Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Materi Matematika Kelas X SMA/SMK
A. Pengertian Pertidaksamaan Nilai Mutlak
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan contoh-contoh berikut dalam kehidupan sehari-hari:
- Suhu ruangan harus berada dalam rentang 18°C sampai 25°C dari suhu standar 20°C. Artinya selisih suhu dari 20°C tidak boleh lebih dari 5°C.
- Berat produk kemasan harus memiliki selisih tidak lebih dari 2 gram dari berat standar 500 gram.
- Kecepatan kendaraan di jalan tol harus berada antara 60 km/jam dan 120 km/jam.
Situasi-situasi di atas dapat dimodelkan menggunakan pertidaksamaan nilai mutlak.
1. Pengertian Nilai Mutlak
Sebelum memahami pertidaksamaan nilai mutlak, kita perlu mengingat kembali definisi nilai mutlak.
Definisi Nilai Mutlak:
Nilai mutlak dari bilangan real x, ditulis |x|, didefinisikan sebagai:
|x| = x, jika x ≥ 0
|x| = −x, jika x < 0
Secara geometris, |x| menyatakan jarak bilangan x dari titik 0 pada garis bilangan.
|−3| = 3 dan |3| = 3, keduanya berjarak 3 dari titik 0
2. Pengertian Pertidaksamaan Nilai Mutlak
❓ Kegiatan: Menanya
Dari pengamatan di atas, coba ajukan pertanyaan:
- Bagaimana cara menuliskan batasan jarak dalam simbol matematika?
- Apa bedanya |x| < a dan |x| > a?
- Bagaimana penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak?
Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang memuat bentuk nilai mutlak. Pertidaksamaan ini menyatakan hubungan “kurang dari” atau “lebih dari” yang melibatkan nilai mutlak suatu ekspresi.
Bentuk Umum Pertidaksamaan Nilai Mutlak:
- |f(x)| < a (kurang dari)
- |f(x)| ≤ a (kurang dari atau sama dengan)
- |f(x)| > a (lebih dari)
- |f(x)| ≥ a (lebih dari atau sama dengan)
dengan a > 0
🧠 Kegiatan: Menalar
Mari kita pikirkan secara logis:
- |x| < 3 berarti jarak x dari 0 kurang dari 3. Maka x berada di antara −3 dan 3, yaitu: −3 < x < 3
- |x| > 3 berarti jarak x dari 0 lebih dari 3. Maka x berada di luar interval −3 sampai 3, yaitu: x < −3 atau x > 3
3. Tabel Ringkasan Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak
| Pertidaksamaan | Ekuivalen dengan | Solusi pada Garis Bilangan |
|---|---|---|
| |x| < a | −a < x < a | Interval terbuka (−a, a) |
| |x| ≤ a | −a ≤ x ≤ a | Interval tertutup [−a, a] |
| |x| > a | x < −a atau x > a | (−∞, −a) ∪ (a, ∞) |
| |x| ≥ a | x ≤ −a atau x ≥ a | (−∞, −a] ∪ [a, ∞) |
✏️ Kegiatan: Mencoba
Cobalah tentukan himpunan penyelesaian dari:
- |x| < 5
- |x| ≥ 2
- |x − 1| < 4
Gunakan tabel sifat di atas untuk membantu penyelesaianmu.
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman sebangkumu:
- Jelaskan dengan kata-katamu sendiri perbedaan |x| < a dan |x| > a.
- Berikan contoh penerapan pertidaksamaan nilai mutlak dalam kehidupan sehari-hari.
- Gambarkan penyelesaian |x| ≤ 4 pada garis bilangan dan jelaskan maknanya.
📝 Contoh Soal: Pengertian Pertidaksamaan Nilai Mutlak
● Tingkat Mudah
Contoh 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari |x| < 4
Pembahasan:
|x| < 4 ekuivalen dengan −4 < x < 4
HP = {x | −4 < x < 4} = (−4, 4)
Contoh 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari |x| ≤ 6
Pembahasan:
|x| ≤ 6 ekuivalen dengan −6 ≤ x ≤ 6
HP = {x | −6 ≤ x ≤ 6} = [−6, 6]
Contoh 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari |x| > 2
Pembahasan:
|x| > 2 ekuivalen dengan x < −2 atau x > 2
HP = {x | x < −2 atau x > 2} = (−∞, −2) ∪ (2, ∞)
Contoh 4. Tentukan himpunan penyelesaian dari |x| ≥ 5
Pembahasan:
|x| ≥ 5 ekuivalen dengan x ≤ −5 atau x ≥ 5
HP = (−∞, −5] ∪ [5, ∞)
Contoh 5. Tentukan himpunan penyelesaian dari |x| < 1
Pembahasan:
|x| < 1 ekuivalen dengan −1 < x < 1
HP = (−1, 1)
Contoh 6. Apakah x = 3 memenuhi |x| ≤ 5?
Pembahasan:
|3| = 3. Karena 3 ≤ 5, maka x = 3 memenuhi pertidaksamaan.
Contoh 7. Apakah x = −7 memenuhi |x| < 6?
Pembahasan:
|−7| = 7. Karena 7 < 6 adalah salah, maka x = −7 tidak memenuhi.
Contoh 8. Tentukan himpunan penyelesaian dari |x| > 0
Pembahasan:
|x| > 0 untuk semua x ≠ 0. HP = {x | x ≠ 0} = (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
Contoh 9. Tentukan himpunan penyelesaian dari |x| ≥ 0
Pembahasan:
Nilai mutlak selalu ≥ 0 untuk semua bilangan real. HP = ℝ (semua bilangan real)
Contoh 10. Tentukan himpunan penyelesaian dari |x| < −2
Pembahasan:
Nilai mutlak selalu ≥ 0, sehingga tidak mungkin |x| < −2. HP = ∅ (himpunan kosong)
● Tingkat Sedang
Contoh 11. Tentukan himpunan penyelesaian dari |x − 3| < 5
Pembahasan:
|x − 3| < 5 ekuivalen dengan −5 < x − 3 < 5
Tambahkan 3 ke semua ruas: −5 + 3 < x < 5 + 3
−2 < x < 8
HP = (−2, 8)
Contoh 12. Tentukan himpunan penyelesaian dari |x + 2| ≥ 4
Pembahasan:
|x + 2| ≥ 4 ekuivalen dengan x + 2 ≤ −4 atau x + 2 ≥ 4
Kasus 1: x + 2 ≤ −4 → x ≤ −6
Kasus 2: x + 2 ≥ 4 → x ≥ 2
HP = (−∞, −6] ∪ [2, ∞)
Contoh 13. Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x − 1| < 7
Pembahasan:
−7 < 2x − 1 < 7
Tambah 1: −6 < 2x < 8
Bagi 2: −3 < x < 4
HP = (−3, 4)
Contoh 14. Tentukan himpunan penyelesaian dari |3x + 6| > 12
Pembahasan:
3x + 6 < −12 atau 3x + 6 > 12
Kasus 1: 3x < −18 → x < −6
Kasus 2: 3x > 6 → x > 2
HP = (−∞, −6) ∪ (2, ∞)
Contoh 15. Tentukan himpunan penyelesaian dari |x − 4| ≤ 0
Pembahasan:
Karena |x − 4| ≥ 0 untuk semua x, maka |x − 4| ≤ 0 hanya terpenuhi jika |x − 4| = 0
x − 4 = 0 → x = 4
HP = {4}
● Tingkat Sulit
Contoh 16. Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x − 3| < |x + 1|
Pembahasan:
Kuadratkan kedua ruas (keduanya non-negatif): (2x − 3)² < (x + 1)²
4x² − 12x + 9 < x² + 2x + 1
3x² − 14x + 8 < 0
Faktorisasi: (3x − 2)(x − 4) < 0
Titik kritis: x = 2/3 dan x = 4
HP = (2/3, 4)
Contoh 17. Tentukan himpunan penyelesaian dari |x² − 4| < 5
Pembahasan:
−5 < x² − 4 < 5
Kasus 1: x² − 4 < 5 → x² < 9 → −3 < x < 3
Kasus 2: x² − 4 > −5 → x² > −1 → selalu benar
Irisan: −3 < x < 3
HP = (−3, 3)
Contoh 18. Tentukan himpunan penyelesaian dari |x − 1| + |x + 2| < 5
Pembahasan:
Titik kritis: x = 1 dan x = −2. Bagi menjadi 3 interval:
Interval I: x < −2: −(x−1) + (−(x+2)) < 5 → −2x − 1 < 5 → x > −3
Irisan dengan x < −2: −3 < x < −2
Interval II: −2 ≤ x < 1: −(x−1) + (x+2) < 5 → 3 < 5 (selalu benar)
Seluruh interval: −2 ≤ x < 1
Interval III: x ≥ 1: (x−1) + (x+2) < 5 → 2x + 1 < 5 → x < 2
Irisan dengan x ≥ 1: 1 ≤ x < 2
HP = (−3, 2)
Contoh 19. Tentukan himpunan penyelesaian dari |x² − 5x + 4| > 2
Pembahasan:
Misalkan f(x) = x² − 5x + 4 = (x−1)(x−4)
|f(x)| > 2 → f(x) > 2 atau f(x) < −2
Kasus 1: x² − 5x + 4 > 2 → x² − 5x + 2 > 0
x = (5 ± √17)/2. Solusi: x < (5−√17)/2 atau x > (5+√17)/2
Kasus 2: x² − 5x + 4 < −2 → x² − 5x + 6 < 0 → (x−2)(x−3) < 0
Solusi: 2 < x < 3
HP = (−∞, (5−√17)/2) ∪ (2, 3) ∪ ((5+√17)/2, ∞)
Contoh 20. Tentukan himpunan penyelesaian dari (x − 2)/|x + 1| ≥ 1, x ≠ −1
Pembahasan:
Karena |x + 1| > 0, kalikan kedua ruas: x − 2 ≥ |x + 1|
Syarat: x − 2 ≥ 0 → x ≥ 2
Untuk x ≥ 2: x + 1 > 0, jadi |x + 1| = x + 1
x − 2 ≥ x + 1 → −2 ≥ 1 (kontradiksi, tidak ada solusi)
HP = ∅
📋 Latihan Soal: Pengertian Pertidaksamaan Nilai Mutlak
● Tingkat Mudah
- Tentukan HP dari |x| < 7
- Tentukan HP dari |x| ≤ 3
- Tentukan HP dari |x| > 4
- Tentukan HP dari |x| ≥ 1
- Apakah x = −5 memenuhi |x| < 6?
- Apakah x = 8 memenuhi |x| ≤ 7?
- Tentukan HP dari |x| < 10
- Tentukan HP dari |x| > 9
- Tentukan HP dari |x| ≥ 0
- Tentukan HP dari |x| < 0
● Tingkat Sedang
- Tentukan HP dari |x − 5| < 3
- Tentukan HP dari |x + 3| ≥ 7
- Tentukan HP dari |2x − 4| < 6
- Tentukan HP dari |3x + 9| ≤ 15
- Tentukan HP dari |x − 2| > 0
● Tingkat Sulit
- Tentukan HP dari |x² − 9| < 7
- Tentukan HP dari |x − 1| + |x + 3| ≤ 6
- Tentukan HP dari |x − 2| < |2x + 1|
- Tentukan HP dari |x² − 3x| ≤ 4
- Tentukan HP dari |x|/(x + 2) < 1, x ≠ −2
B. Pertidaksamaan Nilai Mutlak Bentuk Dasar
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan dua bentuk dasar pertidaksamaan nilai mutlak berikut:
Bentuk 1: |ax + b| < c (atau ≤)
Bentuk 2: |ax + b| > c (atau ≥)
dengan a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0, dan c > 0
Amatilah pola penyelesaian dari kedua bentuk tersebut.
1. Bentuk Dasar Tipe 1: |ax + b| < c
Sifat: Jika c > 0, maka:
|ax + b| < c ⟺ −c < ax + b < c
|ax + b| ≤ c ⟺ −c ≤ ax + b ≤ c
Langkah penyelesaian:
- Ubah ke bentuk pertidaksamaan majemuk: −c < ax + b < c
- Selesaikan pertidaksamaan untuk mendapatkan nilai x
- Tuliskan himpunan penyelesaian dalam notasi interval
2. Bentuk Dasar Tipe 2: |ax + b| > c
Sifat: Jika c > 0, maka:
|ax + b| > c ⟺ ax + b < −c atau ax + b > c
|ax + b| ≥ c ⟺ ax + b ≤ −c atau ax + b ≥ c
Langkah penyelesaian:
- Pisahkan menjadi dua pertidaksamaan: ax + b < −c ATAU ax + b > c
- Selesaikan masing-masing pertidaksamaan
- Gabungkan solusi (gunakan “atau” / union)
❓ Kegiatan: Menanya
- Mengapa pada tipe 1 solusinya berupa satu interval (irisan)?
- Mengapa pada tipe 2 solusinya berupa dua interval (gabungan)?
- Apa yang terjadi jika koefisien a bernilai negatif?
🧠 Kegiatan: Menalar
Catatan penting saat koefisien negatif:
Jika kita membagi atau mengalikan pertidaksamaan dengan bilangan negatif, maka tanda pertidaksamaan berbalik arah.
Contoh: −2x < 6
Bagi dengan −2 (tanda berbalik): x > −3
3. Kasus Khusus
| Pertidaksamaan | Kondisi | Solusi |
|---|---|---|
| |f(x)| < c, c < 0 | c negatif | HP = ∅ |
| |f(x)| > c, c < 0 | c negatif | HP = ℝ |
| |f(x)| < 0 | Selalu | HP = ∅ |
| |f(x)| ≥ 0 | Selalu | HP = ℝ |
| |f(x)| ≤ 0 | Selalu | HP = {x | f(x) = 0} |
✏️ Kegiatan: Mencoba
Selesaikan pertidaksamaan berikut:
- |3x − 6| < 9
- |4x + 8| ≥ 12
- |−2x + 5| ≤ 3
- |5x − 10| > 0
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Presentasikan di depan kelas:
- Buatlah rangkuman langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak bentuk dasar tipe 1 dan tipe 2.
- Jelaskan kapan HP berupa satu interval dan kapan berupa dua interval.
- Berikan contoh soal cerita yang menggunakan pertidaksamaan nilai mutlak bentuk dasar.
📝 Contoh Soal: Pertidaksamaan Nilai Mutlak Bentuk Dasar
● Tingkat Mudah
Contoh 1. Selesaikan |2x − 4| < 6
Pembahasan:
−6 < 2x − 4 < 6
Tambah 4: −2 < 2x < 10
Bagi 2: −1 < x < 5
HP = (−1, 5)
Contoh 2. Selesaikan |x + 5| ≤ 8
Pembahasan:
−8 ≤ x + 5 ≤ 8
Kurangi 5: −13 ≤ x ≤ 3
HP = [−13, 3]
Contoh 3. Selesaikan |3x + 9| > 6
Pembahasan:
3x + 9 < −6 atau 3x + 9 > 6
Kasus 1: 3x < −15 → x < −5
Kasus 2: 3x > −3 → x > −1
HP = (−∞, −5) ∪ (−1, ∞)
Contoh 4. Selesaikan |x − 7| ≥ 3
Pembahasan:
x − 7 ≤ −3 atau x − 7 ≥ 3
Kasus 1: x ≤ 4
Kasus 2: x ≥ 10
HP = (−∞, 4] ∪ [10, ∞)
Contoh 5. Selesaikan |4x| < 12
Pembahasan:
−12 < 4x < 12
Bagi 4: −3 < x < 3
HP = (−3, 3)
Contoh 6. Selesaikan |x − 1| < 4
Pembahasan:
−4 < x − 1 < 4
Tambah 1: −3 < x < 5
HP = (−3, 5)
Contoh 7. Selesaikan |5x + 10| ≤ 20
Pembahasan:
−20 ≤ 5x + 10 ≤ 20
Kurangi 10: −30 ≤ 5x ≤ 10
Bagi 5: −6 ≤ x ≤ 2
HP = [−6, 2]
Contoh 8. Selesaikan |x + 4| > 1
Pembahasan:
x + 4 < −1 atau x + 4 > 1
x < −5 atau x > −3
HP = (−∞, −5) ∪ (−3, ∞)
Contoh 9. Selesaikan |2x + 6| ≥ 0
Pembahasan:
Nilai mutlak selalu ≥ 0, jadi pertidaksamaan ini selalu benar.
HP = ℝ (semua bilangan real)
Contoh 10. Selesaikan |x − 3| < 0
Pembahasan:
Nilai mutlak selalu ≥ 0, tidak mungkin < 0.
HP = ∅
● Tingkat Sedang
Contoh 11. Selesaikan |−3x + 6| ≤ 9
Pembahasan:
−9 ≤ −3x + 6 ≤ 9
Kurangi 6: −15 ≤ −3x ≤ 3
Bagi −3 (tanda berbalik): 5 ≥ x ≥ −1, yaitu −1 ≤ x ≤ 5
HP = [−1, 5]
Contoh 12. Selesaikan 2|x − 3| + 1 < 9
Pembahasan:
2|x − 3| < 8 → |x − 3| < 4
−4 < x − 3 < 4
−1 < x < 7
HP = (−1, 7)
Contoh 13. Selesaikan |(x − 2)/3| > 2
Pembahasan:
|x − 2| > 6 (kalikan 3)
x − 2 < −6 atau x − 2 > 6
x < −4 atau x > 8
HP = (−∞, −4) ∪ (8, ∞)
Contoh 14. Selesaikan 3 − |2x + 1| > −4
Pembahasan:
−|2x + 1| > −7 → |2x + 1| < 7
−7 < 2x + 1 < 7
−8 < 2x < 6 → −4 < x < 3
HP = (−4, 3)
Contoh 15. Selesaikan |4x − 8| ≥ |2x + 2|
Pembahasan:
Kuadratkan: (4x − 8)² ≥ (2x + 2)²
16x² − 64x + 64 ≥ 4x² + 8x + 4
12x² − 72x + 60 ≥ 0 → x² − 6x + 5 ≥ 0
(x − 1)(x − 5) ≥ 0
HP = (−∞, 1] ∪ [5, ∞)
● Tingkat Sulit
Contoh 16. Selesaikan |x² − 2x − 3| < 5
Pembahasan:
−5 < x² − 2x − 3 < 5
Bagian kanan: x² − 2x − 8 < 0 → (x−4)(x+2) < 0 → −2 < x < 4
Bagian kiri: x² − 2x + 2 > 0 → D = 4 − 8 = −4 < 0 → selalu positif (selalu benar)
HP = (−2, 4)
Contoh 17. Selesaikan |x + 1|/(|x − 2| + 1) < 2
Pembahasan:
Karena |x − 2| + 1 > 0 selalu, kalikan kedua ruas:
|x + 1| < 2(|x − 2| + 1) = 2|x − 2| + 2
Uji per interval dengan titik kritis x = −1 dan x = 2:
x < −1: −(x+1) < 2(−(x−2)) + 2 → −x−1 < −2x+6 → x < 7 ✓
−1 ≤ x < 2: x+1 < 2(−(x−2)) + 2 → x+1 < −2x+6 → 3x < 5 → x < 5/3 ✓ (dalam [−1, 5/3))
x ≥ 2: x+1 < 2(x−2) + 2 → x+1 < 2x−2 → 3 < x → x > 3
HP = (−∞, 5/3) ∪ (3, ∞)
Contoh 18. Selesaikan ||x| − 3| < 2
Pembahasan:
Misalkan u = |x|, maka |u − 3| < 2
−2 < u − 3 < 2 → 1 < u < 5
Karena u = |x|: 1 < |x| < 5
|x| > 1: x < −1 atau x > 1
|x| < 5: −5 < x < 5
Irisan: (−5, −1) ∪ (1, 5)
HP = (−5, −1) ∪ (1, 5)
Contoh 19. Selesaikan |x − 1| − |x + 2| > 1
Pembahasan:
Titik kritis: x = 1 dan x = −2
x < −2: (−x+1) − (−x−2) > 1 → 3 > 1 ✓ (selalu benar)
−2 ≤ x < 1: (−x+1) − (x+2) > 1 → −2x − 1 > 1 → x < −1
Irisan: −2 ≤ x < −1
x ≥ 1: (x−1) − (x+2) > 1 → −3 > 1 ✗ (tidak pernah benar)
HP = (−∞, −1)
Contoh 20. Selesaikan |x² − 4x + 3| ≥ |x − 1|
Pembahasan:
x² − 4x + 3 = (x−1)(x−3)
|(x−1)(x−3)| ≥ |x−1|
Kasus x = 1: |0| ≥ |0| → 0 ≥ 0 ✓
Kasus x ≠ 1: Bagi kedua ruas dengan |x−1| > 0: |x−3| ≥ 1
x − 3 ≤ −1 atau x − 3 ≥ 1 → x ≤ 2 atau x ≥ 4
Gabungkan dengan x = 1 (sudah termasuk dalam x ≤ 2):
HP = (−∞, 2] ∪ [4, ∞)
📋 Latihan Soal: Pertidaksamaan Nilai Mutlak Bentuk Dasar
● Tingkat Mudah
- Selesaikan |3x − 3| < 12
- Selesaikan |x + 6| ≤ 4
- Selesaikan |2x + 8| > 10
- Selesaikan |x − 5| ≥ 2
- Selesaikan |6x| < 18
- Selesaikan |x + 1| < 3
- Selesaikan |4x − 12| ≤ 8
- Selesaikan |x − 10| > 5
- Selesaikan |2x + 2| ≥ 6
- Selesaikan |x| ≤ 15
● Tingkat Sedang
- Selesaikan |−4x + 12| < 8
- Selesaikan 3|x − 2| − 5 ≤ 7
- Selesaikan |(x + 3)/2| > 4
- Selesaikan 5 − 2|x + 1| < −3
- Selesaikan |2x − 1| ≤ |x + 3|
● Tingkat Sulit
- Selesaikan |x² − 5x + 6| ≤ 2
- Selesaikan ||x + 1| − 4| > 2
- Selesaikan |x − 2| + |x + 3| > 7
- Selesaikan |x² − 1| < |3x + 1|
- Selesaikan |x + 1|/|x − 3| ≤ 2, x ≠ 3