Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Jenis Akar Persamaan Kuadrat
Dikaitkan dengan Nilai Diskriminan
A. Pengertian Diskriminan
Persamaan kuadrat umum berbentuk:
Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan menggunakan rumus kuadrat (rumus abc):
2a
Bagian di bawah tanda akar, yaitu b2 − 4ac, disebut Diskriminan dan dilambangkan dengan huruf D.
Nilai diskriminan menentukan jenis akar (sifat akar) dari suatu persamaan kuadrat, tanpa harus menghitung akar-akarnya secara langsung.
B. Jenis Akar Berdasarkan Nilai Diskriminan
| Nilai Diskriminan | Jenis Akar | Keterangan |
|---|---|---|
| D > 0 | Dua akar real berbeda | Grafik memotong sumbu-x di dua titik |
| D = 0 | Dua akar real sama (kembar) | Grafik menyinggung sumbu-x di satu titik |
| D < 0 | Tidak memiliki akar real (akar imajiner) | Grafik tidak memotong sumbu-x |
Catatan Tambahan:
- Jika D > 0 dan D merupakan bilangan kuadrat sempurna, maka kedua akar berupa bilangan rasional.
- Jika D > 0 tetapi D bukan bilangan kuadrat sempurna, maka kedua akar berupa bilangan irasional.
- Jika D ≥ 0, persamaan kuadrat memiliki akar real (akar nyata).
Ilustrasi Grafik Parabola:
D > 0
Memotong sumbu-x di 2 titik
D = 0
Menyinggung sumbu-x di 1 titik
D < 0
Tidak memotong sumbu-x
C. Kegiatan Pembelajaran
Mengamati
Perhatikan persamaan-persamaan kuadrat berikut dan hitung nilai diskriminannya:
- x2 − 5x + 6 = 0 → D = (−5)2 − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1 (D > 0)
- x2 − 6x + 9 = 0 → D = (−6)2 − 4(1)(9) = 36 − 36 = 0 (D = 0)
- x2 + 2x + 5 = 0 → D = (2)2 − 4(1)(5) = 4 − 20 = −16 (D < 0)
Amati bahwa nilai D yang berbeda menghasilkan jenis akar yang berbeda pula.
Menanya
- Mengapa nilai diskriminan bisa menentukan jenis akar tanpa menyelesaikan persamaan?
- Apa hubungan antara nilai diskriminan dengan posisi grafik parabola terhadap sumbu-x?
- Bagaimana jika koefisien a, b, atau c mengandung parameter?
Menalar
Karena rumus akar mengandung √D, maka:
- Jika D > 0, maka √D menghasilkan bilangan positif → dua nilai x berbeda (menggunakan + dan −).
- Jika D = 0, maka √D = 0 → kedua akar bernilai sama: x = −b/(2a).
- Jika D < 0, maka √D tidak terdefinisi di bilangan real → tidak ada akar real.
Mencoba
Tentukan jenis akar dari persamaan berikut tanpa menyelesaikannya:
- 2x2 + 3x − 5 = 0
- 4x2 − 12x + 9 = 0
- 3x2 + x + 2 = 0
Petunjuk: Identifikasi a, b, c lalu hitung D = b² − 4ac.
Mengkomunikasikan
Tuliskan kesimpulanmu tentang hubungan antara nilai diskriminan dan jenis akar persamaan kuadrat. Presentasikan hasilmu di depan kelas dengan menyertakan:
- Rumus diskriminan
- Tiga kemungkinan nilai D beserta jenis akarnya
- Contoh persamaan untuk masing-masing kasus
- Sketsa grafik parabola untuk setiap kasus
D. Langkah-Langkah Menentukan Jenis Akar
- Identifikasi nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat.
- Hitung diskriminan: D = b2 − 4ac.
- Tentukan jenis akar berdasarkan nilai D.
- Simpulkan sifat akar persamaan kuadrat tersebut.
E. Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAHContoh Soal Tingkat Mudah
Contoh 1:
Tentukan jenis akar persamaan x2 − 7x + 12 = 0.
Lihat Pembahasan
a = 1, b = −7, c = 12
D = (−7)2 − 4(1)(12) = 49 − 48 = 1
Karena D = 1 > 0, maka persamaan memiliki dua akar real berbeda.
Karena D = 1 adalah kuadrat sempurna, kedua akar berupa bilangan rasional.
Contoh 2:
Tentukan jenis akar persamaan x2 + 4x + 4 = 0.
Lihat Pembahasan
a = 1, b = 4, c = 4
D = (4)2 − 4(1)(4) = 16 − 16 = 0
Karena D = 0, maka persamaan memiliki dua akar real sama (kembar).
Contoh 3:
Tentukan jenis akar persamaan x2 + x + 1 = 0.
Lihat Pembahasan
a = 1, b = 1, c = 1
D = (1)2 − 4(1)(1) = 1 − 4 = −3
Karena D = −3 < 0, maka persamaan tidak memiliki akar real.
Contoh 4:
Tentukan jenis akar persamaan 2x2 − 8x + 8 = 0.
Lihat Pembahasan
a = 2, b = −8, c = 8
D = (−8)2 − 4(2)(8) = 64 − 64 = 0
Karena D = 0, maka persamaan memiliki dua akar real sama (kembar).
Contoh 5:
Tentukan jenis akar persamaan 3x2 + x − 2 = 0.
Lihat Pembahasan
a = 3, b = 1, c = −2
D = (1)2 − 4(3)(−2) = 1 + 24 = 25
Karena D = 25 > 0, maka persamaan memiliki dua akar real berbeda.
Karena D = 25 adalah kuadrat sempurna (5²), kedua akar berupa bilangan rasional.
SEDANGContoh Soal Tingkat Sedang
Contoh 6:
Tentukan nilai k agar persamaan x2 − 6x + k = 0 memiliki akar kembar.
Lihat Pembahasan
a = 1, b = −6, c = k
Syarat akar kembar: D = 0
D = (−6)2 − 4(1)(k) = 0
36 − 4k = 0
4k = 36
k = 9
Contoh 7:
Tentukan nilai p agar persamaan 2x2 + px + 8 = 0 memiliki dua akar real berbeda.
Lihat Pembahasan
a = 2, b = p, c = 8
Syarat dua akar real berbeda: D > 0
D = p2 − 4(2)(8) > 0
p2 − 64 > 0
p2 > 64
p < −8 atau p > 8
Contoh 8:
Tentukan nilai m agar persamaan x2 + 2mx + m + 2 = 0 tidak memiliki akar real.
Lihat Pembahasan
a = 1, b = 2m, c = m + 2
Syarat tidak ada akar real: D < 0
D = (2m)2 − 4(1)(m + 2) < 0
4m2 − 4m − 8 < 0
m2 − m − 2 < 0
(m − 2)(m + 1) < 0
−1 < m < 2
Contoh 9:
Persamaan (k + 1)x2 − 2kx + k = 0 memiliki akar real. Tentukan nilai k.
Lihat Pembahasan
Syarat persamaan kuadrat: k + 1 ≠ 0 → k ≠ −1
a = k + 1, b = −2k, c = k
Syarat akar real: D ≥ 0
D = (−2k)2 − 4(k + 1)(k) ≥ 0
4k2 − 4k2 − 4k ≥ 0
−4k ≥ 0
k ≤ 0, dengan k ≠ −1
Contoh 10:
Tentukan jenis akar persamaan 5x2 − 3x − 1 = 0 dan nyatakan apakah akarnya rasional atau irasional.
Lihat Pembahasan
a = 5, b = −3, c = −1
D = (−3)2 − 4(5)(−1) = 9 + 20 = 29
Karena D = 29 > 0, persamaan memiliki dua akar real berbeda.
Karena 29 bukan kuadrat sempurna (√29 bukan bilangan bulat), kedua akar berupa bilangan irasional.
SULITContoh Soal Tingkat Sulit
Contoh 11:
Tentukan nilai a agar persamaan ax2 + (a + 1)x + a + 1 = 0 memiliki akar kembar. Tentukan pula akar kembarnya.
Lihat Pembahasan
Syarat: a ≠ 0 (agar tetap persamaan kuadrat)
D = (a + 1)2 − 4(a)(a + 1) = 0
(a + 1)[(a + 1) − 4a] = 0
(a + 1)(−3a + 1) = 0
a = −1 atau a = 1/3
Karena a ≠ 0, kedua nilai memenuhi.
Untuk a = −1:
−x2 + 0·x + 0 = 0 → x2 = 0 → akar kembar x = 0
Untuk a = 1/3:
(1/3)x2 + (4/3)x + (4/3) = 0 → x2 + 4x + 4 = 0 → (x + 2)2 = 0 → akar kembar x = −2
Contoh 12:
Jika persamaan x2 + 2(k − 1)x + k2 + 3k + 5 = 0 memiliki dua akar real berbeda, tentukan rentang nilai k.
Lihat Pembahasan
a = 1, b = 2(k − 1), c = k2 + 3k + 5
D > 0:
[2(k − 1)]2 − 4(1)(k2 + 3k + 5) > 0
4(k2 − 2k + 1) − 4k2 − 12k − 20 > 0
4k2 − 8k + 4 − 4k2 − 12k − 20 > 0
−20k − 16 > 0
−20k > 16
k < −4/5
Contoh 13:
Persamaan kuadrat (m2 − 4)x2 + (2m + 4)x + 2 = 0 memiliki akar real. Tentukan semua nilai m yang memenuhi.
Lihat Pembahasan
Syarat persamaan kuadrat: m2 − 4 ≠ 0 → m ≠ 2 dan m ≠ −2
a = m2 − 4, b = 2m + 4, c = 2
D ≥ 0:
(2m + 4)2 − 4(m2 − 4)(2) ≥ 0
4m2 + 16m + 16 − 8m2 + 32 ≥ 0
−4m2 + 16m + 48 ≥ 0
m2 − 4m − 12 ≤ 0
(m − 6)(m + 2) ≤ 0
−2 ≤ m ≤ 6
Ingat syarat m ≠ ±2, maka:
−2 < m ≤ 6, dengan m ≠ 2
Contoh 14:
Tentukan nilai k agar persamaan kx2 − (2k + 3)x + (k + 2) = 0 memiliki dua akar positif berbeda.
Lihat Pembahasan
Syarat: k ≠ 0
Syarat 1: D > 0 (dua akar berbeda)
(2k + 3)2 − 4(k)(k + 2) > 0
4k2 + 12k + 9 − 4k2 − 8k > 0
4k + 9 > 0 → k > −9/4
Syarat 2: Jumlah akar > 0
x1 + x2 = (2k + 3)/k > 0
Syarat 3: Hasil kali akar > 0
x1 · x2 = (k + 2)/k > 0
Dari syarat 2: (2k + 3)/k > 0 → k < −3/2 atau k > 0
Dari syarat 3: (k + 2)/k > 0 → k < −2 atau k > 0
Irisan semua syarat:
k > 0 atau −9/4 < k < −2
Contoh 15:
Diketahui persamaan x2 − 2px + p2 − p − 2 = 0. Tentukan nilai p agar persamaan memiliki akar kembar, dan tentukan akar kembarnya.
Lihat Pembahasan
a = 1, b = −2p, c = p2 − p − 2
D = 0:
(−2p)2 − 4(1)(p2 − p − 2) = 0
4p2 − 4p2 + 4p + 8 = 0
4p + 8 = 0
p = −2
Akar kembar: x = −b/(2a) = 2p/2 = p = −2
Verifikasi: x2 + 4x + 4 = 0 → (x + 2)2 = 0 ✓
F. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri.
MUDAHLatihan Tingkat Mudah
- Tentukan jenis akar persamaan x2 − 3x + 2 = 0.
- Tentukan jenis akar persamaan x2 + 10x + 25 = 0.
- Tentukan jenis akar persamaan 2x2 − x + 3 = 0.
- Tentukan nilai diskriminan dan jenis akar persamaan 4x2 + 4x + 1 = 0.
- Tentukan jenis akar persamaan x2 − 2x − 15 = 0 dan nyatakan apakah akarnya rasional atau irasional.
SEDANGLatihan Tingkat Sedang
- Tentukan nilai k agar persamaan x2 + kx + 9 = 0 memiliki akar kembar.
- Tentukan rentang nilai p agar persamaan 3x2 − 2px + 3 = 0 tidak memiliki akar real.
- Tentukan nilai m agar persamaan x2 − (2m + 1)x + m2 = 0 memiliki dua akar real berbeda.
- Persamaan (k − 2)x2 + 4x + 1 = 0 memiliki akar real. Tentukan nilai k.
- Tentukan jenis akar persamaan x2 − 2√3 x + 3 = 0.
SULITLatihan Tingkat Sulit
- Tentukan semua nilai a agar persamaan (a2 − 1)x2 + 2(a + 1)x + 1 = 0 memiliki akar kembar.
- Tentukan nilai m agar persamaan mx2 − (3m + 2)x + (2m + 3) = 0 memiliki dua akar positif berbeda.
- Jika persamaan x2 + (k − 3)x + k = 0 dan x2 + 3x + (k − 3) = 0 keduanya memiliki akar real, tentukan rentang nilai k yang memenuhi kedua syarat tersebut.
- Tentukan nilai p agar persamaan x2 − 2(p + 1)x + p(p + 2) = 0 memiliki akar kembar, dan tentukan akar-akarnya.
- Diketahui persamaan (k + 2)x2 − 2(k − 1)x + k = 0. Tentukan rentang nilai k agar persamaan memiliki dua akar real yang berlawanan tanda.
G. Ringkasan
- • Diskriminan: D = b2 − 4ac
- • D > 0 → Dua akar real berbeda
- • D = 0 → Dua akar real sama (kembar)
- • D < 0 → Tidak ada akar real
- • D ≥ 0 → Persamaan memiliki akar real
- • D = kuadrat sempurna → Akar rasional
- • D ≠ kuadrat sempurna (tapi D > 0) → Akar irasional