Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak
Materi Matematika
A. Materi: Persamaan Nilai Mutlak
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan persamaan berikut:
Persamaan di atas memuat tanda nilai mutlak. Artinya, kita mencari semua nilai \(x\) yang membuat ekspresi di dalam tanda mutlak berjarak 5 satuan dari nol pada garis bilangan.
Amati bahwa jika \(|A| = B\) dengan \(B \geq 0\), maka terdapat dua kemungkinan: \(A = B\) atau \(A = -B\).
📐 Definisi Persamaan Nilai Mutlak
Persamaan nilai mutlak adalah persamaan yang memuat ekspresi dalam tanda nilai mutlak \(| \cdot |\).
Bentuk Umum:
Penyelesaian:
Bentuk kedua:
Penyelesaian:
⚠️ Catatan: Jika \(|f(x)| = c\) dengan \(c < 0\), maka persamaan tidak memiliki penyelesaian (himpunan penyelesaian kosong).
❓ Kegiatan: Menanya
- Mengapa persamaan \(|f(x)| = c\) menghasilkan dua persamaan?
- Kapan persamaan nilai mutlak tidak memiliki solusi?
- Bagaimana langkah-langkah sistematis menyelesaikan persamaan nilai mutlak?
💡 Kegiatan: Menalar
Langkah-langkah menyelesaikan persamaan \(|f(x)| = c\):
- Pastikan ruas kanan \(c \geq 0\). Jika \(c < 0\), langsung simpulkan tidak ada solusi.
- Buat dua persamaan: \(f(x) = c\) dan \(f(x) = -c\).
- Selesaikan masing-masing persamaan.
- Periksa (substitusi) apakah semua solusi memenuhi persamaan asal.
- Tuliskan himpunan penyelesaian.
Langkah-langkah menyelesaikan persamaan \(|f(x)| = |g(x)|\):
- Buat dua persamaan: \(f(x) = g(x)\) dan \(f(x) = -g(x)\).
- Selesaikan masing-masing persamaan.
- Periksa semua solusi ke persamaan asal.
- Tuliskan himpunan penyelesaian.
✏️ Kegiatan: Mencoba
Cobalah selesaikan persamaan berikut menggunakan langkah-langkah di atas:
Petunjuk: Buat \(2x+1 = 7\) dan \(2x+1 = -7\), lalu selesaikan masing-masing.
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Setelah menemukan solusi, tuliskan penyelesaian secara lengkap dengan langkah-langkah yang jelas. Pastikan Anda menuliskan himpunan penyelesaian di akhir, misalnya:
B. Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Contoh 1: Selesaikan \(|x| = 4\)
Pembahasan:
\(|x| = 4\) berarti \(x = 4\) atau \(x = -4\)
HP = {−4, 4}
Contoh 2: Selesaikan \(|x – 2| = 3\)
Pembahasan:
Kasus 1: \(x – 2 = 3 \Rightarrow x = 5\)
Kasus 2: \(x – 2 = -3 \Rightarrow x = -1\)
HP = {−1, 5}
Contoh 3: Selesaikan \(|2x| = 10\)
Pembahasan:
Kasus 1: \(2x = 10 \Rightarrow x = 5\)
Kasus 2: \(2x = -10 \Rightarrow x = -5\)
HP = {−5, 5}
Contoh 4: Selesaikan \(|x + 5| = 0\)
Pembahasan:
\(|x+5| = 0\) berarti \(x + 5 = 0\), sehingga \(x = -5\)
HP = {−5}
Contoh 5: Selesaikan \(|x – 1| = -2\)
Pembahasan:
Nilai mutlak selalu \(\geq 0\), sehingga \(|x-1| = -2\) tidak mungkin.
HP = { } (himpunan kosong)
Tingkat Sedang
Contoh 6: Selesaikan \(|2x – 3| = 7\)
Pembahasan:
Kasus 1: \(2x – 3 = 7 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5\)
Kasus 2: \(2x – 3 = -7 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2\)
HP = {−2, 5}
Contoh 7: Selesaikan \(|3x + 1| = |x – 5|\)
Pembahasan:
Kasus 1: \(3x + 1 = x – 5 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3\)
Kasus 2: \(3x + 1 = -(x – 5) \Rightarrow 3x + 1 = -x + 5 \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1\)
Cek: \(|3(-3)+1| = |-8| = 8\) dan \(|-3-5| = |-8| = 8\) ✓
\(|3(1)+1| = |4| = 4\) dan \(|1-5| = |-4| = 4\) ✓
HP = {−3, 1}
Contoh 8: Selesaikan \(|4x – 2| = 2x + 6\)
Pembahasan:
Syarat: \(2x + 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3\)
Kasus 1: \(4x – 2 = 2x + 6 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4\). Cek: \(x=4 \geq -3\) ✓
Kasus 2: \(4x – 2 = -(2x + 6) \Rightarrow 4x – 2 = -2x – 6 \Rightarrow 6x = -4 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}\). Cek: \(x = -\frac{2}{3} \geq -3\) ✓
Verifikasi kasus 2: \(|4(-\frac{2}{3})-2| = |-\frac{8}{3}-2| = |-\frac{14}{3}| = \frac{14}{3}\) dan \(2(-\frac{2}{3})+6 = -\frac{4}{3}+6 = \frac{14}{3}\) ✓
HP = {−2/3, 4}
Contoh 9: Selesaikan \(|x^2 – 4| = 0\)
Pembahasan:
\(|x^2 – 4| = 0 \Rightarrow x^2 – 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\)
HP = {−2, 2}
Contoh 10: Selesaikan \(2|x – 1| + 3 = 9\)
Pembahasan:
Sederhanakan: \(2|x-1| = 6 \Rightarrow |x-1| = 3\)
Kasus 1: \(x – 1 = 3 \Rightarrow x = 4\)
Kasus 2: \(x – 1 = -3 \Rightarrow x = -2\)
HP = {−2, 4}
Tingkat Sulit
Contoh 11: Selesaikan \(|x^2 – 5x + 4| = 2\)
Pembahasan:
Kasus 1: \(x^2 – 5x + 4 = 2 \Rightarrow x^2 – 5x + 2 = 0\)
\(x = \frac{5 \pm \sqrt{25-8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}\)
Kasus 2: \(x^2 – 5x + 4 = -2 \Rightarrow x^2 – 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) = 0\)
\(x = 2\) atau \(x = 3\)
HP = \(\left\{2,\ 3,\ \frac{5-\sqrt{17}}{2},\ \frac{5+\sqrt{17}}{2}\right\}\)
Contoh 12: Selesaikan \(|2x – 1| + |x + 3| = 10\)
Pembahasan:
Titik kritis: \(x = \frac{1}{2}\) dan \(x = -3\). Bagi menjadi 3 interval:
Interval 1: \(x < -3\)
\(-(2x-1) + (-(x+3)) = 10 \Rightarrow -2x+1-x-3 = 10 \Rightarrow -3x = 12 \Rightarrow x = -4\)
Cek: \(x=-4 < -3\) ✓. Verifikasi: \(|-9|+|-1| = 9+1 = 10\) ✓
Interval 2: \(-3 \leq x < \frac{1}{2}\)
\(-(2x-1) + (x+3) = 10 \Rightarrow -2x+1+x+3 = 10 \Rightarrow -x = 6 \Rightarrow x = -6\)
Cek: \(x=-6\) tidak berada di \([-3, \frac{1}{2})\) ✗
Interval 3: \(x \geq \frac{1}{2}\)
\((2x-1) + (x+3) = 10 \Rightarrow 3x+2 = 10 \Rightarrow 3x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{3}\)
Cek: \(x=\frac{8}{3} \geq \frac{1}{2}\) ✓. Verifikasi: \(|\frac{13}{3}|+|\frac{17}{3}| = \frac{30}{3} = 10\) ✓
HP = {−4, 8/3}
Contoh 13: Selesaikan \(|x^2 – 3x| = |2x – 4|\)
Pembahasan:
Kasus 1: \(x^2 – 3x = 2x – 4 \Rightarrow x^2 – 5x + 4 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-4) = 0\)
\(x = 1\) atau \(x = 4\)
Kasus 2: \(x^2 – 3x = -(2x-4) \Rightarrow x^2 – 3x = -2x + 4 \Rightarrow x^2 – x – 4 = 0\)
\(x = \frac{1 \pm \sqrt{1+16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}\)
HP = \(\left\{1,\ 4,\ \frac{1-\sqrt{17}}{2},\ \frac{1+\sqrt{17}}{2}\right\}\)
Contoh 14: Selesaikan \(|x – 2| = 3x – 4\)
Pembahasan:
Syarat: \(3x – 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{4}{3}\)
Kasus 1: \(x – 2 = 3x – 4 \Rightarrow -2x = -2 \Rightarrow x = 1\). Cek: \(x=1 < \frac{4}{3}\) ✗
Kasus 2: \(x – 2 = -(3x-4) \Rightarrow x – 2 = -3x + 4 \Rightarrow 4x = 6 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\)
Cek: \(x = \frac{3}{2} \geq \frac{4}{3}\) ✓. Verifikasi: \(|\frac{3}{2}-2| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}\) dan \(3(\frac{3}{2})-4 = \frac{9}{2}-4 = \frac{1}{2}\) ✓
HP = {3/2}
Contoh 15: Selesaikan \(|x^2 – 4x + 3| = x – 1\)
Pembahasan:
Syarat: \(x – 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1\)
Kasus 1: \(x^2 – 4x + 3 = x – 1 \Rightarrow x^2 – 5x + 4 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-4) = 0\)
\(x = 1\) atau \(x = 4\). Keduanya \(\geq 1\) ✓
Kasus 2: \(x^2 – 4x + 3 = -(x-1) \Rightarrow x^2 – 4x + 3 = -x + 1 \Rightarrow x^2 – 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-2) = 0\)
\(x = 1\) atau \(x = 2\). Keduanya \(\geq 1\) ✓
Verifikasi \(x=2\): \(|4-8+3| = |-1| = 1\) dan \(2-1=1\) ✓
HP = {1, 2, 4}
C. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan di atas. Tuliskan langkah penyelesaian secara lengkap.
Tingkat Mudah
- Selesaikan \(|x| = 7\)
- Selesaikan \(|x + 4| = 6\)
- Selesaikan \(|3x| = 9\)
- Selesaikan \(|x – 5| = 0\)
- Selesaikan \(|x + 2| = -3\)
Tingkat Sedang
- Selesaikan \(|3x – 5| = 4\)
- Selesaikan \(|2x + 1| = |x – 4|\)
- Selesaikan \(3|x – 2| – 1 = 8\)
- Selesaikan \(|5x – 3| = 2x + 6\)
- Selesaikan \(|x^2 – 9| = 0\)
Tingkat Sulit
- Selesaikan \(|x^2 – 2x – 3| = 5\)
- Selesaikan \(|x – 1| + |x + 2| = 7\)
- Selesaikan \(|x^2 – 4x| = |3x – 6|\)
- Selesaikan \(|2x + 3| = x^2\)
- Selesaikan \(|x^2 – x – 6| = x + 2\)