Grafik Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)
Menentukan Titik Potong Sumbu & Menggambar Garis
Materi Matematika SMP/SMA
A. Menentukan Titik Potong Sumbu
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan grafik garis lurus berikut. Amati di mana garis tersebut memotong sumbu-x dan sumbu-y.
Garis 2x + 3y = 6 memotong sumbu-y di titik (0, 2) dan sumbu-x di titik (3, 0).
Kegiatan: Menanya
- Bagaimana cara menentukan titik potong garis dengan sumbu-x?
- Bagaimana cara menentukan titik potong garis dengan sumbu-y?
- Apakah setiap garis lurus pasti memotong kedua sumbu?
Kegiatan: Menalar
1. Pengertian Titik Potong Sumbu
Titik potong sumbu adalah titik di mana garis lurus berpotongan (bertemu) dengan sumbu koordinat.
2. Titik Potong Sumbu-x
Titik potong sumbu-x adalah titik di mana garis memotong sumbu-x. Pada titik ini, nilai y = 0.
Titik potong sumbu-x: (x, 0)
3. Titik Potong Sumbu-y
Titik potong sumbu-y adalah titik di mana garis memotong sumbu-y. Pada titik ini, nilai x = 0.
Titik potong sumbu-y: (0, y)
4. Bentuk Umum PLDV
Persamaan linear dua variabel memiliki bentuk umum:
dengan a, b, c adalah konstanta, serta a ≠ 0 atau b ≠ 0.
5. Rumus Cepat Titik Potong
Untuk persamaan ax + by = c:
| Titik Potong | Syarat | Hasil |
|---|---|---|
| Sumbu-x | y = 0 | (c/a, 0) |
| Sumbu-y | x = 0 | (0, c/b) |
Kegiatan: Mencoba
Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari persamaan berikut:
- x + y = 5
- 2x − y = 4
- 3x + 2y = 12
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan temanmu:
- Jelaskan dengan bahasamu sendiri mengapa kita substitusi y = 0 untuk mencari titik potong sumbu-x.
- Presentasikan hasil pekerjaanmu di depan kelas.
Contoh Soal: Menentukan Titik Potong Sumbu
Soal Mudah (1–10)
1. Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari x + y = 4
• Titik potong sumbu-x (y = 0): x + 0 = 4 → x = 4. Titik: (4, 0)
• Titik potong sumbu-y (x = 0): 0 + y = 4 → y = 4. Titik: (0, 4)
2. Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari x + y = 6
• Sumbu-x (y = 0): x = 6. Titik: (6, 0)
• Sumbu-y (x = 0): y = 6. Titik: (0, 6)
3. Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari 2x + y = 8
• Sumbu-x (y = 0): 2x = 8 → x = 4. Titik: (4, 0)
• Sumbu-y (x = 0): y = 8. Titik: (0, 8)
4. Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari x − y = 3
• Sumbu-x (y = 0): x = 3. Titik: (3, 0)
• Sumbu-y (x = 0): −y = 3 → y = −3. Titik: (0, −3)
5. Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari 3x + y = 9
• Sumbu-x: 3x = 9 → x = 3. Titik: (3, 0)
• Sumbu-y: y = 9. Titik: (0, 9)
6. Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari x + 2y = 10
• Sumbu-x: x = 10. Titik: (10, 0)
• Sumbu-y: 2y = 10 → y = 5. Titik: (0, 5)
7. Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari 4x + y = 12
• Sumbu-x: 4x = 12 → x = 3. Titik: (3, 0)
• Sumbu-y: y = 12. Titik: (0, 12)
8. Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari x + 3y = 6
• Sumbu-x: x = 6. Titik: (6, 0)
• Sumbu-y: 3y = 6 → y = 2. Titik: (0, 2)
9. Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari 2x − y = 6
• Sumbu-x: 2x = 6 → x = 3. Titik: (3, 0)
• Sumbu-y: −y = 6 → y = −6. Titik: (0, −6)
10. Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari 5x + 2y = 10
• Sumbu-x: 5x = 10 → x = 2. Titik: (2, 0)
• Sumbu-y: 2y = 10 → y = 5. Titik: (0, 5)
Soal Sedang (11–15)
11. Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari 3x − 4y = 24
• Sumbu-x (y = 0): 3x = 24 → x = 8. Titik: (8, 0)
• Sumbu-y (x = 0): −4y = 24 → y = −6. Titik: (0, −6)
12. Tentukan titik potong sumbu dari ⅔x + ½y = 2
• Sumbu-x: 4x = 12 → x = 3. Titik: (3, 0)
• Sumbu-y: 3y = 12 → y = 4. Titik: (0, 4)
13. Tentukan titik potong sumbu dari −2x + 5y = 20
• Sumbu-x: −2x = 20 → x = −10. Titik: (−10, 0)
• Sumbu-y: 5y = 20 → y = 4. Titik: (0, 4)
14. Persamaan garis y = 2x − 8. Tentukan titik potong kedua sumbu.
• Sumbu-x (y = 0): 0 = 2x − 8 → 2x = 8 → x = 4. Titik: (4, 0)
• Sumbu-y (x = 0): y = 2(0) − 8 = −8. Titik: (0, −8)
15. Tentukan titik potong sumbu dari x/4 + y/3 = 1
• Sumbu-x (y = 0): x/4 = 1 → x = 4. Titik: (4, 0)
• Sumbu-y (x = 0): y/3 = 1 → y = 3. Titik: (0, 3)
Catatan: Bentuk x/a + y/b = 1 langsung memberi titik potong (a, 0) dan (0, b).
Soal Sulit (16–20)
16. Garis ax + 2y = 12 memotong sumbu-x di titik (4, 0). Tentukan nilai a dan titik potong sumbu-y.
Substitusi (4, 0): a(4) + 2(0) = 12 → 4a = 12 → a = 3
Persamaan: 3x + 2y = 12
Titik potong sumbu-y: 2y = 12 → y = 6. Titik: (0, 6)
17. Suatu garis memotong sumbu-x di (−3, 0) dan sumbu-y di (0, 6). Tentukan persamaan garisnya.
Gunakan bentuk intercept: x/(−3) + y/6 = 1
Kalikan 6: −2x + y = 6 atau 2x − y = −6
Verifikasi: (−3,0) → 2(−3) − 0 = −6 ✓; (0,6) → 0 − 6 = −6 ✓
18. Garis (m+1)x + (m−2)y = m+1 memotong sumbu-y di titik (0, −1). Tentukan nilai m dan titik potong sumbu-x.
Substitusi (0, −1): (m+1)(0) + (m−2)(−1) = m+1
−m + 2 = m + 1 → 2 − 1 = 2m → m = ½
Persamaan: (3/2)x + (−3/2)y = 3/2 → kalikan 2: 3x − 3y = 3 → x − y = 1
Titik potong sumbu-x (y=0): x = 1. Titik: (1, 0)
19. Titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari garis 2x + 3y = 12 dihubungkan dengan titik O(0,0) membentuk segitiga. Hitunglah luas segitiga tersebut.
• Titik potong sumbu-x: (6, 0) → alas = 6
• Titik potong sumbu-y: (0, 4) → tinggi = 4
• Luas = ½ × alas × tinggi = ½ × 6 × 4 = 12 satuan luas
20. Dua garis x + 2y = 8 dan 3x − y = 6. Tentukan titik potong masing-masing garis dengan sumbu-x, lalu hitung jarak antara kedua titik potong tersebut.
Garis 1 (y=0): x = 8. Titik: (8, 0)
Garis 2 (y=0): 3x = 6 → x = 2. Titik: (2, 0)
Jarak = |8 − 2| = 6 satuan
Latihan Soal: Menentukan Titik Potong Sumbu
Soal Mudah (1–10)
1. Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari x + y = 7
2. Tentukan titik potong sumbu dari 2x + y = 10
3. Tentukan titik potong sumbu dari x + 4y = 8
4. Tentukan titik potong sumbu dari 3x + y = 15
5. Tentukan titik potong sumbu dari x − y = 5
6. Tentukan titik potong sumbu dari x + 5y = 20
7. Tentukan titik potong sumbu dari 6x + y = 18
8. Tentukan titik potong sumbu dari x + y = −4
9. Tentukan titik potong sumbu dari 2x + 3y = 12
10. Tentukan titik potong sumbu dari 4x − y = 8
Soal Sedang (11–15)
11. Tentukan titik potong sumbu dari ½x + ⅓y = 1
12. Tentukan titik potong sumbu dari y = −3x + 9
13. Tentukan titik potong sumbu dari −5x + 2y = −20
14. Garis x/5 + y/−2 = 1. Tentukan titik potong kedua sumbu.
15. Persamaan 0,5x + 0,25y = 3. Tentukan titik potong kedua sumbu.
Soal Sulit (16–20)
16. Garis ax + 3y = 15 memotong sumbu-x di (5, 0). Tentukan nilai a dan titik potong sumbu-y.
17. Suatu garis memotong sumbu-x di (4, 0) dan sumbu-y di (0, −8). Tentukan persamaan garisnya dalam bentuk ax + by = c.
18. Garis 2x + 5y = 20 dan garis 4x − y = 8. Hitung luas segitiga yang dibentuk oleh kedua titik potong sumbu-y dan titik asal O.
19. Garis (k+2)x + (2k−1)y = k+2 memotong sumbu-y di (0, 2). Tentukan k.
20. Segitiga dibentuk oleh titik potong sumbu-x, titik potong sumbu-y dari 3x + 4y = 24, dan titik asal. Tentukan keliling segitiga tersebut.
B. Menggambar Garis dari Persamaan Linear Dua Variabel
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan langkah-langkah menggambar garis x + 2y = 6 pada bidang koordinat:
Kegiatan: Menanya
- Berapa titik minimum yang diperlukan untuk menggambar garis lurus?
- Titik mana yang paling mudah dicari untuk menggambar garis?
- Mengapa kita menggunakan titik potong sumbu sebagai acuan?
Kegiatan: Menalar
1. Langkah-langkah Menggambar Garis PLDV
- Tentukan minimal 2 titik yang memenuhi persamaan. Cara termudah: gunakan titik potong sumbu-x dan sumbu-y.
- Buat tabel nilai untuk memastikan titik-titik sudah benar.
- Plot titik-titik pada bidang koordinat Cartesius.
- Hubungkan titik-titik dengan garis lurus, diperpanjang melewati titik-titik tersebut.
- Beri label pada garis dengan persamaannya.
2. Metode Menentukan Titik
Metode A: Titik Potong Sumbu
• Titik 1 (sumbu-x): (c/a, 0)
• Titik 2 (sumbu-y): (0, c/b)
Metode B: Tabel Nilai
Pilih beberapa nilai x, hitung y yang bersesuaian.
Contoh untuk x + 2y = 6:
| x | 0 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| y | 3 | 2 | 1 | 0 |
3. Tips Menggambar Garis
- Gunakan minimal 3 titik untuk memverifikasi bahwa titik-titik segaris.
- Perpanjang garis melewati titik-titik yang sudah diplot.
- Beri tanda panah di kedua ujung garis (menunjukkan garis tak berhingga).
- Gunakan penggaris agar garis lurus dan rapi.
4. Kasus Khusus
- x = k → garis vertikal (sejajar sumbu-y)
- y = k → garis horizontal (sejajar sumbu-x)
- Garis melalui titik asal: bentuk y = mx
Kegiatan: Mencoba
Gambarlah garis-garis berikut pada bidang koordinat:
- 2x + y = 4
- x − y = 3
- y = 2x + 1
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Presentasikan grafik yang telah kamu buat. Jelaskan:
- Bagaimana kamu menentukan titik-titik pada garis.
- Mengapa garis yang kamu gambar benar.
Contoh Soal: Menggambar Garis
Soal Mudah (1–10)
1. Gambarlah garis x + y = 5
Titik potong: (5, 0) dan (0, 5). Tabel:
| x | 0 | 5 |
|---|---|---|
| y | 5 | 0 |
2. Gambarlah garis 2x + y = 4
3. Gambarlah garis x + 2y = 8
4. Gambarlah garis x − y = 2
5. Gambarlah garis y = x + 3
6. Gambarlah garis 3x + y = 6
7. Gambarlah garis x + y = −3
8. Gambarlah garis y = 2x
9. Gambarlah garis x = 4
10. Gambarlah garis y = −2
Soal Sedang (11–15)
11. Gambarlah garis 2x − 3y = 12 dan tentukan titik perpotongannya dengan garis y = 0
Titik potong sumbu-x: (6, 0). Sumbu-y: (0, −4).
Titik perpotongan dengan y=0 adalah titik potong sumbu-x = (6, 0).
Plot (6, 0) dan (0, −4), hubungkan.
12. Gambarlah garis y = −½x + 4
Titik potong sumbu-y: (0, 4). Sumbu-x (0 = −½x + 4 → x = 8): (8, 0).
Titik tambahan: x=2 → y=3, titik (2, 3). Plot dan hubungkan.
13. Gambarlah dua garis x + y = 4 dan x − y = 2 pada satu bidang koordinat.
Garis 1 x+y=4: titik (4,0) dan (0,4).
Garis 2 x−y=2: titik (2,0) dan (0,−2).
Gambar kedua garis. Titik potong: x+y=4 dan x−y=2 → tambahkan: 2x=6 → x=3, y=1. Titik potong: (3, 1).
14. Gambarlah garis 3x + 4y = −12
Sumbu-x: (−4, 0). Sumbu-y: (0, −3). Kedua titik di kuadran negatif. Plot dan hubungkan.
15. Gambarlah garis x/3 + y/5 = 1
Bentuk intercept: titik potong sumbu-x = (3, 0), sumbu-y = (0, 5). Plot dan hubungkan langsung.
Soal Sulit (16–20)
16. Gambarlah garis 2x + 3y = 12. Arsir daerah yang memenuhi 2x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, dan y ≥ 0.
Titik potong: (6, 0) dan (0, 4). Gambar garis dan arsir daerah di bawah garis yang berada di kuadran I (termasuk sumbu-x dan sumbu-y). Daerah penyelesaian berbentuk segitiga dengan titik sudut O(0,0), (6,0), (0,4).
17. Gambar garis yang melalui titik (1, 5) dan (4, −1), lalu tentukan persamaannya.
Gradien: m = (−1−5)/(4−1) = −6/3 = −2
Persamaan: y − 5 = −2(x − 1) → y = −2x + 7 → 2x + y = 7
Titik potong: (3.5, 0) dan (0, 7). Plot titik (1,5), (4,−1), hubungkan.
18. Gambarlah garis y = ⅔x − 2 dan garis y = −x + 5. Tentukan titik potong kedua garis.
Titik potong: ⅔x − 2 = −x + 5 → ⅔x + x = 7 → 5x/3 = 7 → x = 21/5 = 4,2
y = −4,2 + 5 = 0,8. Titik potong: (4,2 ; 0,8)
Gambar kedua garis dengan titik potong sumbunya masing-masing lalu tandai titik potong kedua garis.
19. Tentukan persamaan garis yang sejajar dengan 3x + 2y = 6 dan melalui titik (0, −1), lalu gambarlah kedua garis.
Garis 3x+2y=6 → y = −3x/2 + 3, gradien m = −3/2
Garis sejajar: y = −3x/2 − 1 → 3x + 2y = −2
Gambar garis 1: (2,0),(0,3). Garis 2: (0,−1),(−2/3,0) atau gunakan (0,−1) dan (2,−4).
20. Gambarlah garis x − 2y = 4, x + y = 7, dan y = 1 pada satu bidang koordinat. Tentukan luas segitiga yang dibentuk oleh ketiga garis tersebut.
Titik potong garis 1 & 2: x−2y=4 dan x+y=7 → kurangi: −3y=−3 → y=1, x=6. Titik A(6,1).
Titik potong garis 1 & 3 (y=1): x−2(1)=4 → x=6. Titik B(6,1) = A.
Perhatikan: garis 1 dan garis 3 bertemu di A(6,1) yang sama dengan titik potong garis 1&2. Maka garis 2 & 3: x+1=7 → x=6. Titik C(6,1).
Ketiga garis bertemu di satu titik (6,1), sehingga tidak membentuk segitiga. Luas = 0.
Catatan: Ini menunjukkan pentingnya memeriksa apakah tiga garis konkuren (bertemu di satu titik).
Latihan Soal: Menggambar Garis
Soal Mudah (1–10)
1. Gambarlah garis x + y = 8
2. Gambarlah garis 2x + y = 6
3. Gambarlah garis x + 3y = 9
4. Gambarlah garis y = x − 2
5. Gambarlah garis y = −x + 4
6. Gambarlah garis 4x + y = 8
7. Gambarlah garis x = −2
8. Gambarlah garis y = 5
9. Gambarlah garis y = 3x
10. Gambarlah garis x − y = −1
Soal Sedang (11–15)
11. Gambarlah garis 3x − 2y = 6 dan tentukan 3 titik pada garis tersebut.
12. Gambarlah garis y = ¾x − 3
13. Gambarlah garis x + y = 5 dan 2x − y = 1 pada satu bidang koordinat. Tentukan titik potongnya.
14. Gambarlah garis −x + 4y = 8 dan tentukan gradiennya.
15. Gambarlah garis 5x + 2y = −10 dan tentukan kuadran mana garis tersebut berada.
Soal Sulit (16–20)
16. Gambarlah garis x + 2y = 8 dan arsir daerah x + 2y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0.
17. Gambar garis melalui (2, 1) dan (−1, 7). Tentukan persamaannya lalu gambar grafiknya.
18. Gambarlah garis 2x+y=6, x+2y=6, x=0 dan y=0. Tentukan luas daerah yang dibatasi keempat garis di kuadran I.
19. Tentukan persamaan garis yang tegak lurus terhadap 2x − y = 5 dan melalui titik (4, 1), lalu gambar kedua garis.
20. Gambarlah garis x + y = 6, x − y = 2, dan y = x. Tentukan titik potong ketiga pasang garis dan luas segitiga yang terbentuk.