Materi Khusus Matematika
Penyelesaian Persamaan Eksponen Bentuk af(x) = ap
Materi ini hanya membahas cara menyelesaikan persamaan eksponen yang memiliki basis sama, yaitu bentuk af(x) = ap.
A. Materi Inti
Persamaan eksponen bentuk af(x) = ap adalah persamaan eksponen yang ruas kiri dan ruas kanannya mempunyai basis yang sama, yaitu a.
Jika
af(x) = ap
dengan syarat
a > 0 dan a ≠ 1
maka
f(x) = p
Artinya, jika basisnya sama dan memenuhi syarat, maka penyelesaian dilakukan dengan menyamakan pangkatnya. Setelah pangkatnya disamakan, persamaan yang tersisa biasanya berupa persamaan linear, kuadrat, pecahan, atau bentuk aljabar lain.
1. Syarat Basis
Basis a harus memenuhi:
- a > 0
- a ≠ 1
Syarat ini penting agar fungsi eksponen memiliki sifat satu-satu.
2. Prinsip Utama
Karena basis sama, maka cukup fokus pada pangkatnya.
f(x) = p
3. Langkah Umum
- Pastikan basis sama.
- Samakan pangkatnya.
- Selesaikan persamaan aljabar.
- Periksa jawaban bila diperlukan.
B. Kegiatan Pembelajaran
1. Mengamati
Amatilah persamaan berikut:
23x + 1 = 210
Kedua ruas memiliki basis yang sama, yaitu 2. Karena basis sama, bagian yang perlu diperhatikan adalah pangkatnya: 3x + 1 dan 10.
2. Menanya
Pertanyaan penting:
- Mengapa pangkatnya boleh disamakan?
- Apa syarat basis agar aturan ini berlaku?
- Bagaimana jika pangkatnya memuat bentuk kuadrat?
3. Menalar
Fungsi eksponen y = ax dengan a > 0 dan a ≠ 1 bersifat satu-satu. Maksudnya, satu nilai pangkat menghasilkan satu nilai hasil. Jadi:
am = an ⇒ m = n
4. Mencoba
Selesaikan:
52x – 3 = 57
Karena basis sama, samakan pangkat: 2x – 3 = 7. Maka 2x = 10, sehingga x = 5.
5. Mengkomunikasikan
Kesimpulan yang dapat disampaikan siswa:
“Jika dua bentuk eksponen memiliki basis sama dan basisnya memenuhi syarat, maka penyelesaiannya dilakukan dengan menyamakan pangkatnya.”
C. Ilustrasi Notasi dan Grafik
Notasi Eksponen
Gagasan Grafik
Tabel Ide Dasar
| Bentuk Persamaan | Basis | Pangkat Kiri | Pangkat Kanan | Langkah |
|---|---|---|---|---|
| 2x+3 = 28 | 2 | x + 3 | 8 | x + 3 = 8 |
| 32x-1 = 35 | 3 | 2x – 1 | 5 | 2x – 1 = 5 |
| 7x²-4 = 75 | 7 | x² – 4 | 5 | x² – 4 = 5 |
D. Contoh Soal dan Pembahasan
Berikut 15 contoh soal yang dibagi menjadi mudah, sedang, dan sulit. Semua contoh tetap fokus pada bentuk af(x) = ap.
1. Contoh Soal Mudah
Contoh 1
2x = 25
Basis sama, yaitu 2. Maka pangkatnya sama: x = 5. Jadi, penyelesaiannya adalah x = 5.
Contoh 2
3x+1 = 34
Karena basis sama, samakan pangkat: x + 1 = 4. Kurangi kedua ruas dengan 1: x = 3.
Contoh 3
52x = 510
Basis sama, yaitu 5. Maka: 2x = 10. Bagi kedua ruas dengan 2: x = 5.
Contoh 4
7x-2 = 76
Samakan pangkat: x – 2 = 6. Tambahkan 2 pada kedua ruas: x = 8.
Contoh 5
103x+2 = 1014
Samakan pangkat: 3x + 2 = 14. Maka 3x = 12. Jadi x = 4.
2. Contoh Soal Sedang
Contoh 1
42x-3 = 4x+5
Basis sama, yaitu 4. Samakan pangkat: 2x – 3 = x + 5. Pindahkan x ke kiri: x – 3 = 5. Tambahkan 3: x = 8.
Contoh 2
63x+1 = 62x+9
Samakan pangkat: 3x + 1 = 2x + 9. Kurangi kedua ruas dengan 2x: x + 1 = 9. Maka x = 8.
Contoh 3
85x-4 = 82x+11
Basis sama, yaitu 8. Maka: 5x – 4 = 2x + 11. Kurangi dengan 2x: 3x – 4 = 11. Tambahkan 4: 3x = 15. Jadi x = 5.
Contoh 4
9x² = 916
Samakan pangkat: x² = 16. Nilai yang memenuhi adalah x = 4 atau x = -4.
Contoh 5
2x²-1 = 28
Basis sama, maka: x² – 1 = 8. Tambahkan 1: x² = 9. Jadi x = 3 atau x = -3.
3. Contoh Soal Sulit
Contoh 1
3x²-5x+6 = 30
Samakan pangkat: x² – 5x + 6 = 0. Faktorkan: (x – 2)(x – 3) = 0. Maka x = 2 atau x = 3.
Contoh 2
5x²-4x = 512
Samakan pangkat: x² – 4x = 12. Pindahkan semua ke kiri: x² – 4x – 12 = 0. Faktorkan: (x – 6)(x + 2) = 0. Jadi x = 6 atau x = -2.
Contoh 3
72x²-3x = 72
Samakan pangkat: 2x² – 3x = 2. Pindahkan ke kiri: 2x² – 3x – 2 = 0. Faktorkan: (2x + 1)(x – 2) = 0. Maka x = -1/2 atau x = 2.
Contoh 4
11(x-1)(x+4) = 1110
Samakan pangkat: (x – 1)(x + 4) = 10. Kembangkan: x² + 3x – 4 = 10. Pindahkan: x² + 3x – 14 = 0. Gunakan rumus kuadrat: x = (-3 ± √65)/2.
Contoh 5
2(x+2)/(x-1) = 23, x ≠ 1
Samakan pangkat: (x + 2)/(x – 1) = 3. Kalikan kedua ruas dengan x – 1: x + 2 = 3x – 3. Maka 5 = 2x, sehingga x = 5/2. Nilai ini memenuhi syarat x ≠ 1.
E. Latihan Soal
Kerjakan latihan berikut tanpa pembahasan. Gunakan prinsip: af(x) = ap ⇒ f(x) = p.
Latihan Mudah
- 2x = 27
- 3x+2 = 39
- 52x = 512
- 7x-4 = 73
- 103x+1 = 1016
Latihan Sedang
- 42x+1 = 4x+8
- 65x-2 = 63x+10
- 8x² = 825
- 9x²-2 = 914
- 124x-7 = 12x+5
Latihan Sulit
- 3x²-7x+12 = 30
- 5x²-2x = 515
- 72x²+x = 715
- 11(x+3)(x-2) = 1118
- 2(2x-1)/(x+2) = 24, x ≠ -2
F. Ringkasan
- Bentuk yang dibahas adalah af(x) = ap.
- Syarat basis: a > 0 dan a ≠ 1.
- Jika basis sama, maka pangkatnya disamakan: f(x) = p.
- Setelah itu, selesaikan persamaan aljabar yang diperoleh.
- Untuk bentuk pecahan, perhatikan syarat penyebut tidak boleh nol.