Interval dan Penyelesaian Pertidaksamaan
Materi Matematika
1. Pengertian Interval
Perhatikan garis bilangan berikut. Himpunan bilangan real antara dua bilangan tertentu membentuk suatu interval.
Gambar di atas menunjukkan interval \((a, b]\), yaitu himpunan semua bilangan real \(x\) dengan \(a < x \leq b\).
Apa perbedaan antara interval terbuka dan interval tertutup? Bagaimana cara menuliskannya dalam notasi interval dan notasi himpunan?
Definisi: Interval adalah himpunan bagian dari bilangan real yang berisi semua bilangan antara dua bilangan tertentu (disebut batas bawah dan batas atas).
Notasi interval menggunakan tanda kurung:
- Kurung bulat ( ) → batas tidak termasuk (terbuka)
- Kurung siku [ ] → batas termasuk (tertutup)
2. Jenis-Jenis Interval
Lengkapi tabel berikut dengan memperhatikan pola notasi interval, notasi himpunan, dan garis bilangannya.
| Nama | Notasi Interval | Notasi Himpunan | Garis Bilangan |
|---|---|---|---|
| Interval Terbuka | \((a, b)\) | \(\{x \mid a < x < b\}\) | ○───○ |
| Interval Tertutup | \([a, b]\) | \(\{x \mid a \leq x \leq b\}\) | ●───● |
| Setengah Terbuka (kiri) | \((a, b]\) | \(\{x \mid a < x \leq b\}\) | ○───● |
| Setengah Terbuka (kanan) | \([a, b)\) | \(\{x \mid a \leq x < b\}\) | ●───○ |
| Tak Hingga (kanan) | \((a, \infty)\) | \(\{x \mid x > a\}\) | ○───→ |
| Tak Hingga (kanan, tertutup) | \([a, \infty)\) | \(\{x \mid x \geq a\}\) | ●───→ |
| Tak Hingga (kiri) | \((-\infty, b)\) | \(\{x \mid x < b\}\) | ←───○ |
| Tak Hingga (kiri, tertutup) | \((-\infty, b]\) | \(\{x \mid x \leq b\}\) | ←───● |
Catatan Penting:
- Simbol \(\infty\) (tak hingga) selalu menggunakan kurung bulat ( ) karena tak hingga bukan bilangan real.
- Pada garis bilangan: lingkaran kosong (○) = tidak termasuk, lingkaran penuh (●) = termasuk.
- Interval dapat digabung menggunakan operasi union \(\cup\) dan irisan \(\cap\).
Contoh Soal – Interval
▸ Mudah (1–5)
1. Nyatakan \(\{x \mid -2 < x \leq 5\}\) dalam notasi interval.
Pembahasan
Batas bawah \(-2\) tidak termasuk → kurung bulat.
Batas atas \(5\) termasuk → kurung siku.
Jawaban: \((-2, 5]\)
2. Nyatakan \([3, 7)\) dalam notasi himpunan.
Pembahasan
Kurung siku di 3 → termasuk (\(\geq\)).
Kurung bulat di 7 → tidak termasuk (\(<\)).
Jawaban: \(\{x \mid 3 \leq x < 7\}\)
3. Gambarkan interval \((-1, 4)\) pada garis bilangan.
Pembahasan
Kedua batas tidak termasuk → lingkaran kosong di \(-1\) dan \(4\).
4. Nyatakan \(x \geq 2\) dalam notasi interval.
Pembahasan
Batas bawah 2 termasuk, batas atas tak hingga.
Jawaban: \([2, \infty)\)
5. Nyatakan \((-\infty, 0]\) dalam notasi himpunan.
Pembahasan
Semua bilangan real yang kurang dari atau sama dengan 0.
Jawaban: \(\{x \mid x \leq 0\}\)
▸ Sedang (6–10)
6. Tentukan \((-3, 2) \cup [1, 5]\).
Pembahasan
Gabungan kedua interval: dari \(-3\) (tidak termasuk) sampai \(5\) (termasuk).
Jawaban: \((-3, 5]\)
7. Tentukan \((-3, 2) \cap [1, 5]\).
Pembahasan
Irisan: bagian yang sama-sama dimiliki. Interval \((-3,2)\) berisi \(-3 < x < 2\). Interval \([1,5]\) berisi \(1 \leq x \leq 5\).
Irisan: \(1 \leq x < 2\).
Jawaban: \([1, 2)\)
8. Nyatakan dalam notasi interval: \(\{x \mid x < -1 \text{ atau } x \geq 3\}\).
Pembahasan
Dua interval terpisah digabung dengan union.
Jawaban: \((-\infty, -1) \cup [3, \infty)\)
9. Tentukan komplemen dari \([2, 7]\) terhadap \(\mathbb{R}\).
Pembahasan
Komplemen = semua bilangan real yang TIDAK ada di \([2,7]\).
Jawaban: \((-\infty, 2) \cup (7, \infty)\)
10. Jika \(A = [-1, 4)\) dan \(B = (2, 6]\), tentukan \(A \cap B\) dan \(A \cup B\).
Pembahasan
\(A \cap B\): \(2 < x < 4\) → \((2, 4)\)
\(A \cup B\): \(-1 \leq x \leq 6\) → \([-1, 6]\)
▸ Sulit (11–15)
11. Tentukan \((-\infty, 3) \cap (1, \infty) \cap [-2, 5]\).
Pembahasan
\((-\infty,3) \cap (1,\infty) = (1, 3)\)
\((1,3) \cap [-2,5] = (1, 3)\)
Jawaban: \((1, 3)\)
12. Jika \(A = (-4, 1] \cup [3, 7)\) dan \(B = [-1, 5)\), tentukan \(A \cap B\).
Pembahasan
\((-4,1] \cap [-1,5) = [-1, 1]\)
\([3,7) \cap [-1,5) = [3, 5)\)
Jawaban: \([-1, 1] \cup [3, 5)\)
13. Tentukan semua nilai \(x\) yang memenuhi \(x \in [-3, 4]\) dan \(x \notin (0, 2)\).
Pembahasan
Kita cari \([-3,4] \setminus (0,2) = [-3, 0] \cup [2, 4]\).
Jawaban: \([-3, 0] \cup [2, 4]\)
14. Sederhanakan: \(\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} \left[-1+\frac{1}{n},\; 2-\frac{1}{n}\right]\).
Pembahasan
Saat \(n \to \infty\): batas bawah \(\to -1\), batas atas \(\to 2\).
Untuk setiap \(x \in (-1, 2)\), ada \(n\) cukup besar sehingga \(x\) termasuk.
Tapi \(-1\) dan \(2\) tidak pernah termasuk.
Jawaban: \((-1, 2)\)
15. Jika \(A \cup B = (-\infty, 5]\) dan \(A \cap B = [1, 3)\), dengan \(A = (-\infty, 3)\), tentukan \(B\).
Pembahasan
Dari \(A \cap B = [1,3)\): \(B\) harus memuat \([1,3)\).
Dari \(A \cup B = (-\infty, 5]\): karena \(A = (-\infty,3)\), maka \(B\) harus menutupi \([3,5]\).
Jadi \(B\) memuat \([1,3) \cup [3,5] = [1, 5]\).
Periksa: \(A \cup B = (-\infty,3) \cup [1,5] = (-\infty, 5]\) ✓
\(A \cap B = (-\infty,3) \cap [1,5] = [1,3)\) ✓
Jawaban: \(B = [1, 5]\)
Latihan Soal – Interval
Mudah
- Nyatakan \(\{x \mid 1 \leq x < 6\}\) dalam notasi interval.
- Nyatakan \((-4, 0)\) dalam notasi himpunan.
- Gambarkan \([−2, 3]\) pada garis bilangan.
- Nyatakan \(x > 5\) dalam notasi interval.
- Nyatakan \((-\infty, -3)\) dalam notasi himpunan.
Sedang
- Tentukan \([-2, 5) \cup (3, 8]\).
- Tentukan \((-1, 4] \cap [2, 7)\).
- Tentukan komplemen \((1, 6)\) terhadap \(\mathbb{R}\).
- Jika \(A = [0, 5]\), \(B = (3, 9)\), tentukan \(A \setminus B\).
- Nyatakan dalam notasi interval: \(x \leq -2\) atau \(x > 4\).
Sulit
- Tentukan \((-\infty, 2] \cap (0, \infty) \cap [-3, 4)\).
- Jika \(A = (-2, 3] \cup (5, 8)\) dan \(B = [1, 6]\), tentukan \(A \cap B\).
- Sederhanakan \(\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{n},\; 1+\frac{1}{n}\right)\).
- Tentukan \(x\) yang memenuhi \(x \in (-5, 5)\) dan \(x \notin [-2, 1]\).
- Jika \(A \cup B = \mathbb{R}\) dan \(A = (-\infty, 4]\), tentukan syarat minimal \(B\).
3. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Pertidaksamaan linear adalah kalimat terbuka yang memuat tanda ketidaksamaan (\(<, >, \leq, \geq\)) dan variabelnya berpangkat satu.
Bentuk umum: \(ax + b > 0\), \(ax + b \leq c\), dst.
Bagaimana aturan menyelesaikan pertidaksamaan linear? Kapan tanda pertidaksamaan berubah arah?
Sifat-sifat Pertidaksamaan:
- Kedua ruas boleh ditambah/dikurangi bilangan yang sama tanpa mengubah tanda.
- Kedua ruas boleh dikali/dibagi bilangan positif tanpa mengubah tanda.
- Kedua ruas dikali/dibagi bilangan negatif → tanda pertidaksamaan BERBALIK.
⚠️ Penting: Saat mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif, tanda \(<\) berubah menjadi \(>\) dan sebaliknya!
Langkah Penyelesaian:
- Sederhanakan kedua ruas (distribusi, gabung suku sejenis).
- Pindahkan variabel ke satu ruas, konstanta ke ruas lain.
- Bagi/kali untuk mendapat \(x\). Ingat aturan tanda!
- Tulis jawaban dalam notasi interval.
Contoh Cepat: Selesaikan \(2x – 3 > 5\).
\(2x > 8\) → \(x > 4\) → Jawaban: \((4, \infty)\)
Contoh Soal – Pertidaksamaan Linear
▸ Mudah (1–5)
1. Selesaikan \(3x + 2 > 11\).
Pembahasan
\(3x > 11 – 2\)
\(3x > 9\)
\(x > 3\)
HP: \((3, \infty)\)
2. Selesaikan \(5 – x \leq 2\).
Pembahasan
\(-x \leq 2 – 5\)
\(-x \leq -3\)
Kali \((-1)\), tanda berbalik: \(x \geq 3\)
HP: \([3, \infty)\)
3. Selesaikan \(2x + 1 < 7\).
Pembahasan
\(2x < 6\) → \(x < 3\)
HP: \((-\infty, 3)\)
4. Selesaikan \(4x – 8 \geq 0\).
Pembahasan
\(4x \geq 8\) → \(x \geq 2\)
HP: \([2, \infty)\)
5. Selesaikan \(-2x > 6\).
Pembahasan
Bagi kedua ruas dengan \(-2\), tanda berbalik:
\(x < -3\)
HP: \((-\infty, -3)\)
▸ Sedang (6–10)
6. Selesaikan \(3(x – 2) + 4 \leq 2x + 5\).
Pembahasan
\(3x – 6 + 4 \leq 2x + 5\)
\(3x – 2 \leq 2x + 5\)
\(x \leq 7\)
HP: \((-\infty, 7]\)
7. Selesaikan \(-3 < 2x + 1 \leq 9\).
Pembahasan
Kurangi 1: \(-4 < 2x \leq 8\)
Bagi 2: \(-2 < x \leq 4\)
HP: \((-2, 4]\)
8. Selesaikan \(\frac{x+3}{2} > \frac{x-1}{3}\).
Pembahasan
Kali 6: \(3(x+3) > 2(x-1)\)
\(3x + 9 > 2x – 2\)
\(x > -11\)
HP: \((-11, \infty)\)
9. Selesaikan \(1 \leq 3 – 2x < 7\).
Pembahasan
Kurangi 3: \(-2 \leq -2x < 4\)
Bagi \(-2\) (tanda berbalik): \(1 \geq x > -2\)
Ditulis: \(-2 < x \leq 1\)
HP: \((-2, 1]\)
10. Selesaikan \(5 – 3(2x+1) \geq 2(1-x)\).
Pembahasan
\(5 – 6x – 3 \geq 2 – 2x\)
\(2 – 6x \geq 2 – 2x\)
\(-4x \geq 0\)
\(x \leq 0\)
HP: \((-\infty, 0]\)
▸ Sulit (11–15)
11. Selesaikan \(\frac{2x-1}{3} – \frac{x+2}{4} \geq \frac{x}{6} + 1\).
Pembahasan
KPK = 12. Kali 12:
\(4(2x-1) – 3(x+2) \geq 2x + 12\)
\(8x – 4 – 3x – 6 \geq 2x + 12\)
\(5x – 10 \geq 2x + 12\)
\(3x \geq 22\)
\(x \geq \frac{22}{3}\)
HP: \(\left[\frac{22}{3}, \infty\right)\)
12. Selesaikan \(-5 \leq \frac{3-2x}{4} < 1\).
Pembahasan
Kali 4: \(-20 \leq 3 – 2x < 4\)
Kurangi 3: \(-23 \leq -2x < 1\)
Bagi \(-2\): \(\frac{23}{2} \geq x > -\frac{1}{2}\)
Ditulis: \(-\frac{1}{2} < x \leq \frac{23}{2}\)
HP: \(\left(-\frac{1}{2},\; \frac{23}{2}\right]\)
13. Tentukan nilai \(x\) bilangan bulat yang memenuhi \(2x – 7 < 5\) dan \(3x + 1 \geq -8\).
Pembahasan
PtS 1: \(2x < 12\) → \(x < 6\)
PtS 2: \(3x \geq -9\) → \(x \geq -3\)
Irisan: \(-3 \leq x < 6\)
Bilangan bulat: \(-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\)
Jawaban: 9 bilangan bulat.
14. Selesaikan \(|2x+1| > 3\) menggunakan pertidaksamaan linear.
Pembahasan
Dari sifat nilai mutlak: \(2x+1 > 3\) atau \(2x+1 < -3\)
Kasus 1: \(2x > 2\) → \(x > 1\)
Kasus 2: \(2x < -4\) → \(x < -2\)
HP: \((-\infty, -2) \cup (1, \infty)\)
15. Tentukan semua nilai \(a\) agar pertidaksamaan \(ax + 2 > 3x – a\) mempunyai penyelesaian \(x < 2\).
Pembahasan
\(ax – 3x > -a – 2\)
\((a-3)x > -(a+2)\)
Agar penyelesaiannya \(x < 2\), maka \(a – 3 < 0\) (tanda berbalik saat bagi) dan:
\(x < \frac{-(a+2)}{a-3} = \frac{a+2}{3-a}\)
Syarat: \(\frac{a+2}{3-a} = 2\) → \(a+2 = 6-2a\) → \(3a = 4\) → \(a = \frac{4}{3}\)
Periksa \(a – 3 = \frac{4}{3} – 3 = -\frac{5}{3} < 0\) ✓
Jawaban: \(a = \frac{4}{3}\)
Latihan Soal – Pertidaksamaan Linear
Mudah
- Selesaikan \(4x – 5 > 7\).
- Selesaikan \(3 – x \geq 1\).
- Selesaikan \(6x + 2 \leq 20\).
- Selesaikan \(-3x < 12\).
- Selesaikan \(2(x+1) > 10\).
Sedang
- Selesaikan \(2 < 3x – 4 \leq 11\).
- Selesaikan \(\frac{x-2}{3} \leq \frac{x+1}{2}\).
- Selesaikan \(4(x-1) – 3(x+2) > 0\).
- Selesaikan \(5 – 2(3-x) \leq 3x + 1\).
- Selesaikan \(-1 < \frac{2x+3}{5} \leq 3\).
Sulit
- Selesaikan \(\frac{x-1}{2} + \frac{x+3}{4} > \frac{2x-1}{3}\).
- Tentukan bilangan bulat yang memenuhi \(-4 < 2-3x \leq 11\).
- Selesaikan \(|3x – 2| \leq 7\).
- Tentukan nilai \(m\) agar \(mx + 3 > 2x – 1\) mempunyai HP = \((2, \infty)\).
- Selesaikan sistem: \(x + 3 > 2\) dan \(5 – 2x > -3\) dan \(3x \leq 12\).
4. Pertidaksamaan Kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat memiliki bentuk umum:
\(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c \geq 0\), \(ax^2 + bx + c < 0\), atau \(ax^2 + bx + c \leq 0\)
dengan \(a \neq 0\).
Bagaimana cara menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat? Apa hubungan antara tanda pertidaksamaan dengan letak parabola terhadap sumbu-x?
Langkah Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat:
- Pastikan ruas kanan = 0.
- Pastikan koefisien \(a > 0\) (jika \(a < 0\), kalikan \(-1\) dan balik tanda).
- Faktorkan atau cari akar dengan rumus abc.
- Tentukan penyelesaian berdasarkan tanda:
| Bentuk (a > 0) | Penyelesaian (akar: \(x_1 < x_2\)) |
|---|---|
| \(ax^2+bx+c > 0\) | \(x < x_1\) atau \(x > x_2\) |
| \(ax^2+bx+c \geq 0\) | \(x \leq x_1\) atau \(x \geq x_2\) |
| \(ax^2+bx+c < 0\) | \(x_1 < x < x_2\) |
| \(ax^2+bx+c \leq 0\) | \(x_1 \leq x \leq x_2\) |
Prinsip: Untuk \(a > 0\), parabola terbuka ke atas. Bagian yang di atas sumbu-x (positif) adalah di luar akar, bagian yang di bawah (negatif) adalah di antara akar.
Perhatikan sketsa parabola \(y = (x-1)(x-4)\):
Dari grafik: \((x-1)(x-4) < 0\) ↔ \(1 < x < 4\) (daerah di bawah sumbu-x).
Tips Mengingat:
- \(> 0\) atau \(\geq 0\): ambil daerah di luar kedua akar.
- \(< 0\) atau \(\leq 0\): ambil daerah di antara kedua akar.
- Jika diskriminan \(< 0\): tidak ada akar real. Parabola selalu di atas/bawah sumbu-x.
Contoh Soal – Pertidaksamaan Kuadrat
▸ Mudah (1–5)
1. Selesaikan \(x^2 – 5x + 6 > 0\).
Pembahasan
Faktor: \((x-2)(x-3) > 0\)
Akar: \(x_1 = 2, x_2 = 3\)
Karena \(> 0\): di luar akar.
HP: \((-\infty, 2) \cup (3, \infty)\)
2. Selesaikan \(x^2 – 4 \leq 0\).
Pembahasan
Faktor: \((x-2)(x+2) \leq 0\)
Akar: \(x_1 = -2, x_2 = 2\)
Karena \(\leq 0\): di antara akar (termasuk batas).
HP: \([-2, 2]\)
3. Selesaikan \(x^2 + x – 6 < 0\).
Pembahasan
Faktor: \((x+3)(x-2) < 0\)
Akar: \(x_1 = -3, x_2 = 2\)
HP: \((-3, 2)\)
4. Selesaikan \(x^2 – 9 \geq 0\).
Pembahasan
Faktor: \((x-3)(x+3) \geq 0\)
HP: \((-\infty, -3] \cup [3, \infty)\)
5. Selesaikan \(x^2 – 6x + 8 \leq 0\).
Pembahasan
Faktor: \((x-2)(x-4) \leq 0\)
HP: \([2, 4]\)
▸ Sedang (6–10)
6. Selesaikan \(2x^2 – 7x + 3 > 0\).
Pembahasan
Faktor: \((2x-1)(x-3) > 0\)
Akar: \(x = \frac{1}{2},\; x = 3\)
HP: \(\left(-\infty, \frac{1}{2}\right) \cup (3, \infty)\)
7. Selesaikan \(-x^2 + 4x – 3 \geq 0\).
Pembahasan
Kali \(-1\): \(x^2 – 4x + 3 \leq 0\)
Faktor: \((x-1)(x-3) \leq 0\)
HP: \([1, 3]\)
8. Selesaikan \(x^2 – 2x – 8 < 0\).
Pembahasan
Faktor: \((x-4)(x+2) < 0\)
HP: \((-2, 4)\)
9. Selesaikan \(3x^2 + 5x – 2 \geq 0\).
Pembahasan
Faktor: \((3x-1)(x+2) \geq 0\)
Akar: \(x = \frac{1}{3},\; x = -2\)
HP: \((-\infty, -2] \cup \left[\frac{1}{3}, \infty\right)\)
10. Selesaikan \(x^2 + 2x + 1 > 0\).
Pembahasan
Faktor: \((x+1)^2 > 0\)
\((x+1)^2 \geq 0\) untuk semua \(x\), dan \(= 0\) hanya saat \(x = -1\).
HP: \(\{x \mid x \neq -1\} = (-\infty, -1) \cup (-1, \infty)\)
▸ Sulit (11–15)
11. Selesaikan \(x^2 – 4x + 5 > 0\).
Pembahasan
Diskriminan: \(D = 16 – 20 = -4 < 0\)
Karena \(a = 1 > 0\) dan \(D < 0\), parabola selalu di atas sumbu-x.
HP: \(\mathbb{R}\) (semua bilangan real)
12. Selesaikan \(x^2(x-3)(x+2) \leq 0\).
Pembahasan
Akar: \(x = 0\) (ganda), \(x = 3\), \(x = -2\).
Uji tanda (koef. tertinggi positif, pangkat 4):
| \(x\) | \(x<-2\) | \(-2 |
\(0 |
\(x>3\) |
|---|---|---|---|---|
| Tanda | + | − | − | + |
\(\leq 0\): \([-2, 3]\) (termasuk titik \(x=0\) karena \(\leq\)).
HP: \([-2, 3]\)
13. Tentukan nilai \(k\) agar \(x^2 – kx + 4 > 0\) untuk semua \(x \in \mathbb{R}\).
Pembahasan
Agar selalu positif: \(a > 0\) (terpenuhi, \(a=1\)) dan \(D < 0\).
\(D = k^2 – 16 < 0\)
\(k^2 < 16\)
\(-4 < k < 4\)
Jawaban: \(k \in (-4, 4)\)
14. Selesaikan \(x^4 – 5x^2 + 4 \leq 0\).
Pembahasan
Substitusi \(u = x^2\): \(u^2 – 5u + 4 \leq 0\)
Faktor: \((u-1)(u-4) \leq 0\) → \(1 \leq u \leq 4\)
Kembali: \(1 \leq x^2 \leq 4\)
\(x^2 \geq 1\): \(x \leq -1\) atau \(x \geq 1\)
\(x^2 \leq 4\): \(-2 \leq x \leq 2\)
Irisan: \([-2, -1] \cup [1, 2]\)
HP: \([-2, -1] \cup [1, 2]\)
15. Selesaikan \((x^2-1)(x^2-4) < 0\).
Pembahasan
Faktor: \((x-1)(x+1)(x-2)(x+2) < 0\)
Akar: \(-2, -1, 1, 2\). Uji tanda:
| Interval | \(x<-2\) | \(-2 |
\(-1 |
\(1 |
\(x>2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Tanda | + | − | + | − | + |
HP: \((-2, -1) \cup (1, 2)\)
Latihan Soal – Pertidaksamaan Kuadrat
Mudah
- Selesaikan \(x^2 – 3x + 2 > 0\).
- Selesaikan \(x^2 – 16 \leq 0\).
- Selesaikan \(x^2 + 2x – 3 < 0\).
- Selesaikan \(x^2 – 25 \geq 0\).
- Selesaikan \(x^2 – 7x + 10 \leq 0\).
Sedang
- Selesaikan \(2x^2 + x – 6 < 0\).
- Selesaikan \(-x^2 + 5x – 4 > 0\).
- Selesaikan \(4x^2 – 12x + 9 \geq 0\).
- Selesaikan \(x^2 + 4x + 5 > 0\).
- Selesaikan \(6x^2 – x – 1 \leq 0\).
Sulit
- Tentukan nilai \(p\) agar \(x^2 + px + 9 \geq 0\) untuk semua \(x\).
- Selesaikan \(x^4 – 10x^2 + 9 < 0\).
- Selesaikan \((2x-1)^2 < (x+3)^2\).
- Selesaikan \(x^3 – 4x > 0\).
- Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi \(x^2 – 5x + 6 \leq 0\) dan \(x^2 – 4 > 0\) sekaligus.
5. Pertidaksamaan Pecahan (Rasional)
Pertidaksamaan pecahan memiliki bentuk:
\(\frac{f(x)}{g(x)} > 0\), \(\frac{f(x)}{g(x)} \leq 0\), dll.
dimana \(g(x) \neq 0\).
Mengapa kita tidak boleh langsung mengalikan silang pada pertidaksamaan pecahan? Bagaimana cara yang benar?
Aturan Penting:
⚠️ JANGAN mengalikan silang! Karena kita tidak tahu tanda penyebut (bisa positif atau negatif).
Langkah Penyelesaian:
- Pindahkan semua ke satu ruas sehingga ruas lain = 0.
- Sederhanakan menjadi satu pecahan: \(\frac{f(x)}{g(x)} \gtrless 0\).
- Cari pembuat nol pembilang dan penyebut.
- Buat garis bilangan dan tentukan tanda di setiap interval.
- Pilih interval yang sesuai. Penyebut = 0 selalu dicoret (tidak boleh termasuk)!
Contoh Cepat: Selesaikan \(\frac{x-2}{x+1} > 0\).
Pembuat nol: \(x = 2\) (pembilang), \(x = -1\) (penyebut).
| Interval | \(x < -1\) | \(-1 < x < 2\) | \(x > 2\) |
|---|---|---|---|
| \(x-2\) | − | − | + |
| \(x+1\) | − | + | + |
| Hasil | + | − | + |
HP: \((-\infty, -1) \cup (2, \infty)\). (Catatan: \(x = -1\) tidak termasuk karena penyebut = 0)
Ringkasan:
- Nilai yang membuat penyebut = 0 selalu tidak termasuk dalam HP.
- Untuk \(\geq 0\) atau \(\leq 0\): nilai pembilang = 0 termasuk HP (karena pecahan = 0).
- Gunakan tabel tanda atau garis bilangan untuk menentukan interval.
Contoh Soal – Pertidaksamaan Pecahan
▸ Mudah (1–5)
1. Selesaikan \(\frac{x-3}{x+2} > 0\).
Pembahasan
Pembuat nol: \(x = 3, x = -2\).
Tanda: \(x < -2\) (+), \(-2 < x < 3\) (−), \(x > 3\) (+).
HP: \((-\infty, -2) \cup (3, \infty)\)
2. Selesaikan \(\frac{x+1}{x-4} \leq 0\).
Pembahasan
Pembuat nol: \(x = -1, x = 4\).
Tanda: \(x < -1\) (+), \(-1 < x < 4\) (−), \(x > 4\) (+).
\(\leq 0\): ambil interval negatif, \(x = -1\) termasuk (pembilang=0), \(x = 4\) tidak.
HP: \([-1, 4)\)
3. Selesaikan \(\frac{2x}{x-1} \geq 0\).
Pembahasan
Pembuat nol: \(x = 0, x = 1\).
Tanda: \(x < 0\) (+), \(0 < x < 1\) (−), \(x > 1\) (+).
\(\geq 0\): \(x = 0\) termasuk, \(x = 1\) tidak.
HP: \((-\infty, 0] \cup (1, \infty)\)
4. Selesaikan \(\frac{x}{x+3} < 0\).
Pembahasan
Pembuat nol: \(x = 0, x = -3\).
\(< 0\): interval \((-3, 0)\).
HP: \((-3, 0)\)
5. Selesaikan \(\frac{x-5}{x} > 0\).
Pembahasan
Pembuat nol: \(x = 5, x = 0\).
\(> 0\): \((-\infty, 0) \cup (5, \infty)\).
HP: \((-\infty, 0) \cup (5, \infty)\)
▸ Sedang (6–10)
6. Selesaikan \(\frac{x+2}{x-1} \geq 3\).
Pembahasan
Pindah: \(\frac{x+2}{x-1} – 3 \geq 0\)
\(\frac{x+2 – 3(x-1)}{x-1} \geq 0\)
\(\frac{x+2-3x+3}{x-1} \geq 0 = \frac{-2x+5}{x-1} \geq 0\)
Pembuat nol: \(x = \frac{5}{2}, x = 1\).
Tanda: \(x < 1\) (−), \(1 < x < \frac{5}{2}\) (+), \(x > \frac{5}{2}\) (−).
\(\geq 0\): \(x = \frac{5}{2}\) termasuk, \(x = 1\) tidak.
HP: \(\left(1, \frac{5}{2}\right]\)
7. Selesaikan \(\frac{x^2 – 4}{x + 3} < 0\).
Pembahasan
Faktor: \(\frac{(x-2)(x+2)}{x+3} < 0\)
Pembuat nol: \(x = 2, -2, -3\). Uji tanda:
| \(x<-3\) | \(-3 |
\(-2 |
\(x>2\) |
|---|---|---|---|
| − | + | − | + |
HP: \((-\infty, -3) \cup (-2, 2)\)
8. Selesaikan \(\frac{2x-1}{x+4} \leq 1\).
Pembahasan
\(\frac{2x-1}{x+4} – 1 \leq 0 = \frac{2x-1-(x+4)}{x+4} = \frac{x-5}{x+4} \leq 0\)
Pembuat nol: \(x = 5, x = -4\).
\(\leq 0\): \(x = 5\) termasuk, \(x = -4\) tidak.
HP: \((-4, 5]\)
9. Selesaikan \(\frac{(x-1)(x+3)}{x-2} > 0\).
Pembahasan
Pembuat nol: \(x = 1, -3, 2\). Uji tanda:
| \(x<-3\) | \(-3 |
\(1 |
\(x>2\) |
|---|---|---|---|
| − | + | − | + |
HP: \((-3, 1) \cup (2, \infty)\)
10. Selesaikan \(\frac{3}{x-2} < \frac{1}{x+1}\).
Pembahasan
\(\frac{3}{x-2} – \frac{1}{x+1} < 0\)
\(\frac{3(x+1) – (x-2)}{(x-2)(x+1)} < 0 = \frac{2x+5}{(x-2)(x+1)} < 0\)
Pembuat nol: \(x = -\frac{5}{2}, -1, 2\). Uji tanda:
| \(x<-\frac{5}{2}\) | \(-\frac{5}{2} |
\(-1 |
\(x>2\) |
|---|---|---|---|
| + | − | + | − |
HP: \(\left(-\frac{5}{2}, -1\right) \cup (2, \infty)\)
▸ Sulit (11–15)
11. Selesaikan \(\frac{x^2 – x – 6}{x^2 – 1} \leq 0\).
Pembahasan
Faktor: \(\frac{(x-3)(x+2)}{(x-1)(x+1)} \leq 0\)
Pembuat nol: \(x = 3, -2, 1, -1\).
| \(x<-2\) | \(-2 |
\(-1 |
\(1 |
\(x>3\) |
|---|---|---|---|---|
| + | − | + | − | + |
\(\leq 0\): \(x=-2, 3\) termasuk; \(x=-1, 1\) tidak.
HP: \([-2, -1) \cup (1, 3]\)
12. Selesaikan \(\frac{x+1}{x-2} + \frac{x-3}{x+2} \geq 0\).
Pembahasan
Samakan penyebut: \(\frac{(x+1)(x+2)+(x-3)(x-2)}{(x-2)(x+2)} \geq 0\)
Pembilang: \((x^2+3x+2)+(x^2-5x+6) = 2x^2-2x+8\)
Diskriminan pembilang: \(4 – 64 = -60 < 0\), dan koef. positif → selalu positif.
Jadi tinggal lihat penyebut: \((x-2)(x+2) > 0\) → \(x<-2\) atau \(x>2\).
Karena pembilang selalu \(>0\), dan \(\geq 0\): penyebut harus \(> 0\).
HP: \((-\infty, -2) \cup (2, \infty)\)
13. Selesaikan \(\frac{x}{x+1} \geq \frac{x+1}{x}\).
Pembahasan
\(\frac{x}{x+1} – \frac{x+1}{x} \geq 0 = \frac{x^2 – (x+1)^2}{x(x+1)} = \frac{x^2-x^2-2x-1}{x(x+1)} = \frac{-(2x+1)}{x(x+1)} \geq 0\)
Sama dengan: \(\frac{2x+1}{x(x+1)} \leq 0\)
Pembuat nol: \(x = -\frac{1}{2}, 0, -1\). Uji tanda:
| \(x<-1\) | \(-1 |
\(-\frac{1}{2} |
\(x>0\) |
|---|---|---|---|
| − | + | − | + |
\(\leq 0\): \(x=-\frac{1}{2}\) termasuk; \(x = -1, 0\) tidak.
HP: \((-\infty, -1) \cup \left[-\frac{1}{2}, 0\right)\)
14. Selesaikan \(\frac{|x-1|}{x+2} > 1\).
Pembahasan
Kasus 1: \(x \geq 1\) → \(\frac{x-1}{x+2} > 1\)
\(\frac{x-1-(x+2)}{x+2} > 0 = \frac{-3}{x+2} > 0\) → \(x+2 < 0\) → \(x < -2\).
Irisan dengan \(x \geq 1\): kosong.
Kasus 2: \(x < 1\) → \(\frac{-(x-1)}{x+2} > 1 = \frac{1-x}{x+2} > 1\)
\(\frac{1-x-(x+2)}{x+2} > 0 = \frac{-2x-1}{x+2} > 0 = \frac{2x+1}{x+2} < 0\)
Pembuat nol: \(x = -\frac{1}{2}, x = -2\).
\(< 0\): \((-2, -\frac{1}{2})\).
Irisan dengan \(x < 1\): \((-2, -\frac{1}{2})\).
HP: \(\left(-2, -\frac{1}{2}\right)\)
15. Selesaikan \(\frac{x^2-3x+2}{x^2+x-6} < 0\).
Pembahasan
Faktor: \(\frac{(x-1)(x-2)}{(x+3)(x-2)} < 0\)
Sederhanakan (\(x \neq 2\)): \(\frac{x-1}{x+3} < 0\)
Pembuat nol: \(x = 1, x = -3\).
\(< 0\): \((-3, 1)\), dengan syarat \(x \neq 2\) (sudah terpenuhi).
HP: \((-3, 1)\)
Latihan Soal – Pertidaksamaan Pecahan
Mudah
- Selesaikan \(\frac{x-4}{x+1} > 0\).
- Selesaikan \(\frac{x+2}{x-3} \leq 0\).
- Selesaikan \(\frac{3x}{x-5} \geq 0\).
- Selesaikan \(\frac{x-1}{x+4} < 0\).
- Selesaikan \(\frac{2x+6}{x} > 0\).
Sedang
- Selesaikan \(\frac{x-1}{x+2} \geq 2\).
- Selesaikan \(\frac{x^2-9}{x+1} > 0\).
- Selesaikan \(\frac{2}{x-3} \leq \frac{1}{x+1}\).
- Selesaikan \(\frac{(x+1)(x-4)}{x-2} \leq 0\).
- Selesaikan \(\frac{x-3}{x+2} < 2\).
Sulit
- Selesaikan \(\frac{x^2-4x+3}{x^2-x-2} \geq 0\).
- Selesaikan \(\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} > \frac{1}{x}\).
- Selesaikan \(\frac{|x+2|}{x-1} \leq 2\).
- Selesaikan \(\frac{x^3-x}{x^2-4} > 0\).
- Selesaikan \(\frac{x^2-5x+6}{x^2-6x+8} < 0\).
Rangkuman
| Jenis Pertidaksamaan | Metode Utama | Hal Penting |
|---|---|---|
| Linear | Operasi aljabar biasa | Kali/bagi negatif → tanda berbalik |
| Kuadrat | Faktorisasi + sketsa parabola | > 0: di luar akar; < 0: di antara akar |
| Pecahan | Tabel tanda | Penyebut = 0 selalu tidak termasuk HP |
Tuliskan jawaban dalam notasi interval untuk hasil yang rapi dan jelas.