Persamaan Logaritma
Bentuk: \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\)
dengan \(a > 0\) dan \(a \neq 1\)
Materi Pembelajaran
Kegiatan 1: Mengamati
Perhatikan persamaan-persamaan logaritma berikut:
- \(\log_2 (x+1) = \log_2 (3x-5)\)
- \(\log_3 (2x+4) = \log_3 (x^2)\)
- \(\log_5 (x^2 – 1) = \log_5 (2x + 2)\)
Amati bahwa ketiga persamaan di atas memiliki basis yang sama di ruas kiri dan ruas kanan. Apa yang dapat kamu simpulkan?
Konsep Dasar
Persamaan logaritma bentuk \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\) merupakan persamaan di mana kedua ruas memiliki logaritma dengan basis yang sama. Karena fungsi logaritma bersifat injektif (satu-satu), maka jika basis sama, numerus (argumen) di kedua ruas harus sama.
Rumus Penyelesaian:
\[\log_a f(x) = \log_a g(x) \implies f(x) = g(x)\]
Syarat yang HARUS dipenuhi:
- \(a > 0\) dan \(a \neq 1\) (syarat basis)
- \(f(x) > 0\) (numerus ruas kiri harus positif)
- \(g(x) > 0\) (numerus ruas kanan harus positif)
Penting!
Jangan lupa memeriksa syarat numerus! Solusi yang membuat \(f(x) \leq 0\) atau \(g(x) \leq 0\) harus dibuang karena tidak memenuhi syarat logaritma.
Kegiatan 2: Menanya
Setelah mengamati, timbul pertanyaan:
- Mengapa kita bisa langsung menyamakan numerus ketika basisnya sama?
- Apa yang terjadi jika kita tidak memeriksa syarat numerus?
- Bagaimana langkah sistematis menyelesaikan persamaan logaritma bentuk ini?
Kegiatan 3: Menalar
Mari kita nalar mengapa metode ini bekerja:
Penalaran:
Fungsi \(y = \log_a x\) adalah fungsi satu-satu (injektif). Artinya:
\[\text{Jika } \log_a m = \log_a n, \text{ maka } m = n\]
Ini seperti halnya: jika \(2^p = 2^q\), maka \(p = q\).
Sifat injektif ini menjamin bahwa dua nilai yang menghasilkan logaritma sama (dengan basis sama) haruslah nilai yang sama.
Langkah-Langkah Penyelesaian
- Pastikan basis kedua ruas sama.
Jika sudah sama, lanjut ke langkah berikutnya. - Samakan numerus:
\(f(x) = g(x)\)
Selesaikan persamaan ini untuk mendapatkan nilai \(x\). - Periksa syarat numerus:
Substitusi setiap nilai \(x\) ke \(f(x)\) dan \(g(x)\).
Pastikan \(f(x) > 0\) DAN \(g(x) > 0\). - Tulis himpunan penyelesaian:
Hanya nilai \(x\) yang memenuhi semua syarat yang menjadi solusi.
Kegiatan 4: Mencoba
Cobalah selesaikan persamaan berikut dengan langkah-langkah di atas:
\(\log_2 (x + 3) = \log_2 (2x – 1)\)
Petunjuk: Samakan numerus, lalu periksa apakah \(x+3 > 0\) dan \(2x-1 > 0\).
Lihat Jawaban
\(x + 3 = 2x – 1\)
\(3 + 1 = 2x – x\)
\(x = 4\)
Cek: \(f(4) = 4+3 = 7 > 0\) ✓
Cek: \(g(4) = 2(4)-1 = 7 > 0\) ✓
HP = {4}
Kegiatan 5: Mengkomunikasikan
Diskusikan dan komunikasikan pemahaman kamu:
- Jelaskan dengan kata-katamu sendiri mengapa syarat \(f(x) > 0\) dan \(g(x) > 0\) wajib diperiksa.
- Berikan contoh kasus di mana solusi harus dibuang karena tidak memenuhi syarat numerus.
- Tuliskan kesimpulan tentang langkah penyelesaian persamaan logaritma bentuk ini.
Ringkasan
Untuk menyelesaikan \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\):
- Basis sama → samakan numerus: \(f(x) = g(x)\)
- Selesaikan persamaan \(f(x) = g(x)\)
- Periksa: \(f(x) > 0\) dan \(g(x) > 0\)
- Buang solusi yang tidak memenuhi syarat
Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Contoh 1
Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi \(\log_3 (x+2) = \log_3 (7)\)
Pembahasan
Langkah 1: Basis sama (\(a = 3\)), samakan numerus:
\(x + 2 = 7\)
\(x = 5\)
Langkah 2: Cek syarat numerus:
\(f(5) = 5 + 2 = 7 > 0\) ✓
\(g(5) = 7 > 0\) ✓
HP = {5}
Contoh 2
Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi \(\log_5 (2x) = \log_5 (10)\)
Pembahasan
Samakan numerus: \(2x = 10\)
\(x = 5\)
Cek: \(f(5) = 2(5) = 10 > 0\) ✓
HP = {5}
Contoh 3
Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi \(\log_2 (3x – 1) = \log_2 (x + 5)\)
Pembahasan
Samakan numerus: \(3x – 1 = x + 5\)
\(2x = 6\)
\(x = 3\)
Cek: \(f(3) = 3(3)-1 = 8 > 0\) ✓
Cek: \(g(3) = 3+5 = 8 > 0\) ✓
HP = {3}
Contoh 4
Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi \(\log_4 (x – 1) = \log_4 (2x – 7)\)
Pembahasan
Samakan numerus: \(x – 1 = 2x – 7\)
\(-x = -6\)
\(x = 6\)
Cek: \(f(6) = 6-1 = 5 > 0\) ✓
Cek: \(g(6) = 2(6)-7 = 5 > 0\) ✓
HP = {6}
Contoh 5
Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi \(\log_7 (4x + 1) = \log_7 (x + 10)\)
Pembahasan
Samakan numerus: \(4x + 1 = x + 10\)
\(3x = 9\)
\(x = 3\)
Cek: \(f(3) = 4(3)+1 = 13 > 0\) ✓
Cek: \(g(3) = 3+10 = 13 > 0\) ✓
HP = {3}
🟡 Tingkat Sedang
Contoh 6
Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi \(\log_2 (x^2 – 3x) = \log_2 (x)\)
Pembahasan
Samakan numerus: \(x^2 – 3x = x\)
\(x^2 – 4x = 0\)
\(x(x – 4) = 0\)
\(x = 0\) atau \(x = 4\)
Cek \(x = 0\):
\(f(0) = 0 – 0 = 0\) → Tidak memenuhi (\(f(x)\) harus \(> 0\)) ✗
Cek \(x = 4\):
\(f(4) = 16 – 12 = 4 > 0\) ✓
\(g(4) = 4 > 0\) ✓
HP = {4}
Contoh 7
Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi \(\log_3 (x^2 + 2x) = \log_3 (x + 6)\)
Pembahasan
Samakan numerus: \(x^2 + 2x = x + 6\)
\(x^2 + x – 6 = 0\)
\((x+3)(x-2) = 0\)
\(x = -3\) atau \(x = 2\)
Cek \(x = -3\):
\(f(-3) = 9 – 6 = 3 > 0\) ✓
\(g(-3) = -3 + 6 = 3 > 0\) ✓
Cek \(x = 2\):
\(f(2) = 4 + 4 = 8 > 0\) ✓
\(g(2) = 2 + 6 = 8 > 0\) ✓
HP = {-3, 2}
Contoh 8
Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi \(\log_5 (x^2 – 4) = \log_5 (3x)\)
Pembahasan
Samakan numerus: \(x^2 – 4 = 3x\)
\(x^2 – 3x – 4 = 0\)
\((x-4)(x+1) = 0\)
\(x = 4\) atau \(x = -1\)
Cek \(x = 4\):
\(f(4) = 16 – 4 = 12 > 0\) ✓
\(g(4) = 12 > 0\) ✓
Cek \(x = -1\):
\(f(-1) = 1 – 4 = -3 < 0\) ✗
HP = {4}
Contoh 9
Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi \(\log_2 (x^2 – 5x + 6) = \log_2 (x – 1)\)
Pembahasan
Samakan numerus: \(x^2 – 5x + 6 = x – 1\)
\(x^2 – 6x + 7 = 0\)
Menggunakan rumus abc: \(x = \frac{6 \pm \sqrt{36-28}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}\)
\(x = 3 + \sqrt{2} \approx 4{,}41\) atau \(x = 3 – \sqrt{2} \approx 1{,}59\)
Cek \(x = 3+\sqrt{2}\):
\(g(3+\sqrt{2}) = 3+\sqrt{2}-1 = 2+\sqrt{2} > 0\) ✓
\(f(3+\sqrt{2}) = 2+\sqrt{2} > 0\) ✓
Cek \(x = 3-\sqrt{2}\):
\(g(3-\sqrt{2}) = 2 – \sqrt{2} \approx 0{,}59 > 0\) ✓
\(f(3-\sqrt{2}) = 2-\sqrt{2} > 0\) ✓
HP = {\(3-\sqrt{2},\ 3+\sqrt{2}\)}
Contoh 10
Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi \(\log_6 (2x^2 + x) = \log_6 (x + 2)\)
Pembahasan
Samakan numerus: \(2x^2 + x = x + 2\)
\(2x^2 = 2\)
\(x^2 = 1\)
\(x = 1\) atau \(x = -1\)
Cek \(x = 1\):
\(f(1) = 2+1 = 3 > 0\) ✓
\(g(1) = 1+2 = 3 > 0\) ✓
Cek \(x = -1\):
\(f(-1) = 2-1 = 1 > 0\) ✓
\(g(-1) = -1+2 = 1 > 0\) ✓
HP = {-1, 1}
🔴 Tingkat Sulit
Contoh 11
Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi \(\log_2 (x^2 + x – 2) = \log_2 (2x^2 – x – 3)\)
Pembahasan
Samakan numerus: \(x^2 + x – 2 = 2x^2 – x – 3\)
\(0 = x^2 – 2x – 1\)
\(x = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}\)
Cek \(x = 1+\sqrt{2} \approx 2{,}41\):
\(f(1+\sqrt{2}) = (1+\sqrt{2})^2 + (1+\sqrt{2}) – 2 = 3+2\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-2 = 2+3\sqrt{2} > 0\) ✓
\(g(1+\sqrt{2}) = 2(3+2\sqrt{2})-(1+\sqrt{2})-3 = 6+4\sqrt{2}-1-\sqrt{2}-3 = 2+3\sqrt{2} > 0\) ✓
Cek \(x = 1-\sqrt{2} \approx -0{,}41\):
\(f(1-\sqrt{2}) = (1-\sqrt{2})^2 + (1-\sqrt{2}) – 2 = 3-2\sqrt{2}+1-\sqrt{2}-2 = 2-3\sqrt{2}\)
\(2-3\sqrt{2} \approx 2-4{,}24 = -2{,}24 < 0\) ✗
HP = {\(1+\sqrt{2}\)}
Contoh 12
Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi \(\log_3 (x^2 – 2x – 3) = \log_3 (4x – x^2 + 3)\)
Pembahasan
Samakan numerus: \(x^2 – 2x – 3 = 4x – x^2 + 3\)
\(2x^2 – 6x – 6 = 0\)
\(x^2 – 3x – 3 = 0\)
\(x = \frac{3 \pm \sqrt{9+12}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}\)
\(x_1 = \frac{3+\sqrt{21}}{2} \approx 3{,}79\), \(x_2 = \frac{3-\sqrt{21}}{2} \approx -0{,}79\)
Cek \(x_1 \approx 3{,}79\):
\(f(x_1) = (3{,}79)^2 – 2(3{,}79) – 3 \approx 14{,}36 – 7{,}58 – 3 = 3{,}78 > 0\) ✓
\(g(x_1) = 4(3{,}79)-(3{,}79)^2+3 \approx 15{,}16-14{,}36+3 = 3{,}8 > 0\) ✓
Cek \(x_2 \approx -0{,}79\):
\(f(x_2) = (-0{,}79)^2 – 2(-0{,}79) – 3 \approx 0{,}62+1{,}58-3 = -0{,}8 < 0\) ✗
HP = {\(\frac{3+\sqrt{21}}{2}\)}
Contoh 13
Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi \(\log_{\frac{1}{2}} (x^2 – 9) = \log_{\frac{1}{2}} (2x + 6)\)
Pembahasan
Basis \(a = \frac{1}{2}\), memenuhi \(a > 0\) dan \(a \neq 1\). ✓
Samakan numerus: \(x^2 – 9 = 2x + 6\)
\(x^2 – 2x – 15 = 0\)
\((x-5)(x+3) = 0\)
\(x = 5\) atau \(x = -3\)
Cek \(x = 5\):
\(f(5) = 25-9 = 16 > 0\) ✓
\(g(5) = 10+6 = 16 > 0\) ✓
Cek \(x = -3\):
\(f(-3) = 9-9 = 0\) → Tidak memenuhi (\(f(x)\) harus \(> 0\)) ✗
HP = {5}
Contoh 14
Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi \(\log_2 (x^3 – 4x) = \log_2 (x^2 + 2x)\)
Pembahasan
Samakan numerus: \(x^3 – 4x = x^2 + 2x\)
\(x^3 – x^2 – 6x = 0\)
\(x(x^2 – x – 6) = 0\)
\(x(x-3)(x+2) = 0\)
\(x = 0\), \(x = 3\), atau \(x = -2\)
Cek \(x = 0\):
\(f(0) = 0\) → Tidak memenuhi ✗
Cek \(x = 3\):
\(f(3) = 27-12 = 15 > 0\) ✓
\(g(3) = 9+6 = 15 > 0\) ✓
Cek \(x = -2\):
\(f(-2) = -8+8 = 0\) → Tidak memenuhi ✗
HP = {3}
Contoh 15
Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi \(\log_4 (x^2 – 3x + 2) = \log_4 (3x^2 – 7x + 2)\)
Pembahasan
Samakan numerus: \(x^2 – 3x + 2 = 3x^2 – 7x + 2\)
\(0 = 2x^2 – 4x\)
\(0 = 2x(x – 2)\)
\(x = 0\) atau \(x = 2\)
Cek \(x = 0\):
\(f(0) = 0-0+2 = 2 > 0\) ✓
\(g(0) = 0-0+2 = 2 > 0\) ✓
Cek \(x = 2\):
\(f(2) = 4-6+2 = 0\) → Tidak memenuhi ✗
HP = {0}
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan.
🟢 Tingkat Mudah
1. \(\log_4 (x + 3) = \log_4 (9)\)
2. \(\log_3 (5x – 2) = \log_3 (3x + 4)\)
3. \(\log_6 (2x + 1) = \log_6 (x + 8)\)
4. \(\log_2 (4x – 3) = \log_2 (x + 9)\)
5. \(\log_5 (7x + 1) = \log_5 (3x + 13)\)
🟡 Tingkat Sedang
6. \(\log_2 (x^2 – x) = \log_2 (2x + 4)\)
7. \(\log_3 (x^2 + 3x) = \log_3 (4x + 4)\)
8. \(\log_5 (x^2 – 2x – 8) = \log_5 (2x – 4)\)
9. \(\log_4 (x^2 + x – 6) = \log_4 (3x + 2)\)
10. \(\log_7 (2x^2 – 3x) = \log_7 (x + 4)\)
🔴 Tingkat Sulit
11. \(\log_{\frac{1}{3}} (x^2 – 4x + 3) = \log_{\frac{1}{3}} (2x – x^2 + 3)\)
12. \(\log_2 (x^3 – x^2) = \log_2 (6x)\)
13. \(\log_3 (x^2 + 5x – 6) = \log_3 (3x^2 – x – 6)\)
14. \(\log_5 (x^2 – x – 12) = \log_5 (x^2 + 3x – 4)\)
15. \(\log_2 (2x^2 – 5x + 3) = \log_2 (x^2 + x – 2)\)