Persamaan yang Memuat Pecahan
Materi Lengkap: Menyamakan Penyebut, Menghilangkan Pecahan, dan Menentukan Solusi
1. Menyamakan Penyebut
🔍 Mengamati
Perhatikan persamaan berikut:
Persamaan di atas memuat pecahan dengan penyebut yang berbeda-beda, yaitu 2, 3, dan 6. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita perlu menyamakan penyebutnya terlebih dahulu.
❓ Menanya
- Bagaimana cara menyamakan penyebut pada persamaan yang memuat pecahan?
- Apa itu KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dan bagaimana menghitungnya?
- Mengapa kita perlu menyamakan penyebut?
💡 Menalar
Pengertian
Menyamakan penyebut adalah langkah mengubah semua pecahan dalam suatu persamaan agar memiliki penyebut yang sama. Penyebut yang sama ini adalah KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari semua penyebut.
Langkah-Langkah
- Tentukan KPK dari semua penyebut yang ada dalam persamaan.
- Kalikan pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan bilangan yang sesuai agar penyebutnya menjadi KPK.
- Tuliskan kembali persamaan dengan penyebut yang sudah sama.
- Selesaikan persamaan tersebut.
Cara Menentukan KPK
KPK dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan:
- Faktorisasi prima: Uraikan setiap bilangan menjadi faktor prima, lalu ambil faktor prima dengan pangkat tertinggi.
- Kelipatan: Tuliskan kelipatan dari masing-masing bilangan, lalu pilih kelipatan terkecil yang sama.
Contoh: KPK dari 2, 3, dan 6
2 = 2¹
3 = 3¹
6 = 2¹ × 3¹
KPK = 2¹ × 3¹ = 6
✏️ Mencoba
Selesaikan persamaan: x2 + 13 = 56
Langkah 1: KPK dari 2, 3, 6 = 6
Langkah 2: Kalikan setiap pecahan:
Langkah 3: Karena penyebut sama (6), samakan pembilang:
3x + 2 = 5
3x = 3
x = 1
📢 Mengkomunikasikan
Dengan menyamakan penyebut, kita mengubah persamaan pecahan menjadi persamaan biasa yang lebih mudah diselesaikan. Kunci utamanya adalah menemukan KPK dari seluruh penyebut.
📝 Contoh Soal – Menyamakan Penyebut
MUDAH Contoh Soal 1–10
1. Selesaikan: x2 = 34
Pembahasan:
KPK(2, 4) = 4
2x4 = 34
2x = 3 → x = 3/2
2. Selesaikan: x3 = 26
Pembahasan:
KPK(3, 6) = 6
2x6 = 26
2x = 2 → x = 1
3. Selesaikan: x4 + 12 = 1
Pembahasan:
KPK(4, 2) = 4. Ubah semua ke penyebut 4:
x4 + 24 = 44
x + 2 = 4 → x = 2
4. Selesaikan: x5 = 25
Pembahasan:
Penyebut sudah sama. x = 2 → x = 2
5. Selesaikan: x3 + x6 = 1
Pembahasan:
KPK(3, 6) = 6
2x6 + x6 = 66
3x = 6 → x = 2
6. Selesaikan: 2x3 = 49
Pembahasan:
KPK(3, 9) = 9
6x9 = 49
6x = 4 → x = 2/3
7. Selesaikan: x2 − 14 = 14
Pembahasan:
KPK(2, 4) = 4
2x4 − 14 = 14
2x − 1 = 1 → 2x = 2 → x = 1
8. Selesaikan: x6 = 12
Pembahasan:
KPK(6, 2) = 6
x6 = 36
x = 3
9. Selesaikan: x4 + x4 = 3
Pembahasan:
Penyebut sama: 2x4 = 3
2x = 12 → x = 6
10. Selesaikan: x5 + 110 = 310
Pembahasan:
KPK(5, 10) = 10
2x10 + 110 = 310
2x + 1 = 3 → 2x = 2 → x = 1
SEDANG Contoh Soal 11–15
11. Selesaikan: 2x + 13 = x − 12
Pembahasan:
KPK(3, 2) = 6
2(2x + 1)6 = 3(x − 1)6
4x + 2 = 3x − 3
4x − 3x = −3 − 2
x = −5
12. Selesaikan: x2 + x3 + x4 = 13
Pembahasan:
KPK(2, 3, 4) = 12
6x12 + 4x12 + 3x12 = 13
13x/12 = 13 → 13x = 156 → x = 12
13. Selesaikan: 3x − 24 − x + 16 = 1
Pembahasan:
KPK(4, 6) = 12
3(3x − 2)12 − 2(x + 1)12 = 1212
9x − 6 − 2x − 2 = 12
7x − 8 = 12 → 7x = 20 → x = 20/7
14. Selesaikan: x + 35 + 2x − 110 = 2
Pembahasan:
KPK(5, 10) = 10
2(x + 3)10 + 2x − 110 = 2010
2x + 6 + 2x − 1 = 20
4x + 5 = 20 → 4x = 15 → x = 15/4
15. Selesaikan: 5x6 − x4 = 712
Pembahasan:
KPK(6, 4, 12) = 12
10x12 − 3x12 = 712
7x = 7 → x = 1
SULIT Contoh Soal 16–20
16. Selesaikan: 2x − 35 + 3x + 14 − x − 210 = 3
Pembahasan:
KPK(5, 4, 10) = 20
4(2x−3)20 + 5(3x+1)20 − 2(x−2)20 = 6020
8x − 12 + 15x + 5 − 2x + 4 = 60
21x − 3 = 60 → 21x = 63 → x = 3
17. Selesaikan: x + 12 − 2x − 37 = x + 514
Pembahasan:
KPK(2, 7, 14) = 14
7(x+1) − 2(2x−3) = x + 5
7x + 7 − 4x + 6 = x + 5
3x + 13 = x + 5
2x = −8 → x = −4
18. Selesaikan: 4x − 13 + 2x + 59 = 5x − 26
Pembahasan:
KPK(3, 9, 6) = 18
6(4x−1) + 2(2x+5) = 3(5x−2)
24x − 6 + 4x + 10 = 15x − 6
28x + 4 = 15x − 6
13x = −10 → x = −10/13
19. Selesaikan: x − 13 + x − 24 + x − 35 = x − 46
Pembahasan:
KPK(3, 4, 5, 6) = 60
20(x−1) + 15(x−2) + 12(x−3) = 10(x−4)
20x−20 + 15x−30 + 12x−36 = 10x−40
47x − 86 = 10x − 40
37x = 46 → x = 46/37
20. Selesaikan: 3(x+2)8 − 2(x−1)6 + x+412 = 2
Pembahasan:
KPK(8, 6, 12) = 24
3·3(x+2) − 4·2(x−1) + 2(x+4) = 48
9x+18 − 8x+4 + 2x+8 = 48
3x + 30 = 48 → 3x = 18 → x = 6
🏋️ Latihan Soal – Menyamakan Penyebut
MUDAH
1. x3 = 49
2. x4 + 12 = 34
3. 2x5 = 610
4. x6 + x3 = 1
5. x2 − 16 = 13
6. 3x4 = 98
7. x5 + 25 = 1
8. x8 = 34
9. x3 + x9 = 4
10. 2x7 = 47
SEDANG
11. x+13 + x−14 = 2
12. 2x+35 − x−210 = 1
13. 3x4 + x6 = 53
14. x+23 = 2x−16
15. 4x−18 + x+34 = 3
SULIT
16. 2x−13 + x+45 − x−215 = 4
17. x+12 − 3x−28 + x4 = 1
18. 5x+36 − 2x−19 = x+718
19. x−14 + x−25 + x−310 = 3
20. 3(x+1)7 + 2(x−3)14 − x+52 = 0
2. Menghilangkan Pecahan
🔍 Mengamati
Perhatikan persamaan:
Daripada menyamakan penyebut satu per satu, kita bisa langsung mengalikan seluruh persamaan dengan KPK penyebutnya untuk menghilangkan semua pecahan sekaligus.
❓ Menanya
- Apa bedanya “menyamakan penyebut” dengan “menghilangkan pecahan”?
- Mengapa boleh mengalikan kedua ruas dengan KPK?
- Kapan metode ini lebih efektif?
💡 Menalar
Prinsip Dasar
Berdasarkan sifat kesamaan (equality), jika kedua ruas persamaan dikalikan dengan bilangan yang sama (bukan nol), maka persamaan tetap bernilai benar. Dengan mengalikan kedua ruas dengan KPK dari semua penyebut, seluruh pecahan akan hilang.
Langkah-Langkah
- Tentukan KPK dari semua penyebut.
- Kalikan setiap suku pada kedua ruas dengan KPK tersebut.
- Sederhanakan setiap suku (pecahan akan hilang).
- Selesaikan persamaan linear yang dihasilkan.
Perbedaan dengan Menyamakan Penyebut
| Menyamakan Penyebut | Menghilangkan Pecahan |
|---|---|
| Ubah tiap pecahan agar penyebutnya sama | Kalikan seluruh persamaan dengan KPK |
| Hasilnya masih berbentuk pecahan | Pecahan langsung hilang |
| Cocok untuk persamaan sederhana | Lebih efisien untuk persamaan kompleks |
✏️ Mencoba
Selesaikan: x + 23 − 12 = x6
Langkah 1: KPK(3, 2, 6) = 6
Langkah 2: Kalikan setiap suku dengan 6:
6 × x+23 − 6 × 12 = 6 × x6
Langkah 3: Sederhanakan:
2(x + 2) − 3 = x
2x + 4 − 3 = x
2x + 1 = x
x = −1
📢 Mengkomunikasikan
Metode menghilangkan pecahan lebih cepat karena langsung mengubah persamaan pecahan menjadi persamaan tanpa pecahan dalam satu langkah. Kuncinya: kalikan setiap suku (bukan hanya satu ruas) dengan KPK.
📝 Contoh Soal – Menghilangkan Pecahan
MUDAH Contoh Soal 1–10
1. Selesaikan: x3 = 4
Pembahasan: Kalikan kedua ruas dengan 3:
x = 12 → x = 12
2. Selesaikan: x5 + 1 = 3
Pembahasan: Kalikan semua suku dengan 5:
x + 5 = 15 → x = 10
3. Selesaikan: 2x4 = 3
Pembahasan: Kalikan kedua ruas dengan 4:
2x = 12 → x = 6
4. Selesaikan: x2 − 1 = 2
Pembahasan: Kalikan semua suku dengan 2:
x − 2 = 4 → x = 6
5. Selesaikan: x + 14 = 2
Pembahasan: Kalikan kedua ruas dengan 4:
x + 1 = 8 → x = 7
6. Selesaikan: 3x2 = 9
Pembahasan: Kalikan kedua ruas dengan 2:
3x = 18 → x = 6
7. Selesaikan: x − 35 = 1
Pembahasan: Kalikan kedua ruas dengan 5:
x − 3 = 5 → x = 8
8. Selesaikan: x6 + 2 = 5
Pembahasan: Kalikan semua suku dengan 6:
x + 12 = 30 → x = 18
9. Selesaikan: 4x3 = 8
Pembahasan: Kalikan kedua ruas dengan 3:
4x = 24 → x = 6
10. Selesaikan: x + 52 = 4
Pembahasan: Kalikan kedua ruas dengan 2:
x + 5 = 8 → x = 3
SEDANG Contoh Soal 11–15
11. Selesaikan: x2 + x5 = 7
Pembahasan: KPK(2,5) = 10. Kalikan semua dengan 10:
5x + 2x = 70 → 7x = 70 → x = 10
12. Selesaikan: 2x − 13 + x4 = 5
Pembahasan: KPK(3,4) = 12. Kalikan semua dengan 12:
4(2x−1) + 3x = 60
8x − 4 + 3x = 60 → 11x = 64 → x = 64/11
13. Selesaikan: x + 36 − x − 14 = 1
Pembahasan: KPK(6,4) = 12. Kalikan semua dengan 12:
2(x+3) − 3(x−1) = 12
2x + 6 − 3x + 3 = 12 → −x + 9 = 12 → x = −3
14. Selesaikan: 3x7 − x2 = 1
Pembahasan: KPK(7,2) = 14. Kalikan semua dengan 14:
6x − 7x = 14 → −x = 14 → x = −14
15. Selesaikan: 5x + 24 = 3x − 12
Pembahasan: KPK(4,2) = 4. Kalikan semua dengan 4:
5x + 2 = 2(3x − 1)
5x + 2 = 6x − 2 → x = 4
SULIT Contoh Soal 16–20
16. Selesaikan: x+12 − x−23 + x+34 = 5
Pembahasan: KPK(2,3,4) = 12. Kalikan semua dengan 12:
6(x+1) − 4(x−2) + 3(x+3) = 60
6x+6 − 4x+8 + 3x+9 = 60
5x + 23 = 60 → 5x = 37 → x = 37/5
17. Selesaikan: 2(x−1)5 + 3(x+2)10 = x+72
Pembahasan: KPK(5,10,2) = 10. Kalikan semua dengan 10:
4(x−1) + 3(x+2) = 5(x+7)
4x−4 + 3x+6 = 5x+35
7x + 2 = 5x + 35 → 2x = 33 → x = 33/2
18. Selesaikan: 4x−36 − 2x+19 = x−53 + 1
Pembahasan: KPK(6,9,3) = 18. Kalikan semua dengan 18:
3(4x−3) − 2(2x+1) = 6(x−5) + 18
12x−9 − 4x−2 = 6x−30 + 18
8x − 11 = 6x − 12
2x = −1 → x = −1/2
19. Selesaikan: x3 + x4 − x6 = x2 + 1
Pembahasan: KPK(3,4,6,2) = 12. Kalikan semua dengan 12:
4x + 3x − 2x = 6x + 12
5x = 6x + 12 → −x = 12 → x = −12
20. Selesaikan: 5(x+1)8 − 3(x−2)4 + x+616 = 0
Pembahasan: KPK(8,4,16) = 16. Kalikan semua dengan 16:
2·5(x+1) − 4·3(x−2) + (x+6) = 0
10x+10 − 12x+24 + x+6 = 0
−x + 40 = 0 → x = 40
🏋️ Latihan Soal – Menghilangkan Pecahan
MUDAH
1. x4 = 5
2. 2x3 = 6
3. x − 25 = 3
4. x7 + 1 = 2
5. 3x4 = 6
6. x + 43 = 3
7. x2 − 3 = 1
8. 5x6 = 10
9. x + 18 = 1
10. 2x − 34 = 1
SEDANG
11. x3 + x4 = 7
12. 2x+15 − x3 = 1
13. x−32 + x+16 = 4
14. 4x5 = x+32
15. 3x−27 + x2 = 3
SULIT
16. x+23 − x−14 + x+56 = 4
17. 2(x−3)5 + 3(x+1)10 − x2 = 2
18. 5x−18 + 3x+26 = x+43
19. x2 − x3 + x4 − x6 = 5
20. 4(x+1)9 − 2(x−3)6 + x+218 = 1
3. Menentukan Solusi
🔍 Mengamati
Setelah menyamakan penyebut atau menghilangkan pecahan, kita mendapat persamaan linear biasa. Langkah terakhir adalah menentukan solusi (nilai variabel yang memenuhi persamaan).
Dari persamaan: 2x + 13 − x − 24 = 1
Setelah menghilangkan pecahan → 8x + 4 − 3x + 6 = 12
Bagaimana menentukan nilai x yang benar?
❓ Menanya
- Bagaimana cara memastikan solusi yang diperoleh benar?
- Apakah setiap persamaan pecahan selalu memiliki solusi?
- Bagaimana jika variabel muncul di penyebut?
💡 Menalar
Langkah Menentukan Solusi
- Hilangkan pecahan (kalikan KPK ke kedua ruas).
- Distribusikan perkalian ke dalam kurung.
- Kumpulkan suku-suku yang mengandung variabel di satu ruas, konstanta di ruas lain.
- Sederhanakan kedua ruas.
- Bagi kedua ruas dengan koefisien variabel.
- Verifikasi dengan mensubstitusikan solusi ke persamaan awal.
Verifikasi (Pembuktian)
Substitusikan nilai x yang diperoleh ke persamaan awal. Jika ruas kiri = ruas kanan, maka solusi benar.
Kasus Khusus
- Tidak ada solusi: Jika setelah disederhanakan diperoleh pernyataan salah (misal: 0 = 5), maka persamaan tidak memiliki solusi.
- Banyak solusi: Jika diperoleh pernyataan selalu benar (misal: 0 = 0), maka persamaan memiliki tak hingga solusi.
- Variabel di penyebut: Perlu dicek syarat penyebut ≠ 0.
✏️ Mencoba
Selesaikan dan verifikasi: 2x + 13 − x − 24 = 1
Langkah 1: KPK(3,4) = 12. Kalikan semua dengan 12:
4(2x+1) − 3(x−2) = 12
Langkah 2: Distribusikan:
8x + 4 − 3x + 6 = 12
Langkah 3: Sederhanakan:
5x + 10 = 12 → 5x = 2 → x = 2/5
Verifikasi:
Ruas kiri = 2(2/5)+13 − (2/5)−24
= 4/5+13 − 2/5−24 = 9/53 − −8/54
= 35 + 25 = 55 = 1 ✓
📢 Mengkomunikasikan
Menentukan solusi bukan hanya mencari nilai x, tetapi juga memverifikasi bahwa nilai tersebut benar. Kebiasaan mengecek jawaban akan meminimalkan kesalahan.
📝 Contoh Soal – Menentukan Solusi
MUDAH Contoh Soal 1–10
1. Tentukan solusi: x3 + 2 = 5
Pembahasan: ×3: x + 6 = 15 → x = 9
Verifikasi: 9/3 + 2 = 3 + 2 = 5 ✓ → x = 9
2. Tentukan solusi: 2x5 = 4
Pembahasan: ×5: 2x = 20 → x = 10
Verifikasi: 2(10)/5 = 20/5 = 4 ✓ → x = 10
3. Tentukan solusi: x − 12 = 3
Pembahasan: ×2: x − 1 = 6 → x = 7
Verifikasi: (7−1)/2 = 6/2 = 3 ✓ → x = 7
4. Tentukan solusi: 3x4 − 1 = 2
Pembahasan: ×4: 3x − 4 = 8 → 3x = 12 → x = 4
Verifikasi: 3(4)/4 − 1 = 3 − 1 = 2 ✓ → x = 4
5. Tentukan solusi: x + 46 = 1
Pembahasan: ×6: x + 4 = 6 → x = 2
Verifikasi: (2+4)/6 = 6/6 = 1 ✓ → x = 2
6. Tentukan solusi: x2 + x4 = 6
Pembahasan: ×4: 2x + x = 24 → 3x = 24 → x = 8
Verifikasi: 8/2 + 8/4 = 4 + 2 = 6 ✓ → x = 8
7. Tentukan solusi: 5x3 = 10
Pembahasan: ×3: 5x = 30 → x = 6
Verifikasi: 5(6)/3 = 30/3 = 10 ✓ → x = 6
8. Tentukan solusi: x − 53 = 2
Pembahasan: ×3: x − 5 = 6 → x = 11
Verifikasi: (11−5)/3 = 6/3 = 2 ✓ → x = 11
9. Tentukan solusi: 4x + 22 = 7
Pembahasan: ×2: 4x + 2 = 14 → 4x = 12 → x = 3
Verifikasi: (4·3+2)/2 = 14/2 = 7 ✓ → x = 3
10. Tentukan solusi: x5 − 1 = x10
Pembahasan: ×10: 2x − 10 = x → x = 10
Verifikasi: 10/5 − 1 = 1 dan 10/10 = 1 ✓ → x = 10
SEDANG Contoh Soal 11–15
11. Tentukan solusi: 3x − 14 + x + 23 = 3
Pembahasan: ×12: 3(3x−1) + 4(x+2) = 36
9x − 3 + 4x + 8 = 36 → 13x + 5 = 36 → 13x = 31
x = 31/13
Verifikasi: Substitusi x = 31/13 ke persamaan awal → Ruas kiri = Ruas kanan = 3 ✓
12. Tentukan solusi: x+15 = x−13
Pembahasan: ×15: 3(x+1) = 5(x−1)
3x + 3 = 5x − 5 → −2x = −8 → x = 4
Verifikasi: (4+1)/5 = 1 dan (4−1)/3 = 1 ✓
13. Tentukan solusi: 2x3 − x6 = x+42
Pembahasan: ×6: 4x − x = 3(x+4)
3x = 3x + 12 → 0 = 12
Tidak ada solusi (pernyataan salah)
14. Tentukan solusi: 5x − 32 − x + 14 = 4
Pembahasan: ×4: 2(5x−3) − (x+1) = 16
10x − 6 − x − 1 = 16 → 9x − 7 = 16 → 9x = 23
x = 23/9
15. Tentukan solusi: x+24 + x−24 = x2
Pembahasan: ×4: (x+2) + (x−2) = 2x
2x = 2x → 0 = 0
Banyak solusi (pernyataan selalu benar, berlaku untuk semua x)
SULIT Contoh Soal 16–20
16. Tentukan solusi: 3x−25 + 2x+13 − x−415 = 2
Pembahasan: KPK(5,3,15) = 15. Kalikan semua ×15:
3(3x−2) + 5(2x+1) − (x−4) = 30
9x−6 + 10x+5 − x+4 = 30
18x + 3 = 30 → 18x = 27 → x = 3/2
Verifikasi: Substitusi x = 3/2:
= (9/2−2)/5 + (3+1)/3 − (3/2−4)/15 = (5/2)/5 + 4/3 − (−5/2)/15
= 1/2 + 4/3 + 1/6 = 3/6 + 8/6 + 1/6 = 12/6 = 2 ✓
17. Tentukan solusi: x+34 − 2x−56 = x−112 + 1
Pembahasan: ×12: 3(x+3) − 2(2x−5) = (x−1) + 12
3x+9 − 4x+10 = x−1+12
−x + 19 = x + 11 → −2x = −8 → x = 4
Verifikasi: (7)/4 − (3)/6 = 7/4 − 1/2 = 5/4 dan (3)/12 + 1 = 1/4 + 1 = 5/4 ✓
18. Tentukan solusi: 5x+1 = 3x−1 (variabel di penyebut)
Pembahasan: Syarat: x ≠ −1 dan x ≠ 1
Kalikan silang: 5(x−1) = 3(x+1)
5x − 5 = 3x + 3 → 2x = 8 → x = 4
x = 4 memenuhi syarat (≠ −1 dan ≠ 1) ✓
Verifikasi: 5/(4+1) = 1 dan 3/(4−1) = 1 ✓
19. Tentukan solusi: 2x + 32x = 74 (variabel di penyebut)
Pembahasan: Syarat: x ≠ 0. KPK(x, 2x, 4) = 4x. Kalikan semua ×4x:
8 + 6 = 7x → 14 = 7x → x = 2
x = 2 memenuhi syarat (≠ 0) ✓
Verifikasi: 2/2 + 3/4 = 1 + 3/4 = 7/4 ✓
20. Tentukan solusi: x+1x−2 = 32 (variabel di penyebut)
Pembahasan: Syarat: x ≠ 2
Kalikan silang: 2(x+1) = 3(x−2)
2x + 2 = 3x − 6 → −x = −8 → x = 8
x = 8 memenuhi syarat (≠ 2) ✓
Verifikasi: (8+1)/(8−2) = 9/6 = 3/2 ✓
🏋️ Latihan Soal – Menentukan Solusi
MUDAH
1. x4 + 3 = 5
2. 3x2 = 9
3. x + 25 = 2
4. x3 − 1 = 3
5. 2x − 13 = 3
6. x6 + x3 = 3
7. 4x5 = 8
8. x − 34 = 2
9. x2 + 1 = x3 + 3
10. 5x + 12 = 8
SEDANG
11. 2x+34 − x−13 = 2
12. x+56 = x−12
13. 3x5 + x4 = x+82
14. 4x−17 + x+23 = 3
15. x2 + x3 + x6 = 12
SULIT
16. x−13 + x−24 − x−36 = 512
17. 4x−1 = 2x+3
18. 3x + 23x = 116
19. 2(x+3)5 − 3(x−1)10 + x+74 = 3
20. x+2x−3 − 12 = 5x−3