Bahan Ajar Bahan Ajar Matematika

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak – Hubungan Grafik dengan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

By admin #Hubungan Grafik dengan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak, #Hubungan Grafik dengan Persamaan Nilai Mutlak, #Hubungan Grafik dengan Pertidaksamaan Nilai Mutlak, #Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Hubungan Grafik dengan Persamaan & Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Bagian 1: Hubungan Grafik dengan Persamaan Nilai Mutlak

Memahami bagaimana grafik fungsi nilai mutlak terbentuk dan menyelesaikan persamaan nilai mutlak secara grafis maupun aljabar.

📖 Materi

Definisi Nilai Mutlak:
Nilai mutlak dari x, ditulis |x|, didefinisikan sebagai:

|x| = x,   jika x ≥ 0
|x| = −x,   jika x < 0
Artinya nilai mutlak selalu menghasilkan bilangan non-negatif (≥ 0).
Persamaan Nilai Mutlak:
Bentuk umum: |f(x)| = c dengan c ≥ 0

|f(x)| = c   ⟺   f(x) = c   atau   f(x) = −c
Jika c < 0, maka persamaan tidak memiliki solusi karena nilai mutlak selalu ≥ 0.
Bentuk |f(x)| = |g(x)|:
|f(x)| = |g(x)|   ⟺   f(x) = g(x)   atau   f(x) = −g(x)

📊 Grafik Fungsi Nilai Mutlak

Grafik y = |f(x)| diperoleh dari grafik y = f(x) dengan cara:

  1. Bagian grafik yang berada di atas atau pada sumbu-x (y ≥ 0) tetap.
  2. Bagian grafik yang berada di bawah sumbu-x (y < 0) dicerminkan ke atas terhadap sumbu-x.

Contoh: Grafik y = |x − 2|

Grafik y = |x − 2| berbentuk huruf V dengan titik puncak di (2, 0).

Contoh: Grafik y = |x² − 4|

Bagian parabola di bawah sumbu-x dicerminkan ke atas.

📋 Tabel Nilai y = |x − 2|

x −1 0 1 2 3 4 5
x − 2 −3 −2 −1 0 1 2 3
|x − 2| 3 2 1 0 1 2 3

🔑 Menyelesaikan Persamaan dengan Grafik

Solusi dari |f(x)| = c adalah nilai x di mana grafik y = |f(x)| berpotongan dengan garis y = c.

Solusi |x − 2| = 3 adalah x = −1 dan x = 5 (titik potong).

🎯 Kegiatan Pembelajaran (5M)

1. Mengamati

Amatilah grafik y = |x − 2| di atas. Perhatikan:

  • Bagaimana bentuk grafiknya? Apakah menyerupai huruf V?
  • Di mana titik puncak (titik terendah) grafik tersebut?
  • Apakah ada bagian grafik yang bernilai negatif (di bawah sumbu-x)?
  • Bandingkan dengan grafik y = x − 2 (tanpa nilai mutlak).
2. Menanya

Setelah mengamati, ajukan pertanyaan seperti:

  • Mengapa grafik nilai mutlak tidak pernah berada di bawah sumbu-x?
  • Bagaimana cara menentukan titik puncak grafik y = |ax + b|?
  • Berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan |x − 2| = c untuk berbagai nilai c?
  • Apa yang terjadi jika c = 0? Jika c < 0?
3. Menalar

Berdasarkan pengamatan, kita dapat menyimpulkan:

  • Persamaan |f(x)| = c memiliki 2 solusi jika c > 0 dan garis y = c memotong grafik di dua titik.
  • Memiliki 1 solusi jika c = 0 (menyinggung titik puncak).
  • Memiliki 0 solusi jika c < 0.
  • Titik puncak y = |ax + b| terletak di x = −b/a.
4. Mencoba

Kerjakan langkah-langkah berikut:

  1. Buatlah tabel nilai untuk y = |2x − 6| dengan x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
  2. Gambarkan grafiknya pada kertas berpetak.
  3. Tentukan solusi |2x − 6| = 4 menggunakan grafik tersebut.
  4. Verifikasi jawaban secara aljabar.
5. Mengkomunikasikan

Presentasikan hasil kerja kalian:

  • Jelaskan langkah-langkah menggambar grafik nilai mutlak.
  • Tunjukkan hubungan antara solusi aljabar dan titik potong pada grafik.
  • Diskusikan: Kapan metode grafik lebih mudah dibandingkan metode aljabar?

✏️ Contoh Soal — Persamaan Nilai Mutlak

Mudah Contoh Soal 1–10

1. Tentukan nilai x yang memenuhi |x| = 5.
▶ Lihat Pembahasan
2. Selesaikan |x − 3| = 7.
▶ Lihat Pembahasan
3. Selesaikan |x + 1| = 4.
▶ Lihat Pembahasan
4. Selesaikan |2x| = 10.
▶ Lihat Pembahasan
5. Selesaikan |x − 1| = 0.
▶ Lihat Pembahasan
6. Selesaikan |3x − 6| = 9.
▶ Lihat Pembahasan
7. Selesaikan |x + 5| = 2.
▶ Lihat Pembahasan
8. Selesaikan |4x + 8| = 0.
▶ Lihat Pembahasan
9. Selesaikan |x| = −3.
▶ Lihat Pembahasan
10. Selesaikan |x − 4| = 6.
▶ Lihat Pembahasan

Sedang Contoh Soal 11–15

11. Selesaikan |2x − 1| = |x + 3|.
▶ Lihat Pembahasan
12. Selesaikan |x² − 4| = 5.
▶ Lihat Pembahasan
13. Selesaikan |3x + 2| = 2x + 5.
▶ Lihat Pembahasan
14. Selesaikan 2|x − 1| + 3 = 9.
▶ Lihat Pembahasan
15. Selesaikan |x − 2| + |x + 1| = 5.
▶ Lihat Pembahasan

Sulit Contoh Soal 16–20

16. Tentukan semua nilai x yang memenuhi |x² − 5x + 6| = |x² − 3x + 2|.
▶ Lihat Pembahasan
17. Tentukan banyaknya solusi persamaan |x² − 4x + 3| = k untuk setiap nilai k ≥ 0.
▶ Lihat Pembahasan
18. Selesaikan ||x − 1| − 3| = 2.
▶ Lihat Pembahasan
19. Tentukan semua solusi |x − 1| + |x − 4| + |x − 7| = 10.
▶ Lihat Pembahasan
20. Jika |x² − 2x − 3| = |x² + 2x − 8|, tentukan semua solusi.
▶ Lihat Pembahasan

📝 Latihan Soal — Persamaan Nilai Mutlak

Mudah

  1. Selesaikan |x| = 8
  2. Selesaikan |x − 5| = 3
  3. Selesaikan |x + 2| = 6
  4. Selesaikan |3x| = 12
  5. Selesaikan |x − 7| = 0
  6. Selesaikan |2x − 4| = 8
  7. Selesaikan |x + 3| = 5
  8. Selesaikan |x| = −2
  9. Selesaikan |5x − 10| = 15
  10. Selesaikan |x − 6| = 4

Sedang

  1. Selesaikan |3x − 2| = |x + 4|
  2. Selesaikan |x² − 9| = 7
  3. Selesaikan 3|x − 2| − 1 = 8
  4. Selesaikan |2x + 1| = x + 4
  5. Selesaikan |x − 3| + |x + 1| = 6

Sulit

  1. Selesaikan ||x + 2| − 5| = 3
  2. Tentukan banyaknya solusi |x² − 6x + 8| = k untuk k = 0, k = 1, dan k = 2.
  3. Selesaikan |x − 1| + |x − 3| + |x − 5| = 8
  4. Selesaikan |x² − x − 6| = |x² + x − 2|
  5. Tentukan semua nilai a agar persamaan |x² − 4| = a memiliki tepat 4 solusi.

Bagian 2: Hubungan Grafik dengan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Memahami solusi pertidaksamaan nilai mutlak melalui interpretasi grafik.

📖 Materi

Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak:

Tipe 1 (kurang dari):
|f(x)| < c  (c > 0)   ⟺   −c < f(x) < c

|f(x)| ≤ c  (c > 0)   ⟺   −c ≤ f(x) ≤ c
Tipe 2 (lebih dari):
|f(x)| > c  (c > 0)   ⟺   f(x) < −c   atau   f(x) > c

|f(x)| ≥ c  (c > 0)   ⟺   f(x) ≤ −c   atau   f(x) ≥ c
Interpretasi Grafik:
  • |f(x)| < c: Daerah di mana grafik y = |f(x)| berada di bawah garis y = c.
  • |f(x)| > c: Daerah di mana grafik y = |f(x)| berada di atas garis y = c.

📊 Visualisasi Pertidaksamaan

Grafik y = |x − 2| dengan daerah |x − 2| < 3 (arsiran)

Daerah solusi |x − 2| < 3 adalah −1 < x < 5 (di bawah garis y = 3).

Grafik y = |x − 2| dengan daerah |x − 2| > 3 (arsiran)

Daerah solusi |x − 2| > 3 adalah x < −1 atau x > 5 (di atas garis y = 3).

📋 Ringkasan dalam Tabel

Pertidaksamaan Arti Solusi Pada Grafik
|x−a| < c Jarak x ke a kurang dari c a−c < x < a+c Di bawah garis y=c
|x−a| ≤ c Jarak x ke a paling banyak c a−c ≤ x ≤ a+c Di bawah/pada garis y=c
|x−a| > c Jarak x ke a lebih dari c x < a−c atau x > a+c Di atas garis y=c
|x−a| ≥ c Jarak x ke a paling sedikit c x ≤ a−c atau x ≥ a+c Di atas/pada garis y=c

🎯 Kegiatan Pembelajaran (5M)

1. Mengamati

Perhatikan dua grafik pertidaksamaan di atas:

  • Pada |x − 2| < 3, bagian grafik mana yang berada di bawah garis y = 3?
  • Pada |x − 2| > 3, bagian grafik mana yang berada di atas garis y = 3?
  • Bagaimana bentuk himpunan solusinya? Interval atau dua sinar?
2. Menanya
  • Mengapa |f(x)| < c menghasilkan satu interval, sedangkan |f(x)| > c menghasilkan dua sinar?
  • Apa yang terjadi pada solusi jika c semakin kecil mendekati 0?
  • Bagaimana jika c = 0? Apakah |f(x)| < 0 memiliki solusi?
3. Menalar
  • |f(x)| < c artinya grafik “terjepit” antara sumbu-x dan garis y = c → interval.
  • |f(x)| > c artinya grafik “melampaui” garis y = c di kedua sisi → dua sinar.
  • |f(x)| < 0 tidak memiliki solusi (nilai mutlak selalu ≥ 0).
  • |f(x)| > 0 solusinya semua x kecuali saat f(x) = 0.
4. Mencoba
  1. Gambarkan grafik y = |2x − 4| pada kertas berpetak.
  2. Gambar garis y = 6 pada grafik yang sama.
  3. Tentukan daerah di mana grafik berada di bawah garis y = 6. Tuliskan solusi |2x − 4| < 6.
  4. Tentukan daerah di mana grafik berada di atas garis y = 6. Tuliskan solusi |2x − 4| > 6.
5. Mengkomunikasikan
  • Jelaskan mengapa bentuk solusi “kurang dari” berupa interval tertutup dan “lebih dari” berupa gabungan dua sinar.
  • Buatlah peta konsep yang menghubungkan definisi nilai mutlak, grafik, dan penyelesaian pertidaksamaan.

✏️ Contoh Soal — Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Mudah Contoh Soal 1–10

1. Selesaikan |x| < 4.
▶ Lihat Pembahasan
2. Selesaikan |x| > 3.
▶ Lihat Pembahasan
3. Selesaikan |x − 1| ≤ 5.
▶ Lihat Pembahasan
4. Selesaikan |x + 2| < 3.
▶ Lihat Pembahasan
5. Selesaikan |x − 3| ≥ 2.
▶ Lihat Pembahasan
6. Selesaikan |2x| < 6.
▶ Lihat Pembahasan
7. Selesaikan |x + 4| > 1.
▶ Lihat Pembahasan
8. Selesaikan |3x − 9| ≤ 6.
▶ Lihat Pembahasan
9. Selesaikan |x − 5| < 0.
▶ Lihat Pembahasan
10. Selesaikan |x| ≥ 0.
▶ Lihat Pembahasan

Sedang Contoh Soal 11–15

11. Selesaikan |2x − 3| < x + 1.
▶ Lihat Pembahasan
12. Selesaikan |x² − 4| ≤ 5.
▶ Lihat Pembahasan
13. Selesaikan 2|x − 1| + 1 > 7.
▶ Lihat Pembahasan
14. Selesaikan |x − 2| < |x + 4|.
▶ Lihat Pembahasan
15. Selesaikan |x + 1| + |x − 3| ≤ 6.
▶ Lihat Pembahasan

Sulit Contoh Soal 16–20

16. Selesaikan |x² − 5x + 4| > 2.
▶ Lihat Pembahasan
17. Selesaikan ||x − 1| − 2| < 1.
▶ Lihat Pembahasan
18. Tentukan himpunan solusi |x − 1|/|x + 2| ≤ 1, x ≠ −2.
▶ Lihat Pembahasan
19. Selesaikan |x − 1| + |x − 4| < |x − 6|.
▶ Lihat Pembahasan
20. Tentukan semua nilai x sehingga |x² − 4| < |2x − 1|.
▶ Lihat Pembahasan

📝 Latihan Soal — Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Mudah

  1. Selesaikan |x| ≤ 6
  2. Selesaikan |x| > 5
  3. Selesaikan |x − 4| < 2
  4. Selesaikan |x + 3| ≤ 4
  5. Selesaikan |x − 1| ≥ 3
  6. Selesaikan |2x| < 8
  7. Selesaikan |x + 5| > 2
  8. Selesaikan |3x − 6| ≤ 9
  9. Selesaikan |x| < −1
  10. Selesaikan |x − 2| ≥ 0

Sedang

  1. Selesaikan |3x + 1| < x + 5
  2. Selesaikan |x² − 1| ≤ 3
  3. Selesaikan 3|x + 2| − 5 > 4
  4. Selesaikan |x − 3| > |x + 1|
  5. Selesaikan |x − 1| + |x − 5| ≤ 8

Sulit

  1. Selesaikan ||x + 1| − 3| ≤ 2
  2. Selesaikan |x² − 3x + 2| < |x − 1|
  3. Selesaikan |x − 2|/(|x + 1|) < 2, x ≠ −1
  4. Selesaikan |x − 1| + |x − 3| + |x − 7| < 12
  5. Tentukan semua nilai a > 0 agar |x² − 4| ≤ a memiliki solusi berupa interval.

📐 Materi Nilai Mutlak — Hubungan Grafik dengan Persamaan & Pertidaksamaan

By admin

Related Post

Bahan Ajar Matematika

SPLK – Sistem Persamaan dengan Dua Peubah, Satu Linear dan Satu Kuadrat yang Bentuk Kuadratnya Dapat Difaktorkan

admin
Bahan Ajar Matematika

SPLK – Sistem Persamaan dengan Dua Variabel, Satu Linear dan Satu Kuadrat yang Berbentuk Kuadratnya Tak Dapat Difaktorkan

admin
Bahan Ajar Matematika

Logika Matematika – Bukti Tidak Langsung

admin

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

You Missed

Bisnis dan Keuangan

Perangkat Pertama OpenAI Berupa Speaker AI Tanpa Layar

Bisnis dan Keuangan

Terungkap! Begini Wujud Gadget AI Pertama OpenAI yang Disebut Bakal Saingi Apple

Konten edukasi ringan tapi informatif

Lingkungan Belajar Aman, Nyaman, dan Menggembirakan (LBANM)

Tren gaya hidup sehat atau "soft life" Uncategorized

Eksplorasi Diri : Mengenali Potensi yang Ada (Analisis SWOT)

You cannot copy content of this page