Persamaan Nilai Mutlak
Bentuk Pecahan, Bentuk Kuadrat & Penerapan dalam Kehidupan
1. Pendahuluan Nilai Mutlak
Definisi Nilai Mutlak
Nilai mutlak (absolute value) dari suatu bilangan real x adalah jarak bilangan tersebut dari nol pada garis bilangan. Nilai mutlak selalu bernilai non-negatif (≥ 0).
Definisi:
|x| = x, jika x ≥ 0
|x| = −x, jika x < 0
Contoh sederhana:
- |5| = 5
- |−3| = 3
- |0| = 0
Sifat-Sifat Nilai Mutlak
- |x| ≥ 0 untuk semua x ∈ ℝ
- |x| = 0 ⟺ x = 0
- |x · y| = |x| · |y|
- |x/y| = |x| / |y|, y ≠ 0
- |x + y| ≤ |x| + |y| (Ketidaksamaan Segitiga)
- |x − y| ≥ ||x| − |y||
- |x|² = x²
Prinsip Penyelesaian Persamaan Nilai Mutlak
Bentuk dasar: |f(x)| = c, dengan c ≥ 0
Penyelesaian: f(x) = c atau f(x) = −c
Bentuk dua mutlak: |f(x)| = |g(x)|
Penyelesaian: f(x) = g(x) atau f(x) = −g(x)
Visualisasi pada Garis Bilangan
2. Persamaan Nilai Mutlak Bentuk Pecahan
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan persamaan berikut:
|(2x + 1)/(x − 3)| = 4
Amatilah bahwa di dalam tanda nilai mutlak terdapat bentuk pecahan. Penyebut tidak boleh sama dengan nol, sehingga terdapat syarat domain yang harus diperhatikan.
Kegiatan: Menanya
- Bagaimana cara menyelesaikan persamaan nilai mutlak yang memuat bentuk pecahan?
- Apa syarat yang harus dipenuhi agar pecahan terdefinisi?
- Mengapa kita perlu memeriksa kembali solusi yang diperoleh?
Kegiatan: Menalar
Untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak bentuk pecahan, kita gunakan langkah-langkah berikut:
- Tentukan syarat domain: Penyebut ≠ 0
- Pisahkan menjadi dua kasus:
|f(x)/g(x)| = c
Kasus 1: f(x)/g(x) = c
Kasus 2: f(x)/g(x) = −c
- Selesaikan masing-masing kasus
- Periksa solusi terhadap syarat domain
Kegiatan: Mencoba
Selesaikan: |(x + 2)/(x − 1)| = 3
Syarat: x ≠ 1
Kasus 1: (x + 2)/(x − 1) = 3
x + 2 = 3(x − 1)
x + 2 = 3x − 3
5 = 2x → x = 5/2 ✓
Kasus 2: (x + 2)/(x − 1) = −3
x + 2 = −3(x − 1)
x + 2 = −3x + 3
4x = 1 → x = 1/4 ✓
HP = {1/4, 5/2}
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Tuliskan kesimpulan langkah-langkah penyelesaian persamaan nilai mutlak bentuk pecahan:
- Tentukan syarat domain (penyebut ≠ 0)
- Buat dua kasus: positif dan negatif
- Selesaikan masing-masing persamaan linear/kuadrat yang terbentuk
- Substitusi balik untuk memeriksa validitas solusi
- Tulis himpunan penyelesaian
Bentuk-Bentuk Persamaan Nilai Mutlak Pecahan
Bentuk 1: |f(x)/g(x)| = c
Penyelesaian: f(x) = c·g(x) atau f(x) = −c·g(x), dengan g(x) ≠ 0
Bentuk 2: |f(x)/g(x)| = |h(x)/k(x)|
Penyelesaian: f(x)·k(x) = h(x)·g(x) atau f(x)·k(x) = −h(x)·g(x)
dengan g(x) ≠ 0 dan k(x) ≠ 0
Contoh Soal: Nilai Mutlak Bentuk Pecahan
Soal Mudah (1–10)
1. Selesaikan: |x/2| = 3
2. Selesaikan: |(x+1)/3| = 2
3. Selesaikan: |2x/5| = 4
4. Selesaikan: |(x−2)/4| = 1
5. Selesaikan: |3x/2| = 9
6. Selesaikan: |(x+3)/2| = 5
7. Selesaikan: |(2x−1)/3| = 1
8. Selesaikan: |x/4| = 1/2
9. Selesaikan: |(x−4)/2| = 3
10. Selesaikan: |(5x)/3| = 10
Soal Sedang (11–15)
11. Selesaikan: |(x+1)/(x−2)| = 3
12. Selesaikan: |(2x−3)/(x+1)| = 1
13. Selesaikan: |(3x+2)/(x−4)| = 2
14. Selesaikan: |(x−1)/(2x+3)| = 1/2
15. Selesaikan: |(x+2)/(x−1)| = |(x−3)/(x+1)|
Soal Sulit (16–20)
16. Selesaikan: |(x²−4)/(x+3)| = (x−2)/1
17. Selesaikan: |(2x+1)/(x−1)| + |(x−3)/(x−1)| = 4
18. Selesaikan: |(x²−1)/(x²−4)| = 1
19. Selesaikan: |(x+1)/(x−2)| = |(2x−1)/(x+3)|
20. Selesaikan: |(x²+x−6)/(x²−9)| = 2/3
Latihan Soal: Nilai Mutlak Bentuk Pecahan
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri!
Soal Mudah
1. |x/3| = 5
2. |(x−1)/2| = 4
3. |4x/7| = 8
4. |(2x+3)/5| = 1
5. |(x+4)/3| = 2
6. |3x/4| = 6
7. |(x−5)/2| = 3
8. |(2x−1)/4| = 3/2
9. |x/6| = 5/3
10. |(3x+2)/5| = 4
Soal Sedang
11. |(x+3)/(x−1)| = 2
12. |(2x−5)/(x+2)| = 3
13. |(x−4)/(2x+1)| = 1
14. |(3x+1)/(x−3)| = |(x+2)/(x−3)|
15. |(x²−1)/(x+2)| = 3
Soal Sulit
16. |(x²+2x)/(x²−1)| = 2
17. |(x+1)/(x−2)| + |(x−1)/(x−2)| = 3
18. |(x²−4x+3)/(x²−9)| = 1/2
19. |(2x−1)/(x+1)| = |(x+3)/(2x−1)|
20. |(x²−x−2)/(x²+x−6)| = |(x+1)/(x+3)|
3. Persamaan Nilai Mutlak Bentuk Kuadrat
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan persamaan berikut:
|x² − 5x + 4| = 2
Di dalam tanda nilai mutlak terdapat ekspresi kuadrat. Penyelesaiannya menghasilkan persamaan kuadrat yang perlu dipecahkan.
Kegiatan: Menanya
- Bagaimana menyelesaikan persamaan nilai mutlak yang memuat bentuk kuadrat?
- Berapa banyak solusi yang mungkin diperoleh?
- Kapan persamaan kuadrat hasil pemecahan tidak memiliki solusi real?
Kegiatan: Menalar
Langkah penyelesaian:
Bentuk: |ax² + bx + c| = d (d ≥ 0)
Kasus 1: ax² + bx + c = d
Kasus 2: ax² + bx + c = −d
Bentuk: |ax² + bx + c| = |dx² + ex + f|
Kasus 1: ax² + bx + c = dx² + ex + f
Kasus 2: ax² + bx + c = −(dx² + ex + f)
Setiap kasus menghasilkan persamaan kuadrat. Gunakan rumus abc untuk menentukan solusi:
x = −b ± √(b² − 4ac)/2a
Diskriminan D = b² − 4ac menentukan jumlah solusi real.
Kegiatan: Mencoba
Selesaikan: |x² − 3x − 4| = 6
Kasus 1: x² − 3x − 4 = 6
x² − 3x − 10 = 0
(x − 5)(x + 2) = 0 → x = 5 atau x = −2
Kasus 2: x² − 3x − 4 = −6
x² − 3x + 2 = 0
(x − 2)(x − 1) = 0 → x = 2 atau x = 1
HP = {−2, 1, 2, 5}
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Kesimpulan penting:
- Persamaan |kuadrat| = c dapat menghasilkan hingga 4 solusi
- Selalu periksa diskriminan untuk mengetahui jumlah solusi real
- Jika c < 0, maka persamaan tidak memiliki solusi
- Sifat |x²| = x² selalu berlaku karena x² ≥ 0
Contoh Soal: Nilai Mutlak Bentuk Kuadrat
Soal Mudah (1–10)
1. Selesaikan: |x² − 4| = 5
2. Selesaikan: |x² − 9| = 0
3. Selesaikan: |x² − 1| = 3
4. Selesaikan: |x² + 2x| = 8
5. Selesaikan: |x² − 5x + 6| = 0
6. Selesaikan: |x² − 16| = 9
7. Selesaikan: |x² − 2x| = 3
8. Selesaikan: |2x² − 8| = 10
9. Selesaikan: |x² + x − 6| = 6
10. Selesaikan: |x² − 6x + 5| = 4
Soal Sedang (11–15)
11. Selesaikan: |x² − 4x + 3| = |x − 1|
12. Selesaikan: |x² − 2x − 3| = |x² + x − 2|
13. Selesaikan: |x² − 4| = x + 2
14. Selesaikan: |x² + 3x + 2| = x + 1
15. Selesaikan: |x² − 7x + 10| = 2
Soal Sulit (16–20)
16. Selesaikan: |x² − 4x| = |x² − 6x + 8|
17. Selesaikan: |x² − 3x + 2| + |x² − 5x + 6| = 2
18. Selesaikan: x² − 2|x| − 3 = 0
19. Selesaikan: |x² − 4x + 3| = 2x − 5
20. Selesaikan: |x² − 1| = |2x² − x − 1|
Latihan Soal: Nilai Mutlak Bentuk Kuadrat
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri!
Soal Mudah
1. |x² − 25| = 0
2. |x² − 3| = 6
3. |x² + x| = 12
4. |2x² − 2| = 6
5. |x² − 4x| = 5
6. |x² − 8x + 12| = 0
7. |x² + 2x − 8| = 7
8. |3x² − 12| = 15
9. |x² − 10x + 21| = 4
10. |x² − 6x| = 7
Soal Sedang
11. |x² − 5x + 4| = |x − 4|
12. |x² − 9| = 2x + 1
13. |x² + 2x − 3| = |x² − 4x + 3|
14. |x² − x − 6| = x + 2
15. |2x² − 5x + 2| = |x² − 4|
Soal Sulit
16. x² − 4|x| + 3 = 0
17. |x² − 2x| + |x² − 4| = 3
18. |x² − 3x + 2| = |x² − 7x + 12|
19. |x² + x − 2| = 3|x − 1|
20. |x² − 4x + 3| + |x² − 6x + 5| = 4
4. Penerapan Persamaan Nilai Mutlak dalam Kehidupan Sehari-hari
Kegiatan: Mengamati
Nilai mutlak sering muncul dalam konteks:
- Toleransi ukuran: Panjang paku harus 5 cm dengan toleransi 0,1 cm → |x − 5| ≤ 0,1
- Jarak: Jarak antara dua titik selalu positif → |a − b|
- Selisih suhu: Perubahan suhu dari titik tertentu → |T − T₀|
- Error/Galat: Selisih antara nilai ukur dan nilai sebenarnya
Kegiatan: Menanya
- Mengapa nilai mutlak digunakan untuk memodelkan jarak dan selisih?
- Bagaimana menerjemahkan masalah nyata menjadi persamaan nilai mutlak?
- Apa makna solusi persamaan dalam konteks masalah yang diberikan?
Kegiatan: Menalar
Prinsip pemodelan:
Jarak antara dua nilai: |x − a| = d
Artinya: x berjarak d satuan dari a
Solusi: x = a + d atau x = a − d
Toleransi: |x − nilai_target| ≤ toleransi
Artinya: x berada dalam rentang (target − toleransi) hingga (target + toleransi)
Perbandingan jarak: |x − a| = |x − b|
Artinya: x berjarak sama dari a dan b (titik tengah)
Solusi: x = (a + b)/2
Kegiatan: Mencoba
Masalah: Suhu ideal penyimpanan obat adalah 25°C. Obat masih aman jika selisih suhu dari suhu ideal tidak lebih dari 3°C. Tentukan rentang suhu yang aman!
Model: |T − 25| ≤ 3
−3 ≤ T − 25 ≤ 3
22 ≤ T ≤ 28
Jawab: Suhu aman: 22°C hingga 28°C
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Langkah-langkah menyelesaikan soal cerita nilai mutlak:
- Identifikasi besaran yang dicari dan yang diketahui
- Buat model matematika menggunakan nilai mutlak
- Selesaikan persamaan/pertidaksamaan
- Interpretasikan solusi dalam konteks masalah
- Periksa apakah solusi masuk akal
Contoh Konteks Penerapan
| Konteks | Model Matematika | Keterangan |
|---|---|---|
| Toleransi produksi | |x − standar| = toleransi | Batas ukuran produk |
| Jarak tempuh | |posisi₁ − posisi₂| = jarak | Jarak selalu positif |
| Selisih kecepatan | |v − v₀| = Δv | Perubahan kecepatan |
| Galat pengukuran | |x_ukur − x_benar| = galat | Akurasi alat ukur |
| Titik impas bisnis | |Pendapatan − Biaya| = 0 | Break-even point |
Contoh Soal: Penerapan dalam Kehidupan
Soal Mudah (1–10)
1. Suhu ruangan harus tepat 24°C. Jika selisih suhu aktual dengan suhu ideal adalah 2°C, tentukan suhu aktual yang mungkin!
2. Panjang baut standar adalah 8 cm. Baut dianggap cacat jika selisih panjangnya dengan standar adalah 0,5 cm. Berapa panjang baut yang dianggap cacat?
3. Dua kota terletak pada garis lurus. Kota A berada di km 50 dan jarak antara kota A dan kota B adalah 30 km. Di km berapa posisi kota B?
4. Berat bersih kemasan keripik tertulis 250 gram. Jika selisih berat aktual dengan berat yang tertulis adalah 5 gram, berapa berat aktual keripik?
5. Kecepatan rata-rata bus adalah 60 km/jam. Jika selisih kecepatan aktual dengan rata-rata adalah 10 km/jam, berapa kecepatan aktual bus?
6. Titik beku air murni adalah 0°C. Jika suatu larutan memiliki selisih titik beku 4°C dari air murni, berapa titik beku larutan tersebut?
7. Target penjualan toko adalah 100 unit per hari. Selisih penjualan aktual dengan target adalah 15 unit. Berapa penjualan aktual?
8. pH ideal kolam renang adalah 7,4. Jika selisih pH aktual dengan ideal adalah 0,2, berapa pH aktual kolam?
9. Rata-rata tinggi badan siswa kelas X adalah 165 cm. Jika selisih tinggi Andi dengan rata-rata adalah 8 cm, berapa tinggi Andi?
10. Tegangan listrik standar PLN adalah 220 volt. Jika selisih tegangan aktual dengan standar adalah 10 volt, berapa tegangan aktual?
Soal Sedang (11–15)
11. Sebuah mesin menghasilkan baut dengan panjang x cm. Spesifikasi mensyaratkan bahwa rasio selisih panjang baut terhadap standar (10 cm) dibagi standar tidak boleh melebihi 2%. Jika rasio tersebut tepat 2%, tentukan panjang baut!
12. Dua mobil berangkat dari titik yang sama. Mobil A bergerak dengan kecepatan (2t + 1) km/jam dan mobil B dengan kecepatan (t + 4) km/jam, di mana t dalam jam. Kapan selisih kecepatan keduanya sama dengan 5 km/jam?
13. Sebuah investasi menghasilkan keuntungan (dalam juta) sebesar x²−6x+5 pada bulan ke-x. Kapan keuntungan bernilai Rp4 juta (baik untung maupun rugi)?
14. Efisiensi mesin diukur dengan rumus |(output − 80)/(input − 20)| = 0,5. Jika input = 100, tentukan output mesin!
15. Titik A berada di posisi x = 3 dan titik B di posisi x = 9 pada garis bilangan. Tentukan titik P di mana jarak P ke A sama dengan dua kali jarak P ke B!
Soal Sulit (16–20)
16. Sebuah pabrik memproduksi batang besi dengan panjang target 50 cm. Biaya penalti (dalam ribu rupiah) dihitung dengan rumus: Biaya = |(x²−2500)/(x+50)| di mana x adalah panjang aktual. Jika biaya penalti adalah 3 ribu rupiah, tentukan panjang batang besi!
17. Tinggi air (dalam meter) di sebuah waduk pada waktu t jam setelah tengah malam dimodelkan dengan h(t) = t² − 12t + 40. Pada saat berapa ketinggian air berjarak 5 meter dari ketinggian minimum?
18. Sebuah proyek memiliki anggaran Rp100 juta. Biaya aktual (dalam juta) pada bulan ke-x adalah C(x) = x² − 8x + 20. Manajemen ingin mengetahui kapan rasio selisih biaya terhadap anggaran sama dengan 0,1. Tentukan bulan ke berapa!
19. Dua drone terbang pada lintasan yang sama. Drone A di posisi (t²−2t) meter dan Drone B di posisi (3t+4) meter dari titik awal setelah t detik. Kapan jarak kedua drone tepat 10 meter?
20. Laba perusahaan (dalam miliar) pada tahun ke-t dinyatakan L(t) = |(t²−4t)/(t+1)|. Tentukan tahun ke berapa laba perusahaan bernilai 2 miliar!
Latihan Soal: Penerapan dalam Kehidupan
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri!
Soal Mudah
1. Suhu standar laboratorium 22°C. Selisih suhu aktual dengan standar adalah 3°C. Tentukan suhu aktual!
2. Berat standar kemasan gula 1 kg. Selisih berat aktual dengan standar 20 gram. Berapa berat aktual?
3. Jarak rumah Andi ke sekolah 5 km. Selisih jarak rumah Budi ke sekolah dengan jarak Andi adalah 2 km. Berapa jarak Budi?
4. Target produksi 500 unit. Selisih produksi aktual dengan target 25 unit. Berapa produksi aktual?
5. Tekanan ban standar 32 psi. Selisih tekanan aktual 4 psi. Berapa tekanan aktual?
6. Nilai ujian rata-rata 75. Selisih nilai Andi dengan rata-rata 12. Berapa nilai Andi?
7. Diameter pipa standar 10 cm. Selisih diameter aktual 0,3 cm. Berapa diameter aktual?
8. Kadar gula darah normal 100 mg/dL. Selisih kadar gula pasien dengan normal 30 mg/dL. Berapa kadar gula pasien?
9. Waktu tempuh standar bus 2 jam. Selisih waktu aktual 15 menit. Berapa waktu aktual?
10. Ketinggian air ideal 150 cm. Selisih ketinggian aktual 20 cm. Berapa ketinggian aktual?
Soal Sedang
11. Kecepatan angin (dalam m/s) pada ketinggian h meter dinyatakan v(h) = 0,5h + 2. Pada ketinggian berapa selisih kecepatan angin dengan 10 m/s sama dengan 3 m/s?
12. Harga saham (dalam ribu) pada hari ke-t dinyatakan P(t) = 2t + 50. Kapan selisih harga dengan Rp70.000 sama dengan Rp8.000?
13. Titik C berada di x = 2 dan titik D di x = 10. Tentukan posisi titik yang berjarak sama dari C dan D!
14. Toleransi konsentrasi larutan 5 mol/L. Rasio selisih konsentrasi aktual terhadap standar adalah 0,04. Berapa konsentrasi aktual?
15. Suhu di dalam kulkas diatur (2t−1)°C dan suhu ideal (t+2)°C. Kapan selisih suhu sama dengan 4°C?
Soal Sulit
16. Lintasan peluru dinyatakan h(t) = −5t² + 30t + 10. Kapan ketinggian peluru berjarak 15 meter dari ketinggian maksimumnya?
17. Pendapatan perusahaan (juta) pada bulan ke-x: R(x) = x² − 10x + 30. Biaya: C(x) = 2x + 5. Kapan |R(x) − C(x)| = 10?
18. Dua partikel bergerak: A di posisi (t² − 3t) dan B di posisi (2t + 1). Kapan |posisi A − posisi B| = |posisi A + posisi B|?
19. Efisiensi mesin E = |(P_out − 200)/(P_in − 50)|. Jika P_in = 2P_out dan E = 0,8, tentukan P_out!
20. Populasi bakteri pada jam ke-t: N(t) = |t² − 6t + 5| (dalam ribuan). Kapan populasi bakteri bernilai 3 ribu?