 1\)
\(x^2 + 2x – 1 = 0\)
Rumus abc: \(x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}\)
Cek \(x = -1+\sqrt{2}\): \(f(-1+\sqrt{2}) = 1 > 0\) ✓
Cek \(x = -1-\sqrt{2}\): \(f(-1-\sqrt{2}) = 1 > 0\) ✓
HP = {−1−√2, −1+√2}
3. Selesaikan: \(\log_4 \left(\dfrac{x+1}{x-1}\right) = \log_7 \left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)\)
▶ Lihat Pembahasan
\(f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}\)
\(\dfrac{x+1}{x-1} = 1\)
\(x+1 = x-1\)
\(1 = -1\) → Kontradiksi!
Tidak ada nilai \(x\) yang memenuhi.
HP = { } (himpunan kosong)
4. Selesaikan: \(\log_2 (|x| + 1) = \log_6 (|x| + 1)\)
▶ Lihat Pembahasan
\(f(x) = |x| + 1\)
\(|x| + 1 = 1\)
\(|x| = 0\)
\(x = 0\)
Cek: \(f(0) = 0+1 = 1 > 0\) ✓
HP = {0}
5. Selesaikan: \(\log_3 (2^x – 3) = \log_5 (2^x – 3)\)
▶ Lihat Pembahasan
\(f(x) = 2^x – 3\)
\(2^x – 3 = 1\)
\(2^x = 4\)
\(2^x = 2^2\)
\(x = 2\)
Cek: \(f(2) = 4-3 = 1 > 0\) ✓
HP = {2}
Sulit
1. Selesaikan: \(\log_{x+1} (x^2-3x+3) = \log_{x+2} (x^2-3x+3)\)
▶ Lihat Pembahasan
Di sini basis juga mengandung \(x\). Syarat basis: \(x+1>0, x+1\neq1, x+2>0, x+2\neq1, x+1\neq x+2\).
Syarat: \(x>-1, x\neq0, x>-2, x\neq-1\). Gabungan: \(x>-1, x\neq0\).
Karena basis berbeda (\(x+1 \neq x+2\) selalu benar), maka:
\(f(x) = x^2 – 3x + 3 = 1\)
\(x^2 – 3x + 2 = 0\)
\((x-1)(x-2) = 0\)
\(x = 1\) atau \(x = 2\)
Cek \(x=1\): basis = 2 dan 3 ✓, numerus = 1 > 0 ✓
Cek \(x=2\): basis = 3 dan 4 ✓, numerus = 1 > 0 ✓
HP = {1, 2}
2. Selesaikan: \(\log_2 (x^2 – 5x + 7) = \log_3 (x^2 – 5x + 7)\)
▶ Lihat Pembahasan
\(f(x) = x^2 – 5x + 7 = 1\)
\(x^2 – 5x + 6 = 0\)
\((x-2)(x-3) = 0\)
\(x = 2\) atau \(x = 3\)
Cek: \(f(2) = 4-10+7=1>0\) ✓; \(f(3)=9-15+7=1>0\) ✓
HP = {2, 3}
3. Selesaikan: \(\log_2 (3^x + 3^{-x} – 1) = \log_5 (3^x + 3^{-x} – 1)\)
▶ Lihat Pembahasan
\(f(x) = 3^x + 3^{-x} – 1 = 1\)
\(3^x + 3^{-x} = 2\)
Misalkan \(t = 3^x > 0\), maka \(t + \frac{1}{t} = 2\)
\(t^2 + 1 = 2t\)
\(t^2 – 2t + 1 = 0\)
\((t-1)^2 = 0 \implies t = 1\)
\(3^x = 1 = 3^0 \implies x = 0\)
Cek: \(f(0) = 1+1-1 = 1 > 0\) ✓
HP = {0}
4. Selesaikan: \(\log_{x} (x+2) = \log_{x+3} (x+2)\), \(x > 0\)
▶ Lihat Pembahasan
Basis: \(a = x\) dan \(b = x+3\).
Syarat: \(x>0, x\neq1, x+3>0, x+3\neq1\). Dengan \(x>0\): syarat menjadi \(x>0, x\neq1\).
Cek \(a \neq b\): \(x \neq x+3\) selalu benar ✓
\(f(x) = x + 2 = 1 \implies x = -1\)
Cek syarat: \(x = -1\) tidak memenuhi \(x > 0\)!
HP = { } (himpunan kosong)
5. Selesaikan: \(\log_2 (\sin^2\theta + \cos^2\theta + x) = \log_3 (\sin^2\theta + \cos^2\theta + x)\) untuk \(x\).
▶ Lihat Pembahasan
Karena \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\), maka:
\(f(x) = 1 + x\)
\(1 + x = 1\)
\(x = 0\)
Cek: \(f(0) = 1 > 0\) ✓
HP = {0}
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Tentukan himpunan penyelesaian dari masing-masing persamaan.
Mudah
1. \(\log_2 (x+4) = \log_7 (x+4)\)
2. \(\log_5 (3x-2) = \log_3 (3x-2)\)
3. \(\log_4 (x-6) = \log_8 (x-6)\)
4. \(\log_6 (2x+5) = \log_{11} (2x+5)\)
5. \(\log_9 (x) = \log_2 (x)\)
Sedang
1. \(\log_2 (x^2 – 9) = \log_5 (x^2 – 9)\)
2. \(\log_3 (x^2 + 4x + 4) = \log_7 (x^2 + 4x + 4)\)
3. \(\log_2 (5^x – 4) = \log_6 (5^x – 4)\)
4. \(\log_4 \left(\dfrac{2x+1}{x}\right) = \log_9 \left(\dfrac{2x+1}{x}\right)\)
5. \(\log_3 (|2x-1| + 1) = \log_5 (|2x-1| + 1)\)
Sulit
1. \(\log_{x+1} (x^2 + x – 1) = \log_{x+3} (x^2 + x – 1)\)
2. \(\log_2 (2^x + 2^{-x} – 1) = \log_7 (2^x + 2^{-x} – 1)\)
3. \(\log_x (2x-1) = \log_{2x} (2x-1)\), \(x > 0\)
4. \(\log_3 (x^3 – 6x^2 + 12x – 7) = \log_5 (x^3 – 6x^2 + 12x – 7)\)
5. \(\log_{x^2} (x+2) = \log_{x^2+1} (x+2)\), \(x > 0\)