Materi Eksponen
Penyelesaian Persamaan Eksponen Bentuk af(x) = ag(x)
Artikel ini hanya membahas persamaan eksponen dengan basis sama, yaitu bentuk af(x) = ag(x).
Ide Utama
Berlaku untuk a > 0 dan a ≠ 1.
Materi Inti
A. Bentuk yang Dibahas
Bentuk persamaan eksponen yang dipelajari pada artikel ini adalah persamaan dengan basis yang sama di ruas kiri dan ruas kanan.
Jika basisnya sama, pangkatnya dapat disamakan. Jadi, penyelesaian persamaan tersebut dilakukan dengan menyelesaikan:
Syarat Penting
- Basis harus positif: a > 0.
- Basis tidak boleh sama dengan 1: a ≠ 1.
- Ruas kiri dan ruas kanan harus memiliki basis yang sama.
B. Mengapa Pangkatnya Boleh Disamakan?
Untuk basis yang sama dan memenuhi syarat, nilai eksponen akan menentukan hasil akhirnya. Misalnya:
| Bentuk | Nilai | Keterangan |
|---|---|---|
| 21 | 2 | Pangkat 1 menghasilkan 2 |
| 22 | 4 | Pangkat 2 menghasilkan 4 |
| 23 | 8 | Pangkat 3 menghasilkan 8 |
Karena hasilnya berbeda untuk pangkat yang berbeda, maka jika:
maka harus berlaku:
C. Langkah Penyelesaian
- 1
Pastikan basis sama.
Contoh: 32x+1 = 3x+5, basisnya sama-sama 3.
- 2
Samakan pangkatnya.
Dari af(x) = ag(x), tulis f(x) = g(x).
- 3
Selesaikan persamaan pangkat.
Biasanya menjadi persamaan linear, kuadrat, pecahan sederhana, atau bentuk lain yang masih berasal dari pangkatnya.
- 4
Periksa hasil jika diperlukan.
Substitusikan nilai x ke pangkat kiri dan kanan untuk memastikan keduanya sama.
D. Kegiatan Pembelajaran
Mengamati
Amati bentuk 52x-1 = 5x+3. Terlihat bahwa basis kiri dan kanan sama, yaitu 5.
Menanya
Mengapa cukup menyamakan 2x − 1 dan x + 3? Karena basisnya sama dan memenuhi syarat a > 0 serta a ≠ 1.
Menalar
Jika 52x-1 = 5x+3, maka 2x − 1 = x + 3. Dari sini diperoleh x = 4.
Mencoba
Coba selesaikan 23x+2 = 211. Karena basis sama, maka 3x + 2 = 11, sehingga x = 3.
Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada temanmu bahwa penyelesaian bentuk af(x) = ag(x) dilakukan dengan menyamakan pangkat, bukan mengalikan atau membagi basis.
E. Ilustrasi Grafik Sederhana
Perhatikan bahwa pada basis sama, dua bentuk eksponen akan bernilai sama saat pangkatnya sama.
Contoh Soal dan Pembahasan
A. 5 Contoh Soal Mudah
1. Tentukan x dari 2x = 25
Basis kiri dan kanan sama, yaitu 2.
2x = 25 ⟹ x = 5
Jadi, nilai x adalah 5.
2. Tentukan x dari 3x+1 = 34
Karena basis sama, pangkat disamakan.
x + 1 = 4
x = 4 − 1 = 3
Jadi, x = 3.
3. Tentukan x dari 52x = 58
Basis sama, yaitu 5.
2x = 8
x = 4
Jadi, nilai x adalah 4.
4. Tentukan x dari 7x−2 = 76
Samakan pangkatnya.
x − 2 = 6
x = 8
Jadi, x = 8.
5. Tentukan x dari 43x = 412
Basis sama, sehingga:
3x = 12
x = 4
Jadi, x = 4.
B. 5 Contoh Soal Sedang
1. Tentukan x dari 23x−1 = 2x+7
Basis sama, yaitu 2. Maka pangkat disamakan.
3x − 1 = x + 7
3x − x = 7 + 1
2x = 8
x = 4
Jadi, x = 4.
2. Tentukan x dari 32x+5 = 34x−1
Samakan pangkat karena basisnya sama.
2x + 5 = 4x − 1
5 + 1 = 4x − 2x
6 = 2x
x = 3
Jadi, x = 3.
3. Tentukan x dari 65x−4 = 62x+8
Basis sama, yaitu 6.
5x − 4 = 2x + 8
5x − 2x = 8 + 4
3x = 12
x = 4
Jadi, x = 4.
4. Tentukan x dari 10x/2+1 = 105
Basis sama. Samakan pangkat.
x2 + 1 = 5
x2 = 4
x = 8
Jadi, x = 8.
5. Tentukan x dari 82x−3 = 89−x
Basis sama, yaitu 8.
2x − 3 = 9 − x
2x + x = 9 + 3
3x = 12
x = 4
Jadi, x = 4.
C. 5 Contoh Soal Sulit
1. Tentukan x dari 2x²−3x = 210
Karena basis sama, samakan pangkat.
x² − 3x = 10
x² − 3x − 10 = 0
Faktorkan bentuk kuadrat:
(x − 5)(x + 2) = 0
x − 5 = 0 atau x + 2 = 0
x = 5 atau x = −2
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 5 atau x = −2.
2. Tentukan x dari 3x²−4 = 32x+4
Basis sama, maka:
x² − 4 = 2x + 4
x² − 2x − 8 = 0
Faktorkan:
(x − 4)(x + 2) = 0
x = 4 atau x = −2
Jadi, x = 4 atau x = −2.
3. Tentukan x dari 5x²−x = 56
Samakan pangkatnya.
x² − x = 6
x² − x − 6 = 0
Faktorkan:
(x − 3)(x + 2) = 0
x = 3 atau x = −2
Jadi, x = 3 atau x = −2.
4. Tentukan x dari 4x²−5x+6 = 40
Basis sama. Pangkatnya disamakan.
x² − 5x + 6 = 0
Faktorkan:
(x − 2)(x − 3) = 0
x = 2 atau x = 3
Jadi, x = 2 atau x = 3.
5. Tentukan x dari 7x²−2x+1 = 74
Karena basis sama, maka:
x² − 2x + 1 = 4
x² − 2x − 3 = 0
Faktorkan:
(x − 3)(x + 1) = 0
x = 3 atau x = −1
Jadi, x = 3 atau x = −1.
Latihan Soal
Kerjakan soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan prinsip utama: jika basis sama, maka pangkatnya disamakan.
A. Mudah
- 2x = 29
- 3x+2 = 37
- 52x = 510
- 7x−4 = 73
- 43x = 418
B. Sedang
- 24x−3 = 2x+9
- 35x+1 = 32x+13
- 67x−5 = 63x+11
- 10x/3+2 = 108
- 84x−7 = 817−2x
C. Sulit
- 2x²−2x = 28
- 3x²−5 = 34x+1
- 5x²+x = 512
- 4x²−7x+10 = 40
- 7x²−4x+4 = 79
Ringkasan
Kunci Penyelesaian
Untuk menyelesaikan persamaan eksponen bentuk af(x) = ag(x), pastikan basisnya sama, lalu samakan pangkatnya.
dengan a > 0 dan a ≠ 1