Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Jenis-Jenis Persamaan Kuadrat
Pendahuluan
Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua yang memiliki bentuk umum:
di mana a, b, dan c adalah konstanta real, dan x adalah variabel. Berdasarkan nilai koefisien dan bentuknya, persamaan kuadrat dapat diklasifikasikan menjadi beberapa jenis. Pada materi ini, kita akan membahas secara mendalam tentang jenis-jenis persamaan kuadrat tersebut.
1. Persamaan Kuadrat Lengkap
Persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan kuadrat yang memiliki semua suku, yaitu suku kuadrat (ax2), suku linear (bx), dan suku konstanta (c), dengan a ≠ 0, b ≠ 0, dan c ≠ 0.
Contoh bentuk persamaan kuadrat lengkap:
- x2 + 5x + 6 = 0 → (a = 1, b = 5, c = 6)
- 2x2 − 3x + 1 = 0 → (a = 2, b = −3, c = 1)
- 3x2 + 7x − 2 = 0 → (a = 3, b = 7, c = −2)
Cara menyelesaikan: Persamaan kuadrat lengkap dapat diselesaikan dengan tiga metode utama:
- Pemfaktoran — mencari dua bilangan yang hasil kalinya sama dengan ac dan jumlahnya sama dengan b
- Melengkapi kuadrat sempurna — mengubah bentuk menjadi (x + p)2 = q
- Rumus kuadrat (rumus abc):
x = (−b ± √(b2 − 4ac)) / (2a)
🔍 Kegiatan Pembelajaran
📌 Mengamati:
Perhatikan persamaan-persamaan berikut: x2 + 5x + 6 = 0, 2x2 − 3x + 1 = 0, dan 4x2 + x − 3 = 0. Amati bahwa ketiga persamaan tersebut memiliki tiga suku lengkap.
❓ Menanya:
Apa syarat agar sebuah persamaan kuadrat disebut lengkap? Bagaimana cara membedakan persamaan kuadrat lengkap dengan yang tidak lengkap?
💡 Menalar:
Persamaan kuadrat lengkap memiliki koefisien a, b, dan c yang semuanya tidak nol. Jika salah satu dari b atau c bernilai nol, maka persamaan tersebut bukan persamaan kuadrat lengkap.
🧪 Mencoba:
Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan 5x2 − 2x + 7 = 0, lalu verifikasi bahwa ini adalah persamaan kuadrat lengkap.
📢 Mengkomunikasikan:
Jelaskan dengan kata-katamu sendiri mengapa persamaan x2 + 5x + 6 = 0 termasuk persamaan kuadrat lengkap, sedangkan x2 − 9 = 0 bukan.
Contoh Soal — Persamaan Kuadrat Lengkap
Mudah
Contoh 1:
Tentukan akar-akar dari x2 + 5x + 6 = 0
Lihat Pembahasan
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 6 dan jika dijumlahkan hasilnya 5.
Bilangan tersebut adalah 2 dan 3 (karena 2 × 3 = 6 dan 2 + 3 = 5).
Maka: (x + 2)(x + 3) = 0
x + 2 = 0 → x = −2
x + 3 = 0 → x = −3
Jadi, akar-akarnya adalah x = −2 atau x = −3
Contoh 2:
Tentukan akar-akar dari x2 − 7x + 12 = 0
Lihat Pembahasan
Cari dua bilangan yang hasil kalinya 12 dan jumlahnya −7.
Bilangan: −3 dan −4 (karena (−3) × (−4) = 12 dan (−3) + (−4) = −7)
(x − 3)(x − 4) = 0
x = 3 atau x = 4
Contoh 3:
Tentukan akar-akar dari x2 + 2x − 8 = 0
Lihat Pembahasan
Cari dua bilangan yang hasil kalinya −8 dan jumlahnya 2.
Bilangan: 4 dan −2 (karena 4 × (−2) = −8 dan 4 + (−2) = 2)
(x + 4)(x − 2) = 0
x = −4 atau x = 2
Contoh 4:
Tentukan akar-akar dari x2 − 3x + 2 = 0
Lihat Pembahasan
Cari dua bilangan yang hasil kalinya 2 dan jumlahnya −3.
Bilangan: −1 dan −2
(x − 1)(x − 2) = 0
x = 1 atau x = 2
Contoh 5:
Tentukan akar-akar dari x2 + x − 6 = 0
Lihat Pembahasan
Cari dua bilangan yang hasil kalinya −6 dan jumlahnya 1.
Bilangan: 3 dan −2
(x + 3)(x − 2) = 0
x = −3 atau x = 2
Sedang
Contoh 6:
Tentukan akar-akar dari 2x2 − 5x + 3 = 0
Lihat Pembahasan
a = 2, b = −5, c = 3
Cari dua bilangan yang hasil kalinya = ac = 6 dan jumlahnya = b = −5
Bilangan: −2 dan −3
2x2 − 2x − 3x + 3 = 0
2x(x − 1) − 3(x − 1) = 0
(2x − 3)(x − 1) = 0
x = 3/2 atau x = 1
Contoh 7:
Tentukan akar-akar dari 3x2 + 7x + 2 = 0
Lihat Pembahasan
a = 3, b = 7, c = 2, ac = 6
Cari dua bilangan: hasil kali 6, jumlah 7 → bilangan 1 dan 6
3x2 + x + 6x + 2 = 0
x(3x + 1) + 2(3x + 1) = 0
(x + 2)(3x + 1) = 0
x = −2 atau x = −1/3
Contoh 8:
Selesaikan 2x2 + 3x − 2 = 0 menggunakan rumus kuadrat
Lihat Pembahasan
a = 2, b = 3, c = −2
D = b2 − 4ac = 9 − 4(2)(−2) = 9 + 16 = 25
x = (−3 ± √25) / (2 × 2) = (−3 ± 5) / 4
x₁ = (−3 + 5) / 4 = 2/4 = 1/2
x₂ = (−3 − 5) / 4 = −8/4 = −2
Jadi x = 1/2 atau x = −2
Contoh 9:
Selesaikan x2 − 4x + 1 = 0 dengan melengkapi kuadrat sempurna
Lihat Pembahasan
x2 − 4x = −1
x2 − 4x + 4 = −1 + 4
(x − 2)2 = 3
x − 2 = ±√3
x = 2 + √3 atau x = 2 − √3
Contoh 10:
Tentukan akar-akar dari 4x2 − 8x + 3 = 0
Lihat Pembahasan
a = 4, b = −8, c = 3
D = 64 − 48 = 16
x = (8 ± 4) / 8
x₁ = 12/8 = 3/2
x₂ = 4/8 = 1/2
Sulit
Contoh 11:
Jika akar-akar persamaan 2x2 − 5x + k = 0 adalah x₁ dan x₂ dengan x₁ = 2x₂, tentukan nilai k.
Lihat Pembahasan
Dari Vieta: x₁ + x₂ = 5/2 dan x₁ · x₂ = k/2
Substitusi x₁ = 2x₂:
2x₂ + x₂ = 5/2 → 3x₂ = 5/2 → x₂ = 5/6
x₁ = 2(5/6) = 5/3
x₁ · x₂ = (5/3)(5/6) = 25/18 = k/2
k = 25/9
Contoh 12:
Tentukan nilai m agar persamaan (m−1)x2 + 2mx + (m+3) = 0 memiliki akar-akar real yang sama (kembar).
Lihat Pembahasan
Syarat akar kembar: D = 0, dan a ≠ 0 → m ≠ 1
a = m−1, b = 2m, c = m+3
D = (2m)2 − 4(m−1)(m+3) = 0
4m2 − 4(m2 + 3m − m − 3) = 0
4m2 − 4(m2 + 2m − 3) = 0
4m2 − 4m2 − 8m + 12 = 0
−8m + 12 = 0 → m = 3/2
Periksa: m = 3/2 ≠ 1 ✓
Contoh 13:
Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari x2 − 3x + 1 = 0, tentukan nilai x₁2 + x₂2.
Lihat Pembahasan
Dari Vieta: x₁ + x₂ = 3, x₁ · x₂ = 1
x₁2 + x₂2 = (x₁ + x₂)2 − 2x₁x₂
= 32 − 2(1) = 9 − 2 = 7
Contoh 14:
Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebihnya dari akar-akar persamaan x2 − 4x + 1 = 0.
Lihat Pembahasan
Misal akar lama: x₁, x₂. Akar baru: y₁ = x₁ + 3, y₂ = x₂ + 3
Maka x = y − 3. Substitusi ke persamaan lama:
(y − 3)2 − 4(y − 3) + 1 = 0
y2 − 6y + 9 − 4y + 12 + 1 = 0
y2 − 10y + 22 = 0
Persamaan baru: x2 − 10x + 22 = 0
Contoh 15:
Jika x₁ dan x₂ akar dari 2x2 + 3x − 5 = 0, tentukan nilai (1/x₁) + (1/x₂).
Lihat Pembahasan
Dari Vieta: x₁ + x₂ = −3/2, x₁ · x₂ = −5/2
1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂) / (x₁ · x₂)
= (−3/2) / (−5/2) = (−3/2) × (2/−5) = 3/5
Latihan Soal — Persamaan Kuadrat Lengkap
Mudah
- Tentukan akar-akar dari x2 + 7x + 10 = 0
- Selesaikan x2 − 5x + 4 = 0
- Tentukan akar-akar dari x2 + 3x − 10 = 0
- Selesaikan x2 − 8x + 15 = 0
- Tentukan akar-akar dari x2 + 6x + 8 = 0
Sedang
- Selesaikan 3x2 − 10x + 3 = 0
- Tentukan akar-akar dari 2x2 + 7x − 4 = 0
- Selesaikan 5x2 − 3x − 2 = 0 menggunakan rumus kuadrat
- Tentukan akar-akar dari x2 − 6x + 2 = 0 dengan melengkapi kuadrat sempurna
- Selesaikan 4x2 + 4x − 3 = 0
Sulit
- Jika akar-akar x2 − 5x + 3 = 0 adalah x₁ dan x₂, tentukan nilai x₁3 + x₂3
- Tentukan nilai p agar persamaan x2 + px + (p+3) = 0 memiliki akar kembar
- Bentuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar 3x2 − 7x + 2 = 0
- Jika salah satu akar dari x2 − (2k+1)x + (k2+2) = 0 adalah 3, tentukan akar yang lain
- Tentukan semua nilai m agar persamaan (m+2)x2 − 2(m−1)x + m = 0 mempunyai akar-akar real
2. Persamaan Kuadrat Tidak Lengkap (b = 0)
Persamaan kuadrat tidak lengkap dengan b = 0 adalah persamaan kuadrat yang tidak memiliki suku linear. Bentuknya hanya memuat suku kuadrat dan suku konstanta.
Cara menyelesaikan:
ax2 + c = 0
ax2 = −c
x2 = −c/a
x = ±√(−c/a)
Catatan: Persamaan ini memiliki akar real hanya jika −c/a ≥ 0 (bernilai non-negatif).
Contoh bentuk:
- x2 − 9 = 0 → (a = 1, b = 0, c = −9)
- 4x2 − 25 = 0 → (a = 4, b = 0, c = −25)
- 2x2 + 8 = 0 → (a = 2, b = 0, c = 8) — tidak memiliki akar real
Pola selisih dua kuadrat: Jika c < 0, persamaan dapat ditulis sebagai:
🔍 Kegiatan Pembelajaran
📌 Mengamati:
Perhatikan persamaan x2 − 16 = 0 dan 3x2 − 27 = 0. Amati bahwa tidak ada suku yang mengandung x berpangkat satu.
❓ Menanya:
Mengapa pada jenis ini kita bisa langsung menarik akar kuadrat? Kapan persamaan jenis ini tidak memiliki penyelesaian real?
💡 Menalar:
Karena tidak ada suku bx, kita dapat mengisolasi x2 di satu ruas dan langsung menarik akar kuadratnya. Jika nilai −c/a negatif, maka x2 harus bernilai negatif yang mustahil untuk bilangan real.
🧪 Mencoba:
Selesaikan x2 − 49 = 0 dengan dua cara: (1) menarik akar langsung, (2) memfaktorkan sebagai selisih dua kuadrat. Bandingkan hasilnya.
📢 Mengkomunikasikan:
Jelaskan mengapa persamaan x2 + 4 = 0 tidak memiliki penyelesaian pada bilangan real.
Contoh Soal — PK Tidak Lengkap (b = 0)
Mudah
Contoh 1:
Tentukan akar-akar dari x2 − 25 = 0
Lihat Pembahasan
x2 = 25
x = ±√25 = ±5
Jadi x = 5 atau x = −5
Contoh 2:
Selesaikan x2 − 36 = 0
Lihat Pembahasan
x2 = 36 → x = ±6
Contoh 3:
Tentukan akar-akar dari 4x2 − 16 = 0
Lihat Pembahasan
4x2 = 16 → x2 = 4 → x = ±2
Contoh 4:
Selesaikan 9x2 − 81 = 0
Lihat Pembahasan
9x2 = 81 → x2 = 9 → x = ±3
Contoh 5:
Tentukan akar-akar dari x2 − 100 = 0
Lihat Pembahasan
x2 = 100 → x = ±10
Sedang
Contoh 6:
Selesaikan 3x2 − 48 = 0
Lihat Pembahasan
3x2 = 48 → x2 = 16 → x = ±4
Contoh 7:
Tentukan akar-akar dari 2x2 − 50 = 0
Lihat Pembahasan
2x2 = 50 → x2 = 25 → x = ±5
Contoh 8:
Selesaikan 5x2 − 20 = 0 dengan pemfaktoran selisih dua kuadrat
Lihat Pembahasan
5(x2 − 4) = 0
5(x + 2)(x − 2) = 0
x = −2 atau x = 2
Contoh 9:
Apakah persamaan 2x2 + 18 = 0 memiliki akar real? Jelaskan.
Lihat Pembahasan
2x2 = −18 → x2 = −9
Karena x2 tidak mungkin bernilai negatif untuk bilangan real, maka persamaan ini tidak memiliki akar real.
Contoh 10:
Selesaikan x2/4 − 3 = 0
Lihat Pembahasan
x2/4 = 3 → x2 = 12 → x = ±√12 = ±2√3
Sulit
Contoh 11:
Tentukan nilai k agar persamaan x2 − (k2 − 4) = 0 memiliki akar-akar yang jumlah kuadratnya 32.
Lihat Pembahasan
Akar-akar: x = ±√(k2 − 4)
x₁2 + x₂2 = (k2 − 4) + (k2 − 4) = 2(k2 − 4) = 32
k2 − 4 = 16 → k2 = 20 → k = ±2√5
Contoh 12:
Tentukan semua nilai p agar persamaan (p−2)x2 + (4−p2) = 0 memiliki dua akar real berbeda.
Lihat Pembahasan
Syarat: p ≠ 2 (agar tetap kuadrat) dan −c/a > 0
x2 = −(4−p2)/(p−2) = (p2−4)/(p−2) = (p+2)(p−2)/(p−2) = p+2
Syarat dua akar real berbeda: p + 2 > 0 → p > −2
Dengan p ≠ 2, jawaban: p > −2 dan p ≠ 2
Contoh 13:
Selesaikan (2x − 1)2 − 9 = 0
Lihat Pembahasan
(2x − 1)2 = 9
2x − 1 = ±3
2x − 1 = 3 → x = 2
2x − 1 = −3 → x = −1
Contoh 14:
Tentukan luas persegi jika persamaan x2 − A = 0 memiliki akar positif yang merupakan panjang sisi persegi tersebut, dan kelilingnya 24 cm.
Lihat Pembahasan
Keliling persegi = 4s = 24 → s = 6
Sisi = akar positif = √A = 6 → A = 36
Luas = s2 = 36 cm2
Contoh 15:
Jika akar-akar dari x2 − k = 0 memenuhi |x₁ − x₂| = 6, tentukan nilai k.
Lihat Pembahasan
Akar: x = ±√k
|x₁ − x₂| = |√k − (−√k)| = 2√k = 6
√k = 3 → k = 9
Latihan Soal — PK Tidak Lengkap (b = 0)
Mudah
- Selesaikan x2 − 64 = 0
- Tentukan akar dari 4x2 − 100 = 0
- Selesaikan x2 − 1 = 0
- Tentukan akar dari 9x2 − 36 = 0
- Selesaikan 25x2 − 4 = 0
Sedang
- Selesaikan 7x2 − 63 = 0
- Apakah 3x2 + 12 = 0 memiliki akar real?
- Selesaikan x2/9 − 4 = 0
- Tentukan akar dari 2x2 − 72 = 0
- Selesaikan 16x2 − 49 = 0 dengan pemfaktoran
Sulit
- Tentukan nilai m agar x2 − (3m − 2) = 0 memiliki akar-akar yang jumlah kuadratnya 50
- Selesaikan (3x + 2)2 − 49 = 0
- Tentukan semua nilai a agar (a+1)x2 − (9−a2) = 0 memiliki akar real
- Jika |x₁ − x₂| = 10 untuk x2 − p = 0, tentukan p
- Suatu persegi panjang memiliki panjang 2 kali lebarnya. Jika lebar memenuhi x2 − 18 = 0 (akar positif), tentukan luas persegi panjang tersebut
3. Persamaan Kuadrat Tidak Lengkap (c = 0)
Persamaan kuadrat tidak lengkap dengan c = 0 adalah persamaan kuadrat yang tidak memiliki suku konstanta. Bentuknya hanya memuat suku kuadrat dan suku linear.
Cara menyelesaikan: Faktorkan x dari kedua suku:
ax2 + bx = 0
x(ax + b) = 0
x = 0 atau ax + b = 0 → x = −b/a
Ciri khas: Persamaan jenis ini selalu memiliki x = 0 sebagai salah satu akarnya.
🔍 Kegiatan Pembelajaran
📌 Mengamati:
Perhatikan x2 + 5x = 0 dan 3x2 − 6x = 0. Amati bahwa keduanya tidak memiliki suku konstanta dan keduanya memiliki faktor x yang sama.
❓ Menanya:
Mengapa persamaan jenis ini selalu memiliki x = 0 sebagai salah satu akarnya? Apakah mungkin kedua akarnya nol?
💡 Menalar:
Karena setiap suku mengandung faktor x, kita bisa memfaktorkan x keluar. Hasilnya x(ax + b) = 0. Salah satu faktor pasti x = 0. Kedua akar tidak mungkin sama-sama nol karena b ≠ 0.
🧪 Mencoba:
Selesaikan 4x2 − 12x = 0. Verifikasi kedua akar dengan mensubstitusikan kembali ke persamaan.
📢 Mengkomunikasikan:
Buatlah penjelasan singkat tentang langkah-langkah penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap (c = 0) yang bisa dipahami temanmu.
Contoh Soal — PK Tidak Lengkap (c = 0)
Mudah
Contoh 1:
Selesaikan x2 − 4x = 0
Lihat Pembahasan
x(x − 4) = 0
x = 0 atau x = 4
Contoh 2:
Selesaikan x2 + 3x = 0
Lihat Pembahasan
x(x + 3) = 0
x = 0 atau x = −3
Contoh 3:
Selesaikan 2x2 − 6x = 0
Lihat Pembahasan
2x(x − 3) = 0
x = 0 atau x = 3
Contoh 4:
Selesaikan 5x2 + 10x = 0
Lihat Pembahasan
5x(x + 2) = 0
x = 0 atau x = −2
Contoh 5:
Selesaikan 3x2 − 9x = 0
Lihat Pembahasan
3x(x − 3) = 0
x = 0 atau x = 3
Sedang
Contoh 6:
Selesaikan 4x2 + 12x = 0
Lihat Pembahasan
4x(x + 3) = 0
x = 0 atau x = −3
Contoh 7:
Selesaikan 6x2 − 15x = 0
Lihat Pembahasan
3x(2x − 5) = 0
x = 0 atau x = 5/2
Contoh 8:
Selesaikan −2x2 + 7x = 0
Lihat Pembahasan
x(−2x + 7) = 0
x = 0 atau x = 7/2
Contoh 9:
Selesaikan x2/2 − 3x = 0
Lihat Pembahasan
Kalikan 2: x2 − 6x = 0
x(x − 6) = 0
x = 0 atau x = 6
Contoh 10:
Jika salah satu akar dari ax2 + 8x = 0 adalah x = −4, tentukan nilai a.
Lihat Pembahasan
Akar selain 0: x = −b/a = −8/a = −4
a = 8/4 = 2
Sulit
Contoh 11:
Tentukan nilai k agar persamaan (k+1)x2 − (k2−1)x = 0 memiliki akar selain 0 yang bernilai 5.
Lihat Pembahasan
x[(k+1)x − (k2−1)] = 0
Akar selain 0: x = (k2−1)/(k+1) = (k+1)(k−1)/(k+1) = k−1
(dengan syarat k ≠ −1)
k − 1 = 5 → k = 6
Contoh 12:
Bola dilempar vertikal dengan persamaan ketinggian h = 20t − 5t2 (dalam meter). Kapan bola kembali ke tanah?
Lihat Pembahasan
Bola kembali ke tanah saat h = 0:
20t − 5t2 = 0
5t(4 − t) = 0
t = 0 (saat dilempar) atau t = 4 detik (kembali ke tanah)
Bola kembali ke tanah setelah 4 detik.
Contoh 13:
Tentukan persamaan kuadrat (c = 0) yang akar-akarnya memiliki selisih 7 dan salah satunya 0.
Lihat Pembahasan
Akar: 0 dan 7 (atau 0 dan −7)
Untuk akar 0 dan 7: x(x − 7) = 0 → x2 − 7x = 0
Untuk akar 0 dan −7: x(x + 7) = 0 → x2 + 7x = 0
Contoh 14:
Jika akar-akar dari mx2 + nx = 0 memiliki hasil kali pangkat dua akar-akarnya sama dengan 16, tentukan hubungan m dan n.
Lihat Pembahasan
Akar: x₁ = 0, x₂ = −n/m
x₁2 · x₂2 = 0 · (n/m)2 = 0 ≠ 16
Hmm, hasilnya 0. Maka yang dimaksud: x₁2 + x₂2 = 16
0 + (n/m)2 = 16
n2/m2 = 16 → n = ±4m
Contoh 15:
Sebuah tanah berbentuk persegi panjang dengan panjang = x meter dan lebar = (x − 5) meter. Jika luasnya 0 (lebar = 0), tentukan persamaan kuadratnya dan ukuran panjangnya.
Lihat Pembahasan
Luas = x(x − 5) = 0
x2 − 5x = 0
x = 0 atau x = 5
Karena panjang harus positif: x = 5 meter
Tapi lebar = 5 − 5 = 0, sehingga luas = 0 (sesuai syarat)
Latihan Soal — PK Tidak Lengkap (c = 0)
Mudah
- Selesaikan x2 − 7x = 0
- Selesaikan 3x2 + 12x = 0
- Selesaikan 2x2 − 10x = 0
- Selesaikan 4x2 + 8x = 0
- Selesaikan 7x2 − 21x = 0
Sedang
- Selesaikan 8x2 − 20x = 0
- Jika akar selain 0 dari ax2 − 6x = 0 adalah 3, tentukan a
- Selesaikan −3x2 + 18x = 0
- Selesaikan x2/3 + 2x = 0
- Tentukan persamaan kuadrat (c = 0) yang salah satu akarnya −5
Sulit
- Tentukan k agar (k−2)x2 + (k2−4)x = 0 memiliki akar selain 0 bernilai −3
- Roket ditembak vertikal dengan h = 50t − 5t2. Kapan roket kembali ke tanah?
- Tentukan semua persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx = 0 yang akar-akarnya berjarak 8
- Jika akar-akar px2 + qx = 0 memenuhi x₁2 + x₂2 = 25, tentukan hubungan p dan q
- Suatu benda jatuh bebas memenuhi s = v₀t + ½gt2. Jika v₀ = 0 dan s = 80 m dengan g = 10 m/s2, tentukan waktu jatuhnya
4. Persamaan Kuadrat Murni (b = 0 dan c = 0)
Persamaan kuadrat murni adalah bentuk paling sederhana dari persamaan kuadrat, di mana baik suku linear maupun suku konstanta tidak ada. Hanya tersisa suku kuadrat saja.
Penyelesaian:
ax2 = 0
x2 = 0
x = 0 (akar kembar)
Ciri khas: Persamaan ini selalu memiliki satu akar kembar yaitu x = 0. Grafik parabolanya menyinggung sumbu-x tepat di titik asal (0, 0).
🔍 Kegiatan Pembelajaran
📌 Mengamati:
Perhatikan persamaan 5x2 = 0 dan −3x2 = 0. Berapa pun koefisien a-nya, solusinya selalu x = 0.
❓ Menanya:
Mengapa berapapun nilai a (asal ≠ 0), penyelesaiannya selalu x = 0?
💡 Menalar:
Karena a ≠ 0, kita boleh membagi kedua ruas dengan a, sehingga x2 = 0, yang hanya dipenuhi oleh x = 0.
🧪 Mencoba:
Substitusikan x = 0 ke dalam 7x2 = 0 dan −100x2 = 0. Apakah keduanya terpenuhi?
📢 Mengkomunikasikan:
Jelaskan dalam satu kalimat mengapa persamaan kuadrat murni selalu memiliki akar kembar di titik nol.
Contoh Soal — Persamaan Kuadrat Murni
Mudah
Contoh 1:
Selesaikan 3x2 = 0
Lihat Pembahasan
x2 = 0 → x = 0 (akar kembar)
Contoh 2:
Selesaikan −5x2 = 0
Lihat Pembahasan
x2 = 0 → x = 0
Contoh 3:
Apakah x = 2 merupakan akar dari 4x2 = 0?
Lihat Pembahasan
Substitusi: 4(2)2 = 16 ≠ 0. Jadi x = 2 bukan akar.
Satu-satunya akar adalah x = 0.
Contoh 4:
Tentukan nilai diskriminan dari 2x2 = 0
Lihat Pembahasan
a = 2, b = 0, c = 0
D = b2 − 4ac = 0 − 0 = 0
D = 0 mengkonfirmasi akar kembar.
Contoh 5:
Selesaikan 100x2 = 0
Lihat Pembahasan
x2 = 0 → x = 0
Sedang
Contoh 6:
Tentukan jenis persamaan kuadrat dan akarnya: (k−3)x2 = 0, jika k = 5.
Lihat Pembahasan
(5−3)x2 = 0 → 2x2 = 0 → x = 0
Ini persamaan kuadrat murni dengan akar kembar x = 0.
Contoh 7:
Untuk nilai k berapa agar kx2 + (k−2)x + (k−2) = 0 menjadi persamaan kuadrat murni?
Lihat Pembahasan
Syarat murni: b = 0 dan c = 0, a ≠ 0
k − 2 = 0 → k = 2
Cek a: k = 2 ≠ 0 ✓
Persamaan menjadi: 2x2 = 0
Contoh 8:
Jika grafik y = ax2 menyinggung sumbu-x di titik (0,0), tentukan akar persamaan ax2 = 0.
Lihat Pembahasan
Titik singgung dengan sumbu-x terjadi saat y = 0 → ax2 = 0 → x = 0
Grafik menyinggung (tidak memotong) karena ada akar kembar.
Contoh 9:
Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari 6x2 = 0 menggunakan rumus Vieta.
Lihat Pembahasan
a = 6, b = 0, c = 0
Jumlah akar = −b/a = 0/6 = 0
Hasil kali akar = c/a = 0/6 = 0
Sesuai: akar kembar 0, jadi 0 + 0 = 0 dan 0 × 0 = 0 ✓
Contoh 10:
Klasifikasikan: x2 = 0 apakah termasuk PK lengkap, tidak lengkap (b=0), tidak lengkap (c=0), atau murni?
Lihat Pembahasan
a = 1, b = 0, c = 0
Karena b = 0 DAN c = 0, ini termasuk persamaan kuadrat murni.
Sulit
Contoh 11:
Tentukan semua nilai m agar (m2−4)x2 + (m−2)x + (m+2) = 0 menjadi persamaan kuadrat murni.
Lihat Pembahasan
Syarat: b = 0, c = 0, a ≠ 0
b = 0: m − 2 = 0 → m = 2
c = 0: m + 2 = 0 → m = −2
Tidak ada m yang memenuhi kedua syarat sekaligus.
Tidak ada nilai m yang membuat persamaan ini menjadi PK murni.
Contoh 12:
Tentukan semua nilai a dan b agar ax2 + bx + (a−b) = 0 merupakan PK murni dengan a ≠ 0.
Lihat Pembahasan
Syarat: koef. x = 0 → b = 0
Konstanta = 0 → a − b = 0 → a = b = 0
Tapi a ≠ 0. Kontradiksi.
Tidak ada nilai yang memenuhi syarat.
Contoh 13:
Buktikan bahwa persamaan kuadrat murni ax2 = 0 selalu memiliki diskriminan D = 0.
Lihat Pembahasan
Untuk ax2 = 0: a ≠ 0, b = 0, c = 0
D = b2 − 4ac = 02 − 4(a)(0) = 0
Terbukti D = 0 untuk semua PK murni. ∎
Contoh 14:
Klasifikasikan persamaan (p2−1)x2 + (p−1)x = 0 untuk p = 1. Apakah masih persamaan kuadrat?
Lihat Pembahasan
Untuk p = 1: (1−1)x2 + (1−1)x = 0 → 0 = 0
Ini BUKAN persamaan kuadrat karena a = 0.
Persamaan menjadi identitas (berlaku untuk semua x).
Contoh 15:
Dari keempat jenis PK (lengkap, tidak lengkap b=0, tidak lengkap c=0, murni), manakah yang selalu memiliki tepat satu akar? Jelaskan.
Lihat Pembahasan
Hanya PK murni (ax2 = 0) yang SELALU memiliki tepat satu akar (kembar x = 0).
• PK lengkap bisa memiliki 2, 1, atau 0 akar real.
• PK (b=0) bisa memiliki 2 atau 0 akar real.
• PK (c=0) selalu memiliki 2 akar (salah satunya 0).
Latihan Soal — Persamaan Kuadrat Murni
Mudah
- Selesaikan 8x2 = 0
- Selesaikan −4x2 = 0
- Tentukan diskriminan dari 5x2 = 0
- Berapa jumlah akar-akar dari 12x2 = 0?
- Apakah x = 1 akar dari 9x2 = 0?
Sedang
- Tentukan k agar (k+3)x2 + (k−1)x + k = 0 menjadi PK murni
- Tentukan jumlah dan hasil kali akar menggunakan Vieta untuk 10x2 = 0
- Klasifikasikan (m−4)x2 = 0 untuk m = 4
- Gambarkan sketsa grafik y = 2x2 dan tunjukkan di mana grafik menyentuh sumbu-x
- Apakah PK murni bisa memiliki 2 akar yang berbeda? Jelaskan.
Sulit
- Tentukan semua p agar (p2−9)x2 + (p+3)x + (2p+6) = 0 menjadi PK murni
- Buktikan bahwa PK murni tidak bisa memiliki D > 0 atau D < 0
- Jika f(x) = ax2 dengan a > 0, tentukan sifat titik (0,0) pada grafik (minimum/maksimum)
- Tentukan hubungan antara PK murni dengan konsep titik puncak parabola
- Diberikan PK umum ax2 + bx + c = 0. Buktikan bahwa jika b = 0, c = 0, maka titik puncak parabola y = ax2 + bx + c berada di titik asal
Rangkuman Jenis-Jenis Persamaan Kuadrat
| Jenis | Bentuk | Syarat | Metode Penyelesaian |
|---|---|---|---|
| Lengkap | ax2 + bx + c = 0 | a, b, c ≠ 0 | Faktorisasi, KS, Rumus ABC |
| Tidak Lengkap (b=0) | ax2 + c = 0 | b = 0 | Akar kuadrat langsung |
| Tidak Lengkap (c=0) | ax2 + bx = 0 | c = 0 | Faktorkan x |
| Murni | ax2 = 0 | b = 0, c = 0 | Langsung: x = 0 |