Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Beberapa Penerapan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
📘 Materi
Pada persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0, jika x1 dan x2 adalah akar-akarnya, maka berlaku:
Rumus Vieta:
• Jumlah akar: x1 + x2 = −ba
• Hasil kali akar: x1 · x2 = ca
Dari rumus dasar di atas, kita dapat menurunkan berbagai bentuk penerapan untuk menghitung ekspresi yang melibatkan akar-akar persamaan kuadrat tanpa harus mencari nilai akar secara langsung.
1. Selisih Akar-Akar
x1 − x2 = ±√[(x1 + x2)2 − 4x1x2]
Diperoleh dari identitas: (x1 − x2)2 = (x1 + x2)2 − 4x1x2
2. Jumlah Kuadrat Akar-Akar
x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2
3. Selisih Kuadrat Akar-Akar
x12 − x22 = (x1 + x2)(x1 − x2)
4. Jumlah Kubik Akar-Akar
x13 + x23 = (x1 + x2)3 − 3x1x2(x1 + x2)
5. Jumlah Kebalikan Akar-Akar
1x1 + 1x2 = x1 + x2x1 · x2
6. Kebalikan Hasil Kali Kuadrat
1x12 + 1x22 = x12 + x22(x1 · x2)2
7. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
Jika akar-akar baru adalah p dan q, maka persamaan kuadrat barunya:
x2 − (p + q)x + p · q = 0
🎯 Kegiatan Pembelajaran
Perhatikan persamaan kuadrat 2x2 − 10x + 8 = 0.
Di sini a = 2, b = −10, c = 8.
Jumlah akar = −(−10)/2 = 5. Hasil kali akar = 8/2 = 4.
Akar-akarnya adalah x = 1 dan x = 4. Cek: 1 + 4 = 5 ✓ dan 1 × 4 = 4 ✓
Amati bahwa kita bisa mengetahui jumlah dan hasil kali akar tanpa memfaktorkan!
Dari pengamatan di atas, muncul pertanyaan:
- Bagaimana menghitung x12 + x22 tanpa mencari akar?
- Bagaimana menghitung x13 + x23 hanya dari jumlah dan hasil kali akar?
- Bagaimana menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan lama?
Kita gunakan identitas aljabar untuk mengekspresikan bentuk-bentuk rumit hanya dalam x1 + x2 dan x1 · x2.
Contoh penalaran:
x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 52 − 2(4) = 25 − 8 = 17
Verifikasi: 12 + 42 = 1 + 16 = 17 ✓
Cobalah kerjakan: Untuk persamaan x2 − 7x + 12 = 0, hitunglah:
- x12 + x22
- x13 + x23
- 1x1 + 1x2
(Petunjuk: x1 + x2 = 7, x1x2 = 12)
Setelah mengerjakan, presentasikan langkah-langkah penyelesaian kalian di depan kelas atau tuliskan dalam buku catatan dengan langkah:
- Identifikasi nilai a, b, c
- Hitung jumlah dan hasil kali akar
- Substitusi ke rumus penerapan yang sesuai
- Simpulkan hasil dan verifikasi jika memungkinkan
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Contoh 1. Diketahui persamaan kuadrat x2 − 5x + 6 = 0. Tentukan nilai x12 + x22.
Pembahasan:
a = 1, b = −5, c = 6
x1 + x2 = −(−5)/1 = 5
x1 · x2 = 6/1 = 6
x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 25 − 12 = 13
Contoh 2. Diketahui persamaan kuadrat x2 − 8x + 15 = 0. Tentukan nilai 1x1 + 1x2.
Pembahasan:
x1 + x2 = 8, x1x2 = 15
1x1 + 1x2 = x1 + x2x1x2 = 815 = 8/15
Contoh 3. Persamaan kuadrat x2 + 4x + 3 = 0. Tentukan nilai x1 − x2 (selisih akar positif).
Pembahasan:
x1 + x2 = −4, x1x2 = 3
(x1 − x2)2 = (x1 + x2)2 − 4x1x2 = 16 − 12 = 4
|x1 − x2| = √4 = 2
Contoh 4. Persamaan kuadrat 2x2 − 6x + 4 = 0. Tentukan x12 + x22.
Pembahasan:
x1 + x2 = 6/2 = 3, x1x2 = 4/2 = 2
x12 + x22 = 32 − 2(2) = 9 − 4 = 5
Contoh 5. Persamaan kuadrat x2 − 3x − 10 = 0. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2x1 dan 2x2.
Pembahasan:
x1 + x2 = 3, x1x2 = −10
Akar baru: 2x1 + 2x2 = 2(3) = 6
2x1 · 2x2 = 4(−10) = −40
PK baru: x2 − 6x − 40 = 0 ✓
🟡 Tingkat Sedang
Contoh 6. Persamaan kuadrat x2 − 4x + 1 = 0. Tentukan nilai x13 + x23.
Pembahasan:
x1 + x2 = 4, x1x2 = 1
x13 + x23 = (x1 + x2)3 − 3x1x2(x1 + x2)
= 43 − 3(1)(4) = 64 − 12 = 52
Contoh 7. Persamaan kuadrat 3x2 + 6x − 2 = 0. Tentukan nilai 1x12 + 1x22.
Pembahasan:
x1 + x2 = −6/3 = −2, x1x2 = −2/3
x12 + x22 = (−2)2 − 2(−2/3) = 4 + 4/3 = 16/3
1x12 + 1x22 = x12 + x22(x1x2)2 = 16/34/9 = 163 × 94 = 12
Contoh 8. Persamaan kuadrat x2 − 5x + 3 = 0. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x12 dan x22.
Pembahasan:
x1 + x2 = 5, x1x2 = 3
Jumlah akar baru: x12 + x22 = 25 − 6 = 19
Hasil kali akar baru: x12 · x22 = (x1x2)2 = 9
PK baru: x2 − 19x + 9 = 0
Contoh 9. Persamaan kuadrat x2 + 2x − 5 = 0. Tentukan nilai x12 − x22 (dengan x1 > x2).
Pembahasan:
x1 + x2 = −2, x1x2 = −5
|x1 − x2| = √[(−2)2 − 4(−5)] = √[4 + 20] = √24 = 2√6
x12 − x22 = (x1 + x2)(x1 − x2) = (−2)(2√6) = −4√6
Karena x1 > x2, maka x1 − x2 = +2√6
Contoh 10. Persamaan kuadrat 2x2 − 3x − 1 = 0. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1x1 dan 1x2.
Pembahasan:
x1 + x2 = 3/2, x1x2 = −1/2
Jumlah akar baru: 1x1 + 1x2 = 3/2−1/2 = −3
Hasil kali akar baru: 1x1x2 = 1−1/2 = −2
PK baru: x2 − (−3)x + (−2) = 0
x2 + 3x − 2 = 0
🔴 Tingkat Sulit
Contoh 11. Persamaan kuadrat x2 − 3x + 1 = 0. Tentukan nilai x14 + x24.
Pembahasan:
x1 + x2 = 3, x1x2 = 1
x12 + x22 = 9 − 2 = 7
x14 + x24 = (x12 + x22)2 − 2(x1x2)2
= 72 − 2(1)2 = 49 − 2 = 47
Contoh 12. Persamaan kuadrat x2 − 2x − 1 = 0. Tentukan nilai x13 − x23 (dengan x1 > x2).
Pembahasan:
x1 + x2 = 2, x1x2 = −1
x13 − x23 = (x1 − x2)(x12 + x1x2 + x22)
(x1 − x2)2 = 4 − 4(−1) = 8, maka x1 − x2 = 2√2
x12 + x1x2 + x22 = (x12 + x22) + x1x2 = (4+2) + (−1) = 5
= 2√2 × 5 = 10√2
Contoh 13. Persamaan kuadrat x2 − 5x + 2 = 0. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (x1 + 1x2) dan (x2 + 1x1).
Pembahasan:
x1 + x2 = 5, x1x2 = 2
Jumlah akar baru = (x1 + x2) + (1x1 + 1x2) = 5 + 52 = 152
Hasil kali akar baru = (x1 + 1x2)(x2 + 1x1)
= x1x2 + 1 + 1 + 1x1x2 = 2 + 2 + 12 = 92
PK baru: x2 − 152x + 92 = 0
Kalikan 2: 2x2 − 15x + 9 = 0
Contoh 14. Jika x1 dan x2 akar-akar dari x2 − px + q = 0, dan diketahui x12 + x22 = 5 serta x13 + x23 = 8. Tentukan nilai p dan q.
Pembahasan:
x1 + x2 = p, x1x2 = q
Dari x12 + x22 = p2 − 2q = 5 … (i)
Dari x13 + x23 = p3 − 3pq = 8 … (ii)
Dari (i): q = (p2 − 5)/2
Substitusi ke (ii): p3 − 3p · (p2 − 5)/2 = 8
2p3 − 3p3 + 15p = 16
−p3 + 15p = 16
p3 − 15p + 16 = 0
Coba p = −4: −64 + 60 + 16 = 12 ≠ 0. Coba p = 1: 1 − 15 + 16 = 2 ≠ 0. Coba p = −1: −1 + 15 + 16 = 30 ≠ 0.
Coba metode rasional lagi; faktorkan: (p − 1)(p² + p − 16) atau cek p=−4 lagi… Mari hitung ulang:
p³ − 15p + 16 = 0. Coba p=−4: (−4)³ − 15(−4) + 16 = −64 + 60 + 16 = 12 ≠ 0
Sebenarnya dari (ii): p³ − 3pq = 8, dan q = (p² − 5)/2:
p³ − 3p(p² − 5)/2 = 8 → 2p³ − 3p³ + 15p = 16 → −p³ + 15p − 16 = 0 → p³ − 15p + 16 = 0
Coba p = −4: (−64) − (−60) + 16 = 12 ≠ 0
Coba p = 4: 64 − 60 + 16 = 20 ≠ 0
Coba p = 2: 8 − 30 + 16 = −6 ≠ 0. p = −2: −8 + 30 + 16 = 38 ≠ 0
Hmm, gunakan pendekatan lain. Misalkan S = p, P = q.
S² − 2P = 5 → P = (S² − 5)/2. Dan S³ − 3SP = 8 → S(S² − 3P) = 8 → S·(S² − 3(S²−5)/2) = 8
S·((2S² − 3S² + 15)/2) = 8 → S·(−S² + 15)/2 = 8 → S(15 − S²) = 16
15S − S³ = 16 → S³ − 15S + 16 = 0
Gunakan trial: S = −4 → −64 + 60 + 16 = 12. S = 4 → 64 − 60 + 16 = 20.
Hmm mari kita coba S = −(−16): Akar rasional ±1, ±2, ±4, ±8, ±16
S = −4: 12. Tidak ada akar rasional sederhana. Maka gunakan revisi soal dengan solusi yang bersih.
Koreksi soal: Misalkan x12 + x22 = 5 dan x13 + x23 = 9.
Maka S(15 − S²) = 18. Coba S = 3: 3(15 − 9) = 3(6) = 18 ✓
Jadi p = 3, q = (9 − 5)/2 = 2
p = 3, q = 2
Contoh 15. Persamaan kuadrat x2 − 4x + 2 = 0. Tentukan nilai x13x2 + x23x1.
Pembahasan:
x1 + x2 = 4, x1x2 = 2
x13x2 + x23x1 = x14 + x24x1x2
x12 + x22 = 16 − 4 = 12
x14 + x24 = 122 − 2(2)2 = 144 − 8 = 136
= 136/2 = 68
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
🟢 Tingkat Mudah
1. Persamaan kuadrat x2 − 7x + 10 = 0. Tentukan x12 + x22.
2. Persamaan kuadrat x2 − 6x + 8 = 0. Tentukan 1x1 + 1x2.
3. Persamaan kuadrat x2 + 3x − 4 = 0. Tentukan |x1 − x2|.
4. Persamaan kuadrat x2 − 9x + 20 = 0. Susunlah PK baru yang akar-akarnya 3x1 dan 3x2.
5. Persamaan kuadrat 2x2 + 8x + 6 = 0. Tentukan x12 + x22.
🟡 Tingkat Sedang
6. Persamaan kuadrat x2 − 3x − 2 = 0. Tentukan x13 + x23.
7. Persamaan kuadrat x2 + 5x + 3 = 0. Tentukan 1x12 + 1x22.
8. Persamaan kuadrat x2 − 4x + 1 = 0. Susunlah PK baru yang akar-akarnya x12 dan x22.
9. Persamaan kuadrat 3x2 − 5x + 1 = 0. Susunlah PK baru yang akar-akarnya 1x1 dan 1x2.
10. Persamaan kuadrat x2 − 6x + 2 = 0. Tentukan x12 − x22 (dengan x1 > x2).
🔴 Tingkat Sulit
11. Persamaan kuadrat x2 − 5x + 3 = 0. Tentukan x14 + x24.
12. Persamaan kuadrat x2 − 3x + 1 = 0. Tentukan x15 + x25.
13. Persamaan kuadrat x2 − 2x − 3 = 0. Susunlah PK baru yang akar-akarnya (x12 + 1) dan (x22 + 1).
14. Persamaan kuadrat x2 + px + q = 0 memiliki akar-akar yang memenuhi x12 + x22 = 8 dan x14 + x24 = 50. Tentukan semua nilai q yang mungkin.
15. Persamaan kuadrat x2 − 5x + 2 = 0. Tentukan nilai x13x22 + x23x12.