Konsep Dasar Nilai Mutlak
Matematika Wajib — Kelas X SMA/MA
1. Nilai Mutlak pada Garis Bilangan
Perhatikan garis bilangan berikut. Amati posisi bilangan −3 dan 3 terhadap titik 0.
Bilangan −3 berjarak 3 satuan dari titik 0, dan bilangan 3 juga berjarak 3 satuan dari titik 0. Keduanya memiliki jarak yang sama terhadap nol.
- Mengapa −3 dan 3 memiliki nilai mutlak yang sama?
- Apakah nilai mutlak suatu bilangan bisa negatif?
- Bagaimana cara menentukan nilai mutlak dari bilangan apa pun?
Definisi Nilai Mutlak
Definisi: Nilai mutlak dari bilangan real x, ditulis |x|, adalah jarak bilangan x dari titik 0 pada garis bilangan.
Secara matematis:
| |x| = | x, jika x ≥ 0 |
| −x, jika x < 0 |
Sifat-sifat Nilai Mutlak:
| No | Sifat | Keterangan |
|---|---|---|
| 1 | |x| ≥ 0 | Selalu non-negatif |
| 2 | |x| = 0 ⇔ x = 0 | Nol jika dan hanya jika x = 0 |
| 3 | |−x| = |x| | Simetri terhadap 0 |
| 4 | |x|² = x² | Kuadrat nilai mutlak = kuadrat biasa |
| 5 | |xy| = |x|·|y| | Perkalian |
Cobalah tentukan nilai mutlak dari bilangan-bilangan berikut:
|5| = ? |−7| = ? |0| = ? |−2,5| = ?
Jawab: 5, 7, 0, dan 2,5. Semua hasilnya non-negatif karena nilai mutlak mengukur jarak.
Kesimpulan: Nilai mutlak |x| menyatakan jarak bilangan x dari titik nol pada garis bilangan. Hasilnya selalu ≥ 0. Untuk bilangan positif atau nol, nilai mutlaknya sama dengan bilangan itu sendiri. Untuk bilangan negatif, nilai mutlaknya adalah lawannya (menjadi positif).
📝 Contoh Soal — Nilai Mutlak pada Garis Bilangan
🟢 Tingkat Mudah (10 Soal)
1. Tentukan nilai dari |8|
2. Tentukan nilai dari |−5|
3. Tentukan nilai dari |0|
4. Tentukan nilai dari |−12|
5. Tentukan nilai dari |3,5|
6. Tentukan nilai dari |−0,7|
7. Hitung |4| + |−3|
8. Hitung |−6| − |2|
9. Tentukan nilai dari |−100|
10. Hitung 2 × |−4|
🟠 Tingkat Sedang (5 Soal)
1. Tentukan nilai x jika |x| = 9
2. Hitung |3 − 8|
3. Hitung |−2| × |−5| + |−1|
4. Tentukan nilai x jika |x − 3| = 0
5. Sederhanakan |x| jika diketahui x = −4
🔴 Tingkat Sulit (5 Soal)
1. Tentukan semua nilai x yang memenuhi |2x − 1| = 7
Kasus 1: 2x − 1 = 7 → 2x = 8 → x = 4
Kasus 2: 2x − 1 = −7 → 2x = −6 → x = −3
Jadi x = 4 atau x = −3.
2. Tentukan semua nilai x yang memenuhi |x + 2| = |3x − 4|
Kasus 1: x + 2 = 3x − 4 → 6 = 2x → x = 3
Kasus 2: x + 2 = −(3x − 4) → x + 2 = −3x + 4 → 4x = 2 → x = ½
Jadi x = 3 atau x = ½.
3. Buktikan bahwa |x|² = x² untuk setiap bilangan real x
Jika x ≥ 0: |x| = x, maka |x|² = x² ✓
Jika x < 0: |x| = −x, maka |x|² = (−x)² = x² ✓
Terbukti untuk semua x ∈ ℝ.
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari |x − 1| + |x + 3| = 6
Titik kritis: x = 1 dan x = −3. Bagi menjadi 3 interval:
Interval x < −3: (−x+1) + (−x−3) = 6 → −2x−2 = 6 → x = −4 ✓ (karena −4 < −3)
Interval −3 ≤ x < 1: (−x+1) + (x+3) = 6 → 4 = 6 → Tidak ada solusi
Interval x ≥ 1: (x−1) + (x+3) = 6 → 2x+2 = 6 → x = 2 ✓ (karena 2 ≥ 1)
HP = {−4, 2}.
5. Jika |a| = 3 dan |b| = 5 dengan a < 0 < b, tentukan nilai |a + b| + |a − b|
a < 0 dan |a| = 3, maka a = −3.
b > 0 dan |b| = 5, maka b = 5.
|a + b| = |−3 + 5| = |2| = 2
|a − b| = |−3 − 5| = |−8| = 8
Jawab: 2 + 8 = 10.
🏋️ Latihan Soal — Nilai Mutlak pada Garis Bilangan
🟢 Tingkat Mudah (10 Soal)
1. Tentukan |15|
2. Tentukan |−9|
3. Tentukan |−1,5|
4. Hitung |7| + |−2|
5. Hitung |−10| − |3|
6. Tentukan |−25|
7. Hitung 3 × |−6|
8. Tentukan |4,8|
9. Hitung |−8| + |8|
10. Tentukan |−⅓|
🟠 Tingkat Sedang (5 Soal)
1. Tentukan semua x jika |x| = 12
2. Hitung |5 − 11|
3. Tentukan x jika |x + 4| = 0
4. Hitung |−3|² − |−2|³
5. Sederhanakan |x − 5| jika x = 2
🔴 Tingkat Sulit (5 Soal)
1. Tentukan semua x yang memenuhi |3x + 2| = 11
2. Tentukan HP dari |x − 2| = |2x + 1|
3. Tentukan HP dari |x + 1| + |x − 2| = 5
4. Jika |a − 2| + |a + 3| = 5, tentukan interval nilai a
5. Buktikan bahwa |x + y| ≤ |x| + |y| (Ketaksamaan Segitiga) untuk x = −3, y = 7
2. Jarak Dua Titik pada Garis Bilangan
Perhatikan dua titik A dan B pada garis bilangan berikut. Titik A berada di posisi 2 dan titik B berada di posisi 7.
Jarak antara A(2) dan B(7) adalah 7 − 2 = 5 satuan. Bagaimana jika salah satu titik berada di bilangan negatif?
- Bagaimana rumus jarak dua titik pada garis bilangan?
- Mengapa kita memerlukan nilai mutlak dalam rumus jarak?
- Apakah jarak selalu positif?
Rumus Jarak Dua Titik
Rumus: Jarak antara titik A(a) dan titik B(b) pada garis bilangan adalah:
d(A, B) = |a − b| = |b − a|
Mengapa menggunakan nilai mutlak?
Jarak selalu bernilai positif (atau nol). Tanpa nilai mutlak, selisih a − b bisa menghasilkan bilangan negatif jika a < b. Nilai mutlak menjamin hasilnya selalu ≥ 0.
Contoh Visualisasi:
| Titik A | Titik B | a − b | |a − b| | Jarak |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 7 | 2 − 7 = −5 | |−5| = 5 | 5 |
| −3 | 4 | −3 − 4 = −7 | |−7| = 7 | 7 |
| −5 | −2 | −5 − (−2) = −3 | |−3| = 3 | 3 |
| 6 | 6 | 6 − 6 = 0 | |0| = 0 | 0 |
Sifat Jarak:
- d(A, B) ≥ 0 (selalu non-negatif)
- d(A, B) = 0 ⇔ A dan B berimpit
- d(A, B) = d(B, A) (simetri)
- d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C) (ketaksamaan segitiga)
Hitunglah jarak antara titik-titik berikut:
a) A(3) dan B(10): d = |3 − 10| = |−7| = 7
b) P(−4) dan Q(5): d = |−4 − 5| = |−9| = 9
c) M(−6) dan N(−1): d = |−6 − (−1)| = |−5| = 5
Kesimpulan: Jarak antara dua titik A(a) dan B(b) pada garis bilangan dinyatakan sebagai |a − b|. Nilai mutlak diperlukan agar jarak selalu bernilai non-negatif, tidak bergantung pada urutan titik mana yang dikurangi lebih dulu.
📝 Contoh Soal — Jarak Dua Titik pada Garis Bilangan
🟢 Tingkat Mudah (10 Soal)
1. Tentukan jarak antara titik A(3) dan B(8)
2. Tentukan jarak antara titik P(1) dan Q(6)
3. Tentukan jarak antara titik M(0) dan N(9)
4. Tentukan jarak antara titik A(−2) dan B(5)
5. Tentukan jarak antara titik C(−4) dan D(−1)
6. Tentukan jarak antara titik E(4) dan F(4)
7. Tentukan jarak antara titik G(−7) dan H(0)
8. Tentukan jarak antara titik K(2) dan L(11)
9. Tentukan jarak antara titik R(−5) dan S(−5)
10. Tentukan jarak antara titik T(−3) dan U(6)
🟠 Tingkat Sedang (5 Soal)
1. Jarak titik A(x) ke titik B(3) adalah 5. Tentukan nilai x.
|x − 3| = 5
Kasus 1: x − 3 = 5 → x = 8
Kasus 2: x − 3 = −5 → x = −2
Jadi x = 8 atau x = −2.
2. Tentukan jarak antara titik P(−3,5) dan Q(4,5)
3. Titik C terletak di tengah-tengah antara A(−4) dan B(6). Di mana posisi C?
Titik tengah = (−4 + 6)/2 = 2/2 = 1.
Verifikasi: d(A,C) = |−4 − 1| = 5, d(C,B) = |1 − 6| = 5. ✓
4. Tentukan jarak antara titik A(⅔) dan B(−⁴⁄₃)
5. Diketahui d(A, B) = 10 dengan A(−3). Jika B di sebelah kanan A, tentukan B.
B di kanan A berarti b > −3.
|−3 − b| = 10 dan b > −3, maka −3 − b = −10 → b = 7.
Jadi B(7).
🔴 Tingkat Sulit (5 Soal)
1. Tentukan semua titik x pada garis bilangan yang berjarak sama dari titik −2 dan titik 6.
|x − (−2)| = |x − 6|
|x + 2| = |x − 6|
Kuadratkan: (x+2)² = (x−6)²
x² + 4x + 4 = x² − 12x + 36
16x = 32 → x = 2
Verifikasi: |2+2| = 4 dan |2−6| = 4 ✓
2. Tentukan semua nilai x yang memenuhi |x − 1| + |x − 5| = 4
Jarak antara 1 dan 5 adalah |1−5| = 4.
|x−1| + |x−5| = 4 berarti x berada di antara (atau tepat di) titik 1 dan 5.
Jadi HP = {x | 1 ≤ x ≤ 5} atau [1, 5].
3. Titik P(x) berjarak 3 dari titik A(−1) dan berjarak 4 dari titik B(6). Tentukan x.
|x − (−1)| = 3 → |x+1| = 3 → x = 2 atau x = −4
|x − 6| = 4 → x = 10 atau x = 2
Yang memenuhi kedua syarat: x = 2.
4. Tentukan semua titik x sehingga |x + 3| − |x − 2| = 3
Titik kritis: x = −3 dan x = 2.
x < −3: (−x−3) − (−x+2) = −5 ≠ 3 ✗
−3 ≤ x < 2: (x+3) − (−x+2) = 2x + 1 = 3 → x = 1 ✓ (karena −3 ≤ 1 < 2)
x ≥ 2: (x+3) − (x−2) = 5 ≠ 3 ✗
HP = {1}.
5. Diketahui tiga titik A(a), B(b), C(c) pada garis bilangan dengan a < b < c. Buktikan bahwa d(A,C) = d(A,B) + d(B,C).
Karena a < b < c:
d(A,C) = |a − c| = c − a (karena c > a)
d(A,B) = |a − b| = b − a (karena b > a)
d(B,C) = |b − c| = c − b (karena c > b)
d(A,B) + d(B,C) = (b−a) + (c−b) = c − a = d(A,C) ✓
Terbukti.
🏋️ Latihan Soal — Jarak Dua Titik pada Garis Bilangan
🟢 Tingkat Mudah (10 Soal)
1. Tentukan jarak antara titik A(2) dan B(9)
2. Tentukan jarak antara titik P(−1) dan Q(4)
3. Tentukan jarak antara titik M(−6) dan N(−2)
4. Tentukan jarak antara titik C(0) dan D(−8)
5. Tentukan jarak antara titik E(5) dan F(12)
6. Tentukan jarak antara titik G(−3) dan H(3)
7. Tentukan jarak antara titik K(−10) dan L(−4)
8. Tentukan jarak antara titik R(7) dan S(7)
9. Tentukan jarak antara titik T(1,5) dan U(4,5)
10. Tentukan jarak antara titik V(−2) dan W(8)
🟠 Tingkat Sedang (5 Soal)
1. Jarak titik X(x) ke titik A(4) adalah 6. Tentukan x.
2. Tentukan titik tengah dari A(−7) dan B(3)
3. Diketahui d(P, Q) = 8 dengan P(−2). Tentukan semua kemungkinan Q.
4. Tentukan jarak antara titik A(−²⁄₃) dan B(⁴⁄₃)
5. Titik M di kiri titik N(5) dengan jarak 9. Tentukan M.
🔴 Tingkat Sulit (5 Soal)
1. Tentukan semua x yang berjarak sama dari titik −4 dan titik 8
2. Tentukan HP dari |x − 2| + |x − 8| = 6
3. Tentukan x jika |x + 1| = 2|x − 3|
4. Tentukan semua x yang memenuhi |x − 3| + |x + 1| = 8
5. Titik P(x) berjarak 2 dari A(1) dan berjarak 5 dari B(8). Tentukan semua kemungkinan x.