Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
📘 Materi: Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
A. Pengertian Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua dalam satu variabel. Artinya, pangkat tertinggi dari variabel dalam persamaan tersebut adalah 2.
Bentuk umum persamaan kuadrat dituliskan sebagai:
dengan ketentuan:
- a, b, dan c adalah bilangan real (konstanta)
- a ≠ 0 (koefisien x2 tidak boleh nol)
- x adalah variabel (peubah)
Keterangan komponen:
| Komponen | Keterangan | Syarat |
|---|---|---|
| a | Koefisien dari x2 | a ≠ 0 |
| b | Koefisien dari x | Boleh 0 |
| c | Konstanta (suku tetap) | Boleh 0 |
| x | Variabel | – |
B. Mengapa a ≠ 0?
Jika a = 0, maka suku ax2 = 0, sehingga persamaan menjadi:
Persamaan di atas adalah persamaan linear (berderajat satu), bukan persamaan kuadrat. Oleh karena itu, syarat mutlak agar persamaan disebut persamaan kuadrat adalah a ≠ 0.
C. Bentuk-Bentuk Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dapat muncul dalam beberapa bentuk:
| No | Bentuk | Contoh | Keterangan |
|---|---|---|---|
| 1 | ax2 + bx + c = 0 | 2x2 + 3x + 1 = 0 | Lengkap |
| 2 | ax2 + bx = 0 | 3x2 − 5x = 0 | c = 0 |
| 3 | ax2 + c = 0 | x2 − 9 = 0 | b = 0 |
| 4 | ax2 = 0 | 5x2 = 0 | b = 0, c = 0 |
D. Cara Mengidentifikasi Koefisien
Untuk mengidentifikasi nilai a, b, dan c, persamaan harus ditulis dalam bentuk umum terlebih dahulu (ruas kanan = 0).
Langkah-langkah:
- Pindahkan semua suku ke ruas kiri sehingga ruas kanan = 0
- Susun dari pangkat tertinggi ke terendah: ax2 + bx + c = 0
- Baca koefisien masing-masing suku beserta tandanya
Contoh: Tentukan nilai a, b, dan c dari 3x2 − 7x + 2 = 0
Bandingkan dengan ax2 + bx + c = 0:
• a = 3 (koefisien x2)
• b = −7 (koefisien x, termasuk tanda negatif)
• c = 2 (konstanta)
E. Mengubah ke Bentuk Umum
Tidak semua persamaan kuadrat langsung diberikan dalam bentuk umum. Kita perlu menyederhanakan terlebih dahulu.
Contoh 1: Ubah 2x2 = 5x − 3 ke bentuk umum
Pindahkan semua suku ke ruas kiri:
2x2 − 5x + 3 = 0
Jadi: a = 2, b = −5, c = 3
Contoh 2: Ubah (x + 2)(x − 3) = 0 ke bentuk umum
Jabarkan:
x2 − 3x + 2x − 6 = 0
x2 − x − 6 = 0
Jadi: a = 1, b = −1, c = −6
Contoh 3: Ubah 3x(x − 4) = 2x + 1 ke bentuk umum
Jabarkan ruas kiri: 3x2 − 12x = 2x + 1
Pindahkan: 3x2 − 12x − 2x − 1 = 0
3x2 − 14x − 1 = 0
Jadi: a = 3, b = −14, c = −1
🎓 Kegiatan Pembelajaran
🔍 Mengamati
Amatilah persamaan-persamaan berikut:
- x2 + 5x + 6 = 0
- 2x2 − 8 = 0
- 4x2 + x = 0
- 3x + 7 = 0
- x3 − 2x + 1 = 0
Dari lima persamaan di atas, manakah yang merupakan persamaan kuadrat? Perhatikan pangkat tertinggi variabelnya dan apakah koefisien pangkat tertingginya ≠ 0.
❓ Menanya
Setelah mengamati, timbulkan pertanyaan berikut:
- Apa yang membedakan persamaan kuadrat dengan persamaan linear?
- Mengapa koefisien a harus ≠ 0?
- Apakah koefisien b dan c boleh bernilai 0?
- Bagaimana cara mengubah persamaan yang belum dalam bentuk umum?
💡 Menalar
Berdasarkan pengamatan, buatlah kesimpulan:
- Persamaan kuadrat memiliki derajat tertinggi 2
- Jika a = 0, persamaan bukan kuadrat melainkan linear
- Nilai b dan c boleh nol, menghasilkan bentuk tidak lengkap
- Setiap persamaan kuadrat selalu bisa ditulis dalam bentuk ax2 + bx + c = 0
🧪 Mencoba
Kerjakan kegiatan berikut:
- Tulislah 3 contoh persamaan kuadrat lengkap (b ≠ 0, c ≠ 0)
- Tulislah 2 contoh persamaan kuadrat tidak lengkap
- Ubah persamaan (x + 5)(x − 1) = 0 ke bentuk umum, lalu tentukan a, b, c
- Ubah persamaan 4x2 + 3 = 7x ke bentuk umum
📢 Mengkomunikasikan
Presentasikan hasil kerja kelompokmu:
- Jelaskan pengertian persamaan kuadrat dengan bahasamu sendiri
- Tunjukkan cara mengidentifikasi a, b, dan c
- Berikan contoh persamaan yang bukan persamaan kuadrat dan jelaskan alasannya
- Diskusikan mengapa bentuk umum penting sebagai dasar penyelesaian
✅ Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah
Soal 1:
Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan x2 + 4x + 3 = 0
Pembahasan:
Bandingkan dengan ax2 + bx + c = 0:
• a = 1 (koefisien x2)
• b = 4 (koefisien x)
• c = 3 (konstanta)
Soal 2:
Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan 3x2 − 6x + 2 = 0
Pembahasan:
• a = 3
• b = −6
• c = 2
Soal 3:
Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan 5x2 − 10 = 0
Pembahasan:
Persamaan ini tidak memiliki suku x, artinya b = 0.
• a = 5
• b = 0
• c = −10
Soal 4:
Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan 2x2 + 7x = 0
Pembahasan:
Persamaan ini tidak memiliki konstanta, artinya c = 0.
• a = 2
• b = 7
• c = 0
Soal 5:
Apakah persamaan 0x2 + 3x − 1 = 0 merupakan persamaan kuadrat? Jelaskan!
Pembahasan:
Bukan persamaan kuadrat karena a = 0. Syarat persamaan kuadrat adalah a ≠ 0. Persamaan ini adalah persamaan linear: 3x − 1 = 0.
Sedang
Soal 1:
Ubah persamaan 2x2 + 3 = 5x ke bentuk umum, lalu tentukan a, b, c.
Pembahasan:
Pindahkan 5x ke ruas kiri:
2x2 − 5x + 3 = 0
• a = 2, b = −5, c = 3
Soal 2:
Ubah persamaan (x + 3)(x − 2) = 0 ke bentuk umum dan tentukan a, b, c.
Pembahasan:
Jabarkan: x2 − 2x + 3x − 6 = 0
x2 + x − 6 = 0
• a = 1, b = 1, c = −6
Soal 3:
Ubah persamaan (2x − 1)(x + 4) = 0 ke bentuk umum.
Pembahasan:
Jabarkan: 2x2 + 8x − x − 4 = 0
2x2 + 7x − 4 = 0
• a = 2, b = 7, c = −4
Soal 4:
Tentukan nilai a, b, c dari −x2 + 6x − 9 = 0
Pembahasan:
Perhatikan tanda negatif pada suku pertama:
• a = −1 (koefisien x2 bernilai negatif)
• b = 6
• c = −9
Soal 5:
Ubah x(x + 5) = 14 ke bentuk umum dan tentukan koefisiennya.
Pembahasan:
Jabarkan ruas kiri: x2 + 5x = 14
Pindahkan 14: x2 + 5x − 14 = 0
• a = 1, b = 5, c = −14
Sulit
Soal 1:
Ubah persamaan (3x + 2)2 = 4x + 5 ke bentuk umum.
Pembahasan:
Jabarkan ruas kiri: (3x + 2)2 = 9x2 + 12x + 4
Persamaan menjadi: 9x2 + 12x + 4 = 4x + 5
Pindahkan: 9x2 + 12x − 4x + 4 − 5 = 0
9x2 + 8x − 1 = 0
• a = 9, b = 8, c = −1
Soal 2:
Ubah persamaan x(x − 2) + 3(x + 1) = 2x2 − x + 7 ke bentuk umum.
Pembahasan:
Ruas kiri: x2 − 2x + 3x + 3 = x2 + x + 3
Persamaan: x2 + x + 3 = 2x2 − x + 7
Pindahkan: x2 − 2x2 + x + x + 3 − 7 = 0
−x2 + 2x − 4 = 0
Atau kalikan (−1): x2 − 2x + 4 = 0
• a = 1, b = −2, c = 4
Soal 3:
Jika persamaan (k − 2)x2 + 5x − 3 = 0 merupakan persamaan kuadrat, tentukan syarat untuk k.
Pembahasan:
Agar merupakan persamaan kuadrat, koefisien x2 ≠ 0:
k − 2 ≠ 0
k ≠ 2
Jadi syaratnya adalah k ∈ ℝ, k ≠ 2.
Soal 4:
Ubah ke bentuk umum: 2x2 + 3⁄x + 1 = x − 1 (dengan x ≠ −1)
Pembahasan:
Kalikan kedua ruas dengan (x + 1):
2x2 + 3 = (x − 1)(x + 1)
2x2 + 3 = x2 − 1
2x2 − x2 + 3 + 1 = 0
x2 + 4 = 0
• a = 1, b = 0, c = 4
Soal 5:
Tentukan nilai m agar persamaan m2x2 + (2m − 1)x + 4 = 0 merupakan persamaan kuadrat yang koefisien x2-nya sama dengan 9.
Pembahasan:
Koefisien x2 = m2
Syarat persamaan kuadrat: m2 ≠ 0, jadi m ≠ 0
Koefisien x2 = 9:
m2 = 9
m = 3 atau m = −3
Kedua nilai memenuhi syarat m ≠ 0.
Untuk m = 3: 9x2 + 5x + 4 = 0 → a=9, b=5, c=4
Untuk m = −3: 9x2 − 7x + 4 = 0 → a=9, b=−7, c=4
📝 Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
Mudah
- Tentukan nilai a, b, dan c dari 4x2 + 2x − 5 = 0
- Tentukan nilai a, b, dan c dari x2 − 9 = 0
- Tentukan nilai a, b, dan c dari 7x2 + 3x = 0
- Apakah 5x + 2 = 0 merupakan persamaan kuadrat? Jelaskan!
- Tentukan nilai a, b, dan c dari −2x2 + x + 8 = 0
Sedang
- Ubah 3x2 = 7x − 2 ke bentuk umum, lalu tentukan a, b, c.
- Ubah (x − 4)(x + 6) = 0 ke bentuk umum.
- Ubah (3x − 1)(x + 2) = 0 ke bentuk umum dan tentukan koefisiennya.
- Ubah x(2x − 3) = 10 ke bentuk umum.
- Tentukan nilai a, b, c dari −3x2 + 12x = 0
Sulit
- Ubah (2x − 3)2 = x + 7 ke bentuk umum.
- Jika (p + 1)x2 − 4x + 6 = 0 merupakan persamaan kuadrat, tentukan syarat p.
- Ubah (x + 1)(x − 2) = (2x + 3)(x − 1) ke bentuk umum.
- Tentukan nilai k agar k2x2 + (3k + 2)x − 5 = 0 memiliki a = 4.
- Ubah x2 − 1⁄x − 1 = 2x + 3 (dengan x ≠ 1) ke bentuk umum.