Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
📘 Materi
Pada persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a ≠ 0, terdapat hubungan antara koefisien-koefisien persamaan dengan akar-akarnya. Hubungan ini dikenal sebagai Rumus Vieta (Vieta’s Formulas).
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka berlaku:
Rumus Vieta
Jumlah akar-akar:
x1 + x2 = −ba
Hasil kali akar-akar:
x1 · x2 = ca
📐 Penurunan Rumus
Dari rumus ABC, akar-akar persamaan kuadrat adalah:
x1 = −b + √(b2 − 4ac)2a
x2 = −b − √(b2 − 4ac)2a
Jumlah akar-akar:
x1 + x2 = −b + √D2a + −b − √D2a = −2b2a = −ba
Hasil kali akar-akar:
x1 · x2 = (−b)2 − (b2 − 4ac)4a2 = 4ac4a2 = ca
📎 Rumus-Rumus Turunan Penting
Berikut rumus-rumus yang sering digunakan dalam soal-soal:
| No | Rumus | Keterangan |
|---|---|---|
| 1 | x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 | Jumlah kuadrat akar |
| 2 | (x1 − x2)2 = (x1 + x2)2 − 4x1x2 | Selisih kuadrat akar |
| 3 | 1x1 + 1x2 = x1 + x2x1 · x2 | Jumlah kebalikan akar |
| 4 | x13 + x23 = (x1 + x2)3 − 3x1x2(x1 + x2) | Jumlah pangkat tiga akar |
| 5 | |x1 − x2| = √[(x1 + x2)2 − 4x1x2] | Nilai mutlak selisih akar |
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan persamaan kuadrat berikut dan amatilah hubungan antara koefisien dan akar-akarnya:
| Persamaan | a | b | c | Akar-akar | x1+x2 | x1·x2 | −b/a | c/a |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x2 − 5x + 6 = 0 | 1 | −5 | 6 | 2, 3 | 5 | 6 | 5 | 6 |
| x2 + x − 6 = 0 | 1 | 1 | −6 | 2, −3 | −1 | −6 | −1 | −6 |
| 2x2 − 7x + 3 = 0 | 2 | −7 | 3 | 3, ½ | 3,5 | 1,5 | 3,5 | 1,5 |
Kesimpulan: Kolom x1+x2 selalu sama dengan −b/a, dan kolom x1·x2 selalu sama dengan c/a.
❓ Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati tabel di atas, jawablah pertanyaan berikut:
- Mengapa jumlah akar-akar selalu sama dengan −b/a?
- Bisakah kita menentukan jumlah dan hasil kali akar tanpa mencari akar-akarnya?
- Bagaimana jika koefisien a ≠ 1? Apakah rumus tetap berlaku?
- Dapatkah rumus ini digunakan meskipun akar-akarnya berupa bilangan irasional?
💡 Kegiatan: Menalar
Dengan menggunakan rumus Vieta, kita dapat menalar bahwa:
- Kita tidak perlu mencari masing-masing akar untuk mengetahui jumlah dan hasil kali akar-akar.
- Jika diketahui jumlah dan hasil kali akar, kita dapat menyusun persamaan kuadrat baru: x2 − (x1+x2)x + x1·x2 = 0
- Rumus turunan seperti x12 + x22 dapat dihitung hanya dari jumlah dan hasil kali akar.
- Rumus Vieta berlaku untuk semua jenis akar: rasional, irasional, maupun kompleks.
✏️ Kegiatan: Mencoba
Cobalah tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari persamaan berikut tanpa memfaktorkan:
- 3x2 − 12x + 7 = 0 → x1+x2 = … , x1·x2 = …
- 5x2 + 2x − 4 = 0 → x1+x2 = … , x1·x2 = …
- x2 − 8x + 15 = 0 → verifikasi dengan memfaktorkan!
Jawaban: 1) 4 dan 7/3 2) −2/5 dan −4/5 3) 8 dan 15, faktor: (x−3)(x−5)=0
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman sekelompokmu dan presentasikan:
- Jelaskan dengan bahasamu sendiri mengapa rumus Vieta berguna.
- Berikan contoh soal kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan menggunakan jumlah dan hasil kali akar.
- Buatlah rangkuman singkat tentang rumus turunan yang sering digunakan.
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Contoh 1
Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari persamaan x2 − 7x + 12 = 0.
Lihat Pembahasan
Diketahui: a = 1, b = −7, c = 12
x1 + x2 = −b/a = −(−7)/1 = 7
x1 · x2 = c/a = 12/1 = 12
Verifikasi: akar-akarnya 3 dan 4, memang 3+4=7 dan 3×4=12 ✓
Contoh 2
Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari persamaan 2x2 + 10x + 8 = 0.
Lihat Pembahasan
Diketahui: a = 2, b = 10, c = 8
x1 + x2 = −10/2 = −5
x1 · x2 = 8/2 = 4
Verifikasi: 2(x+1)(x+4)=0, akar −1 dan −4. (−1)+(−4)=−5 ✓, (−1)(−4)=4 ✓
Contoh 3
Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari persamaan x2 + 3x − 10 = 0.
Lihat Pembahasan
Diketahui: a = 1, b = 3, c = −10
x1 + x2 = −3/1 = −3
x1 · x2 = −10/1 = −10
Contoh 4
Jika akar-akar persamaan x2 − 9x + 20 = 0 adalah x1 dan x2, tentukan nilai x12 + x22.
Lihat Pembahasan
x1 + x2 = 9, x1 · x2 = 20
x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2
= 92 − 2(20) = 81 − 40 = 41
Contoh 5
Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari 4x2 − 8x + 3 = 0.
Lihat Pembahasan
a = 4, b = −8, c = 3
x1 + x2 = −(−8)/4 = 8/4 = 2
x1 · x2 = 3/4 = ¾
Verifikasi: akar ½ dan 3/2. ½+3/2=2 ✓, ½×3/2=¾ ✓
🟡 Tingkat Sedang
Contoh 6
Jika x1 dan x2 akar-akar dari 2x2 − 6x + 3 = 0, tentukan nilai 1x1 + 1x2.
Lihat Pembahasan
x1 + x2 = 6/2 = 3, x1 · x2 = 3/2
1x1 + 1x2 = x1 + x2x1 · x2 = 33/2 = 3 × 2/3 = 2
Contoh 7
Jika x1 dan x2 akar-akar dari x2 − 5x + 3 = 0, tentukan nilai (x1 − x2)2.
Lihat Pembahasan
x1 + x2 = 5, x1 · x2 = 3
(x1 − x2)2 = (x1 + x2)2 − 4x1x2
= 25 − 4(3) = 25 − 12 = 13
Contoh 8
Tentukan nilai m jika jumlah akar-akar persamaan x2 − (2m+1)x + m2 = 0 adalah 7.
Lihat Pembahasan
Jumlah akar = −b/a = (2m+1)/1 = 2m+1
2m + 1 = 7
2m = 6
m = 3
Contoh 9
Jika akar-akar x2 − 4x + 1 = 0 adalah p dan q, tentukan nilai p3 + q3.
Lihat Pembahasan
p + q = 4, pq = 1
p3 + q3 = (p + q)3 − 3pq(p + q)
= 43 − 3(1)(4) = 64 − 12 = 52
Contoh 10
Jika akar-akar 3x2 − 9x + 5 = 0 adalah x1 dan x2, susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2x1 dan 2x2.
Lihat Pembahasan
x1 + x2 = 3, x1 · x2 = 5/3
Akar baru: 2x1 + 2x2 = 2(3) = 6
2x1 · 2x2 = 4(5/3) = 20/3
Persamaan baru: x2 − 6x + 20/3 = 0
Kalikan 3: 3x2 − 18x + 20 = 0
🔴 Tingkat Sulit
Contoh 11
Jika x1 dan x2 akar-akar dari x2 − 3x + 1 = 0, tentukan nilai x14 + x24.
Lihat Pembahasan
x1 + x2 = 3, x1x2 = 1
Langkah 1: x12 + x22 = 32 − 2(1) = 7
Langkah 2: x14 + x24 = (x12 + x22)2 − 2(x1x2)2
= 72 − 2(1)2 = 49 − 2 = 47
Contoh 12
Jika x1 dan x2 akar-akar dari x2 − 5x + 2 = 0, tentukan nilai x12x2 + x22x1.
Lihat Pembahasan
x1 + x2 = 5, x1x2 = 2
x12x2 + x22x1 = x13 + x23x1x2
x13 + x23 = 53 − 3(2)(5) = 125 − 30 = 95
= 95/2 = 47,5
Contoh 13
Tentukan nilai k agar persamaan x2 − (k+2)x + 2k + 1 = 0 memiliki akar-akar yang memenuhi x1 = 3x2.
Lihat Pembahasan
x1 + x2 = k+2 … (1)
x1 · x2 = 2k+1 … (2)
Substitusi x1 = 3x2 ke (1): 4x2 = k+2 → x2 = (k+2)/4
Substitusi ke (2): 3x22 = 2k+1
3 × (k+2)2/16 = 2k+1
3(k2 + 4k + 4) = 16(2k+1)
3k2 + 12k + 12 = 32k + 16
3k2 − 20k − 4 = 0
(3k + 4)(k − 1) = 0 ??? Cek: 3(1) − 20 − 4 = −21 ≠ 0
Gunakan rumus ABC: k = (20 ± √(400+48))/6 = (20 ± √448)/6
Cek ulang: 3(-4/3)² − 20(-4/3) − 4 = 16/3 + 80/3 − 4 = 96/3 − 4 = 32−4=28 ≠ 0
Mari hitung ulang dengan teliti:
3k2 + 12k + 12 = 32k + 16
3k2 − 20k − 4 = 0
k = (20 ± √(400+48))/6 = (20 ± √448)/6 = (20 ± 4√28)/6 = (20 ± 8√7)/6 = (10 ± 4√7)/3
k = (10 + 4√7)/3 atau k = (10 − 4√7)/3
Contoh 14
Jika x1 dan x2 akar-akar dari 2x2 − 8x + 5 = 0, tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1x2 dan x2x1.
Lihat Pembahasan
x1 + x2 = 4, x1x2 = 5/2
Jumlah akar baru: x1x2 + x2x1 = x12 + x22x1x2
x12 + x22 = 16 − 2(5/2) = 16 − 5 = 11
Jumlah akar baru = 11/(5/2) = 22/5
Hasil kali akar baru: x1x2 · x2x1 = 1
PK baru: x2 − (22/5)x + 1 = 0
Kalikan 5: 5x2 − 22x + 5 = 0
Contoh 15
Diketahui persamaan x2 − 6x + k = 0 memiliki akar-akar positif. Jika selisih kuadrat akar-akarnya adalah 24, tentukan nilai k.
Lihat Pembahasan
x1 + x2 = 6, x1x2 = k
Selisih kuadrat: x12 − x22 = 24 (asumsikan x1 > x2)
(x1 + x2)(x1 − x2) = 24
6(x1 − x2) = 24 → x1 − x2 = 4
Dari: x1 + x2 = 6 dan x1 − x2 = 4:
x1 = 5, x2 = 1
k = x1 · x2 = 5 × 1 = 5
Verifikasi: x² − 6x + 5 = 0 → (x−5)(x−1) = 0 → akar 5 dan 1. 25−1=24 ✓
🏋️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Tidak disertai pembahasan agar kamu berlatih secara maksimal.
🟢 Tingkat Mudah
1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari x2 − 10x + 21 = 0.
2. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari 3x2 + 15x − 6 = 0.
3. Jika akar-akar x2 + 6x + 8 = 0 adalah p dan q, tentukan p2 + q2.
4. Tentukan jumlah dan hasil kali akar dari 5x2 − 20x + 15 = 0.
5. Jika x1 + x2 = 8 dan x1 · x2 = 12, susunlah persamaan kuadratnya.
🟡 Tingkat Sedang
6. Jika akar-akar x2 − 7x + 4 = 0 adalah x1 dan x2, tentukan 1x1 + 1x2.
7. Jika akar-akar 2x2 − 10x + 7 = 0 adalah α dan β, tentukan α3 + β3.
8. Tentukan nilai p jika hasil kali akar-akar persamaan x2 − 4x + (p−3) = 0 sama dengan 5.
9. Jika akar-akar x2 − 6x + 2 = 0 adalah x1 dan x2, susunlah PK baru yang akar-akarnya (x1 + 1) dan (x2 + 1).
10. Tentukan |x1 − x2| jika x1 dan x2 akar-akar dari x2 − 8x + 12 = 0.
🔴 Tingkat Sulit
11. Jika x1 dan x2 akar-akar dari x2 − 4x + 1 = 0, tentukan x15 + x25.
12. Tentukan nilai k agar persamaan x2 + (3k−1)x + k2 − 4 = 0 memiliki akar-akar yang berkebalikan (x1 · x2 = 1).
13. Jika akar-akar 3x2 − 12x + 7 = 0 adalah p dan q, tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya pq dan qp.
14. Persamaan x2 − (2a+3)x + a2 + 3a + 2 = 0 memiliki akar-akar yang selisihnya 1. Tentukan semua nilai a yang memenuhi.
15. Jika x1 dan x2 akar-akar x2 − 5x + 3 = 0, tentukan nilai x13x22 + x23x12.