Penyelesaian Persamaan Eksponen
Bentuk \( f(x)^{g(x)} = f(x)^{h(x)} \)
Materi Matematika
📘 Materi
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan persamaan-persamaan berikut:
- \( 3^{2x+1} = 3^{x-4} \)
- \( (x+1)^{x^2-1} = (x+1)^{3x+3} \)
- \( (2x-3)^{x+5} = (2x-3)^{2x-1} \)
Amati bahwa semua persamaan di atas memiliki basis (bilangan pokok) yang sama di kedua ruas. Bentuk umum persamaan ini adalah:
Di mana \( f(x) \) adalah basis yang sama di kedua ruas, sedangkan \( g(x) \) dan \( h(x) \) adalah pangkat (eksponen) yang berbeda.
Kegiatan: Menanya
Pertanyaan yang muncul:
- Kapan kita bisa langsung menyamakan pangkat \( g(x) = h(x) \)?
- Apakah ada syarat tertentu pada basis \( f(x) \)?
- Bagaimana jika basis \( f(x) \) bernilai 0, 1, atau -1?
Kegiatan: Menalar
Dari pengamatan di atas, kita dapat merumuskan aturan penyelesaian sebagai berikut:
Aturan Penyelesaian \( f(x)^{g(x)} = f(x)^{h(x)} \)
Persamaan ini mempunyai penyelesaian jika memenuhi salah satu dari syarat berikut:
Syarat 1: Samakan pangkat
\( g(x) = h(x) \), dengan syarat \( f(x) \neq 0 \), \( f(x) \neq 1 \), dan \( f(x) \neq -1 \)
Syarat 2: Basis = 1
\( f(x) = 1 \)
Karena \(1^a = 1^b = 1\) untuk semua nilai \(a\) dan \(b\)
Syarat 3: Basis = 0
\( f(x) = 0 \), dengan syarat \( g(x) > 0 \) dan \( h(x) > 0 \)
Karena \(0^a = 0^b = 0\) untuk \(a, b > 0\)
Syarat 4: Basis = -1
\( f(x) = -1 \), dengan syarat \( g(x) \) dan \( h(x) \) keduanya genap atau keduanya ganjil
Karena \((-1)^{\text{genap}} = 1\) dan \((-1)^{\text{ganjil}} = -1\)
⚠️ Penting!
- Jika basis \( f(x) \) merupakan konstanta positif dan bukan 1, maka cukup gunakan Syarat 1 saja.
- Jika basis \( f(x) \) mengandung variabel, maka harus periksa semua 4 syarat.
- Selalu lakukan pengecekan apakah solusi yang diperoleh memenuhi syarat yang berlaku.
Kegiatan: Mencoba
Mari kita coba terapkan aturan di atas pada contoh sederhana:
Contoh Penerapan:
Selesaikan \( 5^{2x-3} = 5^{x+1} \)
Langkah 1: Identifikasi bahwa basis sama, yaitu \( f(x) = 5 \) (konstanta positif, bukan 0 atau 1)
Langkah 2: Gunakan Syarat 1, samakan pangkat:
\( 2x – 3 = x + 1 \)
\( 2x – x = 1 + 3 \)
\( x = 4 \)
Langkah 3: Verifikasi: \( 5^{2(4)-3} = 5^{5} \) dan \( 5^{4+1} = 5^5 \) ✓
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Ringkasan langkah penyelesaian persamaan \( f(x)^{g(x)} = f(x)^{h(x)} \):
- Identifikasi basis \( f(x) \) dan pangkat \( g(x) \), \( h(x) \)
- Tentukan apakah basis berupa konstanta atau mengandung variabel
- Terapkan syarat-syarat yang sesuai (Syarat 1, 2, 3, dan/atau 4)
- Selesaikan persamaan yang terbentuk dari setiap syarat
- Periksa setiap solusi, pastikan memenuhi syarat yang berlaku
- Gabungkan semua solusi yang valid
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Tingkat Sedang
Tingkat Sulit
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Periksa jawabanmu sendiri!