A. Representasi Penyelesaian pada Garis Bilangan
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan garis bilangan berikut. Setiap titik pada garis bilangan mewakili suatu bilangan real. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak dapat digambarkan sebagai suatu daerah (interval) pada garis bilangan.
1. Pengertian Garis Bilangan
Garis bilangan adalah garis lurus horizontal yang setiap titiknya mewakili bilangan real. Titik 0 berada di tengah, bilangan positif di kanan, dan bilangan negatif di kiri.
2. Notasi dan Simbol Penting
| Simbol | Arti | Contoh |
|---|---|---|
| |x| | Nilai mutlak x | |−3| = 3 |
| < | Kurang dari | |x| < 5 |
| ≤ | Kurang dari atau sama dengan | |x| ≤ 5 |
| > | Lebih dari | |x| > 2 |
| ≥ | Lebih dari atau sama dengan | |x| ≥ 2 |
| ( , ) | Interval terbuka | (−3, 3) |
| [ , ] | Interval tertutup | [−3, 3] |
| ∪ | Gabungan (union) | (−∞,−2) ∪ (2,∞) |
Kegiatan: Menanya
Bagaimana cara menggambarkan himpunan penyelesaian |x| < a dan |x| > a pada garis bilangan? Apa perbedaan penggunaan lingkaran terbuka (○) dan tertutup (●)?
3. Aturan Dasar Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Aturan 1: |x| < a (dengan a > 0)
Ekuivalen dengan: −a < x < a
Interval: (−a, a)
Pada garis bilangan: daerah di antara −a dan a (lingkaran terbuka).
Aturan 2: |x| ≤ a (dengan a > 0)
Ekuivalen dengan: −a ≤ x ≤ a
Interval: [−a, a]
Pada garis bilangan: daerah di antara −a dan a (lingkaran tertutup/penuh).
Aturan 3: |x| > a (dengan a > 0)
Ekuivalen dengan: x < −a atau x > a
Interval: (−∞, −a) ∪ (a, ∞)
Pada garis bilangan: daerah di luar −a dan a (dua arah).
Aturan 4: |x| ≥ a (dengan a > 0)
Ekuivalen dengan: x ≤ −a atau x ≥ a
Interval: (−∞, −a] ∪ [a, ∞)
Kegiatan: Menalar
Dari aturan di atas, kita bisa menyimpulkan bahwa tanda “<” dan “≤” menghasilkan interval tunggal (di antara), sedangkan “>” dan “≥” menghasilkan dua interval (di luar). Lingkaran terbuka ○ untuk tanda < dan >, lingkaran tertutup ● untuk ≤ dan ≥.
4. Ilustrasi Garis Bilangan
Contoh: |x| < 3 → −3 < x < 3
○ = lingkaran terbuka (titik ujung tidak termasuk)
Contoh: |x| > 2 → x < −2 atau x > 2
Dua daerah terpisah (union ∪)
Kegiatan: Mencoba
Coba gambarkan garis bilangan untuk |x − 1| ≤ 4 di buku tulismu. Langkah: ubah menjadi −4 ≤ x − 1 ≤ 4, lalu tambahkan 1 ke semua sisi sehingga −3 ≤ x ≤ 5. Gambarkan lingkaran tertutup ● di −3 dan 5, lalu arsir daerah di antaranya.
5. Langkah Sistematis Menyelesaikan & Menggambar
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada teman sebangkumu: mengapa |x| < 3 menghasilkan satu interval tunggal (−3, 3), sedangkan |x| > 3 menghasilkan dua interval (−∞,−3) ∪ (3,∞)? Gunakan garis bilangan sebagai alat bantu penjelasan.
Contoh Soal: Garis Bilangan
Mudah Contoh 1–10
Sedang Contoh 11–15
Sulit Contoh 16–20
Latihan Soal: Garis Bilangan
Mudah Latihan 1–10
Sedang Latihan 11–15
Sulit Latihan 16–20
B. Penerapan Pertidaksamaan Nilai Mutlak dalam Kehidupan Sehari-hari
Kegiatan: Mengamati
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak situasi yang melibatkan batas toleransi atau rentang yang diperbolehkan. Misalnya, suhu tubuh normal manusia berkisar antara 36°C hingga 37,5°C — penyimpangan dari nilai tengah bisa dinyatakan dengan nilai mutlak.
1. Konsep Toleransi dan Nilai Mutlak
Jika suatu nilai x harus berada dalam toleransi t dari nilai standar s, maka:
|x − s| ≤ t
Artinya: s − t ≤ x ≤ s + t
Kegiatan: Menanya
Di bidang apa saja kita menemukan konsep toleransi seperti ini? Bagaimana cara menerjemahkan masalah nyata ke dalam bentuk pertidaksamaan nilai mutlak?
2. Bidang Penerapan
| Bidang | Contoh | Model Matematika |
|---|---|---|
| Industri | Berat produk 500g ± 5g | |x − 500| ≤ 5 |
| Kesehatan | Suhu normal 36,8°C ± 0,7°C | |x − 36,8| ≤ 0,7 |
| Teknik | Diameter pipa 10cm ± 0,2cm | |x − 10| ≤ 0,2 |
| Keuangan | Harga saham menyimpang > Rp500 | |x − s| > 500 |
| Olahraga | Berat tinju 60kg ± 1kg | |x − 60| ≤ 1 |
Kegiatan: Menalar
Perhatikan pola: jika masalah mengatakan “dalam rentang” atau “tidak melebihi”, gunakan ≤. Jika masalah mengatakan “melebihi batas” atau “di luar toleransi”, gunakan >.
3. Langkah Menerjemahkan Masalah Nyata
Kegiatan: Mencoba
Sebuah pabrik memproduksi botol air mineral bervolume standar 600 mL dengan toleransi 10 mL. Modelkan masalah ini ke dalam pertidaksamaan nilai mutlak, selesaikan, dan gambarkan pada garis bilangan. Jawaban: |x − 600| ≤ 10 → 590 ≤ x ≤ 610.
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Buatlah satu contoh penerapan pertidaksamaan nilai mutlak dari kehidupanmu (misalnya: batas waktu, berat badan ideal, atau suhu ruangan AC). Presentasikan model matematikanya kepada kelompokmu.