Menyelesaikan Persamaan Logaritma
Bentuk: \(\log_{f(x)} g(x) = \log_{f(x)} h(x)\)
📘 Materi Matematika Kelas X SMA/SMK
📖 Materi: Persamaan Logaritma Bentuk \(\log_{f(x)} g(x) = \log_{f(x)} h(x)\)
🔍 Kegiatan 1: Mengamati
Perhatikan persamaan-persamaan logaritma berikut:
- \(\log_{2} (x+1) = \log_{2} (3x-5)\)
- \(\log_{(x-1)} (x^2) = \log_{(x-1)} (4x)\)
- \(\log_{(x+2)} (2x+3) = \log_{(x+2)} (x+5)\)
Apa kesamaan dari ketiga persamaan di atas?
Jawaban: Ketiga persamaan memiliki basis yang sama di ruas kiri dan ruas kanan.
❓ Kegiatan 2: Menanya
Dari hasil pengamatan, muncul pertanyaan:
- Bagaimana cara menyelesaikan persamaan logaritma jika basisnya sama?
- Apa syarat yang harus dipenuhi agar persamaan logaritma tersebut terdefinisi?
- Bagaimana jika basis logaritma memuat variabel \(x\)?
💡 Kegiatan 3: Menalar
Berdasarkan sifat logaritma, jika:
\(\log_{f(x)} g(x) = \log_{f(x)} h(x)\)
Maka: \(g(x) = h(x)\)
⚠️ Dengan syarat yang HARUS dipenuhi:
- Syarat basis: \(f(x) > 0\) dan \(f(x) \neq 1\)
- Syarat numerus: \(g(x) > 0\)
- Syarat numerus: \(h(x) > 0\)
Langkah-langkah Penyelesaian:
- Langkah 1: Karena basis sama, samakan numerus: \(g(x) = h(x)\). Selesaikan persamaan ini untuk mendapatkan nilai \(x\).
- Langkah 2: Cek syarat basis: \(f(x) > 0\) dan \(f(x) \neq 1\). Substitusi setiap nilai \(x\) yang diperoleh.
- Langkah 3: Cek syarat numerus: \(g(x) > 0\) dan \(h(x) > 0\). Substitusi setiap nilai \(x\) yang diperoleh.
- Langkah 4: Nilai \(x\) yang memenuhi SEMUA syarat adalah penyelesaian (Himpunan Penyelesaian / HP).
✍️ Kegiatan 4: Mencoba
Mari coba selesaikan: \(\log_{3} (2x-1) = \log_{3} (x+4)\)
Penyelesaian:
Basis sama (basis = 3, bukan variabel), maka:
\(2x – 1 = x + 4\)
\(2x – x = 4 + 1\)
\(x = 5\)
Cek syarat:
- Basis: 3 > 0 dan 3 ≠ 1 ✓
- Numerus kiri: \(2(5)-1 = 9 > 0\) ✓
- Numerus kanan: \(5+4 = 9 > 0\) ✓
HP = {5}
📢 Kegiatan 5: Mengkomunikasikan
Kesimpulan yang dapat dikomunikasikan:
Untuk menyelesaikan \(\log_{f(x)} g(x) = \log_{f(x)} h(x)\), kita cukup menyamakan numerusnya \(g(x) = h(x)\), namun wajib memeriksa tiga syarat:
- \(f(x) > 0\) dan \(f(x) \neq 1\) (syarat basis)
- \(g(x) > 0\) (syarat numerus kiri)
- \(h(x) > 0\) (syarat numerus kanan)
⚠️ Jika syarat tidak diperiksa, jawaban bisa salah karena memasukkan nilai yang membuat logaritma tidak terdefinisi!
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Contoh Soal Mudah (Basis Bilangan Tetap)
Tentukan HP dari: \(\log_{5} (3x+2) = \log_{5} (x+10)\)
Langkah 1: Basis sama = 5, samakan numerus:
\(3x + 2 = x + 10\)
\(2x = 8\)
\(x = 4\)
Langkah 2: Cek syarat basis: 5 > 0 dan 5 ≠ 1 ✓
Langkah 3: Cek numerus:
- \(3(4)+2 = 14 > 0\) ✓
- \(4+10 = 14 > 0\) ✓
HP = {4}
Tentukan HP dari: \(\log_{2} (x-3) = \log_{2} (2x-9)\)
Langkah 1: Samakan numerus:
\(x – 3 = 2x – 9\)
\(-x = -6\)
\(x = 6\)
Langkah 2: Cek syarat basis: 2 > 0 dan 2 ≠ 1 ✓
Langkah 3: Cek numerus:
- \(6-3 = 3 > 0\) ✓
- \(2(6)-9 = 3 > 0\) ✓
HP = {6}
Tentukan HP dari: \(\log_{10} (4x) = \log_{10} (x+15)\)
\(4x = x + 15\)
\(3x = 15\)
\(x = 5\)
Cek: Basis 10 > 0, 10 ≠ 1 ✓
Numerus: \(4(5)=20>0\) ✓, \(5+15=20>0\) ✓
HP = {5}
Tentukan HP dari: \(\log_{7} (x^2) = \log_{7} (9)\)
\(x^2 = 9\)
\(x = 3\) atau \(x = -3\)
Cek syarat basis: 7 > 0 dan 7 ≠ 1 ✓
Cek numerus \(x^2 > 0\):
- \(x=3\): \(9>0\) ✓ dan \(9>0\) ✓
- \(x=-3\): \(9>0\) ✓ dan \(9>0\) ✓
HP = {-3, 3}
Tentukan HP dari: \(\log_{3} (5x-1) = \log_{3} (2x+8)\)
\(5x-1 = 2x+8\)
\(3x = 9\)
\(x = 3\)
Cek: Basis 3 > 0, 3 ≠ 1 ✓
Numerus: \(5(3)-1=14>0\) ✓, \(2(3)+8=14>0\) ✓
HP = {3}
🟡 Contoh Soal Sedang (Basis Variabel / Numerus Kuadrat)
Tentukan HP dari: \(\log_{(x-1)} (x+5) = \log_{(x-1)} (3x-1)\)
Langkah 1: Samakan numerus:
\(x+5 = 3x-1\)
\(-2x = -6\)
\(x = 3\)
Langkah 2: Cek syarat basis \(f(x) = x-1\):
- \(x-1 > 0 \Rightarrow x > 1\): untuk \(x=3\): \(3-1=2>0\) ✓
- \(x-1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 2\): \(x=3 \neq 2\) ✓
Langkah 3: Cek numerus:
- \(3+5=8>0\) ✓
- \(3(3)-1=8>0\) ✓
HP = {3}
Tentukan HP dari: \(\log_{(x+2)} (x^2-4) = \log_{(x+2)} (3x+2)\)
Langkah 1: Samakan numerus:
\(x^2 – 4 = 3x + 2\)
\(x^2 – 3x – 6 = 0\)
Gunakan rumus abc: \(x = \frac{3 \pm \sqrt{9+24}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}\)
\(x_1 = \frac{3+\sqrt{33}}{2} \approx 4.37\)
\(x_2 = \frac{3-\sqrt{33}}{2} \approx -1.37\)
Langkah 2: Cek syarat basis \(f(x)=x+2\):
- \(x+2>0 \Rightarrow x>-2\): \(x_1 \approx 4.37 > -2\) ✓, \(x_2 \approx -1.37 > -2\) ✓
- \(x+2 \neq 1 \Rightarrow x \neq -1\): \(x_1 \neq -1\) ✓, \(x_2 \approx -1.37 \neq -1\) ✓
Langkah 3: Cek numerus \(x^2-4>0\) dan \(3x+2>0\):
- \(x_1 \approx 4.37\): \(4.37^2-4 \approx 15.1>0\) ✓, \(3(4.37)+2 \approx 15.1>0\) ✓
- \(x_2 \approx -1.37\): \((-1.37)^2-4 \approx -2.12 < 0\) ✗
HP = \(\left\{\frac{3+\sqrt{33}}{2}\right\}\)
Tentukan HP dari: \(\log_{(2x-1)} (x+3) = \log_{(2x-1)} (4x-5)\)
Langkah 1: Samakan numerus:
\(x+3 = 4x-5\)
\(-3x = -8\)
\(x = \frac{8}{3}\)
Langkah 2: Cek basis \(f(x)=2x-1\):
- \(2(\frac{8}{3})-1 = \frac{16}{3}-1 = \frac{13}{3} > 0\) ✓
- \(\frac{13}{3} \neq 1\) ✓
Langkah 3: Cek numerus:
- \(\frac{8}{3}+3 = \frac{17}{3} > 0\) ✓
- \(4(\frac{8}{3})-5 = \frac{32}{3}-5 = \frac{17}{3} > 0\) ✓
HP = \(\left\{\frac{8}{3}\right\}\)
Tentukan HP dari: \(\log_{4} (x^2+2x) = \log_{4} (x+6)\)
\(x^2+2x = x+6\)
\(x^2+x-6 = 0\)
\((x+3)(x-2) = 0\)
\(x=-3\) atau \(x=2\)
Cek basis: 4 > 0, 4 ≠ 1 ✓
Cek numerus \(x^2+2x > 0\) dan \(x+6 > 0\):
- \(x=-3\): \(9-6=3>0\) ✓, \(-3+6=3>0\) ✓
- \(x=2\): \(4+4=8>0\) ✓, \(2+6=8>0\) ✓
HP = {-3, 2}
Tentukan HP dari: \(\log_{(x)} (2x+3) = \log_{(x)} (x+5)\)
Langkah 1: Samakan numerus:
\(2x+3 = x+5\)
\(x = 2\)
Langkah 2: Cek basis \(f(x)=x\):
- \(x>0\): \(2>0\) ✓
- \(x \neq 1\): \(2 \neq 1\) ✓
Langkah 3: Cek numerus:
- \(2(2)+3=7>0\) ✓
- \(2+5=7>0\) ✓
HP = {2}
🔴 Contoh Soal Sulit (Basis & Numerus Kompleks)
Tentukan HP dari: \(\log_{(x-2)} (x^2-5x+6) = \log_{(x-2)} (x-2)\)
Langkah 1: Samakan numerus:
\(x^2-5x+6 = x-2\)
\(x^2-6x+8 = 0\)
\((x-4)(x-2) = 0\)
\(x=4\) atau \(x=2\)
Langkah 2: Cek basis \(f(x)=x-2\):
- \(x=4\): \(4-2=2>0\) ✓ dan \(2 \neq 1\) ✓
- \(x=2\): \(2-2=0\), tidak memenuhi \(f(x)>0\) ✗
Langkah 3: Cek numerus untuk \(x=4\):
- \(16-20+6=2>0\) ✓
- \(4-2=2>0\) ✓
HP = {4}
Tentukan HP dari: \(\log_{(x^2-1)} (x+3) = \log_{(x^2-1)} (2x+1)\)
Langkah 1: Samakan numerus:
\(x+3 = 2x+1\)
\(x = 2\)
Langkah 2: Cek basis \(f(x)=x^2-1\):
- \(x^2-1>0\): \(4-1=3>0\) ✓
- \(x^2-1 \neq 1 \Rightarrow x^2 \neq 2 \Rightarrow x \neq \pm\sqrt{2}\): \(2 \neq \sqrt{2}\) ✓
Langkah 3: Cek numerus:
- \(2+3=5>0\) ✓
- \(2(2)+1=5>0\) ✓
HP = {2}
Tentukan HP dari: \(\log_{(x+1)} (x^2+3x+2) = \log_{(x+1)} (2x+4)\)
Langkah 1: Samakan numerus:
\(x^2+3x+2 = 2x+4\)
\(x^2+x-2 = 0\)
\((x+2)(x-1) = 0\)
\(x=-2\) atau \(x=1\)
Langkah 2: Cek basis \(f(x)=x+1\):
- \(x=-2\): \(-2+1=-1<0\) ✗ (tidak memenuhi)
- \(x=1\): \(1+1=2>0\) ✓ dan \(2 \neq 1\) ✓
Langkah 3: Cek numerus untuk \(x=1\):
- \(1+3+2=6>0\) ✓
- \(2(1)+4=6>0\) ✓
HP = {1}
Tentukan HP dari: \(\log_{(3x-2)} (x^2+x) = \log_{(3x-2)} (6x-4)\)
Langkah 1: Samakan numerus:
\(x^2+x = 6x-4\)
\(x^2-5x+4 = 0\)
\((x-4)(x-1) = 0\)
\(x=4\) atau \(x=1\)
Langkah 2: Cek basis \(f(x)=3x-2\):
- \(x=4\): \(3(4)-2=10>0\) ✓ dan \(10 \neq 1\) ✓
- \(x=1\): \(3(1)-2=1\), sehingga \(f(x)=1\) ✗ (basis tidak boleh 1)
Langkah 3: Cek numerus untuk \(x=4\):
- \(16+4=20>0\) ✓
- \(6(4)-4=20>0\) ✓
HP = {4}
Tentukan HP dari: \(\log_{(x-3)} (x^2-9) = \log_{(x-3)} (2x+6)\)
Langkah 1: Samakan numerus:
Perhatikan: \(x^2-9 = (x-3)(x+3)\)
\((x-3)(x+3) = 2x+6 = 2(x+3)\)
\((x-3)(x+3) – 2(x+3) = 0\)
\((x+3)(x-3-2) = 0\)
\((x+3)(x-5) = 0\)
\(x=-3\) atau \(x=5\)
Langkah 2: Cek basis \(f(x)=x-3\):
- \(x=-3\): \(-3-3=-6<0\) ✗
- \(x=5\): \(5-3=2>0\) ✓ dan \(2 \neq 1\) ✓
Langkah 3: Cek numerus untuk \(x=5\):
- \(25-9=16>0\) ✓
- \(2(5)+6=16>0\) ✓
HP = {5}
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut. Tentukan Himpunan Penyelesaian (HP) dari masing-masing persamaan!
🟢 Latihan Mudah
1. \(\log_{6} (2x+1) = \log_{6} (x+7)\)
2. \(\log_{4} (3x-2) = \log_{4} (x+10)\)
3. \(\log_{2} (x+8) = \log_{2} (4x-1)\)
4. \(\log_{5} (7x) = \log_{5} (3x+20)\)
5. \(\log_{9} (x^2) = \log_{9} (16)\)
🟡 Latihan Sedang
1. \(\log_{(x+3)} (2x+1) = \log_{(x+3)} (x+4)\)
2. \(\log_{(x)} (x^2+2x) = \log_{(x)} (3x+4)\)
3. \(\log_{3} (x^2-x) = \log_{3} (2x+4)\)
4. \(\log_{(2x+1)} (x+7) = \log_{(2x+1)} (3x+1)\)
5. \(\log_{(x-2)} (5x-6) = \log_{(x-2)} (x^2-2x)\)
🔴 Latihan Sulit
1. \(\log_{(x-4)} (x^2-16) = \log_{(x-4)} (3x-12)\)
2. \(\log_{(2x-3)} (x^2+x-2) = \log_{(2x-3)} (4x-2)\)
3. \(\log_{(x^2-4)} (x+5) = \log_{(x^2-4)} (3x-1)\)
4. \(\log_{(x+1)} (x^2+4x+3) = \log_{(x+1)} (3x+5)\)
5. \(\log_{(4x-3)} (x^2+2x) = \log_{(4x-3)} (8x-6)\)
📌 Ringkasan
\(\log_{f(x)} g(x) = \log_{f(x)} h(x) \implies g(x) = h(x)\)
Dengan syarat wajib:
Syarat 1
\(f(x) > 0\)
Syarat 2
\(f(x) \neq 1\)
Syarat 3
\(g(x) > 0\) dan \(h(x) > 0\)