Materi Matematika
Menentukan Himpunan Penyelesaian
Langkah Sistematis Penyelesaian & Verifikasi Hasil
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
A. Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear
Memahami langkah sistematis menentukan HP persamaan linear satu variabel
Perhatikan permasalahan berikut:
Pak Ahmad membeli 3 buku tulis dan harus membayar Rp15.000. Berapakah harga satu buku tulis?
Jika harga satu buku tulis = x, maka kita peroleh persamaan:
Nilai x yang memenuhi persamaan ini disebut penyelesaian, dan himpunan semua penyelesaiannya disebut Himpunan Penyelesaian (HP).
Dari pengamatan di atas, muncul beberapa pertanyaan penting:
- Apa yang dimaksud dengan Himpunan Penyelesaian (HP)?
- Bagaimana langkah-langkah sistematis menentukan HP?
- Bagaimana cara memverifikasi bahwa jawaban kita benar?
- Apa perbedaan HP persamaan dan pertidaksamaan?
Definisi
Himpunan Penyelesaian (HP) adalah himpunan semua nilai variabel yang memenuhi (membuat bernilai benar) suatu persamaan atau pertidaksamaan.
Langkah Sistematis Menyelesaikan Persamaan Linear
Bentuk umum persamaan linear satu variabel:
| No | Langkah | Keterangan |
|---|---|---|
| 1 | Sederhanakan masing-masing ruas | Hilangkan tanda kurung, gabungkan suku sejenis |
| 2 | Kumpulkan suku variabel di satu ruas | Pindahkan suku x ke ruas kiri (ubah tanda) |
| 3 | Kumpulkan konstanta di ruas lainnya | Pindahkan bilangan ke ruas kanan (ubah tanda) |
| 4 | Selesaikan variabel | Bagi kedua ruas dengan koefisien variabel |
| 5 | Tulis HP | HP = { nilai } atau dalam notasi himpunan |
| 6 | Verifikasi | Substitusi balik ke persamaan awal |
Contoh Penerapan Langkah Sistematis
Tentukan HP dari: 2x + 5 = 11
Langkah 1: Persamaan sudah sederhana ✓
Langkah 2: Suku variabel sudah di ruas kiri ✓
Langkah 3: Pindahkan konstanta ke ruas kanan
Langkah 4: Bagi kedua ruas dengan 2
Langkah 5: HP = {3}
Langkah 6 (Verifikasi): Substitusi x = 3 ke persamaan awal:
Coba selesaikan persamaan berikut dengan langkah sistematis:
Langkah 2: Pindah suku variabel ke kiri → 5x − 2x = 9 + 3
Langkah 3: Sederhanakan → 3x = 12
Langkah 4: x = 4
Langkah 5: HP = {4}
Verifikasi: 5(4) − 3 = 17 dan 2(4) + 9 = 17 ✓
Kesimpulan:
- HP persamaan linear satu variabel berupa satu nilai tunggal.
- Ditulis dalam notasi himpunan: HP = {a}.
- Prinsip utama: operasi yang sama pada kedua ruas tidak mengubah HP.
- Verifikasi dilakukan dengan substitusi balik ke persamaan awal.
B. Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear
Langkah sistematis & notasi HP pertidaksamaan linear satu variabel
Seorang siswa memiliki uang Rp20.000. Ia ingin membeli pensil seharga Rp4.000 per buah. Berapa pensil paling banyak yang bisa dibeli?
Tanda “≤” (kurang dari atau sama dengan) menunjukkan bahwa ini adalah pertidaksamaan. HP-nya bukan satu nilai, melainkan suatu interval.
- Bagaimana langkah menentukan HP pertidaksamaan?
- Apa yang berubah jika kita mengalikan/membagi dengan bilangan negatif?
- Bagaimana menuliskan HP dalam notasi interval dan garis bilangan?
Simbol Pertidaksamaan
| Simbol | Arti | Contoh |
|---|---|---|
| < | Kurang dari | x < 5 |
| > | Lebih dari | x > 2 |
| ≤ | Kurang dari atau sama dengan | x ≤ 7 |
| ≥ | Lebih dari atau sama dengan | x ≥ −1 |
Aturan Penting ⚠️
Jika kedua ruas dikalikan atau dibagi bilangan negatif, maka tanda pertidaksamaan DIBALIK.
Langkah Sistematis Pertidaksamaan Linear
| No | Langkah | Keterangan |
|---|---|---|
| 1 | Sederhanakan kedua ruas | Hilangkan kurung, gabungkan suku sejenis |
| 2 | Kumpulkan suku variabel di satu ruas | Sama seperti persamaan |
| 3 | Kumpulkan konstanta di ruas lainnya | Pindahkan bilangan |
| 4 | Bagi dengan koefisien variabel | Jika negatif → balik tanda! |
| 5 | Tulis HP | Notasi himpunan, interval, atau garis bilangan |
| 6 | Verifikasi | Pilih satu nilai dalam HP, substitusi ke pertidaksamaan awal |
Notasi Penulisan HP Pertidaksamaan
| HP | Notasi Himpunan | Notasi Interval | Garis Bilangan |
|---|---|---|---|
| x < 3 | {x | x < 3, x ∈ ℝ} | (−∞, 3) | ←——○ 3 |
| x ≤ 3 | {x | x ≤ 3, x ∈ ℝ} | (−∞, 3] | ←——● 3 |
| x > 3 | {x | x > 3, x ∈ ℝ} | (3, ∞) | 3 ○——→ |
| x ≥ 3 | {x | x ≥ 3, x ∈ ℝ} | [3, ∞) | 3 ●——→ |
○ = titik terbuka (nilai tidak termasuk) | ● = titik tertutup (nilai termasuk)
Contoh Penerapan
Tentukan HP: 3x − 7 ≤ 2, x ∈ ℝ
Langkah 3: 3x ≤ 2 + 7 → 3x ≤ 9
Langkah 4: x ≤ 3
Langkah 5: HP = {x | x ≤ 3, x ∈ ℝ} = (−∞, 3]
Verifikasi: Ambil x = 1 → 3(1) − 7 = −4 ≤ 2 ✓
Selesaikan: −2x + 4 > 10
−2x > 10 − 4 → −2x > 6
Bagi dengan −2 → tanda dibalik! → x < −3
HP = {x | x < −3, x ∈ ℝ} = (−∞, −3)
Verifikasi: Ambil x = −5 → −2(−5) + 4 = 14 > 10 ✓
- HP pertidaksamaan berupa interval (banyak nilai), bukan satu nilai.
- Notasi dapat ditulis sebagai: himpunan, interval, atau garis bilangan.
- Aturan kunci: kali/bagi negatif = balik tanda.
- Verifikasi: ambil satu nilai di dalam HP, substitusi ke pertidaksamaan awal.
C. Verifikasi Hasil (Pembuktian Kebenaran HP)
Teknik memastikan HP yang diperoleh sudah benar
Perhatikan dua hasil penyelesaian berikut:
Hasil A (Benar ✓)
2x + 3 = 9 → x = 3
Cek: 2(3)+3 = 9 ✓
Hasil B (Salah ✗)
2x + 3 = 9 → x = 4 (salah hitung)
Cek: 2(4)+3 = 11 ≠ 9 ✗
Teknik Verifikasi untuk Persamaan
| No | Langkah |
|---|---|
| 1 | Substitusi nilai HP ke ruas kiri persamaan awal |
| 2 | Hitung hasilnya |
| 3 | Bandingkan dengan ruas kanan |
| 4 | Jika ruas kiri = ruas kanan → HP benar ✓ |
Teknik Verifikasi untuk Pertidaksamaan
| No | Langkah |
|---|---|
| 1 | Pilih satu nilai yang berada di dalam HP |
| 2 | Substitusi ke pertidaksamaan awal |
| 3 | Cek apakah pertidaksamaan terpenuhi |
| 4 | (Opsional) Pilih satu nilai di luar HP, pastikan tidak memenuhi |
Contoh Verifikasi Lengkap
Soal: 4x − 2 > 10, x ∈ ℝ
Penyelesaian: 4x > 12 → x > 3
HP = {x | x > 3, x ∈ ℝ} = (3, ∞)
Verifikasi (dalam HP): Ambil x = 5
Verifikasi (luar HP): Ambil x = 1
Kedua verifikasi konsisten → HP benar ✓
- Verifikasi adalah langkah wajib untuk memastikan HP benar.
- Untuk persamaan: substitusi langsung ke kedua ruas.
- Untuk pertidaksamaan: uji satu nilai di dalam dan (opsional) di luar HP.
- Jika verifikasi gagal, periksa kembali langkah penyelesaian dari awal.
📝 Contoh Soal & Pembahasan
10 soal mudah, 5 soal sedang, 5 soal sulit — lengkap dengan pembahasan detail
✏️ Latihan Soal
10 soal mudah, 5 soal sedang, 5 soal sulit — kerjakan secara mandiri!