Pertidaksamaan Linear
Materi Matematika
1. Pengertian Pertidaksamaan Linear
Perhatikan situasi berikut:
- Harga sebuah buku kurang dari Rp15.000
- Berat badan seseorang lebih dari atau sama dengan 50 kg
- Nilai ujian matematika harus lebih dari 75 untuk lulus
Situasi-situasi di atas menunjukkan hubungan yang tidak sama dengan, melainkan menggunakan tanda ketidaksamaan.
Definisi
Pertidaksamaan linear adalah kalimat terbuka yang memuat variabel berpangkat satu dan dihubungkan oleh tanda ketidaksamaan.
Tanda-Tanda Ketidaksamaan:
| Simbol | Dibaca | Contoh |
|---|---|---|
| < | kurang dari | x < 5 |
| > | lebih dari | x > 3 |
| ≤ | kurang dari atau sama dengan | x ≤ 7 |
| ≥ | lebih dari atau sama dengan | x ≥ 2 |
Perbedaan Persamaan dan Pertidaksamaan:
| Persamaan Linear | Pertidaksamaan Linear |
|---|---|
| 2x + 3 = 7 | 2x + 3 < 7 |
| Solusi: satu nilai | Solusi: himpunan nilai (interval) |
| Menggunakan tanda = | Menggunakan tanda <, >, ≤, ≥ |
Dari pengamatan di atas, tanyakan pada diri sendiri:
- Apa bedanya persamaan dan pertidaksamaan?
- Bagaimana cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan?
- Apakah aturan operasi pada pertidaksamaan sama dengan persamaan?
2. Sifat-Sifat Pertidaksamaan
Perhatikan dan pahami sifat-sifat berikut yang menjadi dasar penyelesaian pertidaksamaan linear.
Sifat 1: Penambahan/Pengurangan
Jika a < b, maka a + c < b + c dan a − c < b − c untuk setiap bilangan real c.
→ Kedua ruas boleh ditambah/dikurangi bilangan yang sama tanpa mengubah arah tanda.
Contoh: 3 < 5 → 3 + 2 < 5 + 2 → 5 < 7 ✓
Sifat 2: Perkalian/Pembagian Bilangan Positif
Jika a < b dan c > 0, maka a × c < b × c.
→ Kedua ruas boleh dikalikan/dibagi bilangan positif tanpa mengubah arah tanda.
Contoh: 2 < 6 → 2 × 3 < 6 × 3 → 6 < 18 ✓
⚠️ Sifat 3: Perkalian/Pembagian Bilangan Negatif
Jika a < b dan c < 0, maka a × c > b × c.
→ Kedua ruas dikalikan/dibagi bilangan negatif, arah tanda BERUBAH (dibalik)!
Contoh: 2 < 6 → 2 × (−1) > 6 × (−1) → −2 > −6 ✓
Sifat 4: Transitif
Jika a < b dan b < c, maka a < c.
Contoh: 1 < 3 dan 3 < 7, maka 1 < 7 ✓
Notasi Interval dan Garis Bilangan
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan dinyatakan dalam notasi interval:
| Pertidaksamaan | Notasi Himpunan | Notasi Interval | Garis Bilangan |
|---|---|---|---|
| x < a | {x | x < a} | (−∞, a) | ←———○ a |
| x ≤ a | {x | x ≤ a} | (−∞, a] | ←———● a |
| x > a | {x | x > a} | (a, +∞) | a ○———→ |
| x ≥ a | {x | x ≥ a} | [a, +∞) | a ●———→ |
| a < x < b | {x | a < x < b} | (a, b) | a ○———○ b |
| a ≤ x ≤ b | {x | a ≤ x ≤ b} | [a, b] | a ●———● b |
Keterangan: ○ = titik terbuka (tidak termasuk), ● = titik tertutup (termasuk)
3. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV)
Mari kita pelajari langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel.
Bentuk Umum PtLSV
Bentuk umum pertidaksamaan linear satu variabel:
ax + b < 0 atau ax + b > 0 atau ax + b ≤ 0 atau ax + b ≥ 0
dengan a, b ∈ ℝ dan a ≠ 0
Langkah-Langkah Penyelesaian:
- Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke satu ruas (biasanya ruas kiri)
- Pindahkan semua konstanta ke ruas lainnya (ruas kanan)
- Sederhanakan masing-masing ruas
- Bagi kedua ruas dengan koefisien variabel. Jika koefisien negatif, balikkan arah tanda!
- Tuliskan himpunan penyelesaian dalam notasi himpunan atau interval
Contoh Penyelesaian Langkah demi Langkah:
Selesaikan: 3x − 5 < 7
Langkah 1: 3x − 5 < 7
Langkah 2: 3x < 7 + 5 (tambah 5 kedua ruas)
Langkah 3: 3x < 12
Langkah 4: x < 4 (bagi 3, koefisien positif → tanda tetap)
HP: {x | x < 4, x ∈ ℝ} atau (−∞, 4)
Garis Bilangan:
Selesaikan: −2x + 6 ≥ 10
Langkah 1: −2x + 6 ≥ 10
Langkah 2: −2x ≥ 10 − 6
Langkah 3: −2x ≥ 4
Langkah 4: x ≤ −2 (bagi −2, tanda BERUBAH dari ≥ menjadi ≤)
HP: {x | x ≤ −2, x ∈ ℝ} atau (−∞, −2]
Pertidaksamaan Bentuk Pecahan
Untuk pertidaksamaan bentuk pecahan, JANGAN langsung kalikan silang kecuali Anda yakin penyebutnya selalu positif. Gunakan metode berikut:
- Pindahkan semua ke satu ruas sehingga ruas lainnya = 0
- Samakan penyebut
- Tentukan titik-titik kritis (pembuat nol pembilang dan penyebut)
- Buat tabel tanda atau gunakan garis bilangan
- Tentukan interval yang memenuhi
Contoh: Selesaikan x + 1x − 2 > 0
Titik kritis: x = −1 (pembilang = 0) dan x = 2 (penyebut = 0)
Tabel tanda:
| Interval | x < −1 | −1 < x < 2 | x > 2 |
|---|---|---|---|
| x + 1 | − | + | + |
| x − 2 | − | − | + |
| x+1x−2 | + | − | + |
HP: {x | x < −1 atau x > 2} = (−∞, −1) ∪ (2, +∞)
4. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV)
Setelah memahami PtLSV, sekarang kita perluas ke dua variabel. Diskusikan dengan teman bagaimana representasi grafis pertidaksamaan dua variabel.
Bentuk Umum PtLDV
ax + by + c < 0 (atau >, ≤, ≥)
dengan a, b, c ∈ ℝ, a dan b tidak keduanya nol
Langkah Menggambar Daerah Penyelesaian:
- Gambar garis ax + by + c = 0 pada bidang koordinat
- Garis putus-putus jika tanda < atau > (tidak termasuk garis)
- Garis tegas jika tanda ≤ atau ≥ (termasuk garis)
- Pilih titik uji (biasanya titik O(0,0) jika garis tidak melalui titik asal)
- Substitusikan titik uji ke pertidaksamaan
- Jika memenuhi, arsir daerah yang memuat titik uji. Jika tidak, arsir daerah sebaliknya.
Contoh: Gambarkan daerah penyelesaian 2x + 3y ≤ 12
Langkah 1: Gambar garis 2x + 3y = 12
Titik potong sumbu-x: y = 0 → x = 6, titik (6, 0)
Titik potong sumbu-y: x = 0 → y = 4, titik (0, 4)
Langkah 2: Gunakan garis tegas (karena tanda ≤)
Langkah 3: Uji titik O(0,0): 2(0) + 3(0) = 0 ≤ 12 ✓ (memenuhi)
Langkah 4: Arsir daerah yang memuat titik O(0,0), yaitu di bawah garis.
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
Sistem pertidaksamaan linear adalah gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linear. Daerah penyelesaiannya adalah irisan dari semua daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan.
Contoh Sistem:
x + y ≤ 8
2x + y ≤ 12
x ≥ 0
y ≥ 0
Daerah penyelesaian adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan sekaligus (daerah irisan).
5. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Soal Mudah Mudah
Soal 1: Selesaikan x + 4 < 9
Pembahasan:
x + 4 < 9
x < 9 − 4
x < 5
HP: {x | x < 5} = (−∞, 5)
Soal 2: Selesaikan 2x − 3 ≥ 7
Pembahasan:
2x − 3 ≥ 7
2x ≥ 7 + 3
2x ≥ 10
x ≥ 5
HP: {x | x ≥ 5} = [5, +∞)
Soal 3: Selesaikan 5 − x > 2
Pembahasan:
5 − x > 2
−x > 2 − 5
−x > −3
x < 3
(kedua ruas dikali −1, tanda berubah)
HP: {x | x < 3} = (−∞, 3)
Soal 4: Selesaikan 3x + 1 ≤ 16
Pembahasan:
3x + 1 ≤ 16
3x ≤ 15
x ≤ 5
HP: {x | x ≤ 5} = (−∞, 5]
Soal 5: Selesaikan 4x > −12
Pembahasan:
4x > −12
x > −3
HP: {x | x > −3} = (−3, +∞)
📙 Soal Sedang Sedang
Soal 1: Selesaikan 3(2x − 1) < 2(x + 5)
Pembahasan:
6x − 3 < 2x + 10
6x − 2x < 10 + 3
4x < 13
x < 134
HP: {x | x < 3,25} = (−∞, 134)
Soal 2: Selesaikan −4x + 8 ≤ 2x − 10
Pembahasan:
−4x + 8 ≤ 2x − 10
−4x − 2x ≤ −10 − 8
−6x ≤ −18
x ≥ 3
(bagi −6, tanda berubah)
HP: {x | x ≥ 3} = [3, +∞)
Soal 3: Selesaikan 2 ≤ 3x − 4 < 11
Pembahasan: (pertidaksamaan bertingkat, selesaikan sekaligus)
2 ≤ 3x − 4 < 11
2 + 4 ≤ 3x < 11 + 4
6 ≤ 3x < 15
2 ≤ x < 5
HP: {x | 2 ≤ x < 5} = [2, 5)
Soal 4: Selesaikan x − 13 + x + 22 > 1
Pembahasan: (KPK penyebut = 6)
2(x−1)6 + 3(x+2)6 > 1
2x − 2 + 3x + 66 > 1
5x + 4 > 6
5x > 2
x > 25
HP: {x | x > 0,4} = (25, +∞)
Soal 5: Tentukan daerah penyelesaian dari x + 2y ≤ 8 dan x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
Garis: x + 2y = 8
Titik potong: (8, 0) dan (0, 4)
Uji O(0,0): 0 + 0 = 0 ≤ 8 ✓
Dengan syarat x ≥ 0 dan y ≥ 0, daerah HP adalah segitiga dengan titik sudut (0,0), (8,0), dan (0,4).
📕 Soal Sulit Sulit
Soal 1: Selesaikan 2x + 1x − 3 ≥ 1
Pembahasan:
2x + 1x − 3 − 1 ≥ 0
2x + 1 − (x − 3)x − 3 ≥ 0
x + 4x − 3 ≥ 0
Titik kritis: x = −4 dan x = 3
| Interval | x < −4 | −4 ≤ x < 3 | x > 3 |
|---|---|---|---|
| x + 4 | − | + | + |
| x − 3 | − | − | + |
| Hasil | + | − | + |
Karena ≥ 0, ambil interval positif. Perhatikan x = −4 membuat = 0 (memenuhi), x = 3 membuat penyebut = 0 (tidak boleh).
HP: x ≤ −4 atau x > 3 = (−∞, −4] ∪ (3, +∞)
Soal 2: Selesaikan x − 2x + 1 < x + 3x − 1
Pembahasan:
x−2x+1 − x+3x−1 < 0
(x−2)(x−1) − (x+3)(x+1)(x+1)(x−1) < 0
Pembilang: (x²−3x+2) − (x²+4x+3) = −7x − 1
−7x − 1(x+1)(x−1) < 0
Titik kritis: x = −17, x = −1, x = 1
| x<−1 | −1<x<−17 | −17<x<1 | x>1 | |
|---|---|---|---|---|
| −7x−1 | + | + | − | − |
| (x+1)(x−1) | + | − | − | + |
| Hasil | + | − | + | − |
HP: (−1, −17) ∪ (1, +∞)
Soal 3: Seorang pedagang memiliki modal Rp600.000. Ia membeli barang A seharga Rp20.000/buah dan barang B seharga Rp30.000/buah. Tentukan pertidaksamaan yang menyatakan situasi ini dan gambarkan daerah penyelesaiannya jika x = jumlah barang A dan y = jumlah barang B.
Pembahasan:
Model matematika:
- 20.000x + 30.000y ≤ 600.000 → 2x + 3y ≤ 60
- x ≥ 0, y ≥ 0 (jumlah barang tidak negatif)
Garis 2x + 3y = 60:
Titik potong: (30, 0) dan (0, 20)
Uji O(0,0): 0 ≤ 60 ✓ → arsir ke arah titik asal.
HP: Daerah segitiga dengan titik sudut (0,0), (30,0), (0,20) termasuk garis batas.
Soal 4: Selesaikan |2x − 5| < 3 menggunakan sifat pertidaksamaan linear.
Pembahasan:
Sifat: |A| < c ⟺ −c < A < c
−3 < 2x − 5 < 3
−3 + 5 < 2x < 3 + 5
2 < 2x < 8
1 < x < 4
HP: {x | 1 < x < 4} = (1, 4)
Soal 5: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan:
x + y ≤ 10
2x + y ≥ 8
x − y ≤ 4
x ≥ 0, y ≥ 0
Pembahasan:
Garis 1: x + y = 10 → (10,0) dan (0,10). Uji O: 0 ≤ 10 ✓ → arsir ke arah O.
Garis 2: 2x + y = 8 → (4,0) dan (0,8). Uji O: 0 ≥ 8 ✗ → arsir menjauhi O.
Garis 3: x − y = 4 → (4,0) dan (0,−4). Uji O: 0 ≤ 4 ✓ → arsir ke arah O.
Titik-titik sudut daerah HP diperoleh dari perpotongan garis-garis:
- Garis 1 ∩ Garis 2: x = −2, y = 12 (tidak memenuhi x ≥ 0)
- Garis 1 ∩ Garis 3: x = 7, y = 3 ✓
- Garis 2 ∩ sumbu-y: (0, 8) ✓
- Garis 1 ∩ sumbu-y: (0, 10) → cek garis 2: 0 ≥ 8 ✗
- Garis 2 ∩ Garis 3: 3x = 12 → x = 4, y = 0 ✓
Daerah HP adalah poligon dengan titik sudut yang memenuhi semua syarat. Titik-titik sudut: (4, 0), (7, 3), (0, 10) — verifikasi setiap titik terhadap semua pertidaksamaan untuk memastikan.
6. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Tuliskan langkah penyelesaian secara lengkap.
📗 Latihan Mudah Mudah
- Selesaikan x − 7 < 3
- Selesaikan 3x + 2 ≥ 14
- Selesaikan 8 − 2x > 0
- Selesaikan 5x ≤ 25
- Selesaikan −x + 6 ≥ 1
📙 Latihan Sedang Sedang
- Selesaikan 4(x − 2) ≤ 3(x + 1)
- Selesaikan −3 < 2x + 1 ≤ 9
- Selesaikan 2x − 14 > x + 33
- Tentukan daerah penyelesaian dari 3x + 2y ≤ 18, x ≥ 0, y ≥ 0
- Selesaikan 5 − 3(x + 2) > 2(1 − x)
📕 Latihan Sulit Sulit
- Selesaikan 3x − 2x + 4 < 2
- Selesaikan x + 52x − 1 ≥ 0
- Tentukan daerah penyelesaian dari sistem: x + 2y ≤ 12, 3x + y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0
- Selesaikan |3x + 1| ≥ 7 dan nyatakan dalam notasi interval
- Seorang siswa memiliki waktu 120 menit untuk mengerjakan soal tipe A (butuh 5 menit/soal) dan tipe B (butuh 8 menit/soal). Ia harus mengerjakan minimal 10 soal. Tentukan sistem pertidaksamaan dan daerah penyelesaiannya.
📝 Ringkasan
- Pertidaksamaan linear menggunakan tanda <, >, ≤, ≥ dengan variabel berpangkat satu.
- Penambahan/pengurangan kedua ruas: tanda tetap.
- Perkalian/pembagian bilangan positif: tanda tetap.
- Perkalian/pembagian bilangan negatif: tanda berubah arah.
- Penyelesaian dinyatakan sebagai himpunan (interval) bukan satu nilai tunggal.
- PtLDV digambarkan sebagai daerah arsiran pada bidang koordinat.
- Pertidaksamaan pecahan diselesaikan dengan metode tabel tanda.