Matematika SMA/MA/SMK/MAK

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

📘 Materi

Pada persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, dengan a ≠ 0, terdapat hubungan antara koefisien-koefisien persamaan dengan akar-akarnya. Hubungan ini dikenal sebagai Rumus Vieta (Vieta’s Formulas).

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka berlaku:

Rumus Vieta

Jumlah akar-akar:

x₁ + x₂ = −ba

Hasil kali akar-akar:

x₁ · x₂ = ca

📐 Penurunan Rumus

Dari rumus ABC, akar-akar persamaan kuadrat adalah:

x 1 = - b + \sqrt(b 2 - 4 ac) 2 a x 2 = - b - \sqrt(b 2 - 4 ac) 2 a

Jumlah akar-akar:

x 1 + x 2 = - b + \sqrtD 2 a + - b - \sqrtD 2 a = -2 b 2 a = - b a

Hasil kali akar-akar:

x 1 \cdot x 2 = (- b) 2 - (b 2 - 4 ac) 4 a 2 = 4 ac 4 a 2 = c a

📎 Rumus-Rumus Turunan Penting

Berikut rumus-rumus yang sering digunakan dalam soal-soal:

No	Rumus	Keterangan
1	x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂	Jumlah kuadrat akar
2	(x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂	Selisih kuadrat akar
3	1x₁ + 1x₂ = x₁ + x₂x₁ · x₂	Jumlah kebalikan akar
4	x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ − 3x₁x₂(x₁ + x₂)	Jumlah pangkat tiga akar
5	\|x₁ − x₂\| = √[(x₁ + x₂)² − 4x₁x₂]	Nilai mutlak selisih akar

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan persamaan kuadrat berikut dan amatilah hubungan antara koefisien dan akar-akarnya:

Persamaan	a	b	c	Akar-akar	x₁+x₂	x₁·x₂	−b/a	c/a
x² − 5x + 6 = 0	1	−5	6	2, 3	5	6	5	6
x² + x − 6 = 0	1	1	−6	2, −3	−1	−6	−1	−6
2x² − 7x + 3 = 0	2	−7	3	3, ½	3,5	1,5	3,5	1,5

Kesimpulan: Kolom x₁+x₂ selalu sama dengan −b/a, dan kolom x₁·x₂ selalu sama dengan c/a.

❓ Kegiatan: Menanya

Setelah mengamati tabel di atas, jawablah pertanyaan berikut:

Mengapa jumlah akar-akar selalu sama dengan −b/a?
Bisakah kita menentukan jumlah dan hasil kali akar tanpa mencari akar-akarnya?
Bagaimana jika koefisien a ≠ 1? Apakah rumus tetap berlaku?
Dapatkah rumus ini digunakan meskipun akar-akarnya berupa bilangan irasional?

💡 Kegiatan: Menalar

Dengan menggunakan rumus Vieta, kita dapat menalar bahwa:

Kita tidak perlu mencari masing-masing akar untuk mengetahui jumlah dan hasil kali akar-akar.
Jika diketahui jumlah dan hasil kali akar, kita dapat menyusun persamaan kuadrat baru: x² − (x₁+x₂)x + x₁·x₂ = 0
Rumus turunan seperti x₁² + x₂² dapat dihitung hanya dari jumlah dan hasil kali akar.
Rumus Vieta berlaku untuk semua jenis akar: rasional, irasional, maupun kompleks.

✏️ Kegiatan: Mencoba

Cobalah tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari persamaan berikut tanpa memfaktorkan:

3x² − 12x + 7 = 0 → x₁+x₂ = … , x₁·x₂ = …
5x² + 2x − 4 = 0 → x₁+x₂ = … , x₁·x₂ = …
x² − 8x + 15 = 0 → verifikasi dengan memfaktorkan!

Jawaban: 1) 4 dan 7/3 2) −2/5 dan −4/5 3) 8 dan 15, faktor: (x−3)(x−5)=0

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Diskusikan dengan teman sekelompokmu dan presentasikan:

Jelaskan dengan bahasamu sendiri mengapa rumus Vieta berguna.
Berikan contoh soal kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan menggunakan jumlah dan hasil kali akar.
Buatlah rangkuman singkat tentang rumus turunan yang sering digunakan.

📝 Contoh Soal dan Pembahasan

🟢 Tingkat Mudah

Contoh 1

Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari persamaan x² − 7x + 12 = 0.

Lihat Pembahasan

Diketahui: a = 1, b = −7, c = 12

x₁ + x₂ = −b/a = −(−7)/1 = 7

x₁ · x₂ = c/a = 12/1 = 12

Verifikasi: akar-akarnya 3 dan 4, memang 3+4=7 dan 3×4=12 ✓

Contoh 2

Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari persamaan 2x² + 10x + 8 = 0.

Lihat Pembahasan

Diketahui: a = 2, b = 10, c = 8

x₁ + x₂ = −10/2 = −5

x₁ · x₂ = 8/2 = 4

Verifikasi: 2(x+1)(x+4)=0, akar −1 dan −4. (−1)+(−4)=−5 ✓, (−1)(−4)=4 ✓

Contoh 3

Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari persamaan x² + 3x − 10 = 0.

Lihat Pembahasan

Diketahui: a = 1, b = 3, c = −10

x₁ + x₂ = −3/1 = −3

x₁ · x₂ = −10/1 = −10

Contoh 4

Jika akar-akar persamaan x² − 9x + 20 = 0 adalah x₁ dan x₂, tentukan nilai x₁² + x₂².

Lihat Pembahasan

x₁ + x₂ = 9, x₁ · x₂ = 20

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂

= 9² − 2(20) = 81 − 40 = 41

Contoh 5

Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari 4x² − 8x + 3 = 0.

Lihat Pembahasan

a = 4, b = −8, c = 3

x₁ + x₂ = −(−8)/4 = 8/4 = 2

x₁ · x₂ = 3/4 = ¾

Verifikasi: akar ½ dan 3/2. ½+3/2=2 ✓, ½×3/2=¾ ✓

🟡 Tingkat Sedang

Contoh 6

Jika x₁ dan x₂ akar-akar dari 2x² − 6x + 3 = 0, tentukan nilai 1x₁ + 1x₂.

Lihat Pembahasan

x₁ + x₂ = 6/2 = 3, x₁ · x₂ = 3/2

1x₁ + 1x₂ = x₁ + x₂x₁ · x₂ = 33/2 = 3 × 2/3 = 2

Contoh 7

Jika x₁ dan x₂ akar-akar dari x² − 5x + 3 = 0, tentukan nilai (x₁ − x₂)².

Lihat Pembahasan

x₁ + x₂ = 5, x₁ · x₂ = 3

(x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂

= 25 − 4(3) = 25 − 12 = 13

Contoh 8

Tentukan nilai m jika jumlah akar-akar persamaan x² − (2m+1)x + m² = 0 adalah 7.

Lihat Pembahasan

Jumlah akar = −b/a = (2m+1)/1 = 2m+1

2m + 1 = 7

2m = 6

m = 3

Contoh 9

Jika akar-akar x² − 4x + 1 = 0 adalah p dan q, tentukan nilai p³ + q³.

Lihat Pembahasan

p + q = 4, pq = 1

p³ + q³ = (p + q)³ − 3pq(p + q)

= 4³ − 3(1)(4) = 64 − 12 = 52

Contoh 10

Jika akar-akar 3x² − 9x + 5 = 0 adalah x₁ dan x₂, susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2x₁ dan 2x₂.

Lihat Pembahasan

x₁ + x₂ = 3, x₁ · x₂ = 5/3

Akar baru: 2x₁ + 2x₂ = 2(3) = 6

2x₁ · 2x₂ = 4(5/3) = 20/3

Persamaan baru: x² − 6x + 20/3 = 0

Kalikan 3: 3x² − 18x + 20 = 0

🔴 Tingkat Sulit

Contoh 11

Jika x₁ dan x₂ akar-akar dari x² − 3x + 1 = 0, tentukan nilai x₁⁴ + x₂⁴.

Lihat Pembahasan

x₁ + x₂ = 3, x₁x₂ = 1

Langkah 1: x₁² + x₂² = 3² − 2(1) = 7

Langkah 2: x₁⁴ + x₂⁴ = (x₁² + x₂²)² − 2(x₁x₂)²

= 7² − 2(1)² = 49 − 2 = 47

Contoh 12

Jika x₁ dan x₂ akar-akar dari x² − 5x + 2 = 0, tentukan nilai x₁²x₂ + x₂²x₁.

Lihat Pembahasan

x₁ + x₂ = 5, x₁x₂ = 2

x₁²x₂ + x₂²x₁ = x₁³ + x₂³x₁x₂

x₁³ + x₂³ = 5³ − 3(2)(5) = 125 − 30 = 95

= 95/2 = 47,5

Contoh 13

Tentukan nilai k agar persamaan x² − (k+2)x + 2k + 1 = 0 memiliki akar-akar yang memenuhi x₁ = 3x₂.

Lihat Pembahasan

x₁ + x₂ = k+2 … (1)

x₁ · x₂ = 2k+1 … (2)

Substitusi x₁ = 3x₂ ke (1): 4x₂ = k+2 → x₂ = (k+2)/4

Substitusi ke (2): 3x₂² = 2k+1

3 × (k+2)²/16 = 2k+1

3(k² + 4k + 4) = 16(2k+1)

3k² + 12k + 12 = 32k + 16

3k² − 20k − 4 = 0

(3k + 4)(k − 1) = 0 ??? Cek: 3(1) − 20 − 4 = −21 ≠ 0

Gunakan rumus ABC: k = (20 ± √(400+48))/6 = (20 ± √448)/6

Cek ulang: 3(-4/3)² − 20(-4/3) − 4 = 16/3 + 80/3 − 4 = 96/3 − 4 = 32−4=28 ≠ 0

Mari hitung ulang dengan teliti:

3k² + 12k + 12 = 32k + 16

3k² − 20k − 4 = 0

k = (20 ± √(400+48))/6 = (20 ± √448)/6 = (20 ± 4√28)/6 = (20 ± 8√7)/6 = (10 ± 4√7)/3

k = (10 + 4√7)/3 atau k = (10 − 4√7)/3

Contoh 14

Jika x₁ dan x₂ akar-akar dari 2x² − 8x + 5 = 0, tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya x₁x₂ dan x₂x₁.

Lihat Pembahasan

x₁ + x₂ = 4, x₁x₂ = 5/2

Jumlah akar baru: x₁x₂ + x₂x₁ = x₁² + x₂²x₁x₂

x₁² + x₂² = 16 − 2(5/2) = 16 − 5 = 11

Jumlah akar baru = 11/(5/2) = 22/5

Hasil kali akar baru: x₁x₂ · x₂x₁ = 1

PK baru: x² − (22/5)x + 1 = 0

Kalikan 5: 5x² − 22x + 5 = 0

Contoh 15

Diketahui persamaan x² − 6x + k = 0 memiliki akar-akar positif. Jika selisih kuadrat akar-akarnya adalah 24, tentukan nilai k.

Lihat Pembahasan

x₁ + x₂ = 6, x₁x₂ = k

Selisih kuadrat: x₁² − x₂² = 24 (asumsikan x₁ > x₂)

(x₁ + x₂)(x₁ − x₂) = 24

6(x₁ − x₂) = 24 → x₁ − x₂ = 4

Dari: x₁ + x₂ = 6 dan x₁ − x₂ = 4:

x₁ = 5, x₂ = 1

k = x₁ · x₂ = 5 × 1 = 5

Verifikasi: x² − 6x + 5 = 0 → (x−5)(x−1) = 0 → akar 5 dan 1. 25−1=24 ✓

🏋️ Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Tidak disertai pembahasan agar kamu berlatih secara maksimal.

🟢 Tingkat Mudah

1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari x² − 10x + 21 = 0.

2. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari 3x² + 15x − 6 = 0.

3. Jika akar-akar x² + 6x + 8 = 0 adalah p dan q, tentukan p² + q².

4. Tentukan jumlah dan hasil kali akar dari 5x² − 20x + 15 = 0.

5. Jika x₁ + x₂ = 8 dan x₁ · x₂ = 12, susunlah persamaan kuadratnya.

🟡 Tingkat Sedang

6. Jika akar-akar x² − 7x + 4 = 0 adalah x₁ dan x₂, tentukan 1x₁ + 1x₂.

7. Jika akar-akar 2x² − 10x + 7 = 0 adalah α dan β, tentukan α³ + β³.

8. Tentukan nilai p jika hasil kali akar-akar persamaan x² − 4x + (p−3) = 0 sama dengan 5.

9. Jika akar-akar x² − 6x + 2 = 0 adalah x₁ dan x₂, susunlah PK baru yang akar-akarnya (x₁ + 1) dan (x₂ + 1).

10. Tentukan |x₁ − x₂| jika x₁ dan x₂ akar-akar dari x² − 8x + 12 = 0.

🔴 Tingkat Sulit

11. Jika x₁ dan x₂ akar-akar dari x² − 4x + 1 = 0, tentukan x₁⁵ + x₂⁵.

12. Tentukan nilai k agar persamaan x² + (3k−1)x + k² − 4 = 0 memiliki akar-akar yang berkebalikan (x₁ · x₂ = 1).

13. Jika akar-akar 3x² − 12x + 7 = 0 adalah p dan q, tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya pq dan qp.

14. Persamaan x² − (2a+3)x + a² + 3a + 2 = 0 memiliki akar-akar yang selisihnya 1. Tentukan semua nilai a yang memenuhi.

15. Jika x₁ dan x₂ akar-akar x² − 5x + 3 = 0, tentukan nilai x₁³x₂² + x₂³x₁².

Persamaan Kuadrat – Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

📘 Materi

📐 Penurunan Rumus

📎 Rumus-Rumus Turunan Penting

🔍 Kegiatan: Mengamati

❓ Kegiatan: Menanya

💡 Kegiatan: Menalar

✏️ Kegiatan: Mencoba

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

📝 Contoh Soal dan Pembahasan

🟢 Tingkat Mudah

🟡 Tingkat Sedang

🔴 Tingkat Sulit

🏋️ Latihan Soal

🟢 Tingkat Mudah

🟡 Tingkat Sedang

🔴 Tingkat Sulit

By admin

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

Pertidaksamaan – Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak (Modulus)

Pertidaksamaan – Pertidaksamaan Bentuk Akar

Pertidaksamaan – Pertidaksamaan Polinomial Berbentuk Hasil Bagi

Pertidaksamaan – Pertidaksamaan Polinomial

📘 Materi

📐 Penurunan Rumus

📎 Rumus-Rumus Turunan Penting

🔍 Kegiatan: Mengamati

❓ Kegiatan: Menanya

💡 Kegiatan: Menalar

✏️ Kegiatan: Mencoba

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

📝 Contoh Soal dan Pembahasan

🟢 Tingkat Mudah

🟡 Tingkat Sedang

🔴 Tingkat Sulit

🏋️ Latihan Soal

🟢 Tingkat Mudah

🟡 Tingkat Sedang

🔴 Tingkat Sulit

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed