Interval dan Garis Bilangan
Materi Matematika — Disajikan secara runtut dan mudah dipahami
1. Pengertian Interval
Perhatikan pernyataan berikut:
- Suhu ruangan antara 20°C sampai 25°C
- Usia peserta lomba adalah 15 tahun ke atas
- Berat badan ideal antara 50 kg sampai 70 kg
Semua pernyataan di atas menggambarkan himpunan bilangan dalam suatu rentang tertentu. Rentang inilah yang disebut interval.
- Apa yang dimaksud dengan interval?
- Bagaimana cara menuliskan interval dalam notasi matematika?
- Bagaimana menggambarkan interval pada garis bilangan?
Definisi
Interval adalah himpunan bilangan real yang terletak di antara dua bilangan tertentu (batas bawah dan batas atas), atau himpunan bilangan real yang memenuhi suatu pertidaksamaan tertentu.
Misalkan a dan b adalah bilangan real dengan a < b. Interval menggambarkan semua bilangan real x yang memenuhi hubungan tertentu terhadap a dan b.
2. Jenis-Jenis Interval
Ada perbedaan antara “antara 2 sampai 5″ dan “antara 2 sampai kurang dari 5″. Perbedaan ini menentukan jenis interval yang digunakan.
| Jenis Interval | Notasi Interval | Notasi Himpunan | Pertidaksamaan | Keterangan |
|---|---|---|---|---|
| Terbuka | (a, b) | {x | a < x < b} | a < x < b | a dan b tidak termasuk |
| Tertutup | [a, b] | {x | a ≤ x ≤ b} | a ≤ x ≤ b | a dan b termasuk |
| Setengah Terbuka (kiri) | (a, b] | {x | a < x ≤ b} | a < x ≤ b | a tidak termasuk, b termasuk |
| Setengah Terbuka (kanan) | [a, b) | {x | a ≤ x < b} | a ≤ x < b | a termasuk, b tidak termasuk |
| Tak Hingga (kanan) | [a, ∞) | {x | x ≥ a} | x ≥ a | Dari a ke kanan tanpa batas |
| Tak Hingga (kanan, terbuka) | (a, ∞) | {x | x > a} | x > a | Lebih dari a tanpa batas |
| Tak Hingga (kiri) | (−∞, b] | {x | x ≤ b} | x ≤ b | Dari kiri tanpa batas sampai b |
| Tak Hingga (kiri, terbuka) | (−∞, b) | {x | x < b} | x < b | Kurang dari b tanpa batas |
Simbol Penting
- [ ] → kurung siku = batas termasuk (≤ atau ≥)
- ( ) → kurung biasa = batas tidak termasuk (< atau >)
- ∞ → tak hingga (selalu menggunakan kurung biasa)
- −∞ → negatif tak hingga (selalu menggunakan kurung biasa)
Coba tuliskan notasi interval untuk pernyataan berikut:
- Semua bilangan real x yang lebih dari 3 dan kurang dari atau sama dengan 8
- Semua bilangan real x yang lebih dari atau sama dengan −2
- Semua bilangan real x yang kurang dari 10
Jawaban: 1) (3, 8] 2) [−2, ∞) 3) (−∞, 10)
3. Garis Bilangan
Garis bilangan adalah garis lurus horizontal yang digunakan untuk merepresentasikan bilangan real. Setiap titik pada garis bilangan mewakili tepat satu bilangan real.
Cara Menggambar Interval pada Garis Bilangan
- ● Titik bulat penuh (●) → batas yang termasuk (kurung siku [ atau ])
- ○ Titik bulat kosong (○) → batas yang tidak termasuk (kurung biasa ( atau ))
- → Garis tebal/arsir → daerah penyelesaian
- → Panah → menuju tak hingga
Contoh Penggambaran
Interval (2, 5) → 2 < x < 5
Interval [1, 4] → 1 ≤ x ≤ 4
Interval [2, ∞) → x ≥ 2
Interval (−∞, 3) → x < 3
Diskusikan dengan teman sebangku: Apa perbedaan visual antara titik bulat penuh dan titik bulat kosong pada garis bilangan? Mengapa simbol tak hingga (∞) selalu menggunakan kurung biasa?
4. Notasi Interval dan Penggambarannya
Hubungan Antar Notasi
Setiap interval dapat dinyatakan dalam tiga cara:
- Notasi Interval: menggunakan kurung siku dan kurung biasa
- Notasi Himpunan (Set-Builder): menggunakan {x | kondisi}
- Garis Bilangan: representasi visual
Operasi pada Interval
a. Irisan (∩)
Irisan dua interval adalah himpunan semua bilangan yang termasuk dalam kedua interval sekaligus.
Contoh: [1, 5] ∩ [3, 7] = [3, 5]
b. Gabungan (∪)
Gabungan dua interval adalah himpunan semua bilangan yang termasuk dalam salah satu atau kedua interval.
Contoh: [1, 3] ∪ [5, 8] = [1, 3] ∪ [5, 8] (tidak bisa disederhanakan karena terpisah)
Contoh: [1, 5] ∪ [3, 8] = [1, 8] (overlap, bisa disederhanakan)
c. Komplemen
Komplemen interval A terhadap ℝ adalah semua bilangan real yang tidak termasuk dalam A.
Contoh: Komplemen [2, 5] = (−∞, 2) ∪ (5, ∞)
Perhatikan bahwa:
- Simbol ∞ selalu berpasangan dengan kurung biasa ( ) karena tak hingga bukan bilangan real.
- Interval tertutup [a, b] memuat titik ujung, sementara interval terbuka (a, b) tidak.
- Irisan interval selalu menghasilkan interval yang lebih kecil atau kosong.
5. Contoh Soal dan Pembahasan
Soal Mudah
Soal 1:
Nyatakan pertidaksamaan 2 ≤ x ≤ 7 dalam notasi interval!
Lihat Pembahasan
Karena kedua batas termasuk (≤), maka menggunakan kurung siku.
Jawaban: [2, 7]
Soal 2:
Nyatakan pertidaksamaan −3 < x < 4 dalam notasi interval!
Lihat Pembahasan
Karena kedua batas tidak termasuk (<), maka menggunakan kurung biasa.
Jawaban: (−3, 4)
Soal 3:
Nyatakan interval [−1, 6) dalam notasi pertidaksamaan!
Lihat Pembahasan
[ berarti ≤ di batas kiri, ) berarti < di batas kanan.
Jawaban: −1 ≤ x < 6
Soal 4:
Gambarkan interval (1, 4] pada garis bilangan!
Lihat Pembahasan
Titik 1 menggunakan lingkaran kosong (tidak termasuk), titik 4 menggunakan lingkaran penuh (termasuk), garis tebal dari 1 ke 4.
Soal 5:
Nyatakan x ≥ 5 dalam notasi interval!
Lihat Pembahasan
Batas bawah 5 termasuk (≥), batas atas tak hingga.
Jawaban: [5, ∞)
Soal Sedang
Soal 1:
Tentukan irisan dari interval [−2, 5] dan (1, 8)!
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Tentukan daerah yang tumpang tindih.
[−2, 5] memuat bilangan dari −2 sampai 5 (keduanya termasuk)
(1, 8) memuat bilangan dari 1 sampai 8 (keduanya tidak termasuk)
Langkah 2: Daerah irisan dimulai dari batas terbesar kiri dan berakhir di batas terkecil kanan.
Batas kiri: max(−2, 1) = 1, menggunakan ( karena (1,8) terbuka di 1
Batas kanan: min(5, 8) = 5, menggunakan ] karena [−2,5] tertutup di 5
Jawaban: (1, 5]
Soal 2:
Tentukan gabungan dari interval (−∞, 3] dan [1, 7)!
Lihat Pembahasan
(−∞, 3] memuat semua bilangan ≤ 3
[1, 7) memuat semua bilangan dari 1 sampai kurang dari 7
Karena kedua interval overlap (daerah 1 sampai 3), gabungannya menyambung.
Jawaban: (−∞, 7)
Soal 3:
Tentukan komplemen dari interval (2, 6] terhadap ℝ!
Lihat Pembahasan
Komplemen = semua bilangan real yang TIDAK ada di (2, 6]
Bilangan ≤ 2 termasuk komplemen (termasuk 2 karena 2 tidak ada di interval terbuka)
Bilangan > 6 termasuk komplemen
Jawaban: (−∞, 2] ∪ (6, ∞)
Soal 4:
Nyatakan himpunan penyelesaian dari −1 < 2x + 3 ≤ 9 dalam notasi interval dan gambarkan pada garis bilangan!
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Selesaikan pertidaksamaan
−1 < 2x + 3 ≤ 9
−1 − 3 < 2x ≤ 9 − 3 (kurangi 3)
−4 < 2x ≤ 6
−2 < x ≤ 3 (bagi 2)
Langkah 2: Notasi interval: (−2, 3]
Soal 5:
Diketahui A = [−3, 4) dan B = (0, 7]. Tentukan A ∩ B dan A ∪ B!
Lihat Pembahasan
A ∩ B (irisan):
Batas kiri: max(−3, 0) = 0, terbuka karena B terbuka di 0 → (
Batas kanan: min(4, 7) = 4, terbuka karena A terbuka di 4 → )
A ∩ B = (0, 4)
A ∪ B (gabungan):
Batas kiri: min(−3, 0) = −3, tertutup karena A tertutup di −3 → [
Batas kanan: max(4, 7) = 7, tertutup karena B tertutup di 7 → ]
A ∪ B = [−3, 7]
Soal Sulit
Soal 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (x − 1)(x + 3) < 0 dan nyatakan dalam notasi interval!
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Tentukan akar-akar: x = 1 dan x = −3
Langkah 2: Buat garis bilangan dengan titik uji
| Interval | x uji | (x−1) | (x+3) | Hasil |
|---|---|---|---|---|
| x < −3 | −4 | − | − | + (tidak memenuhi) |
| −3 < x < 1 | 0 | − | + | − (memenuhi) |
| x > 1 | 2 | + | + | + (tidak memenuhi) |
Langkah 3: Karena mencari < 0 (negatif), ambil interval tengah.
Jawaban: (−3, 1)
Soal 2:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (2x − 1)/(x + 2) ≥ 0 dan nyatakan dalam notasi interval!
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Pembilang = 0 → x = 1/2; Penyebut = 0 → x = −2 (tidak boleh)
Langkah 2: Uji tanda:
| Interval | x uji | (2x−1) | (x+2) | Hasil |
|---|---|---|---|---|
| x < −2 | −3 | − | − | + ✓ |
| −2 < x < 1/2 | 0 | − | + | − ✗ |
| x > 1/2 | 1 | + | + | + ✓ |
Langkah 3: x = −2 tidak boleh (penyebut = 0), x = 1/2 boleh (≥ memuat = 0)
Jawaban: (−∞, −2) ∪ [1/2, ∞)
Soal 3:
Diketahui A = (−∞, 3), B = [−1, 6], dan C = (2, ∞). Tentukan (A ∩ B) ∪ C!
Lihat Pembahasan
Langkah 1: A ∩ B
A = (−∞, 3) dan B = [−1, 6]
Irisan: batas kiri = max(−∞, −1) = −1 [tertutup], batas kanan = min(3, 6) = 3 (terbuka)
A ∩ B = [−1, 3)
Langkah 2: (A ∩ B) ∪ C
[−1, 3) ∪ (2, ∞)
Karena overlap di (2, 3), gabungannya menyambung.
Jawaban: [−1, ∞)
Soal 4:
Tentukan semua nilai x yang memenuhi x² − 5x + 6 ≤ 0 DAN 2x − 1 > 0. Nyatakan dalam notasi interval!
Lihat Pembahasan
Pertidaksamaan 1: x² − 5x + 6 ≤ 0
(x − 2)(x − 3) ≤ 0 → HP₁ = [2, 3]
Pertidaksamaan 2: 2x − 1 > 0
x > 1/2 → HP₂ = (1/2, ∞)
Irisan: [2, 3] ∩ (1/2, ∞) = [2, 3]
Jawaban: [2, 3]
Soal 5:
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x − 3| < 5 dan nyatakan dalam notasi interval serta gambarkan pada garis bilangan!
Lihat Pembahasan
Langkah 1: |2x − 3| < 5 berarti −5 < 2x − 3 < 5
Langkah 2: Tambah 3: −2 < 2x < 8
Langkah 3: Bagi 2: −1 < x < 4
Jawaban: (−1, 4)
6. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan buku tulis untuk mencatat jawaban.
Latihan Mudah
1. Nyatakan 3 < x ≤ 10 dalam notasi interval!
2. Nyatakan interval [−4, 2] dalam bentuk pertidaksamaan!
3. Gambarkan interval (−2, 3) pada garis bilangan!
4. Nyatakan x < 7 dalam notasi interval!
5. Nyatakan interval (0, ∞) dalam bentuk pertidaksamaan!
Latihan Sedang
1. Tentukan [−3, 5) ∩ (0, 8]!
2. Tentukan (−∞, 4) ∪ [2, 10)!
3. Tentukan komplemen dari [−1, 5] terhadap ℝ!
4. Selesaikan 1 ≤ 3x − 2 < 10 dan nyatakan dalam notasi interval!
5. Diketahui P = [−2, 4] dan Q = (1, 7). Tentukan P ∩ Q dan P ∪ Q!
Latihan Sulit
1. Tentukan himpunan penyelesaian (x + 2)(x − 4) ≥ 0 dalam notasi interval!
2. Tentukan himpunan penyelesaian (x − 1)/(x + 3) < 0 dalam notasi interval!
3. Diketahui A = (−∞, 2], B = [−3, 5), C = (0, ∞). Tentukan (A ∪ B) ∩ C!
4. Tentukan semua nilai x yang memenuhi x² − 4x − 5 < 0 DAN x + 1 ≥ 0. Nyatakan dalam notasi interval!
5. Tentukan himpunan penyelesaian |3x + 2| ≤ 7 dan nyatakan dalam notasi interval serta gambarkan pada garis bilangan!