Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Materi Lengkap: Dua Nilai Mutlak & Bentuk Pecahan
A. Pertidaksamaan Nilai Mutlak dengan Dua Nilai Mutlak
Perhatikan pertidaksamaan berikut:
Pertidaksamaan di atas memiliki dua buah ekspresi nilai mutlak. Untuk menyelesaikannya, kita perlu memahami sifat-sifat nilai mutlak dan teknik penyelesaiannya.
- Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan yang memiliki dua nilai mutlak?
- Apakah metode yang digunakan sama dengan pertidaksamaan satu nilai mutlak?
- Apa saja metode yang bisa digunakan?
Definisi: Pertidaksamaan nilai mutlak dengan dua nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang memuat dua ekspresi bernilai mutlak, misalnya:
Metode Penyelesaian:
Metode 1: Metode Kuadrat
Sifat penting: untuk semua bilangan real a, berlaku |a|² = a².
Maka:
Langkah-langkah:
- Kuadratkan kedua ruas
- Pindahkan semua ke satu ruas sehingga menjadi bentuk > 0 atau < 0
- Faktorkan dan tentukan himpunan penyelesaian
Metode 2: Metode Definisi (Kasus per Kasus)
Buat tabel tanda berdasarkan titik-titik kritis (dimana masing-masing ekspresi dalam nilai mutlak bernilai nol), kemudian selesaikan pada setiap interval.
Langkah-langkah:
- Tentukan titik kritis: f(x) = 0 dan g(x) = 0
- Bagi garis bilangan menjadi interval-interval
- Pada setiap interval, tentukan tanda f(x) dan g(x)
- Hilangkan tanda mutlak sesuai definisi
- Selesaikan pertidaksamaan pada setiap interval
- Gabungkan (irisan) hasil tiap interval
Sifat-sifat Penting:
| Pertidaksamaan | Ekuivalen dengan |
|---|---|
| |f(x)| < |g(x)| | [f(x)]² < [g(x)]² atau −|g(x)| < f(x) < |g(x)| |
| |f(x)| ≤ |g(x)| | [f(x)]² ≤ [g(x)]² |
| |f(x)| > |g(x)| | [f(x)]² > [g(x)]² |
| |f(x)| ≥ |g(x)| | [f(x)]² ≥ [g(x)]² |
Cobalah kuadratkan kedua ruas dari pertidaksamaan |x − 2| < |2x + 1| dan lihat apakah kalian bisa menemukan himpunan penyelesaiannya.
Diskusikan dengan teman kelompokmu: Kapan metode kuadrat lebih mudah digunakan dibanding metode definisi? Presentasikan hasilnya di depan kelas.
📝 Contoh Soal — Pertidaksamaan Dua Nilai Mutlak
🟢 Soal Mudah (10 Soal)
1. Selesaikan: |x| < |2x|
Pembahasan:
Kuadratkan kedua ruas: x² < 4x²
x² − 4x² < 0 → −3x² < 0 → 3x² > 0
Ini berlaku untuk semua x ≠ 0.
HP = {x | x ∈ ℝ, x ≠ 0} atau (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
2. Selesaikan: |x| > |x − 2|
Pembahasan:
Kuadratkan: x² > (x − 2)²
x² > x² − 4x + 4
0 > −4x + 4
4x > 4 → x > 1
HP = {x | x > 1} atau (1, ∞)
3. Selesaikan: |x + 1| < |x − 3|
Pembahasan:
Kuadratkan: (x + 1)² < (x − 3)²
x² + 2x + 1 < x² − 6x + 9
8x < 8 → x < 1
HP = {x | x < 1} atau (−∞, 1)
4. Selesaikan: |2x| ≤ |x + 4|
Pembahasan:
Kuadratkan: 4x² ≤ (x + 4)²
4x² ≤ x² + 8x + 16
3x² − 8x − 16 ≤ 0
Faktorkan: (3x + 4)(x − 4) ≤ 0
Titik kritis: x = −4/3 dan x = 4
HP = {x | −4/3 ≤ x ≤ 4} atau [−4/3, 4]
5. Selesaikan: |x − 1| ≥ |x + 1|
Pembahasan:
Kuadratkan: (x − 1)² ≥ (x + 1)²
x² − 2x + 1 ≥ x² + 2x + 1
−4x ≥ 0 → x ≤ 0
HP = {x | x ≤ 0} atau (−∞, 0]
6. Selesaikan: |3x| < |x + 6|
Pembahasan:
Kuadratkan: 9x² < (x + 6)²
9x² < x² + 12x + 36
8x² − 12x − 36 < 0 → 2x² − 3x − 9 < 0
Faktorkan: (2x + 3)(x − 3) < 0
Titik kritis: x = −3/2 dan x = 3
HP = {x | −3/2 < x < 3} atau (−3/2, 3)
7. Selesaikan: |x + 2| > |x|
Pembahasan:
Kuadratkan: (x + 2)² > x²
x² + 4x + 4 > x²
4x + 4 > 0 → x > −1
HP = {x | x > −1} atau (−1, ∞)
8. Selesaikan: |x − 4| ≤ |x + 2|
Pembahasan:
Kuadratkan: (x − 4)² ≤ (x + 2)²
x² − 8x + 16 ≤ x² + 4x + 4
−12x ≤ −12 → x ≥ 1
HP = {x | x ≥ 1} atau [1, ∞)
9. Selesaikan: |x| ≤ |x + 6|
Pembahasan:
Kuadratkan: x² ≤ (x + 6)²
x² ≤ x² + 12x + 36
0 ≤ 12x + 36 → x ≥ −3
HP = {x | x ≥ −3} atau [−3, ∞)
10. Selesaikan: |2x − 1| < |2x + 3|
Pembahasan:
Kuadratkan: (2x − 1)² < (2x + 3)²
4x² − 4x + 1 < 4x² + 12x + 9
−16x < 8 → x > −1/2
HP = {x | x > −1/2} atau (−1/2, ∞)
🟡 Soal Sedang (5 Soal)
11. Selesaikan: |2x − 3| < |x + 1|
Pembahasan:
Kuadratkan: (2x − 3)² < (x + 1)²
4x² − 12x + 9 < x² + 2x + 1
3x² − 14x + 8 < 0
Faktorkan: (3x − 2)(x − 4) < 0
Titik kritis: x = 2/3 dan x = 4
HP = {x | 2/3 < x < 4} atau (2/3, 4)
12. Selesaikan: |3x − 2| ≥ |x + 4|
Pembahasan:
Kuadratkan: (3x − 2)² ≥ (x + 4)²
9x² − 12x + 4 ≥ x² + 8x + 16
8x² − 20x − 12 ≥ 0 → 2x² − 5x − 3 ≥ 0
Faktorkan: (2x + 1)(x − 3) ≥ 0
Titik kritis: x = −1/2 dan x = 3
HP = {x | x ≤ −1/2 atau x ≥ 3} atau (−∞, −1/2] ∪ [3, ∞)
13. Selesaikan: |x + 5| > |2x − 1|
Pembahasan:
Kuadratkan: (x + 5)² > (2x − 1)²
x² + 10x + 25 > 4x² − 4x + 1
0 > 3x² − 14x − 24
3x² − 14x − 24 < 0
Gunakan rumus abc: x = (14 ± √(196 + 288))/6 = (14 ± √484)/6 = (14 ± 22)/6
x = 6 atau x = −4/3
HP = {x | −4/3 < x < 6} atau (−4/3, 6)
14. Selesaikan: |4x − 1| ≤ |2x + 5|
Pembahasan:
Kuadratkan: (4x − 1)² ≤ (2x + 5)²
16x² − 8x + 1 ≤ 4x² + 20x + 25
12x² − 28x − 24 ≤ 0 → 3x² − 7x − 6 ≤ 0
Faktorkan: (3x + 2)(x − 3) ≤ 0
Titik kritis: x = −2/3 dan x = 3
HP = {x | −2/3 ≤ x ≤ 3} atau [−2/3, 3]
15. Selesaikan: |x − 3| + |x + 1| < 6
Pembahasan:
Titik kritis: x = 3 dan x = −1. Bagi menjadi 3 interval:
Kasus 1: x < −1 → −(x−3) + (−(x+1)) < 6 → −x+3−x−1 < 6 → −2x+2 < 6 → x > −2
Irisan dengan x < −1: −2 < x < −1
Kasus 2: −1 ≤ x < 3 → −(x−3) + (x+1) < 6 → −x+3+x+1 < 6 → 4 < 6 (selalu benar)
Semua x di [−1, 3) memenuhi.
Kasus 3: x ≥ 3 → (x−3) + (x+1) < 6 → 2x−2 < 6 → x < 4
Irisan dengan x ≥ 3: 3 ≤ x < 4
Gabungan: HP = {x | −2 < x < 4} atau (−2, 4)
🔴 Soal Sulit (5 Soal)
16. Selesaikan: |x² − 4| ≤ |3x|
Pembahasan:
Kuadratkan: (x² − 4)² ≤ 9x²
x⁴ − 8x² + 16 ≤ 9x²
x⁴ − 17x² + 16 ≤ 0
Misalkan u = x²: u² − 17u + 16 ≤ 0 → (u − 1)(u − 16) ≤ 0
1 ≤ u ≤ 16 → 1 ≤ x² ≤ 16
x² ≥ 1 → x ≤ −1 atau x ≥ 1
x² ≤ 16 → −4 ≤ x ≤ 4
HP = [−4, −1] ∪ [1, 4]
17. Selesaikan: |x − 1| + |x − 3| > |x + 2|
Pembahasan:
Titik kritis: x = 1, x = 3, x = −2. Bagi menjadi 4 interval:
Kasus 1: x < −2: (1−x) + (3−x) > −(x+2) → 4−2x > −x−2 → −x > −6 → x < 6. Irisan: x < −2 ✓
Kasus 2: −2 ≤ x < 1: (1−x) + (3−x) > (x+2) → 4−2x > x+2 → 2 > 3x → x < 2/3. Irisan: −2 ≤ x < 2/3
Kasus 3: 1 ≤ x < 3: (x−1) + (3−x) > (x+2) → 2 > x+2 → x < 0. Irisan: ∅
Kasus 4: x ≥ 3: (x−1) + (x−3) > (x+2) → 2x−4 > x+2 → x > 6. Irisan: x > 6
HP = (−∞, 2/3) ∪ (6, ∞)
18. Selesaikan: |x² − 5x + 4| < |x² − 1|
Pembahasan:
Kuadratkan: (x² − 5x + 4)² < (x² − 1)²
Ini ekuivalen: (x² − 5x + 4)² − (x² − 1)² < 0
Faktorkan selisih kuadrat: [(x² − 5x + 4) − (x² − 1)][(x² − 5x + 4) + (x² − 1)] < 0
= (−5x + 5)(2x² − 5x + 3) < 0
= −5(x − 1)(2x − 3)(x − 1) < 0
= −5(x − 1)²(2x − 3) < 0
Karena (x − 1)² ≥ 0 dan −5 < 0, maka: 5(x − 1)²(2x − 3) > 0
Syarat: (x − 1)² > 0 (x ≠ 1) DAN (2x − 3) > 0 (x > 3/2)
HP = {x | x > 3/2} atau (3/2, ∞)
19. Selesaikan: 2|x − 1| > |x + 2| + |x − 4|
Pembahasan:
Titik kritis: x = 1, x = −2, x = 4. Interval: x < −2, −2 ≤ x < 1, 1 ≤ x < 4, x ≥ 4
Kasus 1: x < −2: 2(1−x) > −(x+2) + (4−x) → 2−2x > −x+2 → −x > 0 → x < 0. Irisan: x < −2 ✓
Kasus 2: −2 ≤ x < 1: 2(1−x) > (x+2) + (4−x) → 2−2x > 6 → −2x > 4 → x < −2. Irisan: ∅
Kasus 3: 1 ≤ x < 4: 2(x−1) > (x+2) + (4−x) → 2x−2 > 6 → x > 4. Irisan: ∅
Kasus 4: x ≥ 4: 2(x−1) > (x+2) + (x−4) → 2x−2 > 2x−2 → 0 > 0. Irisan: ∅
HP = (−∞, −2)
20. Selesaikan: |x² − 2x| ≥ |x² − 4|
Pembahasan:
Kuadratkan: (x² − 2x)² ≥ (x² − 4)²
[(x² − 2x) − (x² − 4)][(x² − 2x) + (x² − 4)] ≥ 0
(−2x + 4)(2x² − 2x − 4) ≥ 0
−2(x − 2) · 2(x² − x − 2) ≥ 0
−4(x − 2)(x − 2)(x + 1) ≥ 0
−4(x − 2)²(x + 1) ≥ 0
Karena (x − 2)² ≥ 0 dan −4 < 0: butuh (x + 1) ≤ 0 → x ≤ −1, atau (x − 2)² = 0 → x = 2
HP = (−∞, −1] ∪ {2}
📋 Latihan Soal — Pertidaksamaan Dua Nilai Mutlak
🟢 Mudah (10 Soal)
1. |x| < |x + 4|
2. |x − 1| > |x + 3|
3. |2x| ≤ |x + 5|
4. |x + 2| ≥ |x − 4|
5. |x − 5| < |x + 1|
6. |3x| > |x − 2|
7. |x + 3| ≤ |2x|
8. |x| ≥ |x − 6|
9. |x − 2| < |x + 2|
10. |4x| ≤ |2x + 8|
🟡 Sedang (5 Soal)
11. |3x − 4| < |2x + 1|
12. |2x + 3| ≥ |4x − 1|
13. |x − 2| + |x + 3| ≤ 8
14. |5x − 2| > |3x + 4|
15. |x + 1| + |x − 5| > 8
🔴 Sulit (5 Soal)
16. |x² − 3x| < |2x − 4|
17. |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| < 6
18. |x² + x − 6| ≥ |x² − 4|
19. 3|x − 2| ≤ |2x + 1| + |x − 5|
20. |x² − 9| > |x² − x − 6|