DAFTAR ISI
1. Pengertian Nilai Mutlak → Contoh Soal → Latihan Soal 2. Bentuk dan Notasi Nilai Mutlak → Contoh Soal → Latihan Soal 3. Sifat-Sifat Nilai Mutlak → Contoh Soal → Latihan Soal1. Pengertian Nilai Mutlak
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan garis bilangan di bawah ini. Amati jarak beberapa bilangan terhadap titik nol (0).
Dari garis bilangan di atas, bilangan −2 dan 2 memiliki jarak yang sama terhadap titik nol, yaitu 2 satuan. Jarak inilah yang disebut nilai mutlak.
❓ Kegiatan: Menanya
- Apa yang dimaksud dengan nilai mutlak suatu bilangan?
- Mengapa jarak selalu bernilai positif atau nol?
- Bagaimana cara menentukan nilai mutlak bilangan negatif?
- Apakah ada bilangan yang nilai mutlaknya nol?
📘 Definisi Nilai Mutlak
Nilai mutlak dari suatu bilangan real x, ditulis |x|, adalah jarak bilangan tersebut dari nol (0) pada garis bilangan.
Karena jarak selalu bernilai tidak negatif (≥ 0), maka nilai mutlak selalu bernilai positif atau nol.
Secara matematis:
|x| = x, jika x ≥ 0
|x| = −x, jika x < 0
|x| = x, jika x ≥ 0
|x| = −x, jika x < 0
Penjelasan: Jika x sudah positif atau nol, nilai mutlaknya adalah bilangan itu sendiri. Jika x negatif, kita “balikkan tandanya” sehingga hasilnya menjadi positif.
💡 Kegiatan: Menalar
Mari kita pikirkan mengapa definisi di atas masuk akal:
- |5| = 5, karena 5 ≥ 0 → hasilnya 5 (jaraknya 5 satuan dari 0)
- |−3| = −(−3) = 3, karena −3 < 0 → kita balikkan tandanya menjadi 3
- |0| = 0, karena 0 ≥ 0 → hasilnya 0 (jaraknya 0 dari 0)
Perhatikan bahwa −(−3) = 3. Simbol “−x” bukan berarti “negatif”, melainkan “lawan dari x“. Jadi lawan dari bilangan negatif adalah bilangan positif.
Tabel Contoh Nilai Mutlak
| Bilangan (x) | Kondisi | Nilai Mutlak |x| | Keterangan |
|---|---|---|---|
| 7 | 7 ≥ 0 | 7 | Tetap |
| −5 | −5 < 0 | 5 | −(−5) = 5 |
| 0 | 0 ≥ 0 | 0 | Tetap |
| −12 | −12 < 0 | 12 | −(−12) = 12 |
| 3,5 | 3,5 ≥ 0 | 3,5 | Tetap |
| −0,8 | −0,8 < 0 | 0,8 | −(−0,8) = 0,8 |
✏️ Kegiatan: Mencoba
Cobalah tentukan nilai mutlak dari bilangan-bilangan berikut secara mandiri:
- |−9| = …
- |15| = …
- |−100| = …
- |0,25| = …
- |−⅓| = …
🗣️ Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman sebangkumu:
- Jelaskan dengan bahasamu sendiri, apa itu nilai mutlak?
- Mengapa |−7| = |7| = 7? Gunakan garis bilangan untuk menjelaskan.
- Apakah mungkin nilai mutlak suatu bilangan bernilai negatif? Jelaskan alasanmu.
📝 Contoh Soal — Pengertian Nilai Mutlak
MUDAH Soal 1–10
1. Tentukan nilai dari |8|.
Pembahasan: Karena 8 ≥ 0, maka |8| = 8. ✅
2. Tentukan nilai dari |−6|.
Pembahasan: Karena −6 < 0, maka |−6| = −(−6) = 6. ✅
3. Tentukan nilai dari |0|.
Pembahasan: Karena 0 ≥ 0, maka |0| = 0. ✅
4. Tentukan nilai dari |−15|.
Pembahasan: Karena −15 < 0, maka |−15| = −(−15) = 15. ✅
5. Tentukan nilai dari |23|.
Pembahasan: Karena 23 ≥ 0, maka |23| = 23. ✅
6. Tentukan nilai dari |−1|.
Pembahasan: Karena −1 < 0, maka |−1| = −(−1) = 1. ✅
7. Tentukan nilai dari |0,5|.
Pembahasan: Karena 0,5 ≥ 0, maka |0,5| = 0,5. ✅
8. Tentukan nilai dari |−0,75|.
Pembahasan: Karena −0,75 < 0, maka |−0,75| = 0,75. ✅
9. Tentukan nilai dari |100|.
Pembahasan: Karena 100 ≥ 0, maka |100| = 100. ✅
10. Tentukan nilai dari |−50|.
Pembahasan: Karena −50 < 0, maka |−50| = −(−50) = 50. ✅
SEDANG Soal 11–15
11. Tentukan nilai dari |3 − 7|.
Pembahasan: 3 − 7 = −4. Karena −4 < 0, maka |3 − 7| = |−4| = 4. ✅
12. Tentukan nilai dari |−2| + |−5|.
Pembahasan: |−2| = 2 dan |−5| = 5. Jadi |−2| + |−5| = 2 + 5 = 7. ✅
13. Tentukan nilai dari |4 − 10| + |−3|.
Pembahasan: |4 − 10| = |−6| = 6. |−3| = 3. Jadi 6 + 3 = 9. ✅
14. Tentukan nilai dari |−8| − |5|.
Pembahasan: |−8| = 8 dan |5| = 5. Jadi 8 − 5 = 3. ✅
15. Jika x = −4, tentukan nilai dari |2x + 3|.
Pembahasan: Substitusi: 2(−4) + 3 = −8 + 3 = −5. Karena −5 < 0, maka |−5| = 5. ✅
SULIT Soal 16–20
16. Tentukan semua nilai x yang memenuhi |x| = 7.
Pembahasan: |x| = 7 berarti jarak x dari 0 adalah 7. Maka x = 7 atau x = −7. ✅
17. Tentukan semua nilai x yang memenuhi |x − 3| = 5.
Pembahasan:
Kasus 1: x − 3 = 5 → x = 8
Kasus 2: x − 3 = −5 → x = −2
Jadi x = 8 atau x = −2. ✅
Kasus 1: x − 3 = 5 → x = 8
Kasus 2: x − 3 = −5 → x = −2
Jadi x = 8 atau x = −2. ✅
18. Buktikan bahwa |−x| = |x| untuk setiap bilangan real x.
Pembahasan:
Kasus 1: Jika x ≥ 0, maka −x ≤ 0. |x| = x dan |−x| = −(−x) = x. Sama. ✓
Kasus 2: Jika x < 0, maka −x > 0. |x| = −x dan |−x| = −x. Sama. ✓
Terbukti |−x| = |x| untuk semua x ∈ ℝ. ✅
Kasus 1: Jika x ≥ 0, maka −x ≤ 0. |x| = x dan |−x| = −(−x) = x. Sama. ✓
Kasus 2: Jika x < 0, maka −x > 0. |x| = −x dan |−x| = −x. Sama. ✓
Terbukti |−x| = |x| untuk semua x ∈ ℝ. ✅
19. Tentukan nilai dari ||−4| − |−9||.
Pembahasan: |−4| = 4, |−9| = 9. Maka |4 − 9| = |−5| = 5. ✅
20. Tentukan semua nilai x bilangan bulat yang memenuhi |x| < 4.
Pembahasan: |x| < 4 berarti −4 < x < 4. Bilangan bulat yang memenuhi: x ∈ {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}. ✅
📋 Latihan Soal — Pengertian Nilai Mutlak
MUDAH
1. Tentukan |−14|
2. Tentukan |20|
3. Tentukan |−0,3|
4. Tentukan |⅔|
5. Tentukan |−99|
6. Tentukan |7|
7. Tentukan |−1,5|
8. Tentukan |0|
9. Tentukan |−⅖|
10. Tentukan |45|
SEDANG
11. Tentukan nilai dari |5 − 12|
12. Tentukan nilai dari |−7| + |3|
13. Tentukan nilai dari |−4| × |−6|
14. Jika x = −5, tentukan |3x + 1|
15. Tentukan nilai dari |2 − 8| − |−1|
SULIT
16. Tentukan semua x yang memenuhi |x| = 12
17. Tentukan semua x yang memenuhi |x + 4| = 6
18. Tentukan semua bilangan bulat x jika |x| ≤ 5
19. Tentukan nilai ||−8| − |3||
20. Buktikan bahwa |x|² = x² untuk setiap x ∈ ℝ
2. Bentuk dan Notasi Nilai Mutlak
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan berbagai bentuk penulisan yang menggunakan nilai mutlak berikut ini:
|x| = 5 → Persamaan nilai mutlak
|x − 2| = 7 → Persamaan nilai mutlak linier
|x| < 3 → Pertidaksamaan nilai mutlak
|2x + 1| ≥ 4 → Pertidaksamaan nilai mutlak linier
|x − 2| = 7 → Persamaan nilai mutlak linier
|x| < 3 → Pertidaksamaan nilai mutlak
|2x + 1| ≥ 4 → Pertidaksamaan nilai mutlak linier
Amati perbedaan antara persamaan (menggunakan tanda =) dan pertidaksamaan (menggunakan tanda <, >, ≤, ≥).
❓ Kegiatan: Menanya
- Bagaimana cara menyelesaikan persamaan nilai mutlak?
- Apa bedanya |x| < a dengan |x| > a?
- Mengapa persamaan |x| = a memiliki dua solusi?
📘 Notasi dan Bentuk Nilai Mutlak
Nilai mutlak ditulis dengan dua garis vertikal: | |
A. Persamaan Nilai Mutlak
|f(x)| = a, dengan a ≥ 0
Penyelesaian:
f(x) = a atau f(x) = −a
Penyelesaian:
f(x) = a atau f(x) = −a
Jika a < 0, maka persamaan tidak memiliki solusi karena nilai mutlak selalu ≥ 0.
B. Pertidaksamaan Nilai Mutlak (bentuk “kurang dari”)
|f(x)| < a, dengan a > 0
Ekuivalen dengan:
−a < f(x) < a
Ekuivalen dengan:
−a < f(x) < a
C. Pertidaksamaan Nilai Mutlak (bentuk “lebih dari”)
|f(x)| > a, dengan a > 0
Ekuivalen dengan:
f(x) < −a atau f(x) > a
Ekuivalen dengan:
f(x) < −a atau f(x) > a
D. Persamaan Dua Nilai Mutlak
|f(x)| = |g(x)|
Ekuivalen dengan:
f(x) = g(x) atau f(x) = −g(x)
Ekuivalen dengan:
f(x) = g(x) atau f(x) = −g(x)
Grafik Fungsi Nilai Mutlak y = |x|
Keterangan: Grafik y = |x| berbentuk huruf V dengan titik puncak di (0, 0). Bagian kiri merupakan cerminan dari bagian kanan.
💡 Kegiatan: Menalar
Perhatikan pola penyelesaian berikut:
Contoh: Selesaikan |x − 2| < 5
Langkah: −5 < x − 2 < 5
Tambahkan 2 ke semua ruas:
−5 + 2 < x < 5 + 2
−3 < x < 7
HP = {x | −3 < x < 7}
Langkah: −5 < x − 2 < 5
Tambahkan 2 ke semua ruas:
−5 + 2 < x < 5 + 2
−3 < x < 7
HP = {x | −3 < x < 7}
✏️ Kegiatan: Mencoba
Coba selesaikan:
- |x + 1| = 4
- |2x − 3| < 7
- |x − 5| > 2
🗣️ Kegiatan: Mengkomunikasikan
Presentasikan di depan kelas:
- Jelaskan perbedaan antara |x| < a dan |x| > a menggunakan garis bilangan.
- Mengapa |x| = −3 tidak memiliki solusi?
📝 Contoh Soal — Bentuk dan Notasi Nilai Mutlak
MUDAH Soal 1–10
1. Selesaikan |x| = 4.
Pembahasan: x = 4 atau x = −4. HP = {−4, 4}. ✅
2. Selesaikan |x| = 10.
Pembahasan: x = 10 atau x = −10. HP = {−10, 10}. ✅
3. Selesaikan |x + 1| = 3.
Pembahasan: x + 1 = 3 → x = 2 atau x + 1 = −3 → x = −4. HP = {−4, 2}. ✅
4. Selesaikan |x − 5| = 2.
Pembahasan: x − 5 = 2 → x = 7 atau x − 5 = −2 → x = 3. HP = {3, 7}. ✅
5. Selesaikan |x| = 0.
Pembahasan: Satu-satunya bilangan yang berjarak 0 dari 0 adalah 0 sendiri. HP = {0}. ✅
6. Apakah |x| = −2 memiliki solusi?
Pembahasan: Tidak. Nilai mutlak selalu ≥ 0, sehingga tidak mungkin sama dengan −2. HP = ∅ (himpunan kosong). ✅
7. Selesaikan |2x| = 6.
Pembahasan: 2x = 6 → x = 3 atau 2x = −6 → x = −3. HP = {−3, 3}. ✅
8. Selesaikan |x + 4| = 0.
Pembahasan: |x + 4| = 0 hanya jika x + 4 = 0, yaitu x = −4. HP = {−4}. ✅
9. Nyatakan |x| < 3 dalam bentuk pertidaksamaan biasa.
Pembahasan: |x| < 3 ⟺ −3 < x < 3. ✅
10. Nyatakan |x| > 2 dalam bentuk pertidaksamaan biasa.
Pembahasan: |x| > 2 ⟺ x < −2 atau x > 2. ✅
SEDANG Soal 11–15
11. Selesaikan |2x − 1| = 5.
Pembahasan:
Kasus 1: 2x − 1 = 5 → 2x = 6 → x = 3
Kasus 2: 2x − 1 = −5 → 2x = −4 → x = −2
HP = {−2, 3}. ✅
Kasus 1: 2x − 1 = 5 → 2x = 6 → x = 3
Kasus 2: 2x − 1 = −5 → 2x = −4 → x = −2
HP = {−2, 3}. ✅
12. Selesaikan |x − 3| < 4.
Pembahasan:
−4 < x − 3 < 4
−4 + 3 < x < 4 + 3
−1 < x < 7
HP = {x | −1 < x < 7}. ✅
−4 < x − 3 < 4
−4 + 3 < x < 4 + 3
−1 < x < 7
HP = {x | −1 < x < 7}. ✅
13. Selesaikan |x + 2| > 3.
Pembahasan:
x + 2 < −3 atau x + 2 > 3
x < −5 atau x > 1
HP = {x | x < −5 atau x > 1}. ✅
x + 2 < −3 atau x + 2 > 3
x < −5 atau x > 1
HP = {x | x < −5 atau x > 1}. ✅
14. Selesaikan |3x + 2| ≤ 8.
Pembahasan:
−8 ≤ 3x + 2 ≤ 8
−10 ≤ 3x ≤ 6
−10/3 ≤ x ≤ 2
HP = {x | −10/3 ≤ x ≤ 2}. ✅
−8 ≤ 3x + 2 ≤ 8
−10 ≤ 3x ≤ 6
−10/3 ≤ x ≤ 2
HP = {x | −10/3 ≤ x ≤ 2}. ✅
15. Selesaikan |x| = |x − 4|.
Pembahasan:
Kasus 1: x = x − 4 → 0 = −4 (tidak mungkin)
Kasus 2: x = −(x − 4) → x = −x + 4 → 2x = 4 → x = 2
HP = {2}. ✅
Kasus 1: x = x − 4 → 0 = −4 (tidak mungkin)
Kasus 2: x = −(x − 4) → x = −x + 4 → 2x = 4 → x = 2
HP = {2}. ✅
SULIT Soal 16–20
16. Selesaikan |2x − 3| = |x + 1|.
Pembahasan:
Kasus 1: 2x − 3 = x + 1 → x = 4
Kasus 2: 2x − 3 = −(x + 1) → 2x − 3 = −x − 1 → 3x = 2 → x = ⅔
HP = {⅔, 4}. ✅
Kasus 1: 2x − 3 = x + 1 → x = 4
Kasus 2: 2x − 3 = −(x + 1) → 2x − 3 = −x − 1 → 3x = 2 → x = ⅔
HP = {⅔, 4}. ✅
17. Selesaikan |x² − 4| = 5.
Pembahasan:
Kasus 1: x² − 4 = 5 → x² = 9 → x = ±3
Kasus 2: x² − 4 = −5 → x² = −1 (tidak ada solusi real)
HP = {−3, 3}. ✅
Kasus 1: x² − 4 = 5 → x² = 9 → x = ±3
Kasus 2: x² − 4 = −5 → x² = −1 (tidak ada solusi real)
HP = {−3, 3}. ✅
18. Selesaikan |2x + 1| < |x − 3|.
Pembahasan: Kuadratkan kedua ruas (keduanya ≥ 0):
(2x + 1)² < (x − 3)²
4x² + 4x + 1 < x² − 6x + 9
3x² + 10x − 8 < 0
(3x − 2)(x + 4) < 0
−4 < x < ⅔
HP = {x | −4 < x < ⅔}. ✅
(2x + 1)² < (x − 3)²
4x² + 4x + 1 < x² − 6x + 9
3x² + 10x − 8 < 0
(3x − 2)(x + 4) < 0
−4 < x < ⅔
HP = {x | −4 < x < ⅔}. ✅
19. Tentukan himpunan penyelesaian dari |x − 1| + |x + 2| = 5.
Pembahasan: Bagi menjadi 3 interval berdasarkan titik kritis x = 1 dan x = −2:
Interval 1: x < −2
−(x − 1) + (−(x + 2)) = 5 → −x + 1 − x − 2 = 5 → −2x − 1 = 5 → x = −3 ✓ (memenuhi x < −2)
Interval 2: −2 ≤ x < 1
−(x − 1) + (x + 2) = 5 → −x + 1 + x + 2 = 5 → 3 = 5 (tidak ada solusi)
Interval 3: x ≥ 1
(x − 1) + (x + 2) = 5 → 2x + 1 = 5 → x = 2 ✓ (memenuhi x ≥ 1)
HP = {−3, 2}. ✅
Interval 1: x < −2
−(x − 1) + (−(x + 2)) = 5 → −x + 1 − x − 2 = 5 → −2x − 1 = 5 → x = −3 ✓ (memenuhi x < −2)
Interval 2: −2 ≤ x < 1
−(x − 1) + (x + 2) = 5 → −x + 1 + x + 2 = 5 → 3 = 5 (tidak ada solusi)
Interval 3: x ≥ 1
(x − 1) + (x + 2) = 5 → 2x + 1 = 5 → x = 2 ✓ (memenuhi x ≥ 1)
HP = {−3, 2}. ✅
20. Selesaikan |x² − 5x + 6| = |x − 2|.
Pembahasan: Faktorisasi: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Maka: |(x − 2)(x − 3)| = |x − 2|
Kasus 1: x = 2 → |0| = |0| ✓
Kasus 2: x ≠ 2, bagi kedua ruas dengan |x − 2| > 0:
|x − 3| = 1 → x − 3 = 1 atau x − 3 = −1
x = 4 atau x = 2 (sudah didapat)
HP = {2, 4}. ✅
Maka: |(x − 2)(x − 3)| = |x − 2|
Kasus 1: x = 2 → |0| = |0| ✓
Kasus 2: x ≠ 2, bagi kedua ruas dengan |x − 2| > 0:
|x − 3| = 1 → x − 3 = 1 atau x − 3 = −1
x = 4 atau x = 2 (sudah didapat)
HP = {2, 4}. ✅
📋 Latihan Soal — Bentuk dan Notasi Nilai Mutlak
MUDAH
1. Selesaikan |x| = 9
2. Selesaikan |x − 1| = 6
3. Selesaikan |x + 3| = 5
4. Nyatakan |x| < 5 tanpa tanda nilai mutlak
5. Nyatakan |x| > 1 tanpa tanda nilai mutlak
6. Selesaikan |3x| = 12
7. Apakah |x| = −5 memiliki solusi?
8. Selesaikan |x − 7| = 0
9. Nyatakan |x| ≤ 4 tanpa tanda nilai mutlak
10. Nyatakan |x| ≥ 6 tanpa tanda nilai mutlak
SEDANG
11. Selesaikan |3x − 4| = 8
12. Selesaikan |x + 5| ≤ 7
13. Selesaikan |2x − 6| > 4
14. Selesaikan |x| = |2x − 6|
15. Selesaikan |4x + 3| ≤ 11
SULIT
16. Selesaikan |x² − 9| = 7
17. Selesaikan |x − 1| + |x − 4| = 7
18. Selesaikan |3x − 1| < |x + 5|
19. Selesaikan |x² − 2x| = |x|
20. Tentukan semua x bilangan bulat yang memenuhi |x − 3| + |x + 1| ≤ 6
3. Sifat-Sifat Nilai Mutlak
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan beberapa perhitungan berikut dan amati pola yang muncul:
| a | b | |a| | |b| | |a·b| | |a|·|b| | |a+b| | |a|+|b| |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | −2 | 3 | 2 | 6 | 6 | 1 | 5 |
| −4 | −5 | 4 | 5 | 20 | 20 | 9 | 9 |
| 2 | 6 | 2 | 6 | 12 | 12 | 8 | 8 |
| −1 | 4 | 1 | 4 | 4 | 4 | 3 | 5 |
Dari tabel, apa yang bisa kamu simpulkan tentang hubungan |a·b| dengan |a|·|b| dan |a+b| dengan |a|+|b|?
❓ Kegiatan: Menanya
- Apakah |a · b| selalu sama dengan |a| · |b|?
- Apakah |a + b| selalu sama dengan |a| + |b|?
- Apa itu “Ketidaksamaan Segitiga”?
📗 Sifat-Sifat Nilai Mutlak
Untuk setiap bilangan real a dan b, berlaku:
Sifat 1: Non-Negatif
|a| ≥ 0 untuk setiap a ∈ ℝ
Nilai mutlak selalu bernilai tidak negatif.
|a| ≥ 0 untuk setiap a ∈ ℝ
Nilai mutlak selalu bernilai tidak negatif.
Sifat 2: Definit
|a| = 0 jika dan hanya jika a = 0
Satu-satunya bilangan yang nilai mutlaknya nol adalah nol itu sendiri.
|a| = 0 jika dan hanya jika a = 0
Satu-satunya bilangan yang nilai mutlaknya nol adalah nol itu sendiri.
Sifat 3: Simetri
|−a| = |a|
Suatu bilangan dan lawannya memiliki nilai mutlak yang sama.
|−a| = |a|
Suatu bilangan dan lawannya memiliki nilai mutlak yang sama.
Sifat 4: Perkalian
|a · b| = |a| · |b|
Nilai mutlak hasil kali = hasil kali nilai mutlak.
|a · b| = |a| · |b|
Nilai mutlak hasil kali = hasil kali nilai mutlak.
Sifat 5: Pembagian
|a / b| = |a| / |b|, dengan b ≠ 0
Nilai mutlak hasil bagi = hasil bagi nilai mutlak.
|a / b| = |a| / |b|, dengan b ≠ 0
Nilai mutlak hasil bagi = hasil bagi nilai mutlak.
Sifat 6: Kuadrat
|a|² = a²
Kuadrat nilai mutlak = kuadrat bilangan itu sendiri.
|a|² = a²
Kuadrat nilai mutlak = kuadrat bilangan itu sendiri.
Sifat 7: Akar Kuadrat
√(a²) = |a|
Akar kuadrat dari kuadrat suatu bilangan = nilai mutlaknya.
√(a²) = |a|
Akar kuadrat dari kuadrat suatu bilangan = nilai mutlaknya.
Sifat 8: Ketidaksamaan Segitiga (Triangle Inequality) ⭐
|a + b| ≤ |a| + |b|
Nilai mutlak jumlah selalu ≤ jumlah nilai mutlak. Ini adalah sifat yang sangat penting!
|a + b| ≤ |a| + |b|
Nilai mutlak jumlah selalu ≤ jumlah nilai mutlak. Ini adalah sifat yang sangat penting!
Sifat 9: Ketidaksamaan Segitiga Terbalik
||a| − |b|| ≤ |a − b|
Selisih nilai mutlak selalu ≤ nilai mutlak selisih.
||a| − |b|| ≤ |a − b|
Selisih nilai mutlak selalu ≤ nilai mutlak selisih.
💡 Kegiatan: Menalar
Mari verifikasi Sifat 8 (Ketidaksamaan Segitiga) dengan contoh:
Contoh: a = 3, b = −7
Ruas kiri: |a + b| = |3 + (−7)| = |−4| = 4
Ruas kanan: |a| + |b| = |3| + |−7| = 3 + 7 = 10
4 ≤ 10 ✓ (terbukti)
Ruas kiri: |a + b| = |3 + (−7)| = |−4| = 4
Ruas kanan: |a| + |b| = |3| + |−7| = 3 + 7 = 10
4 ≤ 10 ✓ (terbukti)
Kesamaan terjadi ketika a dan b memiliki tanda yang sama (keduanya positif atau keduanya negatif).
✏️ Kegiatan: Mencoba
Verifikasi sifat-sifat berikut dengan bilangan pilihanmu:
- Pilih a = −5, b = 3. Buktikan bahwa |a·b| = |a|·|b|
- Pilih a = −2, b = −6. Verifikasi ketidaksamaan segitiga.
- Tunjukkan bahwa √(7²) = |7| dan √((−7)²) = |−7|
🗣️ Kegiatan: Mengkomunikasikan
- Buat poster yang berisi seluruh sifat-sifat nilai mutlak beserta contoh untuk masing-masing sifat.
- Jelaskan kepada temanmu mengapa ketidaksamaan segitiga dinamakan demikian.
- Berikan contoh kasus di mana |a + b| = |a| + |b| (kesamaan tercapai).
📝 Contoh Soal — Sifat-Sifat Nilai Mutlak
MUDAH Soal 1–10
1. Tunjukkan bahwa |−8| = |8|.
Pembahasan: |−8| = 8 dan |8| = 8. Keduanya sama. (Sifat 3: Simetri) ✅
2. Tentukan |3 × (−4)| dan bandingkan dengan |3| × |−4|.
Pembahasan: |3 × (−4)| = |−12| = 12. |3| × |−4| = 3 × 4 = 12. Sama. (Sifat 4) ✅
3. Tentukan |−6/2| dan bandingkan dengan |−6|/|2|.
Pembahasan: |−6/2| = |−3| = 3. |−6|/|2| = 6/2 = 3. Sama. (Sifat 5) ✅
4. Tunjukkan bahwa |−5|² = (−5)².
Pembahasan: |−5|² = 5² = 25. (−5)² = 25. Sama. (Sifat 6) ✅
5. Tentukan √(9²) dan √((−9)²).
Pembahasan: √(9²) = √81 = 9 = |9|. √((−9)²) = √81 = 9 = |−9|. (Sifat 7) ✅
6. Verifikasi |2 + 5| ≤ |2| + |5|.
Pembahasan: |7| ≤ 2 + 5 → 7 ≤ 7. ✓ (kesamaan karena tanda sama) ✅
7. Verifikasi |4 + (−9)| ≤ |4| + |−9|.
Pembahasan: |−5| ≤ 4 + 9 → 5 ≤ 13. ✓ ✅
8. Tentukan |−7 × 0|.
Pembahasan: |−7 × 0| = |0| = 0. Juga |−7| × |0| = 7 × 0 = 0. (Sifat 4) ✅
9. Apakah |0| = 0? Jelaskan.
Pembahasan: Ya. Berdasarkan Sifat 2 (Definit), |a| = 0 ⟺ a = 0. ✅
10. Tentukan ||3| − |−7||.
Pembahasan: |3 − 7| = |−4| = 4. Verifikasi Sifat 9: ||3| − |−7|| = |3 − 7| = 4 ≤ |3 − (−7)| = |10| = 10. ✓ ✅
SEDANG Soal 11–15
11. Jika |a| = 3 dan |b| = 5, tentukan nilai |a·b|.
Pembahasan: Berdasarkan Sifat 4: |a·b| = |a|·|b| = 3 × 5 = 15. ✅
12. Sederhanakan √((2x − 3)²).
Pembahasan: Berdasarkan Sifat 7: √(a²) = |a|. Maka √((2x − 3)²) = |2x − 3|. ✅
13. Buktikan bahwa |a − b| = |b − a|.
Pembahasan: a − b = −(b − a). Berdasarkan Sifat 3: |−(b − a)| = |b − a|. Terbukti. ✅
14. Tentukan nilai maksimum |a + b| jika |a| = 4 dan |b| = 7.
Pembahasan: Dari Sifat 8: |a + b| ≤ |a| + |b| = 4 + 7 = 11. Nilai maksimum = 11 (tercapai saat a dan b bertanda sama). ✅
15. Tentukan nilai minimum |a + b| jika |a| = 4 dan |b| = 7.
Pembahasan: Dari Sifat 9: ||a| − |b|| ≤ |a + b|. ||4| − |7|| = |−3| = 3 ≤ |a + b|. Nilai minimum = 3 (tercapai saat a dan b bertanda beda, misal a=4, b=−7). ✅
SULIT Soal 16–20
16. Buktikan Sifat 4: |a·b| = |a|·|b| untuk semua a, b ∈ ℝ.
Pembahasan: Menggunakan Sifat 6: |a|² = a².
|a·b|² = (a·b)² = a²·b² = |a|²·|b|² = (|a|·|b|)²
Karena kedua ruas non-negatif: |a·b| = |a|·|b|. Terbukti. ✅
|a·b|² = (a·b)² = a²·b² = |a|²·|b|² = (|a|·|b|)²
Karena kedua ruas non-negatif: |a·b| = |a|·|b|. Terbukti. ✅
17. Jika |x − 2| ≤ 0,01, buktikan bahwa |x² − 4| ≤ 0,05 untuk |x| ≤ 3.
Pembahasan:
|x² − 4| = |(x − 2)(x + 2)| = |x − 2|·|x + 2| (Sifat 4)
Dari |x| ≤ 3: |x + 2| ≤ |x| + 2 ≤ 3 + 2 = 5 (Sifat 8)
Maka: |x² − 4| ≤ 0,01 × 5 = 0,05. Terbukti. ✅
|x² − 4| = |(x − 2)(x + 2)| = |x − 2|·|x + 2| (Sifat 4)
Dari |x| ≤ 3: |x + 2| ≤ |x| + 2 ≤ 3 + 2 = 5 (Sifat 8)
Maka: |x² − 4| ≤ 0,01 × 5 = 0,05. Terbukti. ✅
18. Buktikan Ketidaksamaan Segitiga: |a + b| ≤ |a| + |b|.
Pembahasan: Kuadratkan kedua ruas (keduanya non-negatif):
|a + b|² = (a + b)² = a² + 2ab + b²
(|a| + |b|)² = |a|² + 2|a||b| + |b|² = a² + 2|ab| + b²
Karena ab ≤ |ab| (selalu benar), maka:
a² + 2ab + b² ≤ a² + 2|ab| + b²
|a + b|² ≤ (|a| + |b|)²
Akar kuadrat kedua ruas: |a + b| ≤ |a| + |b|. Terbukti. ✅
|a + b|² = (a + b)² = a² + 2ab + b²
(|a| + |b|)² = |a|² + 2|a||b| + |b|² = a² + 2|ab| + b²
Karena ab ≤ |ab| (selalu benar), maka:
a² + 2ab + b² ≤ a² + 2|ab| + b²
|a + b|² ≤ (|a| + |b|)²
Akar kuadrat kedua ruas: |a + b| ≤ |a| + |b|. Terbukti. ✅
19. Tentukan semua x yang memenuhi |x|² − 5|x| + 6 = 0.
Pembahasan: Misalkan t = |x|, t ≥ 0.
t² − 5t + 6 = 0
(t − 2)(t − 3) = 0
t = 2 atau t = 3 (keduanya ≥ 0 ✓)
|x| = 2 → x = ±2
|x| = 3 → x = ±3
HP = {−3, −2, 2, 3}. ✅
t² − 5t + 6 = 0
(t − 2)(t − 3) = 0
t = 2 atau t = 3 (keduanya ≥ 0 ✓)
|x| = 2 → x = ±2
|x| = 3 → x = ±3
HP = {−3, −2, 2, 3}. ✅
20. Buktikan bahwa |a − b| ≥ ||a| − |b|| (Ketidaksamaan Segitiga Terbalik).
Pembahasan: Dari ketidaksamaan segitiga:
|a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b|
→ |a| − |b| ≤ |a − b| … (i)
|b| = |(b − a) + a| ≤ |b − a| + |a| = |a − b| + |a|
→ |b| − |a| ≤ |a − b| … (ii)
Dari (i) dan (ii): −|a − b| ≤ |a| − |b| ≤ |a − b|
Artinya: ||a| − |b|| ≤ |a − b|. Terbukti. ✅
|a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b|
→ |a| − |b| ≤ |a − b| … (i)
|b| = |(b − a) + a| ≤ |b − a| + |a| = |a − b| + |a|
→ |b| − |a| ≤ |a − b| … (ii)
Dari (i) dan (ii): −|a − b| ≤ |a| − |b| ≤ |a − b|
Artinya: ||a| − |b|| ≤ |a − b|. Terbukti. ✅
📋 Latihan Soal — Sifat-Sifat Nilai Mutlak
MUDAH
1. Tunjukkan bahwa |−12| = |12|
2. Tentukan |5 × (−3)| dan |5| × |−3|
3. Tentukan |−10/5| dan |−10|/|5|
4. Tentukan |−4|² dan (−4)²
5. Tentukan √((−6)²)
6. Verifikasi |3 + (−8)| ≤ |3| + |−8|
7. Tentukan ||5| − |−2||
8. Tentukan |−7 × 3|
9. Sederhanakan √((5x)²)
10. Apakah |a| selalu positif? Jelaskan
SEDANG
11. Jika |a| = 6 dan |b| = 8, tentukan |a/b|
12. Sederhanakan √((x + 3)²) + √((x − 3)²)
13. Tentukan nilai maksimum dan minimum |a + b| jika |a| = 5, |b| = 3
14. Buktikan |a − b| = |b − a| menggunakan sifat simetri
15. Jika |x − 1| ≤ 0,1, tentukan batas atas |x² − 1| jika |x| ≤ 2
SULIT
16. Buktikan bahwa |a + b + c| ≤ |a| + |b| + |c|
17. Selesaikan |x|² + 3|x| − 10 = 0
18. Tentukan semua x ∈ ℤ yang memenuhi |x|² − |x| − 6 ≤ 0
19. Buktikan bahwa untuk setiap a, b ∈ ℝ: |a|·|b| ≤ ½(a² + b²)
20. Jika |x − a| < ε dan |y − b| < ε, buktikan bahwa |(x + y) − (a + b)| < 2ε