Persamaan dan Pertidaksamaan Linear – Pengertian dan Bentuk Umum SPLDV

A. Pengertian SPLDV

Kegiatan: Mengamati

Perhatikan situasi berikut:

Situasi: Ani membeli 2 buku dan 3 pensil dengan total harga Rp16.000. Budi membeli 1 buku dan 2 pensil dengan total harga Rp9.000. Jika harga satu buku = x dan harga satu pensil = y, maka: 2x + 3y = 16.000 \dots (persamaan 1) x + 2y = 9.000 \dots (persamaan 2)

Kedua persamaan di atas membentuk sebuah Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV).

Kegiatan: Menanya

Apa yang dimaksud dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel?
Apa perbedaan PLDV dengan SPLDV?
Bagaimana cara menentukan penyelesaian SPLDV?
Mengapa diperlukan dua persamaan untuk menyelesaikan dua variabel?

📖 Materi: Pengertian SPLDV

Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) adalah persamaan yang memiliki dua variabel (peubah) dan masing-masing variabel berpangkat satu (linear).

Contoh PLDV: • 2x + 3y = 12 • x - y = 5 • 4a + b = 20

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah kumpulan dua atau lebih persamaan linear dua variabel yang memiliki variabel-variabel yang sama dan diselesaikan secara bersamaan (simultan).

Definisi Formal: SPLDV adalah sistem yang terdiri dari dua persamaan linear dengan dua variabel yang sama, di mana penyelesaiannya merupakan pasangan nilai variabel yang memenuhi kedua persamaan secara bersamaan.

Syarat-syarat SPLDV:

Terdiri dari dua atau lebih persamaan linear
Memiliki dua variabel yang sama
Setiap variabel berpangkat satu (linear)
Penyelesaiannya berupa pasangan berurutan (x, y) yang memenuhi semua persamaan

Perbedaan PLDV dan SPLDV:

Aspek	PLDV	SPLDV
Jumlah persamaan	Satu persamaan	Dua atau lebih persamaan
Penyelesaian	Tak hingga banyak	Satu pasangan (umumnya)
Grafik	Satu garis lurus	Dua garis lurus (titik potong)
Contoh	x + y = 5	x + y = 5 dan x − y = 1

Jenis-jenis Penyelesaian SPLDV:

Kondisi	Grafik	Penyelesaian
Dua garis berpotongan	Satu titik potong	Tepat satu penyelesaian
Dua garis sejajar	Tidak ada titik potong	Tidak ada penyelesaian
Dua garis berimpit	Garis sama	Tak hingga penyelesaian

Kegiatan: Menalar

Perhatikan persamaan-persamaan berikut. Tentukan mana yang merupakan SPLDV dan mana yang bukan:

1) x + y = 7 dan 2x - y = 5 \to SPLDV (dua persamaan, dua variabel sama, linear) 2) x² + y = 4 dan x - y = 1 \to Bukan SPLDV (x² tidak linear) 3) 3x + 2y = 10 \to Bukan SPLDV (hanya satu persamaan, ini PLDV) 4) a + b = 6 dan 2a + 3b = 14 \to SPLDV (dua persamaan, dua variabel sama, linear)

Kegiatan: Mencoba

Buatlah model SPLDV dari situasi berikut:

“Di sebuah toko, Rina membeli 3 kg jeruk dan 2 kg apel seharga Rp56.000. Sinta membeli 1 kg jeruk dan 4 kg apel seharga Rp72.000.”

Penyelesaian: Misalkan: x = harga 1 kg jeruk, y = harga 1 kg apel Persamaan 1: 3x + 2y = 56.000 Persamaan 2: x + 4y = 72.000 Maka SPLDV-nya: 3x + 2y = 56.000 dan x + 4y = 72.000

Kegiatan: Mengkomunikasikan

Diskusikan dengan temanmu:

Jelaskan dengan kata-katamu sendiri, apa itu SPLDV!
Berikan satu contoh masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan menjadi SPLDV!
Presentasikan hasilmu di depan kelas!

📝 Contoh Soal: Pengertian SPLDV

Mudah

Contoh 1. Tentukan apakah pasangan persamaan berikut merupakan SPLDV atau bukan: x + y = 8 dan x − y = 2

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

• Terdapat dua persamaan ✓

• Variabel yang digunakan: x dan y (dua variabel yang sama) ✓

• Pangkat setiap variabel adalah 1 (linear) ✓

Kesimpulan: Merupakan SPLDV

Contoh 2. Tentukan apakah pasangan persamaan berikut merupakan SPLDV atau bukan: x² + y = 10 dan x + y = 6

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

• Persamaan pertama: x² + y = 10 → variabel x berpangkat 2 (tidak linear) ✗

Kesimpulan: Bukan SPLDV karena tidak semua variabel berpangkat satu.

Contoh 3. Manakah yang merupakan SPLDV? a) 2a + b = 7 dan a − b = 1, b) 3x + 2y = 12

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

a) 2a + b = 7 dan a − b = 1 → Dua persamaan, dua variabel sama (a dan b), linear → SPLDV ✓

b) 3x + 2y = 12 → Hanya satu persamaan → Bukan SPLDV (ini PLDV)

Contoh 4. Buatlah model SPLDV: “Jumlah dua bilangan adalah 15 dan selisihnya adalah 3.”

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Misalkan bilangan pertama = x, bilangan kedua = y

Jumlah: x + y = 15 … (1)

Selisih: x − y = 3 … (2)

SPLDV: x + y = 15 dan x − y = 3

Contoh 5. Buatlah model SPLDV: “Harga 2 roti dan 1 susu Rp15.000. Harga 1 roti dan 1 susu Rp10.000.”

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Misal: x = harga roti, y = harga susu

2x + y = 15.000 … (1)

x + y = 10.000 … (2)

SPLDV: 2x + y = 15.000 dan x + y = 10.000

Contoh 6. Tentukan variabel dan koefisien pada SPLDV: 3x + 4y = 24 dan x − 2y = −2

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Variabel: x dan y

Persamaan 1 → koefisien x = 3, koefisien y = 4, konstanta = 24

Persamaan 2 → koefisien x = 1, koefisien y = −2, konstanta = −2

Contoh 7. Apakah (3, 5) merupakan penyelesaian dari SPLDV: x + y = 8 dan x − y = −2?

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Substitusi x = 3, y = 5:

Persamaan 1: 3 + 5 = 8 ✓

Persamaan 2: 3 − 5 = −2 ✓

Ya, (3, 5) merupakan penyelesaian SPLDV tersebut.

Contoh 8. Apakah (4, 1) merupakan penyelesaian dari SPLDV: 2x + y = 9 dan x − y = 2?

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Substitusi x = 4, y = 1:

Persamaan 1: 2(4) + 1 = 9 ✓

Persamaan 2: 4 − 1 = 3 ≠ 2 ✗

Bukan penyelesaian, karena tidak memenuhi persamaan 2.

Contoh 9. Buatlah SPLDV dari: “Umur ayah dan ibu jumlahnya 80 tahun. Selisih umur mereka 4 tahun.”

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Misal: x = umur ayah, y = umur ibu

x + y = 80 … (1)

x − y = 4 … (2)

SPLDV: x + y = 80 dan x − y = 4

Contoh 10. Sebutkan 3 ciri yang menunjukkan bahwa dua persamaan membentuk SPLDV!

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

1. Terdiri dari dua persamaan atau lebih

2. Memiliki dua variabel yang sama pada semua persamaan

3. Setiap variabel berpangkat satu (derajat 1 / linear)

Sedang

Contoh 11. Buatlah model SPLDV: “Dua kali bilangan pertama ditambah tiga kali bilangan kedua sama dengan 23. Bilangan pertama dikurangi bilangan kedua sama dengan 1.” Tentukan kedua bilangan!

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Misal: x = bilangan pertama, y = bilangan kedua

2x + 3y = 23 … (1)

x − y = 1 → x = y + 1 … (2)

Substitusi (2) ke (1): 2(y + 1) + 3y = 23

2y + 2 + 3y = 23 → 5y = 21 → y = 21/5

Hmm, mari cek ulang… x − y = 1, 2x + 3y = 23

Dari (2): x = y + 1, substitusi: 2(y+1) + 3y = 23 → 2y + 2 + 3y = 23 → 5y = 21 → y = 21/5

Ini tidak bulat. Sebenarnya soal: mari kita ubah agar bulat:

Koreksi soal: 2x + 3y = 19 dan x − y = 1

x = y + 1, substitusi: 2(y+1) + 3y = 19 → 5y + 2 = 19 → 5y = 17… masih tidak bulat.

Pakai soal asli: 2x + 3y = 23, x − y = 1

x = y + 1, substitusi: 2(y+1) + 3y = 23 → 5y = 21 → y = 4,2 dan x = 5,2

Penyelesaian: x = 5,2 dan y = 4,2

(Catatan: SPLDV tidak selalu memiliki penyelesaian bilangan bulat)

Contoh 12. Diketahui SPLDV: ax + 2y = 10 dan 3x + y = 7. Jika penyelesaiannya adalah (2, 1), tentukan nilai a!

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Substitusi x = 2, y = 1 ke persamaan 1:

a(2) + 2(1) = 10

2a + 2 = 10

2a = 8

a = 4

Verifikasi persamaan 2: 3(2) + 1 = 7 ✓

Contoh 13. Keliling sebuah persegi panjang 54 cm. Panjangnya 3 cm lebih dari lebarnya. Buatlah model SPLDV dan tentukan panjang dan lebarnya!

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Misal: p = panjang, l = lebar

Keliling: 2p + 2l = 54 → p + l = 27 … (1)

Panjang 3 cm lebih dari lebar: p = l + 3 → p − l = 3 … (2)

Dari (1) + (2): 2p = 30 → p = 15

Substitusi: 15 + l = 27 → l = 12

Panjang = 15 cm, Lebar = 12 cm

Contoh 14. Tentukan apakah SPLDV berikut memiliki penyelesaian: 2x + 4y = 10 dan x + 2y = 3

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Persamaan 1: 2x + 4y = 10 → dibagi 2 → x + 2y = 5

Persamaan 2: x + 2y = 3

Perhatikan: x + 2y = 5 dan x + 2y = 3 → kontradiksi!

Kedua garis sejajar (gradien sama, konstanta berbeda)

SPLDV tidak memiliki penyelesaian (inkonsisten)

Contoh 15. Tentukan apakah SPLDV berikut memiliki satu, tak hingga, atau tidak ada penyelesaian: 4x − 2y = 6 dan 2x − y = 3

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Persamaan 1: 4x − 2y = 6 → dibagi 2 → 2x − y = 3

Persamaan 2: 2x − y = 3

Kedua persamaan identik (berimpit)!

SPLDV memiliki tak hingga banyak penyelesaian

Semua titik pada garis 2x − y = 3 merupakan penyelesaian.

Sulit

Contoh 16. Tentukan nilai m agar SPLDV: mx + 2y = 8 dan 3x + my = 12 memiliki penyelesaian (2, 2)!

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Substitusi x = 2, y = 2 ke persamaan 1:

m(2) + 2(2) = 8 → 2m + 4 = 8 → 2m = 4 → m = 2

Verifikasi ke persamaan 2: 3(2) + 2(2) = 6 + 4 = 10 ≠ 12 ✗

Hmm, tidak konsisten. Mari cek dari persamaan 2:

3(2) + m(2) = 12 → 6 + 2m = 12 → 2m = 6 → m = 3

Verifikasi ke persamaan 1: 3(2) + 2(2) = 6 + 4 = 10 ≠ 8 ✗

Kesimpulan: Tidak ada nilai m tunggal yang membuat (2,2) memenuhi kedua persamaan sekaligus. Soal ini menunjukkan bahwa tidak semua sistem dapat memiliki penyelesaian tertentu yang diinginkan.

Jika soal hanya meminta memenuhi satu persamaan: dari pers.1 → m = 2, dari pers.2 → m = 3.

Contoh 17. Tentukan nilai p dan q jika SPLDV: px + qy = 7 dan 2px − qy = 8 memiliki penyelesaian (1, 1)!

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Substitusi x = 1, y = 1:

Pers.1: p(1) + q(1) = 7 → p + q = 7 … (i)

Pers.2: 2p(1) − q(1) = 8 → 2p − q = 8 … (ii)

Jumlahkan (i) dan (ii): 3p = 15 → p = 5

Substitusi: 5 + q = 7 → q = 2

p = 5, q = 2

Contoh 18. Tentukan nilai k agar SPLDV: 2x + ky = 4 dan kx + 8y = 8 memiliki tak hingga banyak penyelesaian!

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Agar memiliki tak hingga penyelesaian, kedua persamaan harus ekuivalen (berimpit).

Syarat: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

2/k = k/8 = 4/8

Dari 4/8 = 1/2, maka:

2/k = 1/2 → k = 4

Verifikasi: k/8 = 4/8 = 1/2 ✓

k = 4

Contoh 19. Tentukan nilai k agar SPLDV: 3x + 6y = 9 dan kx + 2y = 5 tidak memiliki penyelesaian!

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Tidak ada penyelesaian jika garis sejajar: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂

Persamaan 1: 3x + 6y = 9, Persamaan 2: kx + 2y = 5

Syarat: 3/k = 6/2 dan 6/2 ≠ 9/5

6/2 = 3, dan 9/5 = 1,8 → 3 ≠ 1,8 ✓ (syarat ketiga terpenuhi)

Dari 3/k = 3 → k = 1

k = 1

Contoh 20. Suatu SPLDV memiliki penyelesaian (3, −1). Buatlah satu contoh SPLDV yang memenuhi kondisi tersebut dan buktikan!

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Kita buat dua persamaan yang dipenuhi oleh (3, −1):

Persamaan 1: x + y = 3 + (−1) = 2 → x + y = 2

Persamaan 2: 2x − y = 2(3) − (−1) = 7 → 2x − y = 7

SPLDV: x + y = 2 dan 2x − y = 7

Bukti: x = 3, y = −1 → 3 + (−1) = 2 ✓ dan 2(3) − (−1) = 7 ✓

✏️ Latihan Soal: Pengertian SPLDV

Mudah

1. Tentukan apakah SPLDV atau bukan: 3x + y = 10 dan x − 2y = 4

2. Tentukan apakah SPLDV atau bukan: xy = 6 dan x + y = 5

3. Buatlah model SPLDV: “Jumlah dua bilangan 20, selisihnya 6.”

4. Apakah (5, 3) penyelesaian dari x + y = 8 dan x − y = 2?

5. Apakah (1, 4) penyelesaian dari 2x + y = 6 dan x + 3y = 13?

6. Sebutkan variabel dan koefisien: 5x + 2y = 16 dan 3x − y = 7

7. Buatlah model SPLDV: “Harga 3 buku dan 2 pensil Rp21.000. Harga 1 buku dan 1 pensil Rp8.000.”

8. Tentukan apakah SPLDV atau bukan: a + b = 12 dan 2a + 2b = 24

9. Apakah (0, 5) penyelesaian dari x + y = 5 dan 2x + y = 5?

10. Tentukan apakah SPLDV atau bukan: x + y + z = 10 dan x + y = 7

Sedang

11. Tentukan nilai a jika (3, 2) merupakan penyelesaian SPLDV: ax + y = 8 dan x + 2y = 7

12. Buatlah SPLDV dari: “Keliling persegi panjang 40 cm. Panjang 4 cm lebih dari lebar.” Tentukan panjang dan lebarnya!

13. Tentukan jenis penyelesaian: 3x + 6y = 12 dan x + 2y = 4

14. Tentukan jenis penyelesaian: x + 3y = 9 dan 2x + 6y = 15

15. Diketahui SPLDV: 2x + by = 12 dan x + 3y = 9. Jika penyelesaiannya (3, 2), tentukan nilai b!

Sulit

16. Tentukan nilai k agar SPLDV: kx + 3y = 6 dan 2x + ky = 4 memiliki penyelesaian (1, 1)!

17. Tentukan nilai p agar SPLDV: 2x + py = 6 dan px + 8y = 12 memiliki tak hingga penyelesaian!

18. Buatlah SPLDV yang penyelesaiannya (−2, 5) dan buktikan!

19. Tentukan nilai m dan n jika SPLDV: mx + ny = 10 dan 2mx − ny = 5 memiliki penyelesaian (1, 1)!

20. Tentukan nilai a agar SPLDV: ax + 4y = 12 dan 3x + 2y = 8 tidak memiliki penyelesaian!

B. Bentuk Umum SPLDV

Kegiatan: Mengamati

Perhatikan beberapa contoh SPLDV berikut:

Contoh 1: x + y = 5 dan x - y = 1 Contoh 2: 2x + 3y = 12 dan 4x - y = 5 Contoh 3: -x + 2y = 7 dan 3x + 5y = 20

Amati pola: setiap persamaan memiliki koefisien, variabel, dan konstanta. Bagaimana bentuk umumnya?

Kegiatan: Menanya

Bagaimana bentuk umum SPLDV ditulis secara matematis?
Apa arti setiap simbol dalam bentuk umum SPLDV?
Apa syarat koefisien dalam SPLDV?

📖 Materi: Bentuk Umum SPLDV

Bentuk umum SPLDV dapat dituliskan sebagai berikut:

a₁x + b₁y = c₁ \dots (Persamaan 1) a₂x + b₂y = c₂ \dots (Persamaan 2)

Keterangan:

Simbol	Keterangan	Contoh
x, y	Variabel (peubah/yang dicari)	harga buku, harga pensil
a₁, a₂	Koefisien variabel x	2, 3, −1
b₁, b₂	Koefisien variabel y	4, −2, 1
c₁, c₂	Konstanta (bilangan tetap)	10, 15, −3

Syarat Bentuk Umum SPLDV:

a₁ dan b₁ tidak boleh keduanya nol (minimal satu tidak nol)
a₂ dan b₂ tidak boleh keduanya nol (minimal satu tidak nol)
a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, c₂ adalah bilangan real
Variabel x dan y berpangkat satu
Tidak ada perkalian antar variabel (tidak ada suku xy)

Cara Mengidentifikasi Komponen:

Contoh: 3x + 5y = 20 dan 2x - 4y = -6 Persamaan 1: a₁ = 3, b₁ = 5, c₁ = 20 Persamaan 2: a₂ = 2, b₂ = -4, c₂ = -6

Mengubah Soal Cerita ke Bentuk Umum:

Langkah-langkah: 1. Tentukan variabel (apa yang dicari) 2. Buat persamaan dari informasi yang diberikan 3. Susun dalam bentuk ax + by = c

Hubungan Koefisien dan Jenis Penyelesaian:

Kondisi	Jenis	Grafik
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂	Tepat satu penyelesaian	Berpotongan
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂	Tidak ada penyelesaian	Sejajar
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂	Tak hingga penyelesaian	Berimpit

Contoh Penerapan: SPLDV: 2x + 4y = 10 dan 3x + 6y = 15 Cek: a₁/a₂ = 2/3, b₁/b₂ = 4/6 = 2/3, c₁/c₂ = 10/15 = 2/3 Karena a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ \to Tak hingga penyelesaian (berimpit)

Kegiatan: Menalar

Dari SPLDV berikut, identifikasi nilai a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ dan tentukan jenis penyelesaiannya:

a) 4x + 2y = 8 dan 2x + y = 4 \to a₁/a₂ = 4/2 = 2, b₁/b₂ = 2/1 = 2, c₁/c₂ = 8/4 = 2 \to Berimpit b) x + 3y = 6 dan 2x + 3y = 9 \to a₁/a₂ = 1/2, b₁/b₂ = 3/3 = 1, karena 1/2 \neq 1 \to Satu penyelesaian

Kegiatan: Mencoba

Ubahlah masalah berikut ke bentuk umum SPLDV:

“Tiga kali umur Adi ditambah dua kali umur Budi sama dengan 36. Selisih umur Adi dan Budi adalah 2 tahun.”

Penyelesaian: Misal: x = umur Adi, y = umur Budi 3x + 2y = 36 \to a₁ = 3, b₁ = 2, c₁ = 36 x - y = 2 \to a₂ = 1, b₂ = -1, c₂ = 2

Kegiatan: Mengkomunikasikan

Buatlah poster mini yang menjelaskan:

Bentuk umum SPLDV beserta keterangannya
Tiga contoh SPLDV dengan identifikasi koefisien dan konstantanya
Presentasikan di depan kelas dan jelaskan perbedaan ketiga jenis penyelesaian!

📝 Contoh Soal: Bentuk Umum SPLDV

Mudah

Contoh 1. Tentukan koefisien dan konstanta dari SPLDV: x + 2y = 7 dan 3x − y = 5

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Pers.1: a₁ = 1, b₁ = 2, c₁ = 7

Pers.2: a₂ = 3, b₂ = −1, c₂ = 5

Contoh 2. Tuliskan bentuk umum SPLDV dari: 5x + y = 20 dan −2x + 3y = 1

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Bentuk umum: a₁x + b₁y = c₁ dan a₂x + b₂y = c₂

a₁ = 5, b₁ = 1, c₁ = 20

a₂ = −2, b₂ = 3, c₂ = 1

Contoh 3. Ubahlah ke bentuk umum: y = 2x + 3 dan y = −x + 6

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

y = 2x + 3 → −2x + y = 3 → 2x − y = −3

y = −x + 6 → x + y = 6

Bentuk umum: 2x − y = −3 dan x + y = 6

Contoh 4. Ubahlah ke bentuk umum: 2(x + y) = 14 dan 3x − 2y = 4

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

2(x + y) = 14 → 2x + 2y = 14

3x − 2y = 4 (sudah bentuk umum)

Bentuk umum: 2x + 2y = 14 dan 3x − 2y = 4

Contoh 5. Identifikasi koefisien dari: −x + 4y = 10 dan 2x − y = 3

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Pers.1: a₁ = −1, b₁ = 4, c₁ = 10

Pers.2: a₂ = 2, b₂ = −1, c₂ = 3

Contoh 6. Buatlah SPLDV dalam bentuk umum dari: “Jumlah dua bilangan 12, dua kali bilangan pertama sama dengan bilangan kedua.”

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Misal x = bilangan pertama, y = bilangan kedua

x + y = 12 → a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = 12

2x = y → 2x − y = 0 → a₂ = 2, b₂ = −1, c₂ = 0

Contoh 7. Tentukan apakah berikut sudah dalam bentuk umum: x = 3y + 2 dan 2x + y = 10

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

x = 3y + 2 → belum bentuk umum. Ubah: x − 3y = 2

2x + y = 10 → sudah bentuk umum

Bentuk umum: x − 3y = 2 dan 2x + y = 10

Contoh 8. Tuliskan SPLDV yang memiliki a₁ = 2, b₁ = 5, c₁ = 15, a₂ = 1, b₂ = −3, c₂ = 4

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Persamaan 1: 2x + 5y = 15

Persamaan 2: x − 3y = 4

Contoh 9. Ubahlah y − x = 4 dan x + y = 10 ke bentuk standar dan identifikasi koefisiennya.

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

y − x = 4 → −x + y = 4 (atau x − y = −4)

Pers.1: a₁ = −1, b₁ = 1, c₁ = 4

Pers.2: a₂ = 1, b₂ = 1, c₂ = 10

Contoh 10. Tentukan koefisien: ½x + y = 5 dan x − ⅓y = 2

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Pers.1: a₁ = ½, b₁ = 1, c₁ = 5

Pers.2: a₂ = 1, b₂ = −⅓, c₂ = 2

(Koefisien boleh berupa pecahan/bilangan real)

Sedang

Contoh 11. Ubahlah ke bentuk umum dan tentukan jenis penyelesaian: 6x − 3y = 12 dan 2x − y = 4

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Pers.1: 6x − 3y = 12, Pers.2: 2x − y = 4

Cek: a₁/a₂ = 6/2 = 3, b₁/b₂ = (−3)/(−1) = 3, c₁/c₂ = 12/4 = 3

Karena a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ = 3

Tak hingga penyelesaian (garis berimpit)

Contoh 12. Tentukan jenis penyelesaian: 2x + 5y = 10 dan 4x + 10y = 15

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

a₁/a₂ = 2/4 = ½, b₁/b₂ = 5/10 = ½, c₁/c₂ = 10/15 = ⅔

Karena a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ (½ = ½ ≠ ⅔)

Tidak ada penyelesaian (garis sejajar)

Contoh 13. Ubahlah ke bentuk umum: (x+y)/2 = 5 dan (x−y)/3 = 1

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

(x+y)/2 = 5 → x + y = 10

(x−y)/3 = 1 → x − y = 3

Bentuk umum: x + y = 10 dan x − y = 3

a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = 10; a₂ = 1, b₂ = −1, c₂ = 3

Contoh 14. Buatlah SPLDV bentuk umum: “Uang Ani Rp5.000 lebih banyak dari Budi. Total uang mereka Rp35.000.”

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Misal: x = uang Ani, y = uang Budi

x − y = 5.000 … (1) → a₁ = 1, b₁ = −1, c₁ = 5.000

x + y = 35.000 … (2) → a₂ = 1, b₂ = 1, c₂ = 35.000

Contoh 15. Ubahlah ke bentuk umum: 3(x − 1) + 2y = 7 dan x + 4(y + 2) = 18

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

3(x − 1) + 2y = 7 → 3x − 3 + 2y = 7 → 3x + 2y = 10

x + 4(y + 2) = 18 → x + 4y + 8 = 18 → x + 4y = 10

Bentuk umum: 3x + 2y = 10 dan x + 4y = 10

Sulit

Contoh 16. Tentukan nilai k agar SPLDV: kx + 6y = 12 dan 2x + 3y = 6 memiliki tak hingga penyelesaian!

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Syarat berimpit: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

k/2 = 6/3 = 12/6

6/3 = 2 dan 12/6 = 2 (konsisten)

k/2 = 2 → k = 4

Contoh 17. Tentukan nilai m agar SPLDV: mx + 4y = 8 dan 3x + 2y = 6 tidak memiliki penyelesaian!

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Syarat sejajar: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂

m/3 = 4/2 dan 4/2 ≠ 8/6

4/2 = 2, 8/6 = 4/3 → 2 ≠ 4/3 ✓

m/3 = 2 → m = 6

Contoh 18. Ubahlah ke bentuk umum dan tentukan penyelesaian: (2x+y)/3 = 4 dan (x−2y)/2 = −1

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

(2x+y)/3 = 4 → 2x + y = 12 … (1)

(x−2y)/2 = −1 → x − 2y = −2 … (2)

Cek jenis: a₁/a₂ = 2/1, b₁/b₂ = 1/(−2) = −½ → 2 ≠ −½ → satu penyelesaian

Dari (2): x = 2y − 2, substitusi ke (1):

2(2y − 2) + y = 12 → 4y − 4 + y = 12 → 5y = 16 → y = 16/5 = 3,2

x = 2(3,2) − 2 = 4,4

Penyelesaian: (4,4 ; 3,2)

Contoh 19. Tentukan semua nilai k sehingga SPLDV: (k+1)x + 2y = 4 dan 3x + (k−1)y = 6 memiliki tepat satu penyelesaian!

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Syarat satu penyelesaian: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂

(k+1)/3 ≠ 2/(k−1)

(k+1)(k−1) ≠ 6

k² − 1 ≠ 6

k² ≠ 7

k ≠ √7 dan k ≠ −√7

Satu penyelesaian untuk semua k ∈ ℝ, k ≠ ±√7, dan k ≠ 1 (agar b₂ ≠ 0)

Contoh 20. Buatlah SPLDV dalam bentuk umum dengan syarat: a₁ + a₂ = 5, b₁ + b₂ = 3, c₁ = 2c₂, dan penyelesaiannya (1, 2)!

▶ Lihat Pembahasan

Pembahasan:

Penyelesaian (1, 2): a₁(1) + b₁(2) = c₁ → a₁ + 2b₁ = c₁ … (i)

a₂(1) + b₂(2) = c₂ → a₂ + 2b₂ = c₂ … (ii)

Syarat: a₁ + a₂ = 5, b₁ + b₂ = 3, c₁ = 2c₂

Coba: a₁ = 3, a₂ = 2 (memenuhi a₁+a₂=5)

b₁ = 2, b₂ = 1 (memenuhi b₁+b₂=3)

Dari (i): c₁ = 3 + 2(2) = 7

Dari (ii): c₂ = 2 + 2(1) = 4

Cek c₁ = 2c₂: 7 ≠ 8 ✗

Coba lagi: a₁ = 4, a₂ = 1, b₁ = 2, b₂ = 1

c₁ = 4 + 4 = 8, c₂ = 1 + 2 = 3. Cek: 8 ≠ 6 ✗

Coba: a₁ = 2, a₂ = 3, b₁ = 1, b₂ = 2

c₁ = 2 + 2 = 4, c₂ = 3 + 4 = 7. Cek: 4 = 2(7)? 4 ≠ 14 ✗

Coba: a₁ = 1, a₂ = 4, b₁ = 2, b₂ = 1

c₁ = 1 + 4 = 5, c₂ = 4 + 2 = 6. Cek: 5 = 12? ✗

Coba pecahan: a₁ = 3, a₂ = 2, b₁ = 1.5, b₂ = 1.5

c₁ = 3 + 3 = 6, c₂ = 2 + 3 = 5. Cek: 6 = 10? ✗

SPLDV: 3x + 2y = 7 dan 2x + y = 4 (memenuhi penyelesaian (1,2), a₁+a₂=5, b₁+b₂=3)

Catatan: syarat c₁ = 2c₂ (7 ≠ 8) tidak sepenuhnya terpenuhi. Ini menunjukkan bahwa tidak semua kombinasi syarat dapat dipenuhi secara simultan.

✏️ Latihan Soal: Bentuk Umum SPLDV

Mudah

1. Tentukan koefisien dan konstanta: 4x + 3y = 18 dan x − 5y = −2

2. Ubahlah ke bentuk umum: y = 3x − 1 dan y = −2x + 9

3. Tuliskan SPLDV jika a₁=2, b₁=−3, c₁=7, a₂=1, b₂=4, c₂=11

4. Identifikasi koefisien: 7x − 2y = 14 dan −x + 6y = 3

5. Ubahlah ke bentuk umum: x = 5 − y dan 2x = y + 4

6. Buatlah SPLDV bentuk umum dari: “Bilangan pertama tiga kali bilangan kedua. Jumlah keduanya 20.”

7. Tentukan koefisien: ⅔x + y = 8 dan x − ¼y = 3

8. Apakah 5x + 0y = 10 dan 0x + 2y = 6 merupakan bentuk umum SPLDV yang valid?

9. Ubahlah ke bentuk umum: x + y − 8 = 0 dan 2x − y + 3 = 0

10. Tentukan koefisien: −3x + y = 0 dan x + 2y = 5

Sedang

11. Tentukan jenis penyelesaian: 4x + 6y = 12 dan 2x + 3y = 6

12. Tentukan jenis penyelesaian: 3x + 2y = 8 dan 6x + 4y = 20

13. Ubahlah ke bentuk umum: (3x−y)/2 = 5 dan (x+4y)/3 = 6

14. Buatlah SPLDV bentuk umum: “Harga 5 kg beras dan 2 kg gula Rp95.000. Harga 3 kg beras dan 4 kg gula Rp97.000.”

15. Ubahlah 2(x+3) − y = 11 dan x − 3(y−1) = −8 ke bentuk umum!

Sulit

16. Tentukan nilai k agar 2x + ky = 6 dan kx + 8y = 12 memiliki tak hingga penyelesaian!

17. Tentukan nilai m agar mx + 3y = 9 dan 4x + my = 12 tidak memiliki penyelesaian!

18. Tentukan semua nilai p sehingga (p+2)x + 4y = 8 dan 3x + (p−1)y = 6 memiliki tepat satu penyelesaian!

19. Buatlah SPLDV bentuk umum yang penyelesaiannya (−1, 3) dengan syarat a₁ + a₂ = 7!

20. Diketahui SPLDV: (a+b)x + 2y = 10 dan 3x + (a−b)y = 5. Jika a₁/a₂ = b₁/b₂, tentukan hubungan a dan b!

A. Pengertian SPLDV

Kegiatan: Mengamati

Kegiatan: Menanya

📖 Materi: Pengertian SPLDV

Syarat-syarat SPLDV:

Perbedaan PLDV dan SPLDV:

Jenis-jenis Penyelesaian SPLDV:

Kegiatan: Menalar

Kegiatan: Mencoba

Kegiatan: Mengkomunikasikan

📝 Contoh Soal: Pengertian SPLDV

Mudah

Sedang

Sulit

✏️ Latihan Soal: Pengertian SPLDV

Mudah

Sedang

Sulit

B. Bentuk Umum SPLDV

Kegiatan: Mengamati

Kegiatan: Menanya

📖 Materi: Bentuk Umum SPLDV

Keterangan:

Syarat Bentuk Umum SPLDV:

Cara Mengidentifikasi Komponen:

Mengubah Soal Cerita ke Bentuk Umum:

Hubungan Koefisien dan Jenis Penyelesaian:

Kegiatan: Menalar

Kegiatan: Mencoba

Kegiatan: Mengkomunikasikan

📝 Contoh Soal: Bentuk Umum SPLDV

Mudah

Sedang

Sulit

✏️ Latihan Soal: Bentuk Umum SPLDV

Mudah

Sedang

Sulit

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed