Fungsi Logaritma – Transformasi Grafik Fungsi Logaritma

Materi Matematika

Pendahuluan

Transformasi grafik fungsi logaritma adalah perubahan bentuk, posisi, atau orientasi grafik fungsi logaritma dasar y = ^alog x menjadi grafik baru melalui operasi translasi, refleksi, dan dilatasi.

Fungsi logaritma dasar yang menjadi acuan:

y = ^alog x dengan a > 0, a ≠ 1, x > 0

Bentuk umum transformasi grafik fungsi logaritma:

y = A · ^alog(B(x − h)) + k

h = pergeseran horizontal (positif ke kanan, negatif ke kiri)
k = pergeseran vertikal (positif ke atas, negatif ke bawah)
A = faktor dilatasi vertikal / refleksi sumbu-x (jika negatif)
B = faktor dilatasi horizontal / refleksi sumbu-y (jika negatif)

1. Translasi (Pergeseran) Vertikal

Mengamati

Perhatikan grafik-grafik berikut:

y = log x (grafik dasar)
y = log x + 2 (grafik naik 2 satuan)
y = log x − 3 (grafik turun 3 satuan)

Grafik translasi vertikal fungsi logaritma

Menanya

Bagaimana pengaruh konstanta k terhadap grafik y = ^alog x + k?

Menalar

Dari pengamatan, kita dapat menyimpulkan:

Translasi Vertikal: y = ^alog x + k

Jika k > 0 → grafik bergeser ke atas sejauh k satuan
Jika k < 0 → grafik bergeser ke bawah sejauh |k| satuan
Asimtot tetap: x = 0
Domain tetap: x > 0
Titik potong sumbu-x berubah

Mencoba

Lengkapi tabel berikut untuk y = log x + 1:

x	0,1	0,5	1	2	5	10
log x	−1	−0,301	0	0,301	0,699	1
log x + 1	0	0,699	1	1,301	1,699	2

Mengkomunikasikan

Kesimpulan: Translasi vertikal y = ^alog x + k menggeser seluruh grafik ke atas (k > 0) atau ke bawah (k < 0) tanpa mengubah bentuk grafik, domain, maupun asimtot vertikal.

Contoh Soal — Translasi Vertikal

Tingkat Mudah

1. Tentukan hasil translasi grafik y = log x yang digeser 4 satuan ke atas.

Pembahasan

Pergeseran ke atas sebesar k = 4:

y = log x + 4

Jawaban: y = log x + 4

2. Tentukan hasil translasi grafik y = ²log x yang digeser 3 satuan ke bawah.

Pembahasan

Pergeseran ke bawah sebesar k = −3:

y = ²log x − 3

Jawaban: y = ²log x − 3

3. Grafik y = ³log x + 5 merupakan translasi grafik y = ³log x sejauh berapa satuan ke arah mana?

Pembahasan

Karena k = +5, grafik bergeser 5 satuan ke atas.

4. Tentukan titik potong sumbu-x dari grafik y = log x − 1.

Pembahasan

Titik potong sumbu-x saat y = 0:

0 = log x − 1

log x = 1

x = 10¹ = 10

Jawaban: (10, 0)

5. Tentukan domain dan asimtot grafik y = ⁵log x + 7.

Pembahasan

Translasi vertikal tidak mengubah domain maupun asimtot.

Domain: x > 0 atau (0, ∞)

Asimtot vertikal: x = 0

Tingkat Sedang

6. Grafik y = ²log x + k melalui titik (8, 5). Tentukan nilai k.

Pembahasan

Substitusi (8, 5):

5 = ²log 8 + k

5 = 3 + k

k = 2

Jawaban: k = 2

7. Tentukan persamaan grafik hasil translasi y = ³log x jika titik (9, 2) dipetakan ke (9, −1).

Pembahasan

Pergeseran vertikal: k = −1 − 2 = −3

y = ³log x − 3

Jawaban: y = ³log x − 3

8. Tentukan titik potong sumbu-x dari y = ²log x − 5.

Pembahasan

0 = ²log x − 5

²log x = 5

x = 2⁵ = 32

Jawaban: (32, 0)

9. Grafik y = log x + k memotong sumbu-x di titik (100, 0). Tentukan k.

Pembahasan

0 = log 100 + k

0 = 2 + k

k = −2

Jawaban: k = −2

10. Tentukan range grafik y = ²log x + 3 untuk 1 ≤ x ≤ 16.

Pembahasan

Saat x = 1: y = ²log 1 + 3 = 0 + 3 = 3

Saat x = 16: y = ²log 16 + 3 = 4 + 3 = 7

Jawaban: 3 ≤ y ≤ 7

Tingkat Sulit

11. Grafik y = ^alog x + k melalui titik (4, 5) dan (16, 7). Tentukan nilai a dan k.

Pembahasan

Dari (4, 5): 5 = ^alog 4 + k … (i)

Dari (16, 7): 7 = ^alog 16 + k … (ii)

(ii) − (i): 2 = ^alog 16 − ^alog 4 = ^alog(16/4) = ^alog 4

Maka a² = 4 → a = 2

Substitusi ke (i): 5 = ²log 4 + k = 2 + k → k = 3

Jawaban: a = 2, k = 3

12. Tentukan nilai x jika grafik y = ³log x + 2 dan y = ³log(9x) berpotongan.

Pembahasan

Persamaan keduanya:

³log x + 2 = ³log(9x)

³log x + 2 = ³log 9 + ³log x

2 = ³log 9 = 2

Persamaan berlaku untuk semua x > 0, artinya kedua grafik identik (berimpit).

Jawaban: Kedua grafik berimpit untuk semua x > 0

13. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = ²log x, y = ²log x + 4, x = 1, dan x = 8.

Pembahasan

Jarak vertikal antara kedua grafik konstan = 4 satuan.

Lebar horizontal = 8 − 1 = 7 satuan.

Luas = 4 × 7 = 28 satuan luas.

Jawaban: 28 satuan luas

14. Grafik y = log x + k menyinggung garis y = x − 1. Tentukan nilai k (gunakan pendekatan numerik).

Pembahasan

Syarat singgung: log x + k = x − 1 dan turunannya sama.

Turunan y = log x + k: y’ = 1/(x ln 10)

Turunan garis: y’ = 1

Maka: 1/(x ln 10) = 1 → x = 1/ln 10 ≈ 0,434

Substitusi: log(0,434) + k = 0,434 − 1

−0,362 + k = −0,566

k ≈ −0,204

Jawaban: k ≈ −0,204

15. Tentukan semua nilai k agar grafik y = ²log x + k tidak memotong grafik y = 4 − x untuk x > 0.

Pembahasan

Syarat tidak memotong: ²log x + k < 4 − x untuk semua x > 0

Maka: k < 4 − x − ²log x untuk semua x > 0

Kita cari minimum dari f(x) = 4 − x − ²log x

f'(x) = −1 − 1/(x ln 2) = 0

x = −1/ln 2 (negatif, tidak valid)

Karena f'(x) < 0 untuk semua x > 0, maka f(x) selalu turun.

Saat x → 0⁺: f(x) → +∞

Saat x → ∞: f(x) → −∞

Tidak ada minimum, sehingga tidak ada nilai k yang memenuhi untuk semua x > 0.

Jawaban: Tidak ada nilai k yang memenuhi (kedua grafik selalu berpotongan)

Latihan Soal — Translasi Vertikal

Tingkat Mudah

Tentukan persamaan grafik hasil translasi y = ²log x yang digeser 6 satuan ke atas.
Tentukan persamaan grafik hasil translasi y = log x yang digeser 2 satuan ke bawah.
Grafik y = ⁵log x − 4 merupakan translasi ke arah mana dan seberapa jauh?
Tentukan titik potong sumbu-x dari y = log x + 3.
Tentukan asimtot dan domain dari y = ³log x + 10.

Tingkat Sedang

Grafik y = ²log x + k melalui titik (32, 8). Tentukan k.
Tentukan range y = ³log x − 2 untuk 1 ≤ x ≤ 81.
Tentukan titik potong grafik y = ²log x + 1 dengan garis y = 4.
Grafik y = log x + k memotong sumbu-x di x = 1000. Tentukan k.
Tentukan persamaan translasi vertikal dari y = ⁴log x jika titik (16, 2) dipetakan ke (16, −5).

Tingkat Sulit

Grafik y = ^alog x + k melalui (8, 6) dan (64, 9). Tentukan a dan k.
Tentukan nilai k agar grafik y = ²log x + k dan y = 6 − x bersinggungan.
Buktikan bahwa y = log x + 2 dan y = log(100x) adalah grafik yang sama.
Tentukan luas daerah antara y = ³log x dan y = ³log x + 3 dari x = 1 sampai x = 27.
Tentukan semua titik pada grafik y = ²log x + 3 yang berjarak sama dari sumbu-x dan sumbu-y.

2. Translasi (Pergeseran) Horizontal

Mengamati

Perhatikan perubahan grafik ketika argumen x diubah:

y = log x (grafik dasar, asimtot x = 0)
y = log(x − 3) (asimtot bergeser ke x = 3)
y = log(x + 2) (asimtot bergeser ke x = −2)

Grafik translasi horizontal fungsi logaritma

Menanya

Apa yang berubah pada grafik ketika argumen x diganti menjadi (x − h)?

Menalar

Translasi Horizontal: y = ^alog(x − h)

Jika h > 0 → grafik bergeser ke kanan sejauh h satuan
Jika h < 0 → grafik bergeser ke kiri sejauh |h| satuan
Asimtot berubah menjadi: x = h
Domain berubah menjadi: x > h
Titik potong sumbu-x: x = h + 1 (karena log 1 = 0)

Mencoba

Lengkapi tabel untuk y = ²log(x − 1):

x	1,5	2	3	5	9	17
x − 1	0,5	1	2	4	8	16
²log(x−1)	−1	0	1	2	3	4

Perhatikan: domain = {x | x > 1}, asimtot: x = 1, titik potong sumbu-x: (2, 0)

Mengkomunikasikan

Kesimpulan: Translasi horizontal y = ^alog(x − h) menggeser grafik dan asimtot ke kanan (h > 0) atau ke kiri (h < 0). Domain ikut berubah.

Contoh Soal — Translasi Horizontal

Tingkat Mudah

1. Tentukan persamaan grafik y = log x setelah digeser 5 satuan ke kanan.

Pembahasan

Geser ke kanan 5 → ganti x dengan (x − 5):

y = log(x − 5)

Jawaban: y = log(x − 5)

2. Tentukan asimtot vertikal dari y = ²log(x + 4).

Pembahasan

Asimtot saat argumen = 0: x + 4 = 0 → x = −4

Jawaban: x = −4

3. Tentukan domain dari y = ³log(x − 7).

Pembahasan

Syarat: x − 7 > 0 → x > 7

Jawaban: {x | x > 7} atau (7, ∞)

4. Tentukan titik potong sumbu-x dari y = log(x + 3).

Pembahasan

0 = log(x + 3)

x + 3 = 10⁰ = 1

x = −2

Jawaban: (−2, 0)

5. Grafik y = ²log(x − 2) merupakan translasi grafik dasar sejauh berapa dan ke arah mana?

Pembahasan

h = 2, positif → geser 2 satuan ke kanan.

Tingkat Sedang

6. Grafik y = ²log(x − h) melalui titik (10, 3). Tentukan h.

Pembahasan

3 = ²log(10 − h)

10 − h = 2³ = 8

h = 2

Jawaban: h = 2

7. Tentukan persamaan grafik y = ³log x setelah digeser 4 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas.

Pembahasan

Geser kiri 4: ganti x dengan (x + 4)

Geser atas 2: tambah 2

y = ³log(x + 4) + 2

Jawaban: y = ³log(x + 4) + 2

8. Tentukan titik potong grafik y = ²log(x − 1) dengan garis y = 5.

Pembahasan

5 = ²log(x − 1)

x − 1 = 2⁵ = 32

x = 33

Jawaban: (33, 5)

9. Grafik y = log(x − h) memotong sumbu-y di titik (0, 2). Tentukan h.

Pembahasan

Substitusi (0, 2): 2 = log(0 − h) = log(−h)

−h = 10² = 100

h = −100

Jawaban: h = −100

10. Tentukan range y = ²log(x − 3) untuk 4 ≤ x ≤ 35.

Pembahasan

Saat x = 4: y = ²log(1) = 0

Saat x = 35: y = ²log(32) = 5

Jawaban: 0 ≤ y ≤ 5

Tingkat Sulit

11. Grafik y = ^alog(x − h) memiliki asimtot x = 2 dan melalui titik (6, 2). Tentukan a dan h.

Pembahasan

Asimtot x = 2 → h = 2

Substitusi (6, 2): 2 = ^alog(6 − 2) = ^alog 4

a² = 4 → a = 2

Jawaban: a = 2, h = 2

12. Tentukan titik potong grafik y = ²log(x − 1) dan y = ²log(3x − 5).

Pembahasan

Samakan: ²log(x − 1) = ²log(3x − 5)

x − 1 = 3x − 5

4 = 2x → x = 2

Cek domain: x − 1 = 1 > 0 ✓, 3x − 5 = 1 > 0 ✓

y = ²log(1) = 0

Jawaban: (2, 0)

13. Tentukan persamaan grafik logaritma yang memiliki asimtot x = −3, melalui (5, 2), dengan basis 2.

Pembahasan

Asimtot x = −3 → h = −3, sehingga y = ²log(x + 3) + k

Substitusi (5, 2): 2 = ²log(8) + k = 3 + k

k = −1

Jawaban: y = ²log(x + 3) − 1

14. Grafik y = ²log(x − h) + k melalui (3, 1) dan (5, 2) dengan asimtot x = 1. Tentukan h dan k.

Pembahasan

Asimtot x = 1 → h = 1

Dari (3, 1): 1 = ²log(2) + k = 1 + k → k = 0

Verifikasi (5, 2): ²log(4) + 0 = 2 ✓

Jawaban: h = 1, k = 0

15. Tentukan semua nilai x yang memenuhi ²log(x − 1) + ²log(x − 3) = 3.

Pembahasan

²log[(x−1)(x−3)] = 3

(x−1)(x−3) = 2³ = 8

x² − 4x + 3 = 8

x² − 4x − 5 = 0

(x−5)(x+1) = 0

x = 5 atau x = −1

Cek domain: x > 3 → hanya x = 5 yang memenuhi.

Jawaban: x = 5

Latihan Soal — Translasi Horizontal

Tingkat Mudah

Tentukan persamaan hasil translasi y = ³log x sejauh 4 satuan ke kiri.
Tentukan asimtot vertikal dari y = log(x − 6).
Tentukan domain y = ²log(x + 5).
Tentukan titik potong sumbu-x dari y = ²log(x − 4).
Grafik y = log(x + 1) merupakan translasi ke arah mana?

Tingkat Sedang

Grafik y = ³log(x − h) melalui (30, 3). Tentukan h.
Tentukan persamaan translasi y = ²log x setelah digeser 3 ke kanan dan 1 ke bawah.
Grafik y = log(x − h) memotong sumbu-y di (0, −1). Tentukan h.
Tentukan range y = ³log(x + 1) untuk 0 ≤ x ≤ 80.
Tentukan titik potong y = ²log(x − 2) dan y = 3.

Tingkat Sulit

Tentukan a dan h jika y = ^alog(x−h) memiliki asimtot x = −1 dan melalui (3, 2).
Selesaikan: ²log(x + 3) + ²log(x − 1) = 5
Tentukan titik potong y = ²log(x + 1) dan y = ²log(5 − x).
Grafik y = ²log(x − h) + k melalui (6, 3) dan (10, 4). Tentukan h, k, dan asimtotnya.
Tentukan luas daerah yang dibatasi y = ²log(x−1), sumbu-x, x = 2, dan x = 9.

3. Refleksi (Pencerminan)

Mengamati

Perhatikan efek tanda negatif pada grafik logaritma:

y = log x (grafik dasar)
y = −log x (refleksi terhadap sumbu-x)
y = log(−x) (refleksi terhadap sumbu-y)

Grafik refleksi fungsi logaritma

Menanya

Apa perbedaan antara refleksi terhadap sumbu-x dan refleksi terhadap sumbu-y pada grafik logaritma?

Menalar

Refleksi terhadap sumbu-x: y = −^alog x

Setiap ordinat (y) dikalikan −1
Domain tetap: x > 0
Asimtot tetap: x = 0
Grafik “terbalik” secara vertikal

Refleksi terhadap sumbu-y: y = ^alog(−x)

Setiap absis (x) dikalikan −1
Domain berubah: x < 0
Asimtot tetap: x = 0
Grafik “terbalik” secara horizontal

Mencoba

x	1	2	4	8
²log x	0	1	2	3
−²log x	0	−1	−2	−3

Mengkomunikasikan

Refleksi terhadap sumbu-x membalik grafik secara vertikal (atas-bawah), sedangkan refleksi terhadap sumbu-y membalik grafik secara horizontal (kiri-kanan) dengan domain berubah.

Contoh Soal — Refleksi

Tingkat Mudah

1. Tentukan persamaan grafik y = ²log x setelah dicerminkan terhadap sumbu-x.

Pembahasan

Refleksi sumbu-x: kalikan y dengan −1

y = −²log x

2. Tentukan persamaan grafik y = log x setelah dicerminkan terhadap sumbu-y.

Pembahasan

Refleksi sumbu-y: ganti x dengan −x

y = log(−x)

Domain: x < 0

3. Tentukan domain dari y = ³log(−x).

Pembahasan

Syarat: −x > 0 → x < 0

Jawaban: {x | x < 0} atau (−∞, 0)

4. Tentukan titik potong sumbu-x dari y = −²log x.

Pembahasan

0 = −²log x → ²log x = 0 → x = 1

Jawaban: (1, 0) — sama dengan grafik asli

5. Apakah grafik y = −log x naik atau turun untuk x > 0?

Pembahasan

Karena log x naik (basis 10 > 1), maka −log x turun (monoton turun).

Tingkat Sedang

6. Grafik y = −²log x + 3 merupakan kombinasi transformasi apa saja?

Pembahasan

1. Refleksi terhadap sumbu-x: y = −²log x

2. Translasi 3 satuan ke atas: y = −²log x + 3

7. Tentukan titik potong sumbu-x dari y = −²log x + 3.

Pembahasan

0 = −²log x + 3

²log x = 3 → x = 8

Jawaban: (8, 0)

8. Tentukan bayangan titik (4, 2) pada grafik y = ²log x setelah refleksi terhadap sumbu-x dilanjutkan translasi 1 ke atas.

Pembahasan

Refleksi sumbu-x: (4, 2) → (4, −2)

Translasi 1 ke atas: (4, −2) → (4, −1)

Jawaban: (4, −1)

9. Tentukan persamaan grafik hasil refleksi y = ²log(x − 3) terhadap sumbu-x.

Pembahasan

Refleksi sumbu-x: kalikan y dengan −1

y = −²log(x − 3)

Domain tetap: x > 3, Asimtot tetap: x = 3

10. Tentukan persamaan grafik y = ²log(x + 1) setelah dicerminkan terhadap sumbu-y.

Pembahasan

Refleksi sumbu-y: ganti x dengan −x

y = ²log(−x + 1) = ²log(1 − x)

Domain: 1 − x > 0 → x < 1

Asimtot: x = 1

Jawaban: y = ²log(1 − x), domain x < 1

Tingkat Sulit

11. Tentukan persamaan grafik y = ²log(x − 2) + 1 setelah refleksi terhadap titik (2, 1).

Pembahasan

Refleksi terhadap titik (a, b): ganti x dengan 2a − x dan y dengan 2b − y

a = 2, b = 1:

2(1) − y = ²log(2(2) − x − 2) + 1

2 − y = ²log(2 − x) + 1

y = 1 − ²log(2 − x)

y = −²log(2 − x) + 1

Domain: 2 − x > 0 → x < 2

Jawaban: y = −²log(2 − x) + 1, x < 2

12. Grafik y = −²log(x − h) + k melalui (3, 4) dan (5, 2) dengan asimtot x = 1. Tentukan h dan k.

Pembahasan

Asimtot x = 1 → h = 1

Dari (3, 4): 4 = −²log(2) + k = −1 + k → k = 5

Verifikasi (5, 2): −²log(4) + 5 = −2 + 5 = 3 ≠ 2

Perlu verifikasi ulang. Dari (5, 2): 2 = −²log(4) + k = −2 + k → k = 4

Cek (3, 4): −²log(2) + 4 = −1 + 4 = 3 ≠ 4

Kedua titik tidak konsisten dengan asimtot x=1 dan basis 2. Perlu memeriksa ulang soal.

Jawaban: Dengan asimtot x = 1, h = 1. Dari titik (5,2): k = 4

13. Tentukan persamaan grafik hasil refleksi y = ²log x terhadap garis y = x.

Pembahasan

Refleksi terhadap y = x → tukar x dan y:

x = ²log y

y = 2^x

Hasil refleksi adalah fungsi eksponensial!

Jawaban: y = 2^x

14. Tentukan titik tetap (fixed point) dari transformasi refleksi sumbu-x pada grafik y = log x.

Pembahasan

Titik tetap: titik yang tidak berubah setelah refleksi sumbu-x

Syarat: y = −y → 2y = 0 → y = 0

Saat y = 0: log x = 0 → x = 1

Jawaban: (1, 0)

15. Grafik y = ²log x direfleksi terhadap sumbu-y lalu ditranslasi 4 ke kanan. Tentukan persamaan akhir dan domainnya.

Pembahasan

Langkah 1 – Refleksi sumbu-y: y = ²log(−x), domain x < 0

Langkah 2 – Translasi 4 ke kanan: ganti x dengan (x − 4)

y = ²log(−(x − 4)) = ²log(4 − x)

Domain: 4 − x > 0 → x < 4

Asimtot: x = 4

Jawaban: y = ²log(4 − x), domain x < 4, asimtot x = 4

Latihan Soal — Refleksi

Tingkat Mudah

Tentukan persamaan hasil refleksi y = ³log x terhadap sumbu-x.
Tentukan domain y = ²log(−x).
Tentukan titik potong sumbu-x dari y = −log x.
Apakah y = −⁵log x naik atau turun?
Tentukan asimtot dari y = log(−x).

Tingkat Sedang

Tentukan titik potong sumbu-x dari y = −²log x + 4.
Tentukan persamaan refleksi y = ²log(x − 5) terhadap sumbu-x.
Tentukan bayangan titik (8, 3) setelah refleksi sumbu-x dan translasi 2 ke atas.
Tentukan persamaan refleksi y = log(x + 2) terhadap sumbu-y.
Grafik y = −²log(x − h) melalui (6, −2). Tentukan h.

Tingkat Sulit

Tentukan persamaan hasil refleksi y = ²log(x−1) + 2 terhadap titik (1, 2).
Tentukan hasil refleksi y = ³log x terhadap garis y = x.
Grafik y = ²log x direfleksi sumbu-y lalu ditranslasi 6 ke kanan. Tentukan persamaan dan domainnya.
Tentukan titik tetap refleksi sumbu-x pada y = ²log(x − 3).
Grafik y = −²log(x − a) + b melalui (5, 0) dan (3, 1) dengan asimtot x = 1. Tentukan a dan b.

4. Dilatasi (Perkalian Skalar)

Mengamati

Perhatikan efek pengali pada grafik:

y = ²log x (grafik dasar)
y = 3 · ²log x (dilatasi vertikal, faktor 3)
y = ½ · ²log x (dilatasi vertikal, faktor ½)
y = ²log(2x) (dilatasi horizontal, faktor ½)

Grafik dilatasi vertikal fungsi logaritma

Menanya

Bagaimana konstanta pengali A mempengaruhi “kecuraman” grafik logaritma?

Menalar

Dilatasi Vertikal: y = A · ^alog x

|A| > 1 → grafik semakin curam (meregang vertikal)
0 < |A| < 1 → grafik semakin landai (menyusut vertikal)
A < 0 → terjadi refleksi sumbu-x sekaligus dilatasi
Titik (1, 0) tetap (titik tetap) karena A · log 1 = 0

Dilatasi Horizontal: y = ^alog(Bx)

Dapat ditulis: y = ^alog B + ^alog x (translasi vertikal!)
|B| > 1 → grafik “mampat” horizontal (menyusut ke sumbu-y)
0 < |B| < 1 → grafik “meregang” horizontal
B < 0 → terjadi refleksi sumbu-y

Mencoba

x	2	4	8	16
²log x	1	2	3	4
2·²log x	2	4	6	8
½·²log x	0,5	1	1,5	2

Mengkomunikasikan

Dilatasi vertikal mengubah “kecuraman” tanpa mengubah domain dan asimtot. Dilatasi horizontal y = ^alog(Bx) setara dengan translasi vertikal sejauh ^alog B.

Contoh Soal — Dilatasi

Tingkat Mudah

1. Tentukan persamaan grafik y = ²log x setelah didilatasi vertikal dengan faktor 4.

Pembahasan

y = 4 · ²log x

2. Hitung nilai y = 3 · ²log x saat x = 8.

Pembahasan

y = 3 · ²log 8 = 3 · 3 = 9

3. Tentukan titik potong sumbu-x dari y = 5 · log x.

Pembahasan

0 = 5 · log x → log x = 0 → x = 1

Jawaban: (1, 0) — titik tetap untuk semua dilatasi vertikal

4. Sederhanakan y = ²log(4x) menjadi bentuk translasi vertikal.

Pembahasan

y = ²log 4 + ²log x = 2 + ²log x

Setara dengan translasi 2 satuan ke atas.

5. Tentukan domain dan asimtot dari y = 2 · ³log x.

Pembahasan

Dilatasi vertikal tidak mengubah domain maupun asimtot.

Domain: x > 0, Asimtot: x = 0

Tingkat Sedang

6. Grafik y = A · ²log x melalui (4, 6). Tentukan A.

Pembahasan

6 = A · ²log 4 = A · 2

A = 3

7. Tentukan range y = 2 · ²log x untuk 1 ≤ x ≤ 32.

Pembahasan

x = 1: y = 2·0 = 0

x = 32: y = 2·5 = 10

Jawaban: 0 ≤ y ≤ 10

8. Buktikan bahwa y = ²log(8x) setara dengan y = ²log x + 3.

Pembahasan

²log(8x) = ²log 8 + ²log x = 3 + ²log x

Terbukti. ∎

9. Tentukan nilai x agar 2 · ³log x = ³log x + 4.

Pembahasan

2 · ³log x − ³log x = 4

³log x = 4

x = 3⁴ = 81

10. Grafik y = A · ²log x + k melalui (2, 5) dan (8, 11). Tentukan A dan k.

Pembahasan

Dari (2, 5): 5 = A·1 + k = A + k …(i)

Dari (8, 11): 11 = A·3 + k = 3A + k …(ii)

(ii)−(i): 6 = 2A → A = 3

k = 5 − 3 = 2

Jawaban: A = 3, k = 2

Tingkat Sulit

11. Tentukan persamaan grafik logaritma basis 2 yang melalui (1, −1), (4, 5), dan memiliki asimtot x = 0.

Pembahasan

Bentuk: y = A · ²log x + k

Dari (1, −1): −1 = A·0 + k → k = −1

Dari (4, 5): 5 = A·2 − 1 → 2A = 6 → A = 3

Jawaban: y = 3·²log x − 1

12. Tentukan nilai x yang memenuhi 2 · ²log(x − 1) = ²log(x − 1)². Apakah kedua ruas selalu sama?

Pembahasan

Ruas kiri: 2 · ²log(x−1), domain: x > 1

Ruas kanan: ²log(x−1)², domain: x ≠ 1

Secara aljabar: ²log(x−1)² = 2·²log|x−1|

Kedua ruas sama hanya jika x > 1 (sehingga |x−1| = x−1).

Untuk x < 1, ruas kiri tidak terdefinisi tetapi ruas kanan masih ada.

Jawaban: Sama untuk semua x > 1

13. Grafik y = A · ²log(x − h) + k memiliki asimtot x = 2, melalui (3, 0) dan (6, 4). Tentukan A, h, k.

Pembahasan

h = 2

Dari (3, 0): 0 = A·²log(1) + k = k → k = 0

Dari (6, 4): 4 = A·²log(4) = 2A → A = 2

Jawaban: A = 2, h = 2, k = 0 → y = 2·²log(x−2)

14. Tentukan titik potong y = 3·²log x dan y = ²log(x³). Apa kesimpulannya?

Pembahasan

²log(x³) = 3·²log x

Kedua fungsi identik untuk x > 0.

Jawaban: Grafik berimpit (identik) untuk seluruh domain x > 0

15. Tentukan semua nilai A agar y = A·²log x dan y = x − 1 bersinggungan.

Pembahasan

Syarat singgung: fungsi dan turunannya sama di titik singgung.

Turunan: A/(x ln 2) = 1 → x = A/ln 2

Substitusi ke persamaan: A·²log(A/ln 2) = A/ln 2 − 1

Dengan A·log₂(A/ln 2) = A/ln 2 − 1

Ini persamaan transendental. Secara numerik: A ≈ 0,531

Jawaban: A ≈ 0,531 (solusi numerik)

Latihan Soal — Dilatasi

Tingkat Mudah

Tentukan persamaan y = log x setelah didilatasi vertikal faktor 3.
Hitung y = 4·²log x saat x = 16.
Tentukan titik potong sumbu-x dari y = 7·²log x.
Sederhanakan y = ³log(9x).
Tentukan domain dan asimtot y = ½·²log x.

Tingkat Sedang

Grafik y = A·²log x melalui (16, 12). Tentukan A.
Tentukan range y = 3·³log x untuk 1 ≤ x ≤ 27.
Buktikan ²log(16x) = ²log x + 4.
Tentukan x yang memenuhi 3·log x = log x + 4.
Grafik y = A·³log x + k melalui (3, 4) dan (27, 10). Tentukan A dan k.

Tingkat Sulit

Tentukan A, h, k jika y = A·²log(x−h)+k memiliki asimtot x=1, melalui (2, 3) dan (5, 9).
Tentukan kapan 2·²log|x| dan ²log(x²) berbeda.
Tentukan nilai A agar y = A·log x bersinggungan dengan y = 2x.
Grafik y = A·²log(Bx) melalui (1, 2) dan (4, 8). Tentukan A dan B.
Tentukan transformasi yang memetakan y = ²log x ke y = 6·²log(x/4).

5. Kombinasi Transformasi

Mengamati

Perhatikan bentuk umum transformasi lengkap:

y = A · ^alog(B(x − h)) + k

Contoh: y = −2 · ²log(x − 3) + 4

Transformasi yang diterapkan:

Dilatasi vertikal faktor 2
Refleksi terhadap sumbu-x
Translasi 3 satuan ke kanan
Translasi 4 satuan ke atas

Menanya

Apakah urutan transformasi mempengaruhi hasil akhir? Bagaimana menentukan domain, range, dan asimtot dari kombinasi transformasi?

Menalar

Langkah menganalisis y = A · ^alog(B(x − h)) + k:

Asimtot vertikal: B(x − h) = 0 → x = h
Domain: B(x − h) > 0
- Jika B > 0: x > h
- Jika B < 0: x < h
Titik potong sumbu-x: Saat y = 0, selesaikan A·^alog(B(x−h)) + k = 0
Grafik naik/turun:
- AB > 0 dan a > 1: naik
- AB < 0 dan a > 1: turun

Mencoba

Analisis lengkap y = −2 · ²log(x − 1) + 6:

Sifat	Nilai
Asimtot	x = 1
Domain	x > 1
Arah grafik	Turun (A < 0)
Titik saat x = 2	y = −2·0 + 6 = 6 → (2, 6)
Titik saat x = 5	y = −2·2 + 6 = 2 → (5, 2)
Titik potong sumbu-x	0 = −2·²log(x−1)+6 → x = 9

Mengkomunikasikan

Untuk menganalisis kombinasi transformasi, tentukan terlebih dahulu: asimtot (dari h), domain (dari B dan h), arah grafik (dari A, B, dan a), lalu titik-titik kunci untuk menggambar grafik.

Contoh Soal — Kombinasi Transformasi

Tingkat Mudah

1. Tentukan asimtot, domain, dan titik potong sumbu-x dari y = ²log(x − 2) + 1.

Pembahasan

Asimtot: x = 2

Domain: x > 2

Potong sumbu-x: 0 = ²log(x−2)+1 → ²log(x−2) = −1 → x−2 = ½ → x = 2,5

Jawaban: asimtot x=2, domain x>2, potong di (2,5; 0)

2. Tentukan persamaan grafik y = ²log x setelah digeser 3 ke kanan dan 2 ke atas.

Pembahasan

y = ²log(x − 3) + 2

3. Tentukan persamaan grafik y = log x setelah direfleksi sumbu-x dan digeser 5 ke atas.

Pembahasan

y = −log x + 5

4. Grafik y = 2·³log(x + 1). Tentukan domain dan asimtot.

Pembahasan

h = −1 (karena x − (−1) = x + 1)

Domain: x > −1, Asimtot: x = −1

5. Tentukan bayangan titik (1, 0) pada y = ²log x setelah transformasi menjadi y = ²log(x − 4) + 3.

Pembahasan

Translasi 4 kanan, 3 atas: (1, 0) → (1+4, 0+3) = (5, 3)

Jawaban: (5, 3)

Tingkat Sedang

6. Tentukan persamaan grafik logaritma basis 2 yang memiliki asimtot x = −2, melalui (0, 3) dan arah grafik turun.

Pembahasan

Asimtot x = −2 → h = −2: y = A·²log(x+2) + k

Grafik turun → A < 0

Melalui (0, 3): 3 = A·²log(2) + k = A + k

Kita butuh info lain. Dengan asumsi paling sederhana A = −1:

3 = −1 + k → k = 4

Jawaban: y = −²log(x+2) + 4

7. Grafik y = −3·²log(x − 1) + 6. Tentukan titik potong sumbu-x.

Pembahasan

0 = −3·²log(x−1) + 6

3·²log(x−1) = 6

²log(x−1) = 2

x − 1 = 4 → x = 5

Jawaban: (5, 0)

8. Tentukan transformasi yang memetakan y = ²log x menjadi y = ²log(x − 4) − 3.

Pembahasan

Bandingkan: h = 4 (kanan 4), k = −3 (bawah 3)

Transformasi: translasi dengan vektor (4, −3), yaitu 4 satuan ke kanan dan 3 satuan ke bawah.

9. Tentukan persamaan grafik y = ²log x setelah: refleksi sumbu-x, dilatasi vertikal faktor 2, geser kanan 1, geser atas 5.

Pembahasan

Refleksi + dilatasi: A = −2

Geser kanan 1: h = 1

Geser atas 5: k = 5

y = −2·²log(x − 1) + 5

10. Grafik y = A·²log(x − h) + k memiliki asimtot x = 3, melalui (4, 2) dan (7, −4). Tentukan A, h, k.

Pembahasan

h = 3

Dari (4, 2): 2 = A·²log(1) + k = k → k = 2

Dari (7, −4): −4 = A·²log(4) + 2 = 2A + 2

2A = −6 → A = −3

Jawaban: A = −3, h = 3, k = 2 → y = −3·²log(x−3) + 2

Tingkat Sulit

11. Grafik y = A·^alog(x − h) + k memiliki asimtot x = 1, melalui (2, 0), (3, −2), dan (5, −4). Tentukan a, A, h, k.

Pembahasan

h = 1

Dari (2, 0): 0 = A·^alog(1) + k = k → k = 0

Dari (3, −2): −2 = A·^alog(2) …(i)

Dari (5, −4): −4 = A·^alog(4) = A·2·^alog(2) …(ii)

(ii)/(i): 2 = 2 → konsisten.

Dari (i): A·^alog(2) = −2

Coba a = 2: A·1 = −2 → A = −2

Verifikasi (5, −4): −2·²log(4) = −2·2 = −4 ✓

Jawaban: a = 2, A = −2, h = 1, k = 0 → y = −2·²log(x−1)

12. Tentukan persamaan grafik fungsi logaritma yang memiliki asimtot x = 2, titik potong sumbu-x di (3, 0), dan melalui (6, −8). Basis 2.

Pembahasan

h = 2, sehingga bentuk: y = A·²log(x−2) + k

Dari (3, 0): 0 = A·²log(1) + k = k → k = 0

Dari (6, −8): −8 = A·²log(4) = 2A → A = −4

Jawaban: y = −4·²log(x−2)

13. Tentukan titik potong grafik y = ²log(x−1) + 2 dan y = −²log(x−1) + 6.

Pembahasan

Samakan:

²log(x−1) + 2 = −²log(x−1) + 6

2·²log(x−1) = 4

²log(x−1) = 2

x − 1 = 4 → x = 5

y = 2 + 2 = 4

Jawaban: (5, 4)

14. Grafik y = ²log x ditransformasi secara berurutan: (1) refleksi sumbu-y, (2) translasi 5 ke kanan, (3) dilatasi vertikal faktor 3, (4) translasi 1 ke bawah. Tentukan persamaan akhir.

Pembahasan

(1) Refleksi sumbu-y: y = ²log(−x)

(2) Translasi 5 ke kanan: y = ²log(−(x−5)) = ²log(5−x)

(3) Dilatasi vertikal ×3: y = 3·²log(5−x)

(4) Translasi 1 ke bawah: y = 3·²log(5−x) − 1

Domain: 5−x > 0 → x < 5, Asimtot: x = 5

Jawaban: y = 3·²log(5−x) − 1, domain x < 5

15. Dua grafik logaritma: f(x) = 2·²log(x−1) + 3 dan g(x) = −²log(x−1) + 9. Tentukan luas segitiga yang dibentuk oleh titik potong kedua grafik, titik potong f dengan sumbu-x, dan titik potong g dengan sumbu-x.

Pembahasan

Titik potong f dan g:

2·²log(x−1)+3 = −²log(x−1)+9

3·²log(x−1) = 6 → ²log(x−1) = 2 → x = 5

y = 2·2+3 = 7. Titik: (5, 7)

Titik potong f dengan sumbu-x:

0 = 2·²log(x−1)+3 → ²log(x−1) = −3/2 → x = 1+2^−3/2 ≈ 1,354

Titik potong g dengan sumbu-x:

0 = −²log(x−1)+9 → ²log(x−1) = 9 → x = 1+512 = 513

Luas segitiga dengan titik (5,7), (1,354; 0), (513, 0):

Alas = 513 − 1,354 ≈ 511,646

Tinggi = 7

Luas = ½ × 511,646 × 7 ≈ 1790,76 satuan luas

Jawaban: ≈ 1790,76 satuan luas

Latihan Soal — Kombinasi Transformasi

Tingkat Mudah

Tentukan persamaan y = ²log x setelah digeser 2 kanan dan 4 ke atas.
Tentukan asimtot dan domain y = 3·²log(x+1) − 2.
Tentukan titik potong sumbu-x dari y = ²log(x−3) + 2.
Tentukan bayangan (1,0) setelah transformasi menjadi y = −²log(x−5)+1.
Tentukan persamaan setelah refleksi sumbu-x lalu geser 3 ke atas dari y = ³log x.

Tingkat Sedang

Grafik y = A·²log(x−h)+k memiliki asimtot x=2, melalui (3,1) dan (6,−5). Tentukan A, h, k.
Tentukan titik potong y = ²log(x−2)+1 dan y = −²log(x−2)+5.
Tentukan transformasi dari y = ²log x ke y = −2·²log(x+3)−1.
Grafik y = 2·²log(x−1)+k memotong sumbu-x di x = 3. Tentukan k.
Tentukan range y = −²log(x−1)+4 untuk 2 ≤ x ≤ 17.

Tingkat Sulit

Tentukan a, A, h, k jika grafik y=A·^alog(x−h)+k melalui (2,5), (4,3), (10,1) dengan asimtot x=1.
Grafik y = ²log x ditransformasi: refleksi sumbu-y → geser 8 kanan → dilatasi ×(−2) → geser 3 atas. Tentukan persamaan akhir dan domainnya.
Tentukan titik potong y = 2·²log(x−1)+1 dan garis y = −x + 10 (gunakan numerik).
Tentukan luas daerah antara y = ²log(x−1)+3 dan y = ²log(x−1)−1 dari x=2 sampai x=9.
Dua fungsi f(x) = 3·²log(x−2)+1 dan g(x) = −²log(x−2)+7. Tentukan titik potong dan luas segitiga yang dibentuk dengan asimtot.

Ringkasan Rumus Transformasi

Transformasi	Persamaan	Efek pada Grafik	Perubahan Domain/Asimtot
Translasi vertikal ↑k	y = ^alog x + k	Naik k satuan	Tetap
Translasi vertikal ↓k	y = ^alog x − k	Turun k satuan	Tetap
Translasi horizontal →h	y = ^alog(x−h)	Geser kanan h	Domain: x>h, Asimtot: x=h
Translasi horizontal ←h	y = ^alog(x+h)	Geser kiri h	Domain: x>−h, Asimtot: x=−h
Refleksi sumbu-x	y = −^alog x	Cermin vertikal	Tetap
Refleksi sumbu-y	y = ^alog(−x)	Cermin horizontal	Domain: x<0
Dilatasi vertikal ×A	y = A·^alog x	Meregang/menyusut	Tetap
Kombinasi lengkap	y = A·^alog(B(x−h))+k	Semua efek	Tergantung B dan h

Pendahuluan

1. Translasi (Pergeseran) Vertikal

Mengamati

Menanya

Menalar

Mencoba

Mengkomunikasikan

Contoh Soal — Translasi Vertikal

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Latihan Soal — Translasi Vertikal

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

2. Translasi (Pergeseran) Horizontal

Mengamati

Menanya

Menalar

Mencoba

Mengkomunikasikan

Contoh Soal — Translasi Horizontal

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Latihan Soal — Translasi Horizontal

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

3. Refleksi (Pencerminan)

Mengamati

Menanya

Menalar

Mencoba

Mengkomunikasikan

Contoh Soal — Refleksi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Latihan Soal — Refleksi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

4. Dilatasi (Perkalian Skalar)

Mengamati

Menanya

Menalar

Mencoba

Mengkomunikasikan

Contoh Soal — Dilatasi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Latihan Soal — Dilatasi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

5. Kombinasi Transformasi

Mengamati

Menanya

Menalar

Mencoba

Mengkomunikasikan

Contoh Soal — Kombinasi Transformasi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Latihan Soal — Kombinasi Transformasi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Ringkasan Rumus Transformasi

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed