Bentuk Umum Persamaan Nilai Mutlak
Matematika Wajib — Kelas X SMA/MA
📘 Materi
🔍 Mengamati
Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut:
- Jarak rumah Andi ke sekolah adalah 5 km. Apakah jarak bisa bernilai negatif?
- Suhu di suatu kota adalah −3°C. Berapa “besar” suhunya tanpa memperhatikan arah (positif/negatif)?
Konsep “jarak” dan “besar” tanpa tanda inilah yang diwakili oleh nilai mutlak.
Definisi Nilai Mutlak
Nilai mutlak dari suatu bilangan real \(x\), ditulis \(|x|\), didefinisikan sebagai:
Contoh sederhana: \(|5| = 5\) dan \(|-3| = 3\).
❓ Menanya
Bagaimana jika di dalam tanda nilai mutlak terdapat ekspresi aljabar, misalnya \(|2x – 6| = 10\)? Bagaimana cara menyelesaikannya?
Inilah yang disebut persamaan nilai mutlak.
Bentuk Umum Persamaan Nilai Mutlak
Tipe 1: \(|f(x)| = c\), dengan \(c \geq 0\)
Penyelesaian:
Jika \(c < 0\), maka persamaan tidak memiliki solusi karena nilai mutlak selalu ≥ 0.
Tipe 2: \(|f(x)| = |g(x)|\)
Penyelesaian:
Tipe 3: \(|f(x)| = g(x)\)
Penyelesaian:
Dengan syarat tambahan: \(g(x) \geq 0\). Solusi yang membuat \(g(x) < 0\) harus dibuang.
💡 Menalar
Mengapa pada \(|f(x)| = c\) kita mendapat dua kemungkinan?
Karena definisi nilai mutlak: \(|A| = c\) berarti \(A\) berjarak \(c\) dari nol pada garis bilangan. Ada dua titik yang berjarak \(c\) dari nol, yaitu \(c\) dan \(-c\). Sehingga \(A = c\) atau \(A = -c\).
📋 Langkah-langkah Penyelesaian
- Identifikasi tipe persamaan nilai mutlak.
- Tulis dua kemungkinan penyelesaian berdasarkan definisi.
- Selesaikan masing-masing persamaan linear/kuadrat.
- Periksa syarat (khususnya untuk Tipe 3, pastikan \(g(x) \geq 0\)).
- Tulis himpunan penyelesaian.
✋ Mencoba
Coba selesaikan: \(|3x – 9| = 6\)
Kemungkinan 1: \(3x – 9 = 6 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5\)
Kemungkinan 2: \(3x – 9 = -6 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1\)
Himpunan penyelesaian: \(\{1, 5\}\) ✓
📢 Mengkomunikasikan
Tuliskan kesimpulanmu:
- Persamaan \(|f(x)| = c\) selalu menghasilkan dua persamaan biasa (jika \(c > 0\)), satu solusi (jika \(c = 0\)), atau tidak ada solusi (jika \(c < 0\)).
- Persamaan \(|f(x)| = |g(x)|\) menghasilkan dua persamaan: \(f(x)=g(x)\) atau \(f(x)=-g(x)\).
- Selalu periksa kembali solusi terhadap syarat yang berlaku.
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH Contoh Soal 1–5
1. Selesaikan \(|x – 4| = 7\)
Pembahasan:
Kemungkinan 1: \(x – 4 = 7 \Rightarrow x = 11\)
Kemungkinan 2: \(x – 4 = -7 \Rightarrow x = -3\)
HP = \(\{-3, 11\}\)
2. Selesaikan \(|2x + 1| = 5\)
Pembahasan:
Kemungkinan 1: \(2x + 1 = 5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\)
Kemungkinan 2: \(2x + 1 = -5 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3\)
HP = \(\{-3, 2\}\)
3. Selesaikan \(|x| = 0\)
Pembahasan:
\(|x| = 0\) berarti \(x = 0\).
HP = \(\{0\}\)
4. Selesaikan \(|3x – 6| = 12\)
Pembahasan:
Kemungkinan 1: \(3x – 6 = 12 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6\)
Kemungkinan 2: \(3x – 6 = -12 \Rightarrow 3x = -6 \Rightarrow x = -2\)
HP = \(\{-2, 6\}\)
5. Selesaikan \(|x + 5| = 3\)
Pembahasan:
Kemungkinan 1: \(x + 5 = 3 \Rightarrow x = -2\)
Kemungkinan 2: \(x + 5 = -3 \Rightarrow x = -8\)
HP = \(\{-8, -2\}\)
SEDANG Contoh Soal 6–10
6. Selesaikan \(|2x – 3| = |x + 1|\)
Pembahasan: Tipe 2: \(|f(x)| = |g(x)|\)
Kemungkinan 1: \(2x – 3 = x + 1 \Rightarrow x = 4\)
Kemungkinan 2: \(2x – 3 = -(x + 1) \Rightarrow 2x – 3 = -x – 1 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\)
HP = \(\left\{\frac{2}{3},\ 4\right\}\)
7. Selesaikan \(|4x – 8| = 2x\)
Pembahasan: Tipe 3: \(|f(x)| = g(x)\), syarat \(g(x) = 2x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0\)
Kemungkinan 1: \(4x – 8 = 2x \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4\). Cek: \(2(4) = 8 \geq 0\) ✓
Kemungkinan 2: \(4x – 8 = -2x \Rightarrow 6x = 8 \Rightarrow x = \frac{4}{3}\). Cek: \(2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \geq 0\) ✓
HP = \(\left\{\frac{4}{3},\ 4\right\}\)
8. Selesaikan \(|x – 2| + |x – 5| = 3\)
Pembahasan: Kita bagi menjadi interval berdasarkan titik kritis \(x = 2\) dan \(x = 5\).
Kasus 1: \(x < 2\): \(-(x-2) + (-(x-5)) = 3 \Rightarrow -x+2-x+5 = 3 \Rightarrow -2x+7=3 \Rightarrow x=2\). Tidak memenuhi \(x<2\).
Kasus 2: \(2 \leq x \leq 5\): \((x-2) + (-(x-5)) = 3 \Rightarrow x-2-x+5 = 3 \Rightarrow 3 = 3\). Selalu benar!
Kasus 3: \(x > 5\): \((x-2)+(x-5) = 3 \Rightarrow 2x-7=3 \Rightarrow x=5\). Tidak memenuhi \(x>5\).
HP = \(\{x \mid 2 \leq x \leq 5\}\) atau interval \([2, 5]\)
9. Selesaikan \(|x^2 – 4| = 5\)
Pembahasan:
Kemungkinan 1: \(x^2 – 4 = 5 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\)
Kemungkinan 2: \(x^2 – 4 = -5 \Rightarrow x^2 = -1\) → tidak ada solusi real.
HP = \(\{-3, 3\}\)
10. Selesaikan \(|3x + 2| = |5x – 4|\)
Pembahasan:
Kemungkinan 1: \(3x + 2 = 5x – 4 \Rightarrow 6 = 2x \Rightarrow x = 3\)
Kemungkinan 2: \(3x + 2 = -(5x – 4) \Rightarrow 3x + 2 = -5x + 4 \Rightarrow 8x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{4}\)
HP = \(\left\{\frac{1}{4},\ 3\right\}\)
SULIT Contoh Soal 11–15
11. Selesaikan \(|x^2 – 5x + 6| = x – 2\)
Pembahasan: Tipe 3. Syarat: \(x – 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\)
Kemungkinan 1: \(x^2 – 5x + 6 = x – 2 \Rightarrow x^2 – 6x + 8 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-4) = 0 \Rightarrow x = 2\) atau \(x = 4\)
Kemungkinan 2: \(x^2 – 5x + 6 = -(x-2) \Rightarrow x^2 – 5x + 6 = -x + 2 \Rightarrow x^2 – 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
Cek syarat \(x \geq 2\): semua memenuhi.
HP = \(\{2, 4\}\)
12. Selesaikan \(|x – 1| + |x – 3| = 5\)
Pembahasan: Titik kritis: \(x = 1\) dan \(x = 3\).
Kasus 1: \(x < 1\): \(-(x-1)-(x-3) = 5 \Rightarrow -2x+4 = 5 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\). Cek: \(x < 1\) ✓
Kasus 2: \(1 \leq x \leq 3\): \((x-1)-(x-3) = 5 \Rightarrow 2 = 5\). Kontradiksi, tidak ada solusi.
Kasus 3: \(x > 3\): \((x-1)+(x-3) = 5 \Rightarrow 2x-4=5 \Rightarrow x = \frac{9}{2}\). Cek: \(x > 3\) ✓
HP = \(\left\{-\frac{1}{2},\ \frac{9}{2}\right\}\)
13. Selesaikan \(|2x^2 – 3x – 2| = |x^2 + x – 6|\)
Pembahasan: Tipe 2.
Kemungkinan 1: \(2x^2-3x-2 = x^2+x-6 \Rightarrow x^2-4x+4=0 \Rightarrow (x-2)^2=0 \Rightarrow x=2\)
Kemungkinan 2: \(2x^2-3x-2 = -(x^2+x-6) \Rightarrow 2x^2-3x-2 = -x^2-x+6 \Rightarrow 3x^2-2x-8=0\)
Menggunakan rumus abc: \(x = \frac{2 \pm \sqrt{4+96}}{6} = \frac{2 \pm 10}{6}\)
\(x = 2\) atau \(x = -\frac{4}{3}\)
HP = \(\left\{-\frac{4}{3},\ 2\right\}\)
14. Selesaikan \(|x^2 – 1| = 2x + 1\)
Pembahasan: Tipe 3. Syarat: \(2x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{2}\)
Kemungkinan 1: \(x^2 – 1 = 2x + 1 \Rightarrow x^2 – 2x – 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}\)
\(x = 1+\sqrt{3} \approx 2{,}73\) ✓ dan \(x = 1-\sqrt{3} \approx -0{,}73\) → tidak memenuhi \(x \geq -\frac{1}{2}\) ✗
Kemungkinan 2: \(x^2-1 = -(2x+1) \Rightarrow x^2+2x = 0 \Rightarrow x(x+2) = 0 \Rightarrow x = 0\) atau \(x = -2\)
Cek syarat: \(x=0\) ✓, \(x=-2\) ✗
HP = \(\{0,\ 1+\sqrt{3}\}\)
15. Selesaikan \(||x – 2| – 3| = 1\)
Pembahasan: Misalkan \(u = |x-2|\), maka \(|u – 3| = 1\).
\(u – 3 = 1 \Rightarrow u = 4\) atau \(u – 3 = -1 \Rightarrow u = 2\)
Untuk \(u = 4\): \(|x-2| = 4 \Rightarrow x = 6\) atau \(x = -2\)
Untuk \(u = 2\): \(|x-2| = 2 \Rightarrow x = 4\) atau \(x = 0\)
HP = \(\{-2, 0, 4, 6\}\)
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Tidak disediakan pembahasan agar kamu berlatih menyelesaikan sendiri.
MUDAH
1. Selesaikan \(|x – 7| = 3\)
2. Selesaikan \(|2x + 4| = 10\)
3. Selesaikan \(|5x – 15| = 0\)
4. Selesaikan \(|x + 2| = 8\)
5. Selesaikan \(|4x – 12| = 20\)
SEDANG
6. Selesaikan \(|3x – 1| = |x + 5|\)
7. Selesaikan \(|x^2 – 9| = 7\)
8. Selesaikan \(|2x – 5| = x + 1\)
9. Selesaikan \(|x + 3| = |2x – 1|\)
10. Selesaikan \(|x^2 – 4x| = 3\)
SULIT
11. Selesaikan \(|x^2 – 3x + 2| = x – 1\)
12. Selesaikan \(|x – 1| + |x + 2| = 7\)
13. Selesaikan \(||2x – 1| – 4| = 3\)
14. Selesaikan \(|x^2 – 2x – 3| = |x^2 + x – 2|\)
15. Selesaikan \(|x^2 – 4| = 3x – 2\)