Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Panduan lengkap memahami dan menggambar grafik fungsi kuadrat
📘 Materi
1. Pengertian Grafik Fungsi Kuadrat
Grafik fungsi kuadrat adalah kurva berbentuk parabola yang merupakan representasi visual dari fungsi kuadrat:
Bentuk parabola ditentukan oleh nilai a:
- Jika a > 0, parabola terbuka ke atas (∪)
- Jika a < 0, parabola terbuka ke bawah (∩)
2. Langkah-Langkah Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat, ikuti langkah berikut secara berurutan:
- Tentukan arah parabola (lihat tanda a)
- Tentukan titik potong sumbu-Y: substitusi x = 0, sehingga titik potong = (0, c)
- Tentukan titik potong sumbu-X (jika ada): selesaikan ax² + bx + c = 0
- Tentukan sumbu simetri: x = −b/(2a)
- Tentukan titik puncak (vertex): (−b/(2a), −D/(4a)) dengan D = b² − 4ac
- Tentukan beberapa titik bantu di sekitar sumbu simetri
- Gambar kurva mulus melewati semua titik
3. Titik Puncak (Vertex)
Titik puncak merupakan titik tertinggi (jika a < 0) atau terendah (jika a > 0) pada parabola.
Titik Puncak = (xp, yp)
xp = −b / (2a)
yp = −D / (4a) = −(b² − 4ac) / (4a)
4. Sumbu Simetri
Sumbu simetri adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian simetris.
5. Diskriminan dan Titik Potong Sumbu-X
Diskriminan D = b² − 4ac menentukan jumlah titik potong dengan sumbu-X:
| Diskriminan | Jumlah Titik Potong | Keterangan |
|---|---|---|
| D > 0 | 2 titik | Memotong sumbu-X di dua titik berbeda |
| D = 0 | 1 titik | Menyinggung sumbu-X |
| D < 0 | 0 titik | Tidak memotong sumbu-X |
6. Kegiatan Pembelajaran
🔍 Mengamati
Perhatikan fungsi kuadrat f(x) = x² − 4x + 3. Amati:
- Koefisien: a = 1, b = −4, c = 3
- Karena a = 1 > 0, parabola terbuka ke atas
- Titik potong sumbu-Y: (0, 3)
❓ Menanya
- Bagaimana cara menentukan titik potong sumbu-X dari fungsi tersebut?
- Di mana letak titik puncak parabola?
- Bagaimana bentuk grafik jika koefisien a diperbesar atau diperkecil?
💡 Menalar
Dari f(x) = x² − 4x + 3:
- Titik potong sumbu-X: x² − 4x + 3 = 0 → (x−1)(x−3) = 0 → x = 1 atau x = 3
- Sumbu simetri: x = −(−4)/(2·1) = 2
- Titik puncak: f(2) = 4 − 8 + 3 = −1, jadi titik puncak = (2, −1)
🧪 Mencoba
Buat tabel nilai untuk f(x) = x² − 4x + 3:
| x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 8 | 3 | 0 | −1 | 0 | 3 | 8 |
Plotkan titik-titik tersebut pada bidang koordinat dan hubungkan dengan kurva mulus.
📢 Mengkomunikasikan
Dari analisis di atas, grafik f(x) = x² − 4x + 3 adalah parabola terbuka ke atas dengan titik puncak (2, −1), memotong sumbu-X di (1, 0) dan (3, 0), serta memotong sumbu-Y di (0, 3).
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah
Contoh 1:
Gambarlah grafik fungsi f(x) = x² − 2x − 3.
Pembahasan:
a = 1 > 0 → parabola terbuka ke atas
Titik potong sumbu-Y: f(0) = −3 → (0, −3)
Titik potong sumbu-X: x² − 2x − 3 = 0 → (x−3)(x+1) = 0 → x = 3 atau x = −1
Sumbu simetri: x = −(−2)/(2·1) = 1
Titik puncak: f(1) = 1 − 2 − 3 = −4 → (1, −4)
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 5 | 0 | −3 | −4 | −3 | 0 | 5 |
Grafik: parabola terbuka ke atas, puncak di (1, −4), memotong sumbu-X di (−1, 0) dan (3, 0).
Contoh 2:
Gambarlah grafik fungsi f(x) = −x² + 4.
Pembahasan:
a = −1 < 0 → parabola terbuka ke bawah
Titik potong sumbu-Y: f(0) = 4 → (0, 4)
Titik potong sumbu-X: −x² + 4 = 0 → x² = 4 → x = ±2
Sumbu simetri: x = 0/(2·(−1)) = 0
Titik puncak: (0, 4) (titik tertinggi)
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | −5 | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 | −5 |
Contoh 3:
Gambarlah grafik fungsi f(x) = x² + 2x + 1.
Pembahasan:
a = 1 > 0 → terbuka ke atas
Titik potong sumbu-Y: (0, 1)
Titik potong sumbu-X: x² + 2x + 1 = 0 → (x+1)² = 0 → x = −1 (menyinggung)
Sumbu simetri: x = −2/(2·1) = −1
Titik puncak: (−1, 0)
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Grafik menyinggung sumbu-X di titik (−1, 0) karena D = 0.
Contoh 4:
Gambarlah grafik fungsi f(x) = 2x² − 4x.
Pembahasan:
a = 2 > 0 → terbuka ke atas
Titik potong sumbu-Y: f(0) = 0 → (0, 0)
Titik potong sumbu-X: 2x² − 4x = 0 → 2x(x−2) = 0 → x = 0 atau x = 2
Sumbu simetri: x = 4/(2·2) = 1
Titik puncak: f(1) = 2 − 4 = −2 → (1, −2)
| x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 6 | 0 | −2 | 0 | 6 |
Contoh 5:
Gambarlah grafik fungsi f(x) = −x² + 6x − 5.
Pembahasan:
a = −1 < 0 → terbuka ke bawah
Titik potong sumbu-Y: f(0) = −5 → (0, −5)
Titik potong sumbu-X: −x² + 6x − 5 = 0 → x² − 6x + 5 = 0 → (x−1)(x−5) = 0 → x = 1, x = 5
Sumbu simetri: x = −6/(2·(−1)) = 3
Titik puncak: f(3) = −9 + 18 − 5 = 4 → (3, 4)
| x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | −12 | −5 | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 | −5 |
Sedang
Contoh 6:
Gambarlah grafik fungsi f(x) = x² − 6x + 10 dan tentukan apakah grafik memotong sumbu-X.
Pembahasan:
a = 1 > 0 → terbuka ke atas
D = 36 − 40 = −4 < 0 → grafik tidak memotong sumbu-X
Sumbu simetri: x = 6/2 = 3
Titik puncak: f(3) = 9 − 18 + 10 = 1 → (3, 1)
Titik potong sumbu-Y: (0, 10)
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 10 | 5 | 2 | 1 | 2 | 5 | 10 |
Seluruh grafik berada di atas sumbu-X karena D < 0 dan a > 0.
Contoh 7:
Gambarlah grafik f(x) = −2x² + 8x − 6 dan tentukan titik puncak serta titik potong sumbu koordinat.
Pembahasan:
a = −2 < 0 → terbuka ke bawah
Sumbu simetri: x = −8/(2·(−2)) = 2
Titik puncak: f(2) = −8 + 16 − 6 = 2 → (2, 2)
Titik potong sumbu-Y: f(0) = −6 → (0, −6)
Titik potong sumbu-X: −2x² + 8x − 6 = 0 → x² − 4x + 3 = 0 → (x−1)(x−3) = 0 → x = 1, x = 3
| x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | −16 | −6 | 0 | 2 | 0 | −6 | −16 |
Contoh 8:
Gambarlah grafik f(x) = ½x² − 2x + 2.
Pembahasan:
a = ½ > 0 → terbuka ke atas (lebih lebar dari x²)
Sumbu simetri: x = 2/(2·½) = 2
Titik puncak: f(2) = ½(4) − 4 + 2 = 0 → (2, 0)
Titik potong sumbu-Y: (0, 2)
Titik potong sumbu-X: D = 4 − 4 = 0 → menyinggung di (2, 0)
| x | −2 | 0 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 |
Contoh 9:
Gambarlah grafik f(x) = x² + 4x + 5 dan jelaskan posisi grafik terhadap sumbu-X.
Pembahasan:
a = 1 > 0 → terbuka ke atas
D = 16 − 20 = −4 < 0 → tidak memotong sumbu-X
Sumbu simetri: x = −4/2 = −2
Titik puncak: f(−2) = 4 − 8 + 5 = 1 → (−2, 1)
Karena a > 0 dan D < 0, seluruh grafik berada di atas sumbu-X (definit positif).
| x | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 5 | 2 | 1 | 2 | 5 |
Contoh 10:
Gambarlah grafik f(x) = −x² − 2x + 8.
Pembahasan:
a = −1 < 0 → terbuka ke bawah
Titik potong sumbu-X: −x² − 2x + 8 = 0 → x² + 2x − 8 = 0 → (x+4)(x−2) = 0 → x = −4, x = 2
Sumbu simetri: x = 2/(2·(−1)) = −1
Titik puncak: f(−1) = −1 + 2 + 8 = 9 → (−1, 9)
Titik potong sumbu-Y: (0, 8)
| x | −5 | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | −7 | 0 | 5 | 8 | 9 | 8 | 5 | 0 | −7 |
Sulit
Contoh 11:
Gambarlah grafik f(x) = 2x² − 12x + 10 dan tentukan daerah di mana f(x) < 0.
Pembahasan:
a = 2 > 0 → terbuka ke atas
Titik potong sumbu-X: 2x² − 12x + 10 = 0 → x² − 6x + 5 = 0 → (x−1)(x−5) = 0 → x = 1, x = 5
Sumbu simetri: x = 12/4 = 3
Titik puncak: f(3) = 18 − 36 + 10 = −8 → (3, −8)
Titik potong sumbu-Y: (0, 10)
Daerah f(x) < 0: Karena parabola terbuka ke atas dan memotong sumbu-X di x = 1 dan x = 5, maka f(x) < 0 untuk 1 < x < 5.
| x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 24 | 10 | 0 | −6 | −8 | −6 | 0 | 10 | 24 |
Contoh 12:
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya memiliki titik puncak (2, −3) dan melalui titik (0, 5). Gambarlah grafiknya.
Pembahasan:
Bentuk vertex: f(x) = a(x − 2)² − 3
Substitusi (0, 5): 5 = a(0−2)² − 3 → 5 = 4a − 3 → 4a = 8 → a = 2
Jadi f(x) = 2(x−2)² − 3 = 2x² − 8x + 5
Titik potong sumbu-X: D = 64 − 40 = 24 > 0
x = (8 ± √24)/4 = (8 ± 2√6)/4 = 2 ± ½√6 ≈ 0,78 dan ≈ 3,22
| x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 15 | 5 | −1 | −3 | −1 | 5 | 15 |
Contoh 13:
Gambarlah grafik f(x) = −3x² + 6x + 9 dan tentukan nilai maksimum fungsi serta interval di mana fungsi naik.
Pembahasan:
a = −3 < 0 → terbuka ke bawah → memiliki nilai maksimum
Sumbu simetri: x = −6/(2·(−3)) = 1
Titik puncak: f(1) = −3 + 6 + 9 = 12 → (1, 12)
Nilai maksimum = 12, dicapai saat x = 1
Titik potong sumbu-X: −3x² + 6x + 9 = 0 → x² − 2x − 3 = 0 → (x−3)(x+1) = 0 → x = −1, x = 3
Interval fungsi naik: x < 1 (di sebelah kiri sumbu simetri)
Interval fungsi turun: x > 1
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | −15 | 0 | 9 | 12 | 9 | 0 | −15 |
Contoh 14:
Diketahui grafik fungsi kuadrat melalui titik (−1, 0), (3, 0), dan (1, −8). Tentukan persamaan fungsinya dan gambarlah grafiknya.
Pembahasan:
Bentuk akar: f(x) = a(x + 1)(x − 3)
Substitusi (1, −8): −8 = a(1+1)(1−3) = a(2)(−2) = −4a → a = 2
Jadi f(x) = 2(x+1)(x−3) = 2x² − 4x − 6
Sumbu simetri: x = 4/4 = 1
Titik puncak: f(1) = 2 − 4 − 6 = −8 → (1, −8)
Titik potong sumbu-Y: (0, −6)
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 10 | 0 | −6 | −8 | −6 | 0 | 10 |
Contoh 15:
Gambarlah kedua grafik f(x) = x² − 4x + 3 dan g(x) = −x² + 2x + 3 pada bidang yang sama. Tentukan titik potong kedua grafik.
Pembahasan:
Titik potong: f(x) = g(x)
x² − 4x + 3 = −x² + 2x + 3
2x² − 6x = 0 → 2x(x − 3) = 0 → x = 0 atau x = 3
Untuk x = 0: f(0) = 3 → titik potong (0, 3)
Untuk x = 3: f(3) = 0 → titik potong (3, 0)
Grafik f(x): Puncak (2, −1), terbuka ke atas
Grafik g(x): Sumbu simetri x = 1, puncak (1, 4), terbuka ke bawah
| x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 8 | 3 | 0 | −1 | 0 | 3 |
| g(x) | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 | −5 |
Kedua grafik berpotongan di (0, 3) dan (3, 0).
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gambarlah grafik masing-masing fungsi kuadrat dengan lengkap!
Mudah
- Gambarlah grafik fungsi f(x) = x² − 4x. Tentukan titik puncak, sumbu simetri, dan titik potong sumbu koordinat.
- Gambarlah grafik fungsi f(x) = −x² + 2x + 3. Tentukan arah parabola dan titik puncaknya.
- Gambarlah grafik fungsi f(x) = x² − 9. Tentukan titik potong dengan kedua sumbu koordinat.
- Gambarlah grafik fungsi f(x) = x² + 6x + 9. Jelaskan hubungan grafik dengan sumbu-X.
- Gambarlah grafik fungsi f(x) = −2x² + 8. Tentukan nilai maksimum fungsi.
Sedang
- Gambarlah grafik fungsi f(x) = 2x² + 4x − 6. Tentukan interval di mana f(x) ≤ 0.
- Gambarlah grafik fungsi f(x) = −x² + 4x − 5. Jelaskan posisi grafik terhadap sumbu-X.
- Gambarlah grafik fungsi f(x) = ½x² − 3x + 4. Tentukan apakah grafik memotong, menyinggung, atau tidak memotong sumbu-X.
- Gambarlah grafik fungsi f(x) = 3x² − 12x + 9. Tentukan interval fungsi naik dan fungsi turun.
- Gambarlah grafik fungsi f(x) = −x² + 2x + 15 dan tentukan daerah di mana f(x) > 0.
Sulit
- Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak (−1, 4) dan melalui titik (1, 0). Gambarlah grafiknya.
- Gambarlah grafik f(x) = x² − 2x − 3 dan g(x) = x + 1 pada satu bidang. Tentukan titik potong kedua grafik.
- Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (−2, 0) dan (4, 0) serta melalui (2, −12). Gambarlah grafiknya.
- Gambarlah grafik f(x) = |x² − 4x + 3|. Jelaskan perbedaannya dengan grafik g(x) = x² − 4x + 3.
- Gambarlah grafik f(x) = −2x² + 8x − 6 dan arsir daerah yang dibatasi grafik dan sumbu-X. Tentukan luas daerah tersebut menggunakan konsep luas segitiga/trapesium sebagai pendekatan.