Persamaan Nilai Mutlak
Matematika Wajib Kelas X SMA/MA
1. Pengertian Nilai Mutlak
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan garis bilangan berikut. Amati jarak titik-titik dari angka 0:
Perhatikan bahwa titik −2 dan titik 2 memiliki jarak yang sama dari titik 0, yaitu 2 satuan. Jarak ini selalu bernilai positif atau nol.
Kegiatan: Menanya
- Bagaimana cara menyatakan jarak suatu bilangan dari nol secara matematis?
- Mengapa jarak selalu bernilai positif atau nol?
- Apa hubungan antara nilai suatu bilangan dengan jaraknya dari nol?
📐 Definisi Nilai Mutlak
Nilai mutlak dari bilangan real x, ditulis |x|, didefinisikan sebagai jarak bilangan x dari titik 0 pada garis bilangan.
Secara matematis:
|x| = x, jika x ≥ 0
|x| = −x, jika x < 0
Contoh:
- |5| = 5 (karena 5 ≥ 0)
- |−3| = −(−3) = 3 (karena −3 < 0)
- |0| = 0
Kegiatan: Menalar
Dari definisi di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa:
- Nilai mutlak selalu menghasilkan bilangan non-negatif (≥ 0)
- |x| = |−x| untuk setiap bilangan real x
- |x| = 0 jika dan hanya jika x = 0
2. Sifat-sifat Nilai Mutlak
Untuk setiap bilangan real a dan b, berlaku sifat-sifat berikut:
| No | Sifat | Keterangan |
|---|---|---|
| 1 | |a| ≥ 0 | Selalu non-negatif |
| 2 | |a| = |−a| | Simetri terhadap nol |
| 3 | |a · b| = |a| · |b| | Perkalian |
| 4 | |a/b| = |a|/|b|, b ≠ 0 | Pembagian |
| 5 | |a + b| ≤ |a| + |b| | Ketaksamaan segitiga |
| 6 | |a|² = a² | Kuadrat nilai mutlak |
3. Persamaan Nilai Mutlak
📐 Definisi Persamaan Nilai Mutlak
Persamaan nilai mutlak adalah persamaan yang memuat variabel di dalam tanda nilai mutlak.
Bentuk umum persamaan nilai mutlak:
Bentuk 1: |f(x)| = c (dengan c ≥ 0)
Bentuk 2: |f(x)| = |g(x)|
Bentuk 3: |f(x)| = g(x)
Kegiatan: Mencoba
Cobalah tentukan nilai x yang memenuhi persamaan |x| = 3.
Dari definisi nilai mutlak:
- Jika x ≥ 0, maka x = 3 ✓
- Jika x < 0, maka −x = 3, sehingga x = −3 ✓
Jadi, HP = {−3, 3}
4. Menentukan Himpunan Penyelesaian Persamaan Nilai Mutlak
A. Bentuk |f(x)| = c
Teorema: Jika c ≥ 0, maka:
Jika c < 0, maka persamaan tidak memiliki penyelesaian (HP = ∅).
B. Bentuk |f(x)| = |g(x)|
Teorema:
C. Bentuk |f(x)| = g(x)
Teorema:
Syarat: g(x) ≥ 0 (hasil harus diperiksa/diverifikasi)
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman sebangku:
- Jelaskan dengan kata-katamu sendiri mengapa |x| = −5 tidak memiliki penyelesaian.
- Buat contoh persamaan nilai mutlak yang memiliki tepat satu penyelesaian.
- Buat contoh persamaan nilai mutlak yang memiliki tepat dua penyelesaian.
5. Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH Contoh Soal Tingkat Mudah
Contoh 1. Tentukan HP dari |x| = 7
Pembahasan:
|x| = 7
x = 7 atau x = −7
HP = {−7, 7}
Contoh 2. Tentukan HP dari |x| = 0
Pembahasan:
|x| = 0
x = 0
HP = {0}
Contoh 3. Tentukan HP dari |x − 2| = 5
Pembahasan:
|x − 2| = 5
Kemungkinan 1: x − 2 = 5 → x = 7
Kemungkinan 2: x − 2 = −5 → x = −3
HP = {−3, 7}
Contoh 4. Tentukan HP dari |x + 4| = 3
Pembahasan:
|x + 4| = 3
Kemungkinan 1: x + 4 = 3 → x = −1
Kemungkinan 2: x + 4 = −3 → x = −7
HP = {−7, −1}
Contoh 5. Tentukan HP dari |2x| = 10
Pembahasan:
|2x| = 10
Kemungkinan 1: 2x = 10 → x = 5
Kemungkinan 2: 2x = −10 → x = −5
HP = {−5, 5}
Contoh 6. Tentukan HP dari |3x − 6| = 0
Pembahasan:
|3x − 6| = 0
3x − 6 = 0
3x = 6 → x = 2
HP = {2}
Contoh 7. Tentukan HP dari |x| = −4
Pembahasan:
Karena nilai mutlak selalu ≥ 0, maka tidak ada bilangan real yang memenuhi |x| = −4.
HP = ∅ (himpunan kosong)
Contoh 8. Tentukan HP dari |x − 1| = 4
Pembahasan:
|x − 1| = 4
Kemungkinan 1: x − 1 = 4 → x = 5
Kemungkinan 2: x − 1 = −4 → x = −3
HP = {−3, 5}
Contoh 9. Tentukan HP dari |5 − x| = 2
Pembahasan:
|5 − x| = 2
Kemungkinan 1: 5 − x = 2 → x = 3
Kemungkinan 2: 5 − x = −2 → x = 7
HP = {3, 7}
Contoh 10. Tentukan HP dari |4x + 8| = 12
Pembahasan:
|4x + 8| = 12
Kemungkinan 1: 4x + 8 = 12 → 4x = 4 → x = 1
Kemungkinan 2: 4x + 8 = −12 → 4x = −20 → x = −5
HP = {−5, 1}
SEDANG Contoh Soal Tingkat Sedang
Contoh 11. Tentukan HP dari |2x − 3| = |x + 1|
Pembahasan:
Bentuk |f(x)| = |g(x)| maka:
Kemungkinan 1: 2x − 3 = x + 1
2x − x = 1 + 3 → x = 4
Kemungkinan 2: 2x − 3 = −(x + 1)
2x − 3 = −x − 1
3x = 2 → x = 2/3
HP = {2/3, 4}
Contoh 12. Tentukan HP dari |x + 3| = 2x − 1
Pembahasan:
Bentuk |f(x)| = g(x), syarat: g(x) ≥ 0, yaitu 2x − 1 ≥ 0 → x ≥ 1/2
Kemungkinan 1: x + 3 = 2x − 1 → x = 4
Cek: x = 4 ≥ 1/2 ✓ dan |4+3| = 7 = 2(4)−1 = 7 ✓
Kemungkinan 2: −(x + 3) = 2x − 1
−x − 3 = 2x − 1 → −3x = 2 → x = −2/3
Cek: x = −2/3 < 1/2, maka 2(−2/3)−1 = −7/3 < 0 ✗ (tidak memenuhi syarat)
HP = {4}
Contoh 13. Tentukan HP dari |3x − 2| = |x + 4|
Pembahasan:
Kemungkinan 1: 3x − 2 = x + 4 → 2x = 6 → x = 3
Kemungkinan 2: 3x − 2 = −(x + 4) → 3x − 2 = −x − 4 → 4x = −2 → x = −1/2
HP = {−1/2, 3}
Contoh 14. Tentukan HP dari |x² − 4| = 5
Pembahasan:
Kemungkinan 1: x² − 4 = 5 → x² = 9 → x = ±3
Kemungkinan 2: x² − 4 = −5 → x² = −1 (tidak ada solusi real)
HP = {−3, 3}
Contoh 15. Tentukan HP dari 2|x − 1| + 3 = 9
Pembahasan:
2|x − 1| + 3 = 9
2|x − 1| = 6
|x − 1| = 3
Kemungkinan 1: x − 1 = 3 → x = 4
Kemungkinan 2: x − 1 = −3 → x = −2
HP = {−2, 4}
SULIT Contoh Soal Tingkat Sulit
Contoh 16. Tentukan HP dari |x − 2| + |x + 3| = 7
Pembahasan:
Kita bagi menjadi 3 interval berdasarkan titik kritis x = 2 dan x = −3:
Interval 1: x < −3
−(x − 2) + (−(x + 3)) = 7 → −x + 2 − x − 3 = 7 → −2x − 1 = 7 → x = −4
Cek: −4 < −3 ✓
Interval 2: −3 ≤ x < 2
−(x − 2) + (x + 3) = 7 → −x + 2 + x + 3 = 7 → 5 = 7 (kontradiksi, tidak ada solusi)
Interval 3: x ≥ 2
(x − 2) + (x + 3) = 7 → 2x + 1 = 7 → x = 3
Cek: 3 ≥ 2 ✓
HP = {−4, 3}
Contoh 17. Tentukan HP dari |x² − 5x + 4| = |x − 1|
Pembahasan:
Faktorkan: x² − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4)
Maka: |(x − 1)(x − 4)| = |x − 1|
Kasus 1: x = 1 → |0| = |0| ✓
Kasus 2: x ≠ 1, bagi kedua ruas dengan |x − 1|:
|x − 4| = 1
x − 4 = 1 → x = 5
x − 4 = −1 → x = 3
HP = {1, 3, 5}
Contoh 18. Tentukan HP dari |2x − 1| = x² − 2x
Pembahasan:
Syarat: x² − 2x ≥ 0 → x(x − 2) ≥ 0 → x ≤ 0 atau x ≥ 2
Kemungkinan 1: 2x − 1 = x² − 2x
x² − 4x + 1 = 0 → x = (4 ± √12)/2 = 2 ± √3
x = 2 + √3 ≈ 3.73 (memenuhi x ≥ 2) ✓
x = 2 − √3 ≈ 0.27 (tidak memenuhi syarat) ✗
Kemungkinan 2: −(2x − 1) = x² − 2x
−2x + 1 = x² − 2x → x² = 1 → x = ±1
x = −1 (memenuhi x ≤ 0) ✓
x = 1 (tidak memenuhi syarat) ✗
HP = {−1, 2 + √3}
Contoh 19. Tentukan HP dari ||x − 3| − 2| = 1
Pembahasan:
Misalkan u = |x − 3| maka |u − 2| = 1
u − 2 = 1 → u = 3 atau u − 2 = −1 → u = 1
Untuk u = 3: |x − 3| = 3 → x = 6 atau x = 0
Untuk u = 1: |x − 3| = 1 → x = 4 atau x = 2
HP = {0, 2, 4, 6}
Contoh 20. Tentukan HP dari |x² − 3x| = |2x − 4|
Pembahasan:
Kemungkinan 1: x² − 3x = 2x − 4
x² − 5x + 4 = 0 → (x − 1)(x − 4) = 0 → x = 1 atau x = 4
Kemungkinan 2: x² − 3x = −(2x − 4)
x² − 3x = −2x + 4 → x² − x − 4 = 0
x = (1 ± √17)/2
HP = {1, 4, (1−√17)/2, (1+√17)/2}
6. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut untuk menguji pemahamanmu!
MUDAH Latihan Tingkat Mudah
- Tentukan HP dari |x| = 9
- Tentukan HP dari |x − 5| = 3
- Tentukan HP dari |x + 2| = 6
- Tentukan HP dari |3x| = 15
- Tentukan HP dari |2x − 4| = 8
- Tentukan HP dari |x + 7| = 0
- Tentukan HP dari |4x − 12| = 4
- Tentukan HP dari |x| = −2
- Tentukan HP dari |x − 10| = 5
- Tentukan HP dari |6 − x| = 4
SEDANG Latihan Tingkat Sedang
- Tentukan HP dari |3x − 1| = |x + 5|
- Tentukan HP dari |x + 2| = 3x − 4
- Tentukan HP dari 3|x − 2| − 5 = 7
- Tentukan HP dari |x² − 9| = 7
- Tentukan HP dari |2x + 1| = |4 − x|
SULIT Latihan Tingkat Sulit
- Tentukan HP dari |x − 1| + |x + 2| = 5
- Tentukan HP dari ||x + 1| − 3| = 2
- Tentukan HP dari |x² − 4x| = |3x − 6|
- Tentukan HP dari |x − 3| = x² − 5x + 6
- Tentukan HP dari |x + 1| + |x − 2| + |x − 4| = 7