Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Memfaktorkan Bentuk Kuadrat
1. Pengertian Memfaktorkan Bentuk Kuadrat
Memfaktorkan bentuk kuadrat adalah proses mengubah suatu ekspresi kuadrat menjadi perkalian dua faktor linear (atau lebih sederhana). Bentuk umum ekspresi kuadrat adalah:
di mana a, b, dan c adalah konstanta dengan a ≠ 0.
Tujuan dari pemfaktoran adalah menuliskan ekspresi tersebut dalam bentuk:
di mana p × r = a dan q × s = c, serta ps + qr = b.
🔍 Mengamati
Perhatikan contoh berikut:
Coba kalikan kembali (x + 2)(x + 3) menggunakan distribusi. Apakah hasilnya sama dengan x2 + 5x + 6?
❓ Menanya
Bagaimana cara menentukan bilangan 2 dan 3 pada contoh di atas? Apa hubungannya dengan koefisien b = 5 dan c = 6?
💡 Menalar
Kita mencari dua bilangan yang memenuhi:
- Jumlahnya = b (koefisien x)
- Hasil kalinya = c (konstanta)
Pada x2 + 5x + 6: dua bilangan yang jumlahnya 5 dan kalinya 6 adalah 2 dan 3.
2. Metode-Metode Pemfaktoran
A. Pemfaktoran ax2 + bx + c dengan a = 1
Jika a = 1, maka bentuk kuadrat menjadi x2 + bx + c. Faktorkan menjadi:
dengan syarat: m + n = b dan m × n = c
🧪 Mencoba
Faktorkan x2 + 7x + 12:
- Cari dua bilangan yang jumlahnya 7 dan kalinya 12
- Pasangan faktor 12: (1,12), (2,6), (3,4)
- Yang jumlahnya 7: 3 dan 4 ✓
- Jadi: x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
B. Pemfaktoran ax2 + bx + c dengan a ≠ 1
Jika a ≠ 1, gunakan metode berikut:
- Kalikan a × c
- Cari dua bilangan m dan n sehingga m + n = b dan m × n = a × c
- Uraikan bx menjadi mx + nx
- Faktorkan dengan mengelompokkan
🧪 Mencoba
Faktorkan 2x2 + 7x + 3:
- a × c = 2 × 3 = 6
- Cari m + n = 7 dan m × n = 6 → m = 6, n = 1
- 2x2 + 6x + x + 3
- = 2x(x + 3) + 1(x + 3)
- = (2x + 1)(x + 3)
C. Pemfaktoran Selisih Dua Kuadrat
🧪 Mencoba
Faktorkan x2 − 9:
D. Pemfaktoran Kuadrat Sempurna
📢 Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada teman sebangkumu mengapa x2 + 6x + 9 merupakan kuadrat sempurna dan bagaimana cara memfaktorkannya.
Karena 9 = 32 dan 6x = 2 × x × 3.
3. Langkah Sistematis Memfaktorkan
- Periksa faktor persekutuan terbesar (FPB) dari semua suku. Jika ada, keluarkan terlebih dahulu.
- Identifikasi bentuk ekspresi:
- Selisih dua kuadrat? → Gunakan rumus (a+b)(a−b)
- Kuadrat sempurna? → Gunakan rumus (a±b)2
- Bentuk ax2 + bx + c? → Gunakan metode A atau B
- Faktorkan sesuai metode yang tepat.
- Periksa hasil dengan mengalikan kembali faktor-faktornya.
💡 Menalar
Mengapa langkah pertama (mengeluarkan FPB) penting? Karena menyederhanakan koefisien sehingga pemfaktoran berikutnya lebih mudah.
Contoh: 3x2 + 12x + 12 = 3(x2 + 4x + 4) = 3(x + 2)2
4. Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah
Contoh 1:
Faktorkan x2 + 8x + 15
Pembahasan
Cari m dan n: m + n = 8, m × n = 15
Pasangan faktor 15: (1,15), (3,5)
3 + 5 = 8 ✓
Contoh 2:
Faktorkan x2 − 5x + 6
Pembahasan
m + n = −5, m × n = 6
m = −2, n = −3 (karena (−2)+(−3)=−5, (−2)×(−3)=6)
Contoh 3:
Faktorkan x2 − 16
Pembahasan
Ini adalah selisih dua kuadrat: x2 − 42
Contoh 4:
Faktorkan x2 + 10x + 25
Pembahasan
25 = 52, dan 10x = 2 × x × 5. Ini kuadrat sempurna.
Contoh 5:
Faktorkan x2 + x − 6
Pembahasan
m + n = 1, m × n = −6
m = 3, n = −2 (karena 3+(−2)=1, 3×(−2)=−6)
Sedang
Contoh 6:
Faktorkan 2x2 + 5x + 3
Pembahasan
a × c = 2 × 3 = 6
Cari m + n = 5, m × n = 6 → m = 2, n = 3
2x2 + 2x + 3x + 3
= 2x(x + 1) + 3(x + 1)
Contoh 7:
Faktorkan 3x2 − 11x + 6
Pembahasan
a × c = 3 × 6 = 18
Cari m + n = −11, m × n = 18 → m = −9, n = −2
3x2 − 9x − 2x + 6
= 3x(x − 3) − 2(x − 3)
Contoh 8:
Faktorkan 4x2 − 25
Pembahasan
Selisih dua kuadrat: (2x)2 − 52
Contoh 9:
Faktorkan 2x2 − 8x − 10
Pembahasan
Keluarkan FPB = 2: 2(x2 − 4x − 5)
Faktorkan x2 − 4x − 5: m + n = −4, m × n = −5 → m = −5, n = 1
Contoh 10:
Faktorkan 5x2 + 13x − 6
Pembahasan
a × c = 5 × (−6) = −30
Cari m + n = 13, m × n = −30 → m = 15, n = −2
5x2 + 15x − 2x − 6
= 5x(x + 3) − 2(x + 3)
Sulit
Contoh 11:
Faktorkan 6x2 + 11x − 10
Pembahasan
a × c = 6 × (−10) = −60
Cari m + n = 11, m × n = −60 → m = 15, n = −4
6x2 + 15x − 4x − 10
= 3x(2x + 5) − 2(2x + 5)
Contoh 12:
Faktorkan 12x2 − 7x − 12
Pembahasan
a × c = 12 × (−12) = −144
Cari m + n = −7, m × n = −144 → m = 9, n = −16
12x2 + 9x − 16x − 12
= 3x(4x + 3) − 4(4x + 3)
Contoh 13:
Faktorkan 9x2 − 30x + 25
Pembahasan
Periksa kuadrat sempurna: 9x2 = (3x)2, 25 = 52, 30x = 2 × 3x × 5 ✓
Contoh 14:
Faktorkan 8x2 − 18x − 5
Pembahasan
a × c = 8 × (−5) = −40
Cari m + n = −18, m × n = −40 → m = −20, n = 2
8x2 − 20x + 2x − 5
= 4x(2x − 5) + 1(2x − 5)
Contoh 15:
Faktorkan 16x4 − 81
Pembahasan
Selisih dua kuadrat: (4x2)2 − 92
= (4x2 + 9)(4x2 − 9)
4x2 − 9 juga selisih dua kuadrat: (2x)2 − 32
5. Latihan Soal
Mudah
- Faktorkan x2 + 9x + 20
- Faktorkan x2 − 7x + 10
- Faktorkan x2 − 25
- Faktorkan x2 + 4x + 4
- Faktorkan x2 − 3x − 10
Sedang
- Faktorkan 3x2 + 10x + 8
- Faktorkan 2x2 − 9x + 4
- Faktorkan 9x2 − 49
- Faktorkan 4x2 + 20x + 25
- Faktorkan 3x2 − 12x − 15
Sulit
- Faktorkan 10x2 + 19x − 15
- Faktorkan 6x2 − 23x + 20
- Faktorkan 25x2 − 40x + 16
- Faktorkan 12x2 + x − 20
- Faktorkan 81x4 − 16