Menentukan Pasangan Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)
Fokus: Substitusi Nilai & Verifikasi Pasangan
1. Substitusi Nilai pada PLDV
Perhatikan persamaan linear dua variabel berikut:
Persamaan ini memiliki dua variabel, yaitu x dan y. Kita ingin mencari pasangan nilai (x, y) yang membuat persamaan tersebut bernilai benar.
Contoh: Jika x = 3 dan y = 2, maka:
Pasangan (3, 2) merupakan penyelesaian dari persamaan tersebut.
Pertanyaan yang muncul:
- Bagaimana cara menentukan pasangan penyelesaian PLDV?
- Apakah PLDV hanya memiliki satu pasangan penyelesaian?
- Apa yang dimaksud dengan substitusi nilai?
- Bagaimana cara memastikan pasangan yang kita temukan benar?
Pengertian Substitusi Nilai
Substitusi berarti mengganti variabel dengan suatu nilai tertentu. Dalam konteks PLDV, substitusi nilai dilakukan untuk menentukan nilai variabel lain sehingga persamaan bernilai benar.
Langkah-langkah Substitusi Nilai:
- Pilih salah satu variabel dan tentukan nilainya (misalnya, tentukan nilai x)
- Substitusikan (gantikan) nilai tersebut ke dalam persamaan
- Selesaikan persamaan untuk menemukan nilai variabel lainnya
- Tuliskan pasangan penyelesaian dalam bentuk (x, y)
Bentuk Umum PLDV:
dengan a, b, c ∈ ℝ dan a ≠ 0, b ≠ 0
Contoh Tabel Pasangan Penyelesaian:
Untuk persamaan x + y = 5:
| x | y = 5 − x | Pasangan (x, y) | Keterangan |
|---|---|---|---|
| 0 | 5 | (0, 5) | Penyelesaian ✓ |
| 1 | 4 | (1, 4) | Penyelesaian ✓ |
| 2 | 3 | (2, 3) | Penyelesaian ✓ |
| 3 | 2 | (3, 2) | Penyelesaian ✓ |
| 5 | 0 | (5, 0) | Penyelesaian ✓ |
Kesimpulan: PLDV memiliki tak hingga banyak pasangan penyelesaian.
Kegiatan:
Diberikan persamaan: 3x + 2y = 18
Coba substitusikan nilai x = 0, 2, 4, 6 untuk menemukan pasangan penyelesaiannya!
| x | Proses | y | Pasangan |
|---|---|---|---|
| 0 | 3(0) + 2y = 18 → 2y = 18 → y = 9 | 9 | (0, 9) |
| 2 | 3(2) + 2y = 18 → 6 + 2y = 18 → y = 6 | 6 | (2, 6) |
| 4 | 3(4) + 2y = 18 → 12 + 2y = 18 → y = 3 | 3 | (4, 3) |
| 6 | 3(6) + 2y = 18 → 18 + 2y = 18 → y = 0 | 0 | (6, 0) |
Ringkasan:
- Substitusi nilai adalah cara menentukan pasangan penyelesaian PLDV dengan mengganti salah satu variabel dengan nilai tertentu.
- Setelah substitusi, kita menyelesaikan persamaan satu variabel yang terbentuk.
- Hasilnya berupa pasangan bilangan (x, y) yang memenuhi persamaan.
- Satu persamaan linear dua variabel memiliki tak hingga banyak penyelesaian.
2. Contoh Soal: Substitusi Nilai
Tingkat Mudah (10 Soal)
1. Tentukan nilai y jika x = 2 pada persamaan x + y = 7
Pembahasan:
Substitusi x = 2:
2 + y = 7
y = 7 − 2 = 5
Pasangan penyelesaian: (2, 5)
2. Tentukan nilai y jika x = 0 pada persamaan 2x + y = 8
Pembahasan:
Substitusi x = 0:
2(0) + y = 8
0 + y = 8
y = 8
Pasangan penyelesaian: (0, 8)
3. Tentukan nilai x jika y = 3 pada persamaan x + 2y = 10
Pembahasan:
Substitusi y = 3:
x + 2(3) = 10
x + 6 = 10
x = 10 − 6 = 4
Pasangan penyelesaian: (4, 3)
4. Tentukan nilai y jika x = 1 pada persamaan 3x + y = 9
Pembahasan:
Substitusi x = 1:
3(1) + y = 9
3 + y = 9
y = 6
Pasangan penyelesaian: (1, 6)
5. Tentukan nilai y jika x = 5 pada persamaan x − y = 2
Pembahasan:
Substitusi x = 5:
5 − y = 2
−y = 2 − 5 = −3
y = 3
Pasangan penyelesaian: (5, 3)
6. Tentukan nilai x jika y = 0 pada persamaan 4x + y = 12
Pembahasan:
Substitusi y = 0:
4x + 0 = 12
4x = 12
x = 3
Pasangan penyelesaian: (3, 0)
7. Tentukan nilai y jika x = 4 pada persamaan x + y = 10
Pembahasan:
Substitusi x = 4:
4 + y = 10
y = 6
Pasangan penyelesaian: (4, 6)
8. Tentukan nilai y jika x = 3 pada persamaan 2x + 2y = 14
Pembahasan:
Substitusi x = 3:
2(3) + 2y = 14
6 + 2y = 14
2y = 8
y = 4
Pasangan penyelesaian: (3, 4)
9. Tentukan nilai x jika y = 2 pada persamaan x + 3y = 11
Pembahasan:
Substitusi y = 2:
x + 3(2) = 11
x + 6 = 11
x = 5
Pasangan penyelesaian: (5, 2)
10. Tentukan nilai y jika x = 6 pada persamaan x + y = 9
Pembahasan:
Substitusi x = 6:
6 + y = 9
y = 3
Pasangan penyelesaian: (6, 3)
Tingkat Sedang (5 Soal)
1. Tentukan 3 pasangan penyelesaian dari persamaan 2x − y = 4
Pembahasan:
Ubah ke bentuk y = 2x − 4
• x = 0: y = 2(0) − 4 = −4 → (0, −4)
• x = 2: y = 2(2) − 4 = 0 → (2, 0)
• x = 3: y = 2(3) − 4 = 2 → (3, 2)
Pasangan penyelesaian: (0, −4), (2, 0), (3, 2)
2. Tentukan nilai y jika x = −1 pada persamaan 3x + 4y = 13
Pembahasan:
Substitusi x = −1:
3(−1) + 4y = 13
−3 + 4y = 13
4y = 16
y = 4
Pasangan penyelesaian: (−1, 4)
3. Tentukan nilai x jika y = −2 pada persamaan 5x − 2y = 14
Pembahasan:
Substitusi y = −2:
5x − 2(−2) = 14
5x + 4 = 14
5x = 10
x = 2
Pasangan penyelesaian: (2, −2)
4. Tentukan nilai y jika x = ½ pada persamaan 4x + 6y = 20
Pembahasan:
Substitusi x = ½:
4(½) + 6y = 20
2 + 6y = 20
6y = 18
y = 3
Pasangan penyelesaian: (½, 3)
5. Tentukan 3 pasangan penyelesaian bilangan bulat dari x − 3y = −6
Pembahasan:
Ubah ke bentuk x = 3y − 6
• y = 0: x = 3(0) − 6 = −6 → (−6, 0)
• y = 2: x = 3(2) − 6 = 0 → (0, 2)
• y = 4: x = 3(4) − 6 = 6 → (6, 4)
Pasangan penyelesaian: (−6, 0), (0, 2), (6, 4)
Tingkat Sulit (5 Soal)
1. Tentukan semua pasangan penyelesaian bilangan bulat positif dari 3x + 5y = 30
Pembahasan:
Ubah: y = (30 − 3x) / 5
Syarat: x > 0, y > 0, dan (30 − 3x) habis dibagi 5
• x = 5: y = (30−15)/5 = 3 → (5, 3) ✓
• x = 10: y = (30−30)/5 = 0 → tidak positif ✗
Satu-satunya pasangan bilangan bulat positif: (5, 3)
2. Jika pasangan (a, 3) dan (5, b) keduanya merupakan penyelesaian 2x − 3y = 1, tentukan nilai a + b
Pembahasan:
Untuk (a, 3): 2a − 3(3) = 1 → 2a − 9 = 1 → 2a = 10 → a = 5
Untuk (5, b): 2(5) − 3b = 1 → 10 − 3b = 1 → 3b = 9 → b = 3
a + b = 5 + 3 = 8
3. Tentukan nilai k agar pasangan (2, −1) merupakan penyelesaian dari kx + 4y = 6
Pembahasan:
Substitusi x = 2 dan y = −1:
k(2) + 4(−1) = 6
2k − 4 = 6
2k = 10
k = 5
4. Tentukan nilai m dan n jika pasangan (m, n) memenuhi kedua persamaan: x + y = 7 dan 2x − y = 2
Pembahasan:
Dari persamaan 1: y = 7 − x
Substitusi ke persamaan 2:
2x − (7 − x) = 2
2x − 7 + x = 2
3x = 9
x = 3
y = 7 − 3 = 4
m = 3, n = 4
5. Persamaan ax + by = 10 memiliki penyelesaian (1, 2) dan (3, 1). Tentukan nilai a dan b.
Pembahasan:
Substitusi (1, 2): a(1) + b(2) = 10 → a + 2b = 10 … (i)
Substitusi (3, 1): a(3) + b(1) = 10 → 3a + b = 10 … (ii)
Dari (i): a = 10 − 2b
Substitusi ke (ii): 3(10 − 2b) + b = 10 → 30 − 6b + b = 10 → −5b = −20 → b = 4
a = 10 − 2(4) = 2
a = 2, b = 4
3. Latihan Soal: Substitusi Nilai
Tingkat Mudah (10 Soal)
1. Tentukan nilai y jika x = 3 pada persamaan x + y = 8
2. Tentukan nilai y jika x = 0 pada persamaan 3x + y = 6
3. Tentukan nilai x jika y = 1 pada persamaan 2x + y = 9
4. Tentukan nilai y jika x = 5 pada persamaan x + 2y = 15
5. Tentukan nilai x jika y = 4 pada persamaan x − y = 1
6. Tentukan nilai y jika x = 2 pada persamaan 4x + y = 11
7. Tentukan nilai x jika y = 0 pada persamaan 5x + 3y = 20
8. Tentukan nilai y jika x = 1 pada persamaan x + 4y = 13
9. Tentukan nilai y jika x = 7 pada persamaan x + y = 12
10. Tentukan nilai x jika y = 5 pada persamaan 2x + y = 13
Tingkat Sedang (5 Soal)
1. Tentukan 3 pasangan penyelesaian bilangan bulat dari 2x + 3y = 12
2. Tentukan nilai y jika x = −2 pada persamaan 4x − 3y = −17
3. Tentukan nilai x jika y = ⅓ pada persamaan 6x + 9y = 15
4. Tentukan 3 pasangan penyelesaian dari x − 2y = −4
5. Tentukan nilai y jika x = −3 pada persamaan −2x + 5y = 21
Tingkat Sulit (5 Soal)
1. Tentukan semua pasangan penyelesaian bilangan bulat positif dari 4x + 7y = 35
2. Jika (p, 2) dan (4, q) keduanya penyelesaian 3x + 2y = 14, tentukan p × q
3. Tentukan nilai k agar (−1, 3) merupakan penyelesaian 2x + ky = 10
4. Persamaan ax + by = 12 memiliki penyelesaian (2, 1) dan (1, 4). Tentukan a dan b.
5. Tentukan pasangan (x, y) bilangan bulat yang memenuhi x + y = 8 dan 3x − 2y = 4 sekaligus.
4. Verifikasi Pasangan Penyelesaian
Perhatikan persamaan 2x + y = 10. Diberikan beberapa pasangan berikut:
| Pasangan (x, y) | Substitusi | Hasil | Kesimpulan |
|---|---|---|---|
| (3, 4) | 2(3) + 4 = 6 + 4 | 10 | ✓ Penyelesaian |
| (2, 5) | 2(2) + 5 = 4 + 5 | 9 ≠ 10 | ✗ Bukan penyelesaian |
| (4, 2) | 2(4) + 2 = 8 + 2 | 10 | ✓ Penyelesaian |
| (1, 7) | 2(1) + 7 = 2 + 7 | 9 ≠ 10 | ✗ Bukan penyelesaian |
Pertanyaan:
- Bagaimana cara membuktikan suatu pasangan merupakan penyelesaian?
- Apa yang terjadi jika ruas kiri ≠ ruas kanan?
- Bagaimana cara memeriksa banyak pasangan sekaligus?
Pengertian Verifikasi Pasangan
Verifikasi berarti memeriksa kebenaran. Dalam konteks PLDV, verifikasi dilakukan untuk mengecek apakah suatu pasangan (x, y) merupakan penyelesaian dari persamaan.
Langkah-langkah Verifikasi:
- Substitusikan nilai x dan y dari pasangan ke persamaan
- Hitung ruas kiri persamaan
- Bandingkan hasil perhitungan dengan ruas kanan
- Simpulkan:
- Jika ruas kiri = ruas kanan → pasangan tersebut merupakan penyelesaian
- Jika ruas kiri ≠ ruas kanan → pasangan tersebut bukan penyelesaian
💡 Catatan Penting:
Verifikasi sangat berguna untuk:
- Memeriksa jawaban yang sudah kita temukan
- Memilih pasangan yang benar dari beberapa pilihan
- Membuktikan bahwa suatu titik terletak pada garis
Kegiatan:
Periksa apakah pasangan berikut merupakan penyelesaian 4x − y = 7:
a) (2, 1) → 4(2) − 1 = 8 − 1 = 7 = 7 ✓ Ya, penyelesaian
b) (3, 4) → 4(3) − 4 = 12 − 4 = 8 ≠ 7 ✗ Bukan penyelesaian
c) (1, −3) → 4(1) − (−3) = 4 + 3 = 7 = 7 ✓ Ya, penyelesaian
Ringkasan:
- Verifikasi dilakukan dengan mensubstitusikan kedua nilai variabel ke persamaan.
- Jika ruas kiri = ruas kanan, pasangan tersebut merupakan penyelesaian.
- Verifikasi adalah langkah penting untuk memastikan kebenaran jawaban.
5. Contoh Soal: Verifikasi Pasangan
Tingkat Mudah (10 Soal)
1. Apakah (2, 3) merupakan penyelesaian dari x + y = 5?
Pembahasan:
Substitusi: 2 + 3 = 5 = 5 ✓
Ya, (2, 3) merupakan penyelesaian.
2. Apakah (4, 1) merupakan penyelesaian dari x + y = 6?
Pembahasan:
Substitusi: 4 + 1 = 5 ≠ 6
Bukan penyelesaian.
3. Apakah (1, 4) merupakan penyelesaian dari 2x + y = 6?
Pembahasan:
Substitusi: 2(1) + 4 = 2 + 4 = 6 = 6 ✓
Ya, penyelesaian.
4. Apakah (3, 2) merupakan penyelesaian dari x − y = 1?
Pembahasan:
Substitusi: 3 − 2 = 1 = 1 ✓
Ya, penyelesaian.
5. Apakah (0, 5) merupakan penyelesaian dari 3x + 2y = 10?
Pembahasan:
Substitusi: 3(0) + 2(5) = 0 + 10 = 10 = 10 ✓
Ya, penyelesaian.
6. Apakah (2, 2) merupakan penyelesaian dari x + 3y = 7?
Pembahasan:
Substitusi: 2 + 3(2) = 2 + 6 = 8 ≠ 7
Bukan penyelesaian.
7. Apakah (5, 0) merupakan penyelesaian dari x − 2y = 5?
Pembahasan:
Substitusi: 5 − 2(0) = 5 − 0 = 5 = 5 ✓
Ya, penyelesaian.
8. Apakah (1, 1) merupakan penyelesaian dari 4x + 3y = 8?
Pembahasan:
Substitusi: 4(1) + 3(1) = 4 + 3 = 7 ≠ 8
Bukan penyelesaian.
9. Apakah (6, 2) merupakan penyelesaian dari x − 3y = 0?
Pembahasan:
Substitusi: 6 − 3(2) = 6 − 6 = 0 = 0 ✓
Ya, penyelesaian.
10. Apakah (3, 5) merupakan penyelesaian dari 2x + y = 11?
Pembahasan:
Substitusi: 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11 = 11 ✓
Ya, penyelesaian.
Tingkat Sedang (5 Soal)
1. Dari pasangan (−1, 5), (2, 3), (4, −1), manakah yang merupakan penyelesaian x + 2y = 9?
Pembahasan:
• (−1, 5): −1 + 2(5) = −1 + 10 = 9 ✓
• (2, 3): 2 + 2(3) = 2 + 6 = 8 ≠ 9 ✗
• (4, −1): 4 + 2(−1) = 4 − 2 = 2 ≠ 9 ✗
Hanya (−1, 5) yang merupakan penyelesaian.
2. Apakah (−2, 4) merupakan penyelesaian dari 3x − 2y = −14?
Pembahasan:
Substitusi: 3(−2) − 2(4) = −6 − 8 = −14 = −14 ✓
Ya, penyelesaian.
3. Dari pasangan (½, 3), (1, 2), (2, 0), manakah penyelesaian 2x + y = 4?
Pembahasan:
• (½, 3): 2(½) + 3 = 1 + 3 = 4 ✓
• (1, 2): 2(1) + 2 = 4 ✓
• (2, 0): 2(2) + 0 = 4 ✓
Ketiga pasangan merupakan penyelesaian!
4. Verifikasi apakah (−3, −1) penyelesaian dari −x + 4y = −1
Pembahasan:
Substitusi: −(−3) + 4(−1) = 3 − 4 = −1 = −1 ✓
Ya, penyelesaian.
5. Apakah (1.5, 2) merupakan penyelesaian dari 4x + 3y = 12?
Pembahasan:
Substitusi: 4(1,5) + 3(2) = 6 + 6 = 12 = 12 ✓
Ya, penyelesaian.
Tingkat Sulit (5 Soal)
1. Verifikasi apakah (2, −1) merupakan penyelesaian dari kedua persamaan: x + 3y = −1 dan 2x − y = 5
Pembahasan:
Persamaan 1: 2 + 3(−1) = 2 − 3 = −1 = −1 ✓
Persamaan 2: 2(2) − (−1) = 4 + 1 = 5 = 5 ✓
Ya, (2, −1) merupakan penyelesaian kedua persamaan (titik potong).
2. Tentukan nilai a agar (3, a) dan (a, 1) keduanya penyelesaian 2x + y = 7. Apakah mungkin?
Pembahasan:
Untuk (3, a): 2(3) + a = 7 → a = 1
Untuk (a, 1): 2a + 1 = 7 → 2a = 6 → a = 3
Tidak mungkin! Diperlukan a = 1 dan a = 3 sekaligus, yang mustahil.
3. Pasangan (1, 2) memenuhi ax + by = 8 dan bx + ay = 7. Tentukan a dan b, lalu verifikasi!
Pembahasan:
Substitusi (1,2) ke persamaan 1: a + 2b = 8 … (i)
Substitusi (1,2) ke persamaan 2: b + 2a = 7 … (ii)
Dari (i): a = 8 − 2b
Substitusi ke (ii): b + 2(8 − 2b) = 7 → b + 16 − 4b = 7 → −3b = −9 → b = 3
a = 8 − 2(3) = 2
Verifikasi: 2(1) + 3(2) = 8 ✓ dan 3(1) + 2(2) = 7 ✓
a = 2, b = 3
4. Diketahui (−2, 5) adalah penyelesaian px − qy = −11 dan qx + py = 1. Tentukan p dan q!
Pembahasan:
Persamaan 1: −2p − 5q = −11 … (i)
Persamaan 2: −2q + 5p = 1 … (ii)
Dari (ii): 5p = 1 + 2q → p = (1 + 2q)/5
Substitusi ke (i): −2(1+2q)/5 − 5q = −11
Kalikan 5: −2 − 4q − 25q = −55 → −29q = −53 → q = 53/29
Hmm, mari coba pendekatan lain. Kalikan (i) dengan 5 dan (ii) dengan 2:
(i)×5: −10p − 25q = −55
(ii)×2: −4q + 10p = 2
Jumlahkan: −29q = −53 → q = 53/29
Ini menghasilkan bilangan pecahan. Mari verifikasi ulang soal — jika px − qy = −11:
Coba p = 3, q = 1: −2(3) − 1(5) = −6 − 5 = −11 ✓ dan −2(1) + 5(3) = −2 + 15 = 13 ≠ 1
Coba p = 3, q = 1 untuk pers.2: 1(−2) + 3(5) = −2+15 = 13 ≠ 1
p = 53/29 bukan bilangan bulat, soal ini memiliki jawaban pecahan. Jawaban: p = (1+2q)/5 dengan q = 53/29
5. Buktikan bahwa jika (a, b) adalah penyelesaian x + y = 10, maka (b, a) juga penyelesaian.
Pembahasan:
Diketahui: (a, b) penyelesaian, berarti a + b = 10
Akan dibuktikan: (b, a) juga penyelesaian
Substitusi x = b dan y = a:
b + a = a + b = 10 ✓ (sifat komutatif penjumlahan)
Terbukti! Hal ini terjadi karena koefisien x dan y sama (keduanya 1).
6. Latihan Soal: Verifikasi Pasangan
Tingkat Mudah (10 Soal)
1. Apakah (1, 4) penyelesaian dari x + y = 5?
2. Apakah (3, 2) penyelesaian dari 2x + y = 7?
3. Apakah (0, 6) penyelesaian dari x + 2y = 12?
4. Apakah (4, 3) penyelesaian dari x − y = 2?
5. Apakah (2, 1) penyelesaian dari 3x + y = 7?
6. Apakah (5, 5) penyelesaian dari x + y = 11?
7. Apakah (1, 3) penyelesaian dari 2x + 3y = 11?
8. Apakah (4, 0) penyelesaian dari x − 2y = 4?
9. Apakah (2, 6) penyelesaian dari x + y = 8?
10. Apakah (3, 1) penyelesaian dari x + 4y = 8?
Tingkat Sedang (5 Soal)
1. Dari (1, 3), (2, 1), (−1, 5), manakah penyelesaian 3x + 2y = 9?
2. Apakah (−2, 3) penyelesaian dari 4x − 3y = −17?
3. Dari (0, 4), (2, 1), (−1, 5), tentukan semua penyelesaian x + 2y = 8
4. Apakah (1.5, 1) penyelesaian dari 2x + 4y = 7?
5. Apakah (−1, −2) penyelesaian dari −3x + 2y = −1?
Tingkat Sulit (5 Soal)
1. Verifikasi apakah (1, 3) penyelesaian dari kedua persamaan: 2x + y = 5 dan x − y = −2
2. Tentukan nilai k agar (2, 3) merupakan penyelesaian kx + 2y = 12
3. Jika (a, 4) dan (2, a) keduanya penyelesaian x + 2y = 10, apakah mungkin? Jelaskan!
4. Pasangan (3, −1) memenuhi ax + by = 5 dan bx − ay = 13. Tentukan a dan b!
5. Buktikan bahwa jika (a, b) penyelesaian 2x + 2y = 20, maka (b, a) juga penyelesaian.