Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Akar Pangkat Dua Bilangan Negatif
A. Materi: Akar Pangkat Dua Bilangan Negatif
1. Pengertian
Dalam himpunan bilangan real (ℝ), akar pangkat dua dari bilangan negatif tidak terdefinisi. Tidak ada bilangan real yang jika dikuadratkan menghasilkan bilangan negatif. Untuk mengatasi hal ini, diperkenalkan satuan imajiner yang dilambangkan dengan huruf i.
Definisi:
i = √(−1) atau i² = −1
Dengan menggunakan satuan imajiner i, akar pangkat dua bilangan negatif dapat dinyatakan sebagai berikut:
√(−a) = √a × √(−1) = i√a , untuk a > 0
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan tabel berikut dan amati pola yang terjadi:
| Bilangan | Akar di ℝ? | Bentuk Imajiner | Hasil |
|---|---|---|---|
| √4 | Ya | — | 2 |
| √(−4) | Tidak | √4 × √(−1) | 2i |
| √9 | Ya | — | 3 |
| √(−9) | Tidak | √9 × √(−1) | 3i |
| √25 | Ya | — | 5 |
| √(−25) | Tidak | √25 × √(−1) | 5i |
❓ Kegiatan: Menanya
Dari pengamatan di atas, muncul pertanyaan:
- Mengapa √(−4) tidak bisa diselesaikan di bilangan real?
- Apa yang dimaksud satuan imajiner i?
- Bagaimana cara menyederhanakan √(−a) untuk sembarang a > 0?
- Apa hubungan pangkat-pangkat i dengan hasilnya?
2. Sifat-Sifat Pangkat dari i
Pangkat dari satuan imajiner i memiliki pola berulang setiap 4 pangkat:
Pola berulang: i⁵ = i, i⁶ = −1, i⁷ = −i, i⁸ = 1, dst.
Untuk menentukan in, bagi n dengan 4, lalu perhatikan sisanya:
| Sisa bagi 4 | Nilai in |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | i |
| 2 | −1 |
| 3 | −i |
💡 Kegiatan: Menalar
Berdasarkan sifat pangkat i, kita dapat menyimpulkan:
- Setiap bilangan negatif memiliki akar pangkat dua dalam bentuk bilangan imajiner.
- √(−a) = i√a, dengan a > 0.
- Perkalian dua bilangan imajiner: √(−a) × √(−b) = i√a × i√b = i²√(ab) = −√(ab)
- Peringatan: √(−a) × √(−b) ≠ √(ab). Sifat √a × √b = √(ab) hanya berlaku untuk a, b ≥ 0.
3. Langkah-Langkah Menyederhanakan √(−a)
- Pisahkan tanda negatif: √(−a) = √(a × (−1))
- Gunakan sifat akar: = √a × √(−1)
- Ganti √(−1) dengan i: = i√a
- Sederhanakan √a jika memungkinkan.
✏️ Kegiatan: Mencoba
Cobalah sederhanakan bilangan-bilangan berikut menggunakan langkah di atas:
- √(−16) = …
- √(−49) = …
- √(−12) = …
- √(−75) = …
- i¹⁰ = …
Petunjuk: Untuk √(−12), sederhanakan √12 = √(4×3) = 2√3 terlebih dahulu.
4. Operasi pada Akar Bilangan Negatif
a. Penjumlahan dan Pengurangan
a·i + b·i = (a + b)i
a·i − b·i = (a − b)i
b. Perkalian
√(−a) × √(−b) = i√a × i√b = i² × √(ab) = −√(ab)
c. Pembagian
√(−a) ÷ √(−b) = (i√a) ÷ (i√b) = √(a/b)
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Jelaskan dengan kata-katamu sendiri:
- Mengapa √(−2) × √(−3) ≠ √6, melainkan = −√6?
- Tuliskan langkah-langkah menyederhanakan √(−48) dalam bentuk ai.
- Berikan contoh penerapan akar bilangan negatif dalam penyelesaian persamaan kuadrat yang diskriminannya negatif.
B. Contoh Soal dan Pembahasan
▸ Contoh Soal Mudah
Soal 1:
Sederhanakan √(−36).
Pembahasan
√(−36) = √(36 × (−1)) = √36 × √(−1) = 6 × i = 6i
Jawaban: 6i
Soal 2:
Sederhanakan √(−81).
Pembahasan
√(−81) = √81 × √(−1) = 9i
Jawaban: 9i
Soal 3:
Tentukan nilai i⁴.
Pembahasan
i⁴ = (i²)² = (−1)² = 1
Jawaban: 1
Soal 4:
Sederhanakan √(−100).
Pembahasan
√(−100) = √100 × √(−1) = 10i
Jawaban: 10i
Soal 5:
Tentukan nilai i².
Pembahasan
Berdasarkan definisi, i² = −1
Jawaban: −1
▸ Contoh Soal Sedang
Soal 1:
Sederhanakan √(−18).
Pembahasan
√(−18) = i√18 = i√(9×2) = i × 3√2 = 3i√2
Jawaban: 3i√2
Soal 2:
Hitunglah √(−4) × √(−9).
Pembahasan
√(−4) × √(−9) = 2i × 3i = 6i² = 6(−1) = −6
Jawaban: −6
Soal 3:
Tentukan nilai i¹³.
Pembahasan
13 ÷ 4 = 3 sisa 1
Sisa 1 → i¹³ = i
Jawaban: i
Soal 4:
Sederhanakan √(−50) + √(−8).
Pembahasan
√(−50) = i√50 = i × 5√2 = 5i√2
√(−8) = i√8 = i × 2√2 = 2i√2
Jumlah = 5i√2 + 2i√2 = 7i√2
Jawaban: 7i√2
Soal 5:
Hitunglah √(−16) ÷ √(−4).
Pembahasan
√(−16) ÷ √(−4) = 4i ÷ 2i = 4/2 = 2
Jawaban: 2
▸ Contoh Soal Sulit
Soal 1:
Tentukan nilai i²⁰²³ + i²⁰²⁴ + i²⁰²⁵ + i²⁰²⁶.
Pembahasan
2023 ÷ 4 = 505 sisa 3 → i²⁰²³ = −i
2024 ÷ 4 = 506 sisa 0 → i²⁰²⁴ = 1
2025 ÷ 4 = 506 sisa 1 → i²⁰²⁵ = i
2026 ÷ 4 = 506 sisa 2 → i²⁰²⁶ = −1
Jumlah = −i + 1 + i + (−1) = 0
Jawaban: 0
Soal 2:
Sederhanakan (√(−3))⁴.
Pembahasan
(√(−3))⁴ = ((√(−3))²)² = (−3)² = 9
Cara lain: (√(−3))⁴ = (i√3)⁴ = i⁴ × (√3)⁴ = 1 × 9 = 9
Jawaban: 9
Soal 3:
Hitunglah √(−12) × √(−27).
Pembahasan
√(−12) = i√12 = 2i√3
√(−27) = i√27 = 3i√3
Perkalian = 2i√3 × 3i√3 = 6i² × 3 = 6(−1)(3) = −18
Jawaban: −18
Soal 4:
Tentukan nilai dari i + i² + i³ + … + i¹⁰⁰.
Pembahasan
Satu siklus: i + i² + i³ + i⁴ = i + (−1) + (−i) + 1 = 0
100 ÷ 4 = 25 (habis dibagi, berarti ada 25 siklus lengkap)
Jumlah = 25 × 0 = 0
Jawaban: 0
Soal 5:
Sederhanakan (2i√5)³.
Pembahasan
(2i√5)³ = 2³ × i³ × (√5)³
= 8 × (−i) × 5√5
= −40i√5
Jawaban: −40i√5
C. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Tuliskan langkah penyelesaianmu.
▸ Latihan Mudah
- Sederhanakan √(−64).
- Sederhanakan √(−121).
- Tentukan nilai i⁶.
- Sederhanakan √(−144).
- Tentukan nilai i⁸.
▸ Latihan Sedang
- Sederhanakan √(−32).
- Hitunglah √(−5) × √(−20).
- Tentukan nilai i²² + i²³.
- Sederhanakan √(−72) − √(−18).
- Hitunglah √(−48) ÷ √(−3).
▸ Latihan Sulit
- Tentukan nilai i¹ + i² + i³ + … + i⁷⁵.
- Sederhanakan (√(−2))⁶.
- Hitunglah (3i√2)² + (2i√3)².
- Tentukan nilai (√(−5))⁴ + (√(−3))⁶.
- Sederhanakan √(−8) × √(−18) + √(−2) × √(−32).