Persamaan dan Pertidaksamaan Linear – Pengertian Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

📘 Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai situasi yang melibatkan persamaan dan pertidaksamaan. Misalnya, menghitung harga barang, membandingkan berat benda, atau merencanakan anggaran. Modul ini akan membahas dua konsep dasar:

Persamaan Linear — hubungan kesetaraan dua ekspresi
Pertidaksamaan Linear — hubungan ketidaksetaraan dua ekspresi

Simbol-Simbol Penting

Simbol	Dibaca	Contoh
=	sama dengan	x + 3 = 7
≠	tidak sama dengan	x ≠ 5
<	kurang dari	x < 10
>	lebih dari	x > 2
≤	kurang dari atau sama dengan	x ≤ 8
≥	lebih dari atau sama dengan	x ≥ 1

📐 A. Pengertian Persamaan Linear

🔍 Mengamati

Perhatikan situasi berikut: Ani membeli 2 buku dan membayar Rp10.000. Jika harga satu buku adalah x, maka dapat ditulis:

2x = 10.000

Pernyataan di atas adalah contoh persamaan linear satu variabel.

Definisi

Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV) adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=), di mana variabelnya berpangkat satu (linear).

Bentuk umum:

ax + b = 0

dengan a ≠ 0, a dan b adalah konstanta, dan x adalah variabel.

Unsur-Unsur Persamaan Linear

Unsur	Penjelasan	Contoh pada 3x + 5 = 14
Variabel	Simbol yang nilainya belum diketahui	x
Koefisien	Bilangan yang menyertai variabel	3 (koefisien dari x)
Konstanta	Bilangan yang berdiri sendiri	5 dan 14
Ruas Kiri	Ekspresi di sebelah kiri tanda =	3x + 5
Ruas Kanan	Ekspresi di sebelah kanan tanda =	14

❓ Menanya

Coba pikirkan pertanyaan berikut:

Apa perbedaan persamaan dan bukan persamaan?
Mengapa pangkat variabel harus satu agar disebut linear?
Bagaimana cara menemukan nilai variabel?

Sifat-Sifat Persamaan Linear

Untuk menyelesaikan persamaan linear, kita menggunakan sifat-sifat berikut:

Sifat Penjumlahan: Jika a = b, maka a + c = b + c
Sifat Pengurangan: Jika a = b, maka a − c = b − c
Sifat Perkalian: Jika a = b, maka a × c = b × c
Sifat Pembagian: Jika a = b dan c ≠ 0, maka a ÷ c = b ÷ c

💡 Menalar

Prinsip utama: apa yang dilakukan pada ruas kiri HARUS dilakukan juga pada ruas kanan, agar kesetaraan tetap terjaga. Ini seperti timbangan — jika kita menambahkan berat di sisi kiri, kita harus menambahkan berat yang sama di sisi kanan agar tetap seimbang.

Langkah-Langkah Menyelesaikan PLSV

Sederhanakan masing-masing ruas (jika perlu)
Pindahkan suku yang mengandung variabel ke satu ruas
Pindahkan konstanta ke ruas yang lain
Selesaikan variabel dengan operasi kebalikan
Periksa jawaban dengan substitusi ke persamaan awal

✋ Mencoba

Mari selesaikan: 2x + 6 = 14

Langkah 1: Kurangi kedua ruas dengan 6

2x + 6 − 6 = 14 − 6

2x = 8

Langkah 2: Bagi kedua ruas dengan 2

2x ÷ 2 = 8 ÷ 2

x = 4

Periksa: 2(4) + 6 = 8 + 6 = 14 ✓

📣 Mengkomunikasikan

Dari kegiatan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa:

Persamaan linear adalah kalimat matematika dengan tanda = dan variabel berpangkat satu
Penyelesaian dicari dengan operasi kebalikan pada kedua ruas
Jawaban selalu bisa diverifikasi dengan substitusi

Visualisasi pada Garis Bilangan

Penyelesaian x = 4 ditandai dengan titik pada garis bilangan:

📝 Contoh Soal — Persamaan Linear

Mudah Contoh Soal 1–10

1. Selesaikan: x + 5 = 12

▶ Lihat Pembahasan

x + 5 = 12

x = 12 − 5

x = 7

Periksa: 7 + 5 = 12 ✓

2. Selesaikan: x − 3 = 10

▶ Lihat Pembahasan

x − 3 = 10

x = 10 + 3

x = 13

Periksa: 13 − 3 = 10 ✓

3. Selesaikan: 3x = 18

▶ Lihat Pembahasan

3x = 18

x = 18 ÷ 3

x = 6

Periksa: 3(6) = 18 ✓

4. Selesaikan: x / 4 = 5

▶ Lihat Pembahasan

x / 4 = 5

x = 5 × 4

x = 20

Periksa: 20 / 4 = 5 ✓

5. Selesaikan: 2x + 1 = 9

▶ Lihat Pembahasan

2x + 1 = 9

2x = 9 − 1 = 8

x = 8 ÷ 2

x = 4

Periksa: 2(4) + 1 = 9 ✓

6. Selesaikan: 5x − 10 = 0

▶ Lihat Pembahasan

5x − 10 = 0

5x = 10

x = 2

Periksa: 5(2) − 10 = 0 ✓

7. Selesaikan: x + 8 = 8

▶ Lihat Pembahasan

x + 8 = 8

x = 8 − 8

x = 0

Periksa: 0 + 8 = 8 ✓

8. Selesaikan: 4x = −12

▶ Lihat Pembahasan

4x = −12

x = −12 ÷ 4

x = −3

Periksa: 4(−3) = −12 ✓

9. Selesaikan: x − 7 = −2

▶ Lihat Pembahasan

x − 7 = −2

x = −2 + 7

x = 5

Periksa: 5 − 7 = −2 ✓

10. Selesaikan: 6x + 3 = 21

▶ Lihat Pembahasan

6x + 3 = 21

6x = 18

x = 3

Periksa: 6(3) + 3 = 21 ✓

Sedang Contoh Soal 11–15

11. Selesaikan: 3x + 7 = 2x + 12

▶ Lihat Pembahasan

3x + 7 = 2x + 12

3x − 2x = 12 − 7

x = 5

Periksa: 3(5)+7 = 22; 2(5)+12 = 22 ✓

12. Selesaikan: 2(x + 4) = 18

▶ Lihat Pembahasan

2(x + 4) = 18

2x + 8 = 18

2x = 10

x = 5

Periksa: 2(5+4) = 2(9) = 18 ✓

13. Selesaikan: 5x − 3 = 3x + 9

▶ Lihat Pembahasan

5x − 3 = 3x + 9

5x − 3x = 9 + 3

2x = 12

x = 6

Periksa: 5(6)−3 = 27; 3(6)+9 = 27 ✓

14. Selesaikan: (x + 5)/3 = 4

▶ Lihat Pembahasan

(x + 5)/3 = 4

x + 5 = 12

x = 7

Periksa: (7+5)/3 = 12/3 = 4 ✓

15. Harga 3 pensil dan 1 buku adalah Rp11.000. Harga 1 buku Rp5.000. Berapa harga 1 pensil?

▶ Lihat Pembahasan

Misalkan harga 1 pensil = x

3x + 5.000 = 11.000

3x = 6.000

x = 2.000

Jadi harga 1 pensil = Rp2.000

Periksa: 3(2.000) + 5.000 = 11.000 ✓

Sulit Contoh Soal 16–20

16. Selesaikan: 3(2x − 1) − 2(x + 4) = 5

▶ Lihat Pembahasan

6x − 3 − 2x − 8 = 5

4x − 11 = 5

4x = 16

x = 4

Periksa: 3(8−1) − 2(4+4) = 3(7) − 2(8) = 21 − 16 = 5 ✓

17. Selesaikan: (2x + 3)/5 = (x − 1)/2

▶ Lihat Pembahasan

Kalikan silang: 2(2x + 3) = 5(x − 1)

4x + 6 = 5x − 5

6 + 5 = 5x − 4x

x = 11

Periksa: (22+3)/5 = 25/5 = 5; (11−1)/2 = 10/2 = 5 ✓

18. Selesaikan: 4(x − 2) + 3 = 2(3x + 1) − 7

▶ Lihat Pembahasan

4x − 8 + 3 = 6x + 2 − 7

4x − 5 = 6x − 5

4x − 6x = −5 + 5

−2x = 0

x = 0

Periksa: 4(−2)+3 = −5; 2(1)−7 = −5 ✓

19. Umur ayah 4 kali umur Budi. Lima tahun lagi, umur ayah menjadi 3 kali umur Budi. Berapa umur Budi sekarang?

▶ Lihat Pembahasan

Misalkan umur Budi = x, maka umur ayah = 4x

Lima tahun lagi: 4x + 5 = 3(x + 5)

4x + 5 = 3x + 15

x = 10

Umur Budi = 10 tahun, umur ayah = 40 tahun

Periksa: 5 tahun lagi → 45 = 3 × 15 ✓

20. Selesaikan: (x/3) + (x/4) = 7

▶ Lihat Pembahasan

KPK dari 3 dan 4 adalah 12. Kalikan seluruh ruas dengan 12:

4x + 3x = 84

7x = 84

x = 12

Periksa: 12/3 + 12/4 = 4 + 3 = 7 ✓

✏️ Latihan Soal — Persamaan Linear

Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!

Mudah

1. x + 9 = 15

2. x − 4 = 11

3. 7x = 35

4. x / 5 = 3

5. 2x + 3 = 13

6. 4x − 8 = 0

7. x + 12 = 12

8. 3x = −9

9. x − 6 = −1

10. 8x + 2 = 26

Sedang

11. 4x + 5 = 2x + 17

12. 3(x − 2) = 15

13. 7x − 4 = 5x + 10

14. (x + 8) / 2 = 6

15. Harga 4 pulpen dan 2 penghapus Rp14.000. Harga 1 penghapus Rp1.000. Berapa harga 1 pulpen?

Sulit

16. 2(3x + 1) − 4(x − 3) = 20

17. (3x − 2)/4 = (2x + 1)/3

18. 5(x − 1) + 2 = 3(2x + 3) − 8

19. Umur Ibu 3 kali umur Sari. Empat tahun lalu, umur Ibu 5 kali umur Sari. Berapa umur Sari?

20. (x/2) + (x/5) = 14

📊 B. Pengertian Pertidaksamaan Linear

🔍 Mengamati

Perhatikan situasi: Budi memiliki uang Rp50.000. Ia ingin membeli beberapa buku yang harganya Rp8.000 per buku. Berapa buku maksimal yang bisa ia beli?

8.000x ≤ 50.000

Pernyataan ini menggunakan tanda ≤ (kurang dari atau sama dengan), bukan =. Inilah yang disebut pertidaksamaan linear.

Definisi

Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV) adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan ( < , > , ≤ , ≥ ), di mana variabelnya berpangkat satu.

Bentuk umum:

ax + b < 0 atau ax + b > 0

ax + b ≤ 0 atau ax + b ≥ 0

dengan a ≠ 0

Perbedaan Persamaan dan Pertidaksamaan

Aspek	Persamaan	Pertidaksamaan
Simbol	=	< , > , ≤ , ≥
Penyelesaian	Satu nilai (tepat)	Himpunan nilai (interval)
Visualisasi	Titik pada garis bilangan	Garis/arsiran pada garis bilangan
Contoh	x + 3 = 7 → x = 4	x + 3 < 7 → x < 4

❓ Menanya

Mengapa penyelesaian pertidaksamaan berupa himpunan, bukan satu nilai?
Apa yang terjadi jika kedua ruas dikalikan bilangan negatif?
Bagaimana cara menggambar penyelesaian pada garis bilangan?

Sifat-Sifat Pertidaksamaan Linear

Penjumlahan/Pengurangan: Tanda ketidaksamaan TIDAK BERUBAH
Jika a < b, maka a + c < b + c
Perkalian/Pembagian bilangan positif: Tanda TIDAK BERUBAH
Jika a < b dan c > 0, maka ac < bc
⚠️ Perkalian/Pembagian bilangan negatif: Tanda BERUBAH ARAH
Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc
Ini adalah sifat yang paling sering dilupakan!

💡 Menalar

Mengapa tanda berubah saat dikalikan negatif? Perhatikan:

Kita tahu: 2 < 5

Kalikan dengan −1: −2 ? −5

Karena −2 ada di kanan −5 pada garis bilangan, maka: −2 > −5

Tanda berbalik dari < menjadi >

Notasi Himpunan Penyelesaian

Pertidaksamaan	Notasi Himpunan	Notasi Interval	Garis Bilangan
x < a	{x \| x < a}	(−∞, a)	Lingkaran terbuka ○, arsir ke kiri
x ≤ a	{x \| x ≤ a}	(−∞, a]	Lingkaran tertutup ●, arsir ke kiri
x > a	{x \| x > a}	(a, +∞)	Lingkaran terbuka ○, arsir ke kanan
x ≥ a	{x \| x ≥ a}	[a, +∞)	Lingkaran tertutup ●, arsir ke kanan

Visualisasi: x < 4 pada Garis Bilangan

Lingkaran terbuka (○) berarti 4 tidak termasuk penyelesaian

Visualisasi: x ≥ 2 pada Garis Bilangan

Lingkaran tertutup (●) berarti 2 termasuk penyelesaian

✋ Mencoba

Selesaikan: 3x − 5 > 7

Langkah 1: Tambah 5 pada kedua ruas

3x > 12

Langkah 2: Bagi kedua ruas dengan 3 (positif, tanda tidak berubah)

x > 4

HP = {x | x > 4} atau (4, +∞)

Selesaikan: −2x + 6 ≤ 10

Langkah 1: Kurangi 6 pada kedua ruas

−2x ≤ 4

Langkah 2: Bagi kedua ruas dengan −2 (negatif, tanda BERUBAH!)

x ≥ −2

HP = {x | x ≥ −2} atau [−2, +∞)

📣 Mengkomunikasikan

Pertidaksamaan linear menggunakan tanda <, >, ≤, ≥
Penyelesaiannya berupa himpunan (bukan satu nilai)
Perkalian/pembagian bilangan negatif membalik tanda ketidaksamaan
Penyelesaian divisualisasikan dengan arsiran pada garis bilangan

📝 Contoh Soal — Pertidaksamaan Linear

Mudah Contoh Soal 1–10

1. Selesaikan: x + 4 < 10

▶ Lihat Pembahasan

x + 4 < 10

x < 10 − 4

x < 6

HP = {x | x < 6}

2. Selesaikan: x − 2 > 5

▶ Lihat Pembahasan

x − 2 > 5

x > 7

HP = {x | x > 7}

3. Selesaikan: 2x ≤ 14

▶ Lihat Pembahasan

2x ≤ 14

x ≤ 7

HP = {x | x ≤ 7}

4. Selesaikan: x / 3 ≥ 2

▶ Lihat Pembahasan

x / 3 ≥ 2

x ≥ 6

HP = {x | x ≥ 6}

5. Selesaikan: 3x + 1 < 16

▶ Lihat Pembahasan

3x + 1 < 16

3x < 15

x < 5

HP = {x | x < 5}

6. Selesaikan: 5x − 10 > 0

▶ Lihat Pembahasan

5x > 10

x > 2

HP = {x | x > 2}

7. Selesaikan: x + 7 ≤ 7

▶ Lihat Pembahasan

x ≤ 7 − 7

x ≤ 0

HP = {x | x ≤ 0}

8. Selesaikan: 4x ≥ −20

▶ Lihat Pembahasan

x ≥ −20 ÷ 4

x ≥ −5

HP = {x | x ≥ −5}

9. Selesaikan: x − 3 < −1

▶ Lihat Pembahasan

x < −1 + 3

x < 2

HP = {x | x < 2}

10. Selesaikan: 6x + 2 ≤ 20

▶ Lihat Pembahasan

6x ≤ 18

x ≤ 3

HP = {x | x ≤ 3}

Sedang Contoh Soal 11–15

11. Selesaikan: −3x < 12

▶ Lihat Pembahasan

Bagi dengan −3 (negatif → tanda berubah!)

x > −4

HP = {x | x > −4}

12. Selesaikan: 2x + 5 ≥ x + 9

▶ Lihat Pembahasan

2x − x ≥ 9 − 5

x ≥ 4

HP = {x | x ≥ 4}

13. Selesaikan: 3(x − 1) < 15

▶ Lihat Pembahasan

3x − 3 < 15

3x < 18

x < 6

HP = {x | x < 6}

14. Selesaikan: −2x + 8 > 2

▶ Lihat Pembahasan

−2x > 2 − 8

−2x > −6

Bagi −2 (tanda berubah): x < 3

HP = {x | x < 3}

15. Seorang siswa harus mengumpulkan minimal 70 poin. Ia sudah punya 45 poin. Setiap tugas bernilai 5 poin. Minimal berapa tugas lagi yang harus diselesaikan?

▶ Lihat Pembahasan

45 + 5x ≥ 70

5x ≥ 25

x ≥ 5

Minimal 5 tugas lagi.

Sulit Contoh Soal 16–20

16. Selesaikan: 2(x + 3) − 5 > 3(x − 1)

▶ Lihat Pembahasan

2x + 6 − 5 > 3x − 3

2x + 1 > 3x − 3

1 + 3 > 3x − 2x

4 > x → x < 4

HP = {x | x < 4}

17. Selesaikan: (2x − 1)/3 ≤ (x + 2)/2

▶ Lihat Pembahasan

Kalikan dengan KPK (6):

2(2x − 1) ≤ 3(x + 2)

4x − 2 ≤ 3x + 6

x ≤ 8

HP = {x | x ≤ 8}

18. Selesaikan: −4(x − 2) ≥ 3(2 − x) + 5

▶ Lihat Pembahasan

−4x + 8 ≥ 6 − 3x + 5

−4x + 8 ≥ 11 − 3x

−4x + 3x ≥ 11 − 8

−x ≥ 3

Kalikan −1 (tanda berubah): x ≤ −3

HP = {x | x ≤ −3}

19. Selesaikan: 1 < 2x − 3 ≤ 9 (pertidaksamaan gabungan)

▶ Lihat Pembahasan

Selesaikan dua bagian:

1 < 2x − 3 → 4 < 2x → 2 < x → x > 2

2x − 3 ≤ 9 → 2x ≤ 12 → x ≤ 6

2 < x ≤ 6

HP = {x | 2 < x ≤ 6} atau (2, 6]

20. Sebuah persegi panjang memiliki panjang (2x + 1) cm dan lebar 4 cm. Kelilingnya tidak lebih dari 42 cm. Tentukan nilai x terbesar.

▶ Lihat Pembahasan

Keliling = 2(p + l) ≤ 42

2(2x + 1 + 4) ≤ 42

2(2x + 5) ≤ 42

4x + 10 ≤ 42

4x ≤ 32

x ≤ 8

Nilai x terbesar = 8, sehingga panjang = 17 cm

Periksa: K = 2(17+4) = 42 ≤ 42 ✓

✏️ Latihan Soal — Pertidaksamaan Linear

Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!

Mudah

1. x + 6 < 15

2. x − 5 > 3

3. 4x ≤ 24

4. x / 2 ≥ 5

5. 2x + 3 < 11

6. 3x − 6 > 0

7. x + 10 ≤ 10

8. 5x ≥ −15

9. x − 8 < −3

10. 7x + 1 ≤ 22

Sedang

11. −4x > 16

12. 3x + 2 ≤ x + 14

13. 2(x + 5) > 18

14. −3x + 9 ≥ 0

15. Andi punya uang Rp80.000. Ia ingin membeli kaos seharga Rp15.000 per potong. Maksimal berapa kaos yang bisa ia beli?

Sulit

16. 3(x − 2) + 4 ≤ 2(x + 5)

17. (3x + 1)/2 > (x − 3)/4

18. −5(x + 1) < 2(3 − 2x) + 1

19. −3 ≤ 4x + 5 < 17

20. Segitiga memiliki alas (3x − 2) cm dan tinggi 6 cm. Luasnya minimal 24 cm². Tentukan nilai x minimum.

📌 Rangkuman

Aspek	Persamaan Linear	Pertidaksamaan Linear
Bentuk	ax + b = 0	ax + b < 0 / > 0 / ≤ 0 / ≥ 0
Simbol	=	< , > , ≤ , ≥
Penyelesaian	Satu nilai	Himpunan nilai (interval)
Kali/bagi negatif	Tidak berpengaruh	Tanda berubah arah
Garis bilangan	Titik (●)	Arsiran dengan ○ atau ●

📘 Pendahuluan

Simbol-Simbol Penting

📐 A. Pengertian Persamaan Linear

🔍 Mengamati

Definisi

Unsur-Unsur Persamaan Linear

❓ Menanya

Sifat-Sifat Persamaan Linear

💡 Menalar

Langkah-Langkah Menyelesaikan PLSV

✋ Mencoba

📣 Mengkomunikasikan

Visualisasi pada Garis Bilangan

📝 Contoh Soal — Persamaan Linear

Mudah Contoh Soal 1–10

Sedang Contoh Soal 11–15

Sulit Contoh Soal 16–20

✏️ Latihan Soal — Persamaan Linear

Mudah

Sedang

Sulit

📊 B. Pengertian Pertidaksamaan Linear

🔍 Mengamati

Definisi

Perbedaan Persamaan dan Pertidaksamaan

❓ Menanya

Sifat-Sifat Pertidaksamaan Linear

💡 Menalar

Notasi Himpunan Penyelesaian

Visualisasi: x < 4 pada Garis Bilangan

Visualisasi: x ≥ 2 pada Garis Bilangan

✋ Mencoba

📣 Mengkomunikasikan

📝 Contoh Soal — Pertidaksamaan Linear

Mudah Contoh Soal 1–10

Sedang Contoh Soal 11–15

Sulit Contoh Soal 16–20

✏️ Latihan Soal — Pertidaksamaan Linear

Mudah

Sedang

Sulit

📌 Rangkuman

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed