Dua Persamaan Kuadrat yang Memiliki Akar Sama

Matematika SMA/MA/SMK/MAK

Dua Persamaan Kuadrat yang Memiliki
Dua Akar yang Sama dan Satu Akar yang Sama

A. Dua Persamaan Kuadrat yang Memiliki Dua Akar yang Sama

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan dua persamaan kuadrat berikut:

Persamaan 1: x 2 - 5 x + 6 = 0 \to akar-akarnya: x = 2 dan x = 3 Persamaan 2: 2 x 2 - 10 x + 12 = 0 \to akar-akarnya: x = 2 dan x = 3

Kedua persamaan di atas memiliki dua akar yang sama, yaitu x = 2 dan x = 3. Amati bahwa persamaan kedua merupakan kelipatan dari persamaan pertama (dikalikan 2).

❓ Kegiatan: Menanya

Kapan dua persamaan kuadrat memiliki dua akar yang sama?
Bagaimana syarat agar dua persamaan kuadrat memiliki kedua akar yang sama?
Apa hubungan koefisien kedua persamaan tersebut?

💡 Kegiatan: Menalar

Definisi:

Dua persamaan kuadrat dikatakan memiliki dua akar yang sama jika kedua akar dari persamaan pertama juga merupakan akar dari persamaan kedua (dan sebaliknya).

Syarat:

Diberikan dua persamaan kuadrat:

a 1 x 2 + b 1 x + c 1 = 0 \dots(1) a 2 x 2 + b 2 x + c 2 = 0 \dots(2)

Kedua persamaan memiliki dua akar yang sama jika dan hanya jika:

a 1 / a 2 = b 1 / b 2 = c 1 / c 2 = k (dengan k \neq 0)

Artinya, satu persamaan merupakan kelipatan konstan dari persamaan lainnya.

Penjelasan:

Jika persamaan (2) dapat diperoleh dengan mengalikan persamaan (1) dengan suatu konstanta k ≠ 0, maka kedua persamaan ekuivalen dan memiliki himpunan penyelesaian yang sama.

Cara Menentukan:

Bandingkan rasio koefisien: a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂
Jika ketiga rasio sama, kedua persamaan memiliki dua akar yang sama
Jika ada parameter yang belum diketahui, gunakan kesamaan rasio untuk menentukan nilainya

✏️ Kegiatan: Mencoba

Cobalah tentukan apakah pasangan persamaan berikut memiliki dua akar yang sama:

(a) 2 x 2 + 3 x - 5 = 0 dan 4 x 2 + 6 x - 10 = 0 (b) x 2 - 4 x + 3 = 0 dan 2 x 2 - 7 x + 6 = 0

Petunjuk: Periksa rasio koefisien masing-masing.

Jawaban (a): 2/4 = 3/6 = −5/(−10) = 1/2 ✓ (dua akar sama)

Jawaban (b): 1/2 ≠ −4/(−7) ✗ (tidak memiliki dua akar sama)

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Kesimpulan:

Dua persamaan kuadrat memiliki dua akar yang sama jika dan hanya jika perbandingan koefisien-koefisien yang bersesuaian sama: a 1 / a 2 = b 1 / b 2 = c 1 / c 2

Dengan kata lain, salah satu persamaan adalah kelipatan dari persamaan lainnya.

Contoh Soal: Dua Akar yang Sama

● Tingkat Mudah

Mudah

Soal 1: Tentukan nilai k agar persamaan x² − 6x + 8 = 0 dan kx² − 12x + 16 = 0 memiliki dua akar yang sama.

Lihat Pembahasan

Syarat dua akar sama: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

1/ k = (-6)/(-12) = 8/16 1/ k = 1/2 = 1/2 ✓ k = 2

Jadi, k = 2

Mudah

Soal 2: Tentukan nilai p agar 3x² − 9x + 6 = 0 dan x² − 3x + p = 0 memiliki dua akar yang sama.

Lihat Pembahasan

3/1 = (-9)/(-3) = 6/ p 3 = 3 = 6/ p p = 6/3 = 2

Jadi, p = 2

Mudah

Soal 3: Apakah persamaan 2x² + 4x − 6 = 0 dan 4x² + 8x − 12 = 0 memiliki dua akar yang sama?

Lihat Pembahasan

2/4 = 4/8 = (-6)/(-12) 1/2 = 1/2 = 1/2 ✓

Ya, kedua persamaan memiliki dua akar yang sama (persamaan kedua = 2 × persamaan pertama).

Mudah

Soal 4: Tentukan nilai m agar x² + 2x − 15 = 0 dan 2x² + mx − 30 = 0 memiliki dua akar yang sama.

Lihat Pembahasan

1/2 = 2/ m = (-15)/(-30) 1/2 = 2/ m = 1/2 ✓ 2/ m = 1/2 m = 4

Jadi, m = 4

Mudah

Soal 5: Tentukan nilai a agar 5x² − 10x + a = 0 dan x² − 2x + 3 = 0 memiliki dua akar yang sama.

Lihat Pembahasan

5/1 = (-10)/(-2) = a /3 5 = 5 = a /3 a = 15

Jadi, a = 15

● Tingkat Sedang

Sedang

Soal 1: Tentukan nilai a dan b agar ax² + 6x + b = 0 dan 2x² + 3x − 5 = 0 memiliki dua akar yang sama.

Lihat Pembahasan

a /2 = 6/3 = b /(-5) a /2 = 2 a = 4 b /(-5) = 2 b = -10

Jadi, a = 4 dan b = −10

Sedang

Soal 2: Jika persamaan (k+1)x² − 4x + 2 = 0 dan 3x² + (m−1)x + 1 = 0 memiliki dua akar yang sama, tentukan k dan m.

Lihat Pembahasan

(k +1)/3 = (-4)/(m -1) = 2/1 Dari 2/1 = 2: (k +1)/3 = 2 \to k +1 = 6 \to k = 5 (-4)/(m -1) = 2 \to m -1 = -2 \to m = -1

Jadi, k = 5 dan m = −1

Sedang

Soal 3: Persamaan x² + px + q = 0 memiliki akar 2 dan 5. Tentukan persamaan kuadrat lain yang juga memiliki dua akar yang sama dengan persamaan tersebut, dengan koefisien x² = 3.

Lihat Pembahasan

Akar 2 dan 5: x 2 - (2+5) x + (2)(5) = 0 x 2 - 7 x + 10 = 0 Kalikan dengan 3: 3 x 2 - 21 x + 30 = 0

Jadi, persamaannya: 3x² − 21x + 30 = 0

Sedang

Soal 4: Tentukan semua nilai k agar 2x² − (k+1)x + k = 0 dan 6x² − 9x + 3k = 0 memiliki dua akar yang sama.

Lihat Pembahasan

2/6 = -(k +1)/(-9) = k /(3 k) 1/3 = (k +1)/9 = 1/3 Dari k /(3 k) = 1/3 ✓ (berlaku untuk semua k \neq 0) Dari (k +1)/9 = 1/3: k +1 = 3 k = 2

Jadi, k = 2

Sedang

Soal 5: Persamaan x² − 2mx + m² − 1 = 0 dan 2x² − 8x + 6 = 0 memiliki dua akar yang sama. Tentukan nilai m.

Lihat Pembahasan

1/2 = (-2 m)/(-8) = (m 2 -1)/6 Dari (-2 m)/(-8) = 1/2: 2 m /8 = 1/2 2 m = 4 \to m = 2 Verifikasi: (m 2 -1)/6 = (4-1)/6 = 3/6 = 1/2 ✓

Jadi, m = 2

● Tingkat Sulit

Sulit

Soal 1: Tentukan semua nilai p agar (p²−1)x² + (p+1)x + 1 = 0 dan 3x² + x + (p−1) = 0 memiliki dua akar yang sama.

Lihat Pembahasan

(p 2 -1)/3 = (p +1)/1 = 1/(p -1) Dari (p +1)/1 = 1/(p -1): (p +1)(p -1) = 1 p 2 - 1 = 1 p 2 = 2 p = \sqrt2 atau p = -\sqrt2 Verifikasi dengan rasio pertama: (p 2 -1)/3 = 1/3 (p +1)/1 \to untuk p = \sqrt2: \sqrt2 + 1 1/(p -1) \to untuk p = \sqrt2: 1/(\sqrt2-1) = \sqrt2+1 ✓ Cek: (p 2 -1)/3 = 1/3 dan (p +1) = \sqrt2+1 1/3 \neq \sqrt2+1, sehingga tidak konsisten. Coba ulang: Syarat semua rasio sama (p 2 -1)/3 = (p +1)/1 (p -1)(p +1)/3 = (p +1) Jika p \neq -1: (p -1)/3 = 1 \to p = 4 Verifikasi semua rasio dengan p = 4: (16-1)/3 = 5, (4+1)/1 = 5, 1/(4-1) = 1/3 5 \neq 1/3 ✗ Maka syarat: (p +1)/1 = 1/(p -1) DAN (p 2 -1)/3 = (p +1)/1 Dari syarat 1: p 2 =2 Dari syarat 2: (p -1)/3 = 1 \to p =4 Kontradiksi \to tidak ada nilai p yang memenuhi.

Jadi, tidak ada nilai p yang memenuhi.

Sulit

Soal 2: Jika x² + bx + c = 0 dan x² + cx + b = 0 memiliki dua akar yang sama, tentukan hubungan antara b dan c.

Lihat Pembahasan

Syarat: 1/1 = b / c = c / b Dari 1 = b / c : b = c Verifikasi: c / b = 1 ✓ Jadi b = c (kedua persamaan identik).

Jadi, b = c

Sulit

Soal 3: Persamaan (a−2)x² + (a²−4)x + (a²+2a) = 0 dan 3x² + (a+2)x + a = 0 memiliki dua akar yang sama. Tentukan nilai a (dengan a ≠ 2).

Lihat Pembahasan

(a -2)/3 = (a 2 -4)/(a +2) = (a 2 +2 a)/ a Sederhanakan rasio kedua (faktorisasi): (a 2 -4)/(a +2) = (a -2)(a +2)/(a +2) = a -2 (untuk a \neq-2) Sederhanakan rasio ketiga: (a 2 +2 a)/ a = a +2 (untuk a \neq0) Maka: (a -2)/3 = a -2 = a +2 Dari a -2 = a +2: -2 = 2 (kontradiksi!) Periksa ulang: (a -2)/3 = a -2 a -2 = 3(a -2) Jika a \neq2: 1 = 3 (kontradiksi)

Tidak ada nilai a (dengan a≠2) yang memenuhi.

Sulit

Soal 4: Tentukan semua nilai k agar persamaan k²x² + 2kx − 3 = 0 dan 4x² + 4x − 3 = 0 memiliki dua akar yang sama.

Lihat Pembahasan

k 2 /4 = 2 k /4 = (-3)/(-3) k 2 /4 = k /2 = 1 Dari k /2 = 1: k = 2 Verifikasi: k 2 /4 = 4/4 = 1 ✓

Jadi, k = 2

Sulit

Soal 5: Diketahui persamaan (m+n)x² + (m−n)x + (m²−n²) = 0 dan 2x² − x + 3 = 0 memiliki dua akar yang sama. Tentukan nilai m dan n.

Lihat Pembahasan

(m + n)/2 = (m - n)/(-1) = (m 2 - n 2)/3 Perhatikan: m 2 - n 2 = (m + n)(m - n) Misalkan k = rasio yang sama: m + n = 2 k \dots(i) m - n = - k \dots(ii) (m + n)(m - n) = 3 k \dots(iii) Substitusi (i) dan (ii) ke (iii): (2 k)(- k) = 3 k -2 k 2 = 3 k -2 k 2 - 3 k = 0 k (-2 k -3) = 0 k = 0 (tidak valid) atau k = -3/2 Dengan k = -3/2: m + n = 2(-3/2) = -3 m - n = -(-3/2) = 3/2 m = (-3 + 3/2)/2 = (-3/2)/2 = -3/4 n = -3 - (-3/4) = -9/4

Jadi, m = −3/4 dan n = −9/4

Latihan Soal: Dua Akar yang Sama

● Tingkat Mudah

Tentukan nilai k agar x² + 4x − 5 = 0 dan kx² + 8x − 10 = 0 memiliki dua akar yang sama.
Tentukan nilai p agar 6x² − 3x + p = 0 dan 2x² − x + 4 = 0 memiliki dua akar yang sama.
Apakah 3x² − 6x + 9 = 0 dan x² − 2x + 3 = 0 memiliki dua akar yang sama? Jelaskan.
Tentukan nilai a agar ax² + 10x − 4 = 0 dan 5x² + 20x − 8 = 0 memiliki dua akar yang sama.
Tentukan nilai m agar 4x² + mx + 12 = 0 dan 2x² + 3x + 6 = 0 memiliki dua akar yang sama.

● Tingkat Sedang

Tentukan nilai a dan b agar ax² − 12x + b = 0 dan 3x² − 4x + 7 = 0 memiliki dua akar yang sama.
Persamaan x² + px + q = 0 memiliki akar −1 dan 4. Tentukan persamaan kuadrat lain yang memiliki dua akar sama dengan koefisien x² = 5.
Tentukan nilai k agar (k−3)x² + 2kx + (k+3) = 0 dan x² + 4x + 3 = 0 memiliki dua akar yang sama.
Jika persamaan x² − (a+3)x + 3a = 0 dan 2x² − 10x + 12 = 0 memiliki dua akar yang sama, tentukan a.
Tentukan nilai m agar m²x² + 2mx + 4 = 0 dan 9x² + 6x + 4 = 0 memiliki dua akar yang sama.

● Tingkat Sulit

Tentukan semua nilai k agar (k²+k)x² + (k+1)x + 1 = 0 dan 6x² + 2x + (k−2) = 0 memiliki dua akar yang sama.
Diketahui (a+b)x² + (a−b)x + 2 = 0 dan 4x² + 2x + (a−b) = 0 memiliki dua akar yang sama. Tentukan a dan b.
Buktikan bahwa persamaan x² + px + q = 0 dan qx² + px + 1 = 0 memiliki dua akar yang sama jika q = 1.
Tentukan nilai t agar (t²−4)x² + (t−2)x + 1 = 0 dan (t+2)x² + x + (t−2) = 0 memiliki dua akar yang sama (dengan t ≠ 2 dan t ≠ −2).
Tentukan semua pasangan (p, q) agar px² + (p+q)x + q = 0 dan 2x² + 5x + 3 = 0 memiliki dua akar yang sama.

B. Dua Persamaan Kuadrat yang Memiliki Satu Akar yang Sama

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan dua persamaan kuadrat berikut:

Persamaan 1: x 2 - 5 x + 6 = 0 \to akar-akarnya: x = 2 dan x = 3 Persamaan 2: x 2 - 5 x + 4 = 0 \to akar-akarnya: x = 1 dan x = 4

Kedua persamaan di atas tidak memiliki akar yang sama.

Persamaan 1: x 2 - 5 x + 6 = 0 \to akar-akarnya: x = 2 dan x = 3 Persamaan 3: x 2 - 7 x + 10 = 0 \to akar-akarnya: x = 2 dan x = 5

Kedua persamaan di atas memiliki satu akar yang sama, yaitu x = 2.

❓ Kegiatan: Menanya

Bagaimana cara menemukan akar persekutuan dari dua persamaan kuadrat?
Apa metode yang digunakan untuk menentukan satu akar yang sama?
Bagaimana cara menentukan parameter jika diketahui kedua persamaan memiliki satu akar yang sama?

💡 Kegiatan: Menalar

Definisi:

Dua persamaan kuadrat dikatakan memiliki satu akar yang sama (akar persekutuan) jika terdapat tepat satu nilai x yang memenuhi kedua persamaan sekaligus.

Metode Penyelesaian:

Diberikan dua persamaan kuadrat:

a 1 x 2 + b 1 x + c 1 = 0 \dots(1) a 2 x 2 + b 2 x + c 2 = 0 \dots(2)

Metode 1: Eliminasi (Pengurangan/Penjumlahan)

Jika x = α adalah akar persekutuan, maka α memenuhi kedua persamaan. Eliminasi salah satu suku untuk mendapatkan persamaan yang lebih sederhana.

Langkah: 1. Samakan koefisien x 2 (kalikan persamaan dengan konstanta yang sesuai) 2. Kurangkan kedua persamaan \to diperoleh persamaan linear dalam x 3. Selesaikan persamaan linear tersebut untuk mendapatkan x = α 4. Substitusi α ke salah satu persamaan awal untuk verifikasi atau menentukan parameter

Metode 2: Substitusi Langsung

Jika x = α adalah akar persekutuan, maka:

a 1 α 2 + b 1 α + c 1 = 0 \dots(i) a 2 α 2 + b 2 α + c 2 = 0 \dots(ii) Dari (i) - (ii) atau kombinasi linear, eliminasi α 2 untuk mendapat α .

Metode 3: Menggunakan Rumus Akar Persekutuan

Jika a₁ = a₂ = 1 (koefisien x² = 1):

x 2 + b 1 x + c 1 = 0 x 2 + b 2 x + c 2 = 0 Kurangkan: (b 1 - b 2) x + (c 1 - c 2) = 0 Akar persekutuan: x = (c 2 - c 1) / (b 1 - b 2) (dengan b 1 \neq b 2)

Catatan Penting:

Akar persekutuan yang ditemukan harus diverifikasi dengan mensubstitusi ke kedua persamaan awal.
Jika ada parameter, substitusi akar persekutuan ke persamaan awal untuk menentukan nilai parameter.

✏️ Kegiatan: Mencoba

Tentukan akar persekutuan dari:

x 2 - 5 x + 6 = 0 dan x 2 - 3 x + 2 = 0

Penyelesaian:

Kurangkan: (-5+3) x + (6-2) = 0 -2 x + 4 = 0 x = 2 Verifikasi pada persamaan 1: 4 - 10 + 6 = 0 ✓ Verifikasi pada persamaan 2: 4 - 6 + 2 = 0 ✓

Akar persekutuan = 2

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Kesimpulan:

Untuk mencari satu akar yang sama dari dua persamaan kuadrat: 1. Eliminasi suku x 2 dengan mengalikan dan mengurangkan kedua persamaan 2. Hasilnya berupa persamaan linear yang memberikan akar persekutuan 3. Verifikasi akar yang diperoleh ke kedua persamaan awal Jika koefisien x 2 = 1 pada kedua persamaan: x persekutuan = (c 2 - c 1) / (b 1 - b 2)

Contoh Soal: Satu Akar yang Sama

● Tingkat Mudah

Mudah

Soal 1: Tentukan akar persekutuan dari x² − 4x + 3 = 0 dan x² − 6x + 5 = 0.

Lihat Pembahasan

Persamaan 1: akar = 1, 3 Persamaan 2: akar = 1, 5 Atau dengan eliminasi: (-4+6) x + (3-5) = 0 2 x - 2 = 0 x = 1 Verifikasi: 1 - 4 + 3 = 0 ✓ dan 1 - 6 + 5 = 0 ✓

Akar persekutuan = 1

Mudah

Soal 2: Tentukan akar persekutuan dari x² − 7x + 12 = 0 dan x² − 6x + 8 = 0.

Lihat Pembahasan

Eliminasi: (-7+6) x + (12-8) = 0 - x + 4 = 0 x = 4 Verifikasi: 16 - 28 + 12 = 0 ✓ dan 16 - 24 + 8 = 0 ✓

Akar persekutuan = 4

Mudah

Soal 3: Tentukan akar persekutuan dari x² + x − 6 = 0 dan x² − x − 2 = 0.

Lihat Pembahasan

Eliminasi: (1-(-1)) x + (-6-(-2)) = 0 2 x - 4 = 0 x = 2 Verifikasi: 4 + 2 - 6 = 0 ✓ dan 4 - 2 - 2 = 0 ✓

Akar persekutuan = 2

Mudah

Soal 4: Tentukan akar persekutuan dari x² − 2x − 8 = 0 dan x² + x − 20 = 0.

Lihat Pembahasan

Eliminasi: (-2-1) x + (-8+20) = 0 -3 x + 12 = 0 x = 4 Verifikasi: 16 - 8 - 8 = 0 ✓ dan 16 + 4 - 20 = 0 ✓

Akar persekutuan = 4

Mudah

Soal 5: Tentukan akar persekutuan dari x² − 3x − 10 = 0 dan x² − 8x + 15 = 0.

Lihat Pembahasan

Eliminasi: (-3+8) x + (-10-15) = 0 5 x - 25 = 0 x = 5 Verifikasi: 25 - 15 - 10 = 0 ✓ dan 25 - 40 + 15 = 0 ✓

Akar persekutuan = 5

● Tingkat Sedang

Sedang

Soal 1: Tentukan nilai k agar x² − 3x + 2 = 0 dan x² + x + k = 0 memiliki satu akar yang sama.

Lihat Pembahasan

Persamaan 1 punya akar: x = 1 atau x = 2 Jika x = 1 akar persekutuan: 1 + 1 + k = 0 \to k = -2 Jika x = 2 akar persekutuan: 4 + 2 + k = 0 \to k = -6

Jadi, k = −2 atau k = −6

Sedang

Soal 2: Tentukan akar persekutuan dari 2x² − 3x − 2 = 0 dan 3x² − 7x + 2 = 0.

Lihat Pembahasan

Eliminasi x 2 : kalikan pers.1 \times 3 dan pers.2 \times 2: 6 x 2 - 9 x - 6 = 0 6 x 2 - 14 x + 4 = 0 Kurangkan: 5 x - 10 = 0 x = 2 Verifikasi pers.1: 2(4) - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0 ✓ Verifikasi pers.2: 3(4) - 7(2) + 2 = 12 - 14 + 2 = 0 ✓

Akar persekutuan = 2

Sedang

Soal 3: Tentukan nilai p agar x² + px − 12 = 0 dan x² − x − 2 = 0 memiliki satu akar yang sama.

Lihat Pembahasan

Persamaan 2 punya akar: x = 2 atau x = -1 Jika x = 2 akar persekutuan: 4 + 2 p - 12 = 0 \to 2 p = 8 \to p = 4 Jika x = -1 akar persekutuan: 1 - p - 12 = 0 \to p = -11

Jadi, p = 4 atau p = −11

Sedang

Soal 4: Diketahui 2x² + 5x − 3 = 0 dan x² + kx + k − 1 = 0 memiliki satu akar yang sama. Tentukan nilai k.

Lihat Pembahasan

Persamaan 1: 2 x 2 + 5 x - 3 = 0 (2 x - 1)(x + 3) = 0 x = 1/2 atau x = -3 Jika x = 1/2 akar persekutuan: 1/4 + k /2 + k - 1 = 0 1/4 + 3 k /2 - 1 = 0 3 k /2 = 3/4 \to k = 1/2 Jika x = -3 akar persekutuan: 9 - 3 k + k - 1 = 0 8 - 2 k = 0 \to k = 4

Jadi, k = 1/2 atau k = 4

Sedang

Soal 5: Tentukan akar persekutuan dari x² + 2x − 15 = 0 dan 2x² + x − 15 = 0.

Lihat Pembahasan

Eliminasi x 2 : pers.1 \times 2 - pers.2: 2 x 2 + 4 x - 30 - (2 x 2 + x - 15) = 0 3 x - 15 = 0 x = 5 Verifikasi pers.1: 25 + 10 - 15 = 20 \neq 0 ✗ Hmm, coba lagi: Pers.1: (x +5)(x -3)=0 \to x =-5, 3 Pers.2: (2 x -5)(x +3)=0 \to x =5/2, -3 Tidak ada akar persekutuan di antara akar-akar tersebut. Cek eliminasi: 2(x²+2x-15)-(2x²+x-15) = 3x-15=0, x=5 Verifikasi: 25+10-15=20\neq0 Maka kedua persamaan tidak memiliki akar persekutuan .

Kedua persamaan tidak memiliki akar persekutuan.

(Catatan: Hasil eliminasi harus selalu diverifikasi!)

● Tingkat Sulit

Sulit

Soal 1: Tentukan semua nilai a agar x² − ax + 12 = 0 dan x² − 3x + a = 0 memiliki satu akar yang sama. Tentukan juga akar persekutuannya.

Lihat Pembahasan

Misalkan α akar persekutuan: α 2 - aα + 12 = 0 \dots(i) α 2 - 3 α + a = 0 \dots(ii) (i) - (ii): (- a +3) α + (12- a) = 0 (3- a) α + (12- a) = 0 α = (a -12)/(3- a) (untuk a \neq3) \dots(iii) Substitusi ke (ii): α 2 - 3 α + a = 0 Dari (iii), substitusi α : [(a -12)/(3- a)] 2 - 3[(a -12)/(3- a)] + a = 0 Kalikan (3- a) 2 : (a -12) 2 - 3(a -12)(3- a) + a (3- a) 2 = 0 (a 2 -24 a +144) + 3(a -12)(a -3) + a (a 2 -6 a +9) = 0 a 2 -24 a +144 + 3(a 2 -15 a +36) + a 3 -6 a 2 +9 a = 0 a 3 - 2 a 2 - 60 a + 252 = 0 Coba a =-4: tidak cocok. Coba a =4: 64-32-240+252 = 44 \neq 0 Coba a =7: 343-98-420+252=77\neq0 Coba a =6: 216-72-360+252=36\neq0 Metode alternatif - coba langsung: Jika α =4: dari (i): 16-4 a +12=0 \to a =7 Cek (ii): 16-12+7=11\neq0 ✗ Jika α =3: dari (ii): 9-9+ a =0 \to a =0 Cek (i): 9-0+12=21\neq0 ✗ Jika α =4: dari (ii): 16-12+ a =0 \to a =-4 Cek (i): 16+16+12=44\neq0 ✗ Jika α =6: dari (ii): 36-18+ a =0 \to a =-18 Cek (i): 36+108+12=156\neq0 ✗ Jika α =2: dari (ii): 4-6+ a =0 \to a =2 Cek (i): 4-4+12=12\neq0 ✗ Jika α =-3: dari (ii): 9+9+ a =0 \to a =-18 Cek (i): 9+54+12=75\neq0 ✗ Kembali ke persamaan kubik: a 3 -2 a 2 -60 a +252=0 Coba a=-7: -343-98+420+252=231\neq0 Cari dengan metode numerik/rasional. Mungkin tidak ada solusi integer.

Soal ini memerlukan penyelesaian persamaan kubik. Gunakan metode numerik atau substitusi trial untuk menemukan solusi.

Sulit

Soal 2: Tentukan semua nilai k agar x² + kx + 5 = 0 dan x² − x + k = 0 memiliki tepat satu akar yang sama.

Lihat Pembahasan

Misalkan α akar persekutuan: α 2 + kα + 5 = 0 \dots(i) α 2 - α + k = 0 \dots(ii) (i)-(ii): (k +1) α + (5- k) = 0 α = (k -5)/(k +1) (untuk k \neq-1) \dots(iii) Substitusi ke (ii): [(k -5)/(k +1)] 2 - (k -5)/(k +1) + k = 0 Kalikan (k +1) 2 : (k -5) 2 - (k -5)(k +1) + k (k +1) 2 = 0 (k 2 -10 k +25) - (k 2 -4 k -5) + k (k 2 +2 k +1) = 0 -6 k +30 + k 3 +2 k 2 + k = 0 k 3 + 2 k 2 - 5 k + 30 = 0 Coba k =-5: -125+50+25+30=-20\neq0 Coba k =-6: -216+72+30+30=-84\neq0 Coba k =-3: -27+18+15+30=36\neq0 Coba k =2: 8+8-10+30=36\neq0 Perbaiki: k 3 +2 k 2 -5 k +30=0 tidak memiliki akar rasional. Gunakan kalkulator: \approx k \approx -4.56 (satu akar real)

Persamaan kubik yang dihasilkan memerlukan metode numerik.

Sulit

Soal 3: Jika x² + 2x − 3 = 0 dan x² + ax + b = 0 memiliki satu akar yang sama, dan akar lain dari persamaan kedua adalah 4, tentukan a dan b.

Lihat Pembahasan

Persamaan 1: x 2 + 2 x - 3 = 0 \to (x +3)(x -1) = 0 Akar: x = -3 atau x = 1 Kasus 1: Akar persekutuan = 1, akar lain = 4 Persamaan 2: (x -1)(x -4) = 0 \to x 2 - 5 x + 4 = 0 a = -5, b = 4 Kasus 2: Akar persekutuan = -3, akar lain = 4 Persamaan 2: (x +3)(x -4) = 0 \to x 2 - x - 12 = 0 a = -1, b = -12

Jadi, (a, b) = (−5, 4) atau (−1, −12)

Sulit

Soal 4: Persamaan x² − 5x + p = 0 dan x² − px + 5 = 0 memiliki satu akar yang sama. Tentukan semua kemungkinan nilai p dan akar persekutuannya.

Lihat Pembahasan

Misalkan α akar persekutuan: α 2 - 5 α + p = 0 \dots(i) α 2 - pα + 5 = 0 \dots(ii) (i)-(ii): (-5+ p) α + (p -5) = 0 (p -5)(α +1) = 0 Kasus 1: p = 5 Kedua persamaan menjadi: x 2 -5 x +5=0 (identik \to dua akar sama, bukan satu) Kasus 2: α = -1 Substitusi ke (i): 1 + 5 + p = 0 \to p = -6 Verifikasi (ii): 1 + 6 + 5 = 12 \neq 0 ✗ Perbaiki substitusi ke (ii): 1-(-6)(-1)+5 = 1-6+5 = 0 ✓ Dan (i): 1+5+(-6) = 0 ✓

Jadi, p = −6 dan akar persekutuan = −1

Sulit

Soal 5: Persamaan 2x² + 3x + k = 0 dan 3x² + 4x + 2k = 0 memiliki satu akar yang sama. Tentukan semua nilai k dan akar persekutuannya.

Lihat Pembahasan

Eliminasi x 2 : pers.1 \times 3 - pers.2 \times 2: 6 x 2 + 9 x + 3 k - (6 x 2 + 8 x + 4 k) = 0 x - k = 0 x = k Akar persekutuan = k Substitusi ke persamaan 1: 2 k 2 + 3 k + k = 0 2 k 2 + 4 k = 0 2 k (k + 2) = 0 k = 0 atau k = -2 Jika k = 0: akar persekutuan = 0 Verifikasi: 0+0+0=0 ✓ dan 0+0+0=0 ✓ Jika k = -2: akar persekutuan = -2 Verifikasi pers.1: 8-6-2=0 ✓ Verifikasi pers.2: 12-8-4=0 ✓

Jadi, k = 0 (akar persekutuan = 0) atau k = −2 (akar persekutuan = −2)

Latihan Soal: Satu Akar yang Sama

● Tingkat Mudah

Tentukan akar persekutuan dari x² − 5x + 4 = 0 dan x² − 3x − 4 = 0.
Tentukan akar persekutuan dari x² + x − 12 = 0 dan x² − 2x − 3 = 0.
Tentukan akar persekutuan dari x² − 9x + 20 = 0 dan x² − 7x + 12 = 0.
Tentukan akar persekutuan dari x² + 3x − 10 = 0 dan x² + 5x + 4 = 0.
Tentukan akar persekutuan dari x² − 6x + 5 = 0 dan x² − 2x − 3 = 0.

● Tingkat Sedang

Tentukan nilai k agar x² − 4x + 3 = 0 dan x² + kx − 5 = 0 memiliki satu akar yang sama.
Tentukan akar persekutuan dari 3x² − 5x + 2 = 0 dan 2x² − 3x + 1 = 0.
Tentukan nilai m agar x² + mx − 6 = 0 dan x² − 5x + 6 = 0 memiliki satu akar yang sama.
Jika 2x² − 7x + 3 = 0 dan x² + px − 9 = 0 memiliki satu akar yang sama, tentukan p.
Tentukan akar persekutuan dari 4x² − 8x + 3 = 0 dan 2x² − 5x + 3 = 0.

● Tingkat Sulit

Tentukan semua nilai a agar x² − ax + 6 = 0 dan x² − 5x + a = 0 memiliki tepat satu akar yang sama.
Jika x² + bx + c = 0 dan x² + cx + b = 0 memiliki tepat satu akar yang sama, tunjukkan bahwa akar persekutuannya adalah x = −1 (dengan b ≠ c).
Tentukan semua pasangan (p, q) agar x² + px + q = 0 dan x² + qx + p = 0 memiliki satu akar yang sama, dengan p ≠ q. Tentukan juga hubungan p dan q.
Persamaan x² + mx + n = 0 dan x² + nx + m = 0 memiliki satu akar persekutuan. Jika m + n = −1, tentukan nilai m dan n.
Tentukan semua nilai k agar kx² + (k+1)x + 2 = 0 dan 2x² + (k−1)x + k = 0 memiliki tepat satu akar yang sama.

A. Dua Persamaan Kuadrat yang Memiliki Dua Akar yang Sama

🔍 Kegiatan: Mengamati

❓ Kegiatan: Menanya

💡 Kegiatan: Menalar

Definisi:

Syarat:

Penjelasan:

Cara Menentukan:

✏️ Kegiatan: Mencoba

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Contoh Soal: Dua Akar yang Sama

● Tingkat Mudah

● Tingkat Sedang

● Tingkat Sulit

Latihan Soal: Dua Akar yang Sama

● Tingkat Mudah

● Tingkat Sedang

● Tingkat Sulit

B. Dua Persamaan Kuadrat yang Memiliki Satu Akar yang Sama

🔍 Kegiatan: Mengamati

❓ Kegiatan: Menanya

💡 Kegiatan: Menalar

Definisi:

Metode Penyelesaian:

Metode 1: Eliminasi (Pengurangan/Penjumlahan)

Metode 2: Substitusi Langsung

Metode 3: Menggunakan Rumus Akar Persekutuan

Catatan Penting:

✏️ Kegiatan: Mencoba

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Contoh Soal: Satu Akar yang Sama

● Tingkat Mudah

● Tingkat Sedang

● Tingkat Sulit

Latihan Soal: Satu Akar yang Sama

● Tingkat Mudah

● Tingkat Sedang

● Tingkat Sulit

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed