Persamaan Nilai Mutlak Bentuk Kuadrat
Materi Matematika SMA/SMK Kelas X
Materi: Persamaan Nilai Mutlak Bentuk Kuadrat
Perhatikan ekspresi-ekspresi berikut:
\( |x^2 – 5x + 6| = 2 \)
\( |x^2 + 3x – 4| = |x + 2| \)
\( |x^2 – 1| = x + 1 \)
Ekspresi di atas merupakan contoh persamaan nilai mutlak bentuk kuadrat, yaitu persamaan yang memuat nilai mutlak dengan ekspresi kuadrat di dalamnya.
A. Pengertian
Persamaan nilai mutlak bentuk kuadrat adalah persamaan yang memuat tanda nilai mutlak \(| \cdot |\) dimana ekspresi di dalam nilai mutlak merupakan fungsi kuadrat (berderajat dua).
Bentuk umum:
\( |ax^2 + bx + c| = d \)
dengan \(a \neq 0\) dan \(d \geq 0\)
Ingat definisi nilai mutlak:
Pertanyaan yang perlu dipikirkan:
- Bagaimana cara menyelesaikan \(|f(x)| = k\) jika \(f(x)\) adalah fungsi kuadrat?
- Bagaimana jika kedua ruas memuat nilai mutlak, misalnya \(|f(x)| = |g(x)|\)?
- Kapan suatu persamaan nilai mutlak kuadrat tidak memiliki solusi?
B. Prinsip Penyelesaian
Tipe 1: \(|f(x)| = k\) dengan \(k \geq 0\)
\( |f(x)| = k \iff f(x) = k \text{ atau } f(x) = -k \)
Selesaikan masing-masing persamaan kuadrat yang dihasilkan, kemudian gabungkan solusinya.
Catatan: Jika \(k < 0\), maka persamaan tidak memiliki solusi karena \(|f(x)| \geq 0\) untuk semua \(x\).
Tipe 2: \(|f(x)| = g(x)\)
\( |f(x)| = g(x) \iff \)
\( f(x) = g(x) \) atau \( f(x) = -g(x) \)
dengan syarat \(g(x) \geq 0\)
Setelah mendapat solusi, wajib diverifikasi bahwa \(g(x) \geq 0\) pada solusi tersebut.
Tipe 3: \(|f(x)| = |g(x)|\)
\( |f(x)| = |g(x)| \iff f(x) = g(x) \text{ atau } f(x) = -g(x) \)
Pada tipe ini tidak perlu syarat tambahan karena kedua ruas sudah non-negatif.
Tipe 4: \(|f(x)|^2 + a|f(x)| + b = 0\) (Substitusi)
Misalkan \(u = |f(x)|\), maka persamaan menjadi kuadrat dalam \(u\):
\( u^2 + au + b = 0, \quad u \geq 0 \)
Selesaikan untuk \(u\), ambil yang \(u \geq 0\), lalu selesaikan \(|f(x)| = u\).
C. Langkah-Langkah Penyelesaian
- Identifikasi tipe persamaan nilai mutlak kuadrat.
- Terapkan definisi nilai mutlak → pisahkan menjadi dua kasus.
- Selesaikan masing-masing persamaan kuadrat (faktorisasi, rumus ABC, atau melengkapkan kuadrat sempurna).
- Verifikasi setiap solusi → substitusi kembali ke persamaan awal.
- Tuliskan himpunan penyelesaian.
D. Ringkasan Penting
| Bentuk Persamaan | Penyelesaian | Syarat |
|---|---|---|
| \(|f(x)| = k\) | \(f(x) = k\) atau \(f(x) = -k\) | \(k \geq 0\) |
| \(|f(x)| = g(x)\) | \(f(x) = g(x)\) atau \(f(x) = -g(x)\) | \(g(x) \geq 0\) |
| \(|f(x)| = |g(x)|\) | \(f(x) = g(x)\) atau \(f(x) = -g(x)\) | Tidak ada syarat tambahan |
Contoh Soal & Pembahasan
Tingkat Mudah
Tentukan himpunan penyelesaian dari \( |x^2 – 4| = 0 \)
▶ Lihat Pembahasan
\(|x^2 – 4| = 0 \implies x^2 – 4 = 0\)
\(x^2 = 4\)
\(x = 2\) atau \(x = -2\)
HP = \(\{-2, 2\}\)
Selesaikan \( |x^2 – 9| = 7 \)
▶ Lihat Pembahasan
Kasus 1: \(x^2 – 9 = 7 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4\)
Kasus 2: \(x^2 – 9 = -7 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}\)
HP = \(\{-4, -\sqrt{2}, \sqrt{2}, 4\}\)
Selesaikan \( |x^2 – 1| = 3 \)
▶ Lihat Pembahasan
Kasus 1: \(x^2 – 1 = 3 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2\)
Kasus 2: \(x^2 – 1 = -3 \implies x^2 = -2\) → tidak ada solusi real
HP = \(\{-2, 2\}\)
Selesaikan \( |x^2 + 2x| = 0 \)
▶ Lihat Pembahasan
\(|x^2 + 2x| = 0 \implies x^2 + 2x = 0\)
\(x(x + 2) = 0\)
\(x = 0\) atau \(x = -2\)
HP = \(\{-2, 0\}\)
Selesaikan \( |x^2 – 5x + 6| = 0 \)
▶ Lihat Pembahasan
\(x^2 – 5x + 6 = 0\)
\((x-2)(x-3) = 0\)
\(x = 2\) atau \(x = 3\)
HP = \(\{2, 3\}\)
Tingkat Sedang
Selesaikan \( |x^2 – 5x + 4| = 2 \)
▶ Lihat Pembahasan
Kasus 1: \(x^2 – 5x + 4 = 2 \implies x^2 – 5x + 2 = 0\)
\(x = \frac{5 \pm \sqrt{25-8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}\)
Kasus 2: \(x^2 – 5x + 4 = -2 \implies x^2 – 5x + 6 = 0\)
\((x-2)(x-3) = 0 \implies x = 2\) atau \(x = 3\)
HP = \(\left\{\frac{5-\sqrt{17}}{2},\ 2,\ 3,\ \frac{5+\sqrt{17}}{2}\right\}\)
Selesaikan \( |x^2 – 3x| = 2x \)
▶ Lihat Pembahasan
Syarat: \(2x \geq 0 \implies x \geq 0\)
Kasus 1: \(x^2 – 3x = 2x \implies x^2 – 5x = 0 \implies x(x-5) = 0\)
\(x = 0\) atau \(x = 5\). Keduanya memenuhi \(x \geq 0\). ✓
Kasus 2: \(x^2 – 3x = -2x \implies x^2 – x = 0 \implies x(x-1) = 0\)
\(x = 0\) atau \(x = 1\). Keduanya memenuhi \(x \geq 0\). ✓
HP = \(\{0, 1, 5\}\)
Selesaikan \( |x^2 – 4| = |x + 2| \)
▶ Lihat Pembahasan
Kasus 1: \(x^2 – 4 = x + 2 \implies x^2 – x – 6 = 0 \implies (x-3)(x+2) = 0\)
\(x = 3\) atau \(x = -2\)
Kasus 2: \(x^2 – 4 = -(x+2) \implies x^2 + x – 2 = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0\)
\(x = -2\) atau \(x = 1\)
HP = \(\{-2, 1, 3\}\)
Selesaikan \( |x^2 + x – 6| = |x – 2| \)
▶ Lihat Pembahasan
Faktorisasi: \(x^2 + x – 6 = (x+3)(x-2)\)
Kasus 1: \((x+3)(x-2) = (x-2)\)
\((x+3)(x-2) – (x-2) = 0 \implies (x-2)(x+2) = 0\)
\(x = 2\) atau \(x = -2\)
Kasus 2: \((x+3)(x-2) = -(x-2)\)
\((x+3)(x-2) + (x-2) = 0 \implies (x-2)(x+4) = 0\)
\(x = 2\) atau \(x = -4\)
HP = \(\{-4, -2, 2\}\)
Selesaikan \( |x^2 – 2x – 3| = 5 \)
▶ Lihat Pembahasan
Kasus 1: \(x^2 – 2x – 3 = 5 \implies x^2 – 2x – 8 = 0 \implies (x-4)(x+2) = 0\)
\(x = 4\) atau \(x = -2\)
Kasus 2: \(x^2 – 2x – 3 = -5 \implies x^2 – 2x + 2 = 0\)
Diskriminan: \(4 – 8 = -4 < 0\) → tidak ada solusi real
HP = \(\{-2, 4\}\)
Tingkat Sulit
Selesaikan \( |x^2 – 4x + 3| = x – 1 \)
▶ Lihat Pembahasan
Syarat: \(x – 1 \geq 0 \implies x \geq 1\)
Kasus 1: \(x^2 – 4x + 3 = x – 1 \implies x^2 – 5x + 4 = 0 \implies (x-1)(x-4) = 0\)
\(x = 1\) atau \(x = 4\). Cek: \(1 \geq 1\) ✓, \(4 \geq 1\) ✓
Kasus 2: \(x^2 – 4x + 3 = -(x-1) \implies x^2 – 3x + 2 = 0 \implies (x-1)(x-2) = 0\)
\(x = 1\) atau \(x = 2\). Cek: keduanya ≥ 1 ✓
Verifikasi semua solusi di persamaan awal:
\(x=1\): \(|1-4+3| = |0| = 0\) dan \(1-1 = 0\) ✓
\(x=2\): \(|4-8+3| = |-1| = 1\) dan \(2-1 = 1\) ✓
\(x=4\): \(|16-16+3| = |3| = 3\) dan \(4-1 = 3\) ✓
HP = \(\{1, 2, 4\}\)
Selesaikan \( |x^2 – 2x| = |x^2 – 4| \)
▶ Lihat Pembahasan
Kasus 1: \(x^2 – 2x = x^2 – 4 \implies -2x = -4 \implies x = 2\)
Kasus 2: \(x^2 – 2x = -(x^2 – 4) \implies x^2 – 2x = -x^2 + 4\)
\(2x^2 – 2x – 4 = 0 \implies x^2 – x – 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0\)
\(x = 2\) atau \(x = -1\)
HP = \(\{-1, 2\}\)
Selesaikan \( x^2 – 2|x| – 3 = 0 \)
▶ Lihat Pembahasan
Misalkan \(u = |x|\), maka \(u \geq 0\) dan \(u^2 = x^2\):
\(u^2 – 2u – 3 = 0 \implies (u-3)(u+1) = 0\)
\(u = 3\) atau \(u = -1\)
Karena \(u \geq 0\), maka \(u = 3\), sehingga \(|x| = 3 \implies x = \pm 3\)
HP = \(\{-3, 3\}\)
Selesaikan \( |x^2 – 6x + 5| = |x^2 – 4x + 3| \)
▶ Lihat Pembahasan
Kasus 1: \(x^2 – 6x + 5 = x^2 – 4x + 3 \implies -2x + 2 = 0 \implies x = 1\)
Kasus 2: \(x^2 – 6x + 5 = -(x^2 – 4x + 3)\)
\(x^2 – 6x + 5 = -x^2 + 4x – 3\)
\(2x^2 – 10x + 8 = 0 \implies x^2 – 5x + 4 = 0 \implies (x-1)(x-4) = 0\)
\(x = 1\) atau \(x = 4\)
HP = \(\{1, 4\}\)
Tentukan jumlah semua solusi dari \( |x^2 – 4x| = |x^2 – 6x + 8| \)
▶ Lihat Pembahasan
Kasus 1: \(x^2 – 4x = x^2 – 6x + 8 \implies 2x = 8 \implies x = 4\)
Kasus 2: \(x^2 – 4x = -(x^2 – 6x + 8)\)
\(x^2 – 4x = -x^2 + 6x – 8\)
\(2x^2 – 10x + 8 = 0 \implies x^2 – 5x + 4 = 0 \implies (x-1)(x-4) = 0\)
\(x = 1\) atau \(x = 4\)
Solusi: \(x = 1\) dan \(x = 4\)
Jumlah semua solusi = \(1 + 4 = 5\)
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Tuliskan himpunan penyelesaiannya.