Nilai Mutlak sebagai Jarak
Materi Matematika SMA/SMK Kelas X
1. Pengertian Nilai Mutlak sebagai Jarak
Nilai mutlak suatu bilangan real x didefinisikan sebagai jarak bilangan x terhadap titik nol (0) pada garis bilangan, tanpa memperhatikan arah.
Definisi:
x = jarak titik x ke titik 0 pada garis bilangan
Karena jarak selalu bernilai positif atau nol, maka nilai mutlak selalu ≥ 0.
Contoh sederhana:
- 5 = 5 → jarak 5 ke 0 adalah 5 satuan
- −5 = 5 → jarak −5 ke 0 adalah 5 satuan
- 0 = 0 → jarak 0 ke 0 adalah 0 satuan
2. Nilai Mutlak sebagai Jarak antara Dua Titik
Nilai mutlak juga dapat digunakan untuk menyatakan jarak antara dua titik pada garis bilangan.
Definisi:
x − a = jarak titik x ke titik a pada garis bilangan
Contoh:
- 7 − 3 = 4 = 4 → jarak 7 ke 3 adalah 4 satuan
- 2 − 6 = −4 = 4 → jarak 2 ke 6 adalah 4 satuan
- −3 − 2 = −5 = 5 → jarak −3 ke 2 adalah 5 satuan
3. Interpretasi Geometris Persamaan dan Pertidaksamaan
Dengan konsep jarak, kita dapat menginterpretasikan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak secara geometris:
| Bentuk | Interpretasi Jarak | Arti Geometris |
|---|---|---|
| x = a | Jarak x ke 0 sama dengan a | x berada tepat a satuan dari 0 |
| x < a | Jarak x ke 0 kurang dari a | x berada dalam interval (−a, a) |
| x > a | Jarak x ke 0 lebih dari a | x berada di luar interval (−a, a) |
| x − b = a | Jarak x ke b sama dengan a | x berada tepat a satuan dari b |
| x − b < a | Jarak x ke b kurang dari a | x berada dalam interval (b−a, b+a) |
| x − b > a | Jarak x ke b lebih dari a | x berada di luar interval (b−a, b+a) |
Ilustrasi: x < 3 (jarak x ke 0 kurang dari 3)
Himpunan penyelesaian: −3 < x < 3 (lingkaran terbuka berarti titik ujung tidak termasuk)
Ilustrasi: x − 2 ≤ 3 (jarak x ke 2 paling jauh 3 satuan)
Himpunan penyelesaian: −1 ≤ x ≤ 5 (lingkaran tertutup berarti titik ujung termasuk)
Perhatikan garis bilangan berikut dan amati posisi bilangan-bilangan terhadap titik pusat:
Pertanyaan pengamatan:
- Berapa jarak titik −3 (merah) ke titik 0?
- Berapa jarak titik 3 (biru) ke titik 0?
- Apa yang kamu amati tentang kedua jarak tersebut?
- Bisakah jarak bernilai negatif? Mengapa?
Berdasarkan pengamatan di atas, buatlah pertanyaan yang ingin kamu ketahui jawabannya. Contoh pertanyaan:
- Mengapa −3 dan 3 menghasilkan nilai yang sama?
- Bagaimana cara menentukan semua titik yang berjarak tertentu dari suatu titik pusat?
- Apa hubungan antara nilai mutlak dan konsep jarak dalam kehidupan sehari-hari?
- Bagaimana jika kita ingin mencari semua titik yang jaraknya kurang dari atau lebih dari suatu nilai tertentu?
Mari kita nalar hubungan antara nilai mutlak dan jarak:
Penalaran 1: Jika x − 4 = 2, maka x berjarak 2 satuan dari 4.
Titik yang berjarak 2 dari 4 ada dua kemungkinan:
- x = 4 + 2 = 6 (ke kanan 2 satuan dari 4)
- x = 4 − 2 = 2 (ke kiri 2 satuan dari 4)
Penalaran 2: Jika x − 4 < 2, maka x berjarak kurang dari 2 satuan dari 4.
Artinya x berada di antara 4 − 2 dan 4 + 2:
2 < x < 6
Penalaran 3: Jika x − 4 > 2, maka x berjarak lebih dari 2 satuan dari 4.
Artinya x berada di luar interval (2, 6):
x < 2 atau x > 6
Kerjakan kegiatan berikut untuk memahami konsep jarak:
Kegiatan 1: Gambarlah garis bilangan dan tentukan semua bilangan x yang memenuhi:
- x = 4 (titik yang berjarak 4 dari 0)
- x − 1 = 3 (titik yang berjarak 3 dari 1)
- x + 2 = 5 (titik yang berjarak 5 dari −2)
Kegiatan 2: Terjemahkan ke dalam bahasa jarak, lalu selesaikan:
- x ≤ 5
- x − 3 < 4
- x + 1 > 2
Komunikasikan hasil belajarmu:
- Jelaskan kepada temanmu dengan bahasa sendiri: mengapa x − 5 < 3 berarti “x berada di antara 2 dan 8”?
- Buatlah contoh soal cerita dalam kehidupan sehari-hari yang menggunakan konsep jarak dan nilai mutlak. Contoh: “Suhu ruangan harus berada dalam jarak 2°C dari 25°C”.
- Presentasikan hasilmu menggunakan garis bilangan sebagai alat bantu visual.
MUDAH Contoh Soal Tingkat Mudah
Contoh 1:
Nyatakan x = 7 dalam bahasa jarak, lalu tentukan nilai x.
▶ Lihat Pembahasan
Bahasa jarak: Jarak titik x ke titik 0 adalah 7 satuan.
Penyelesaian:
Titik yang berjarak 7 dari 0 adalah:
x = 7 atau x = −7
HP = {−7, 7}
Contoh 2:
Nyatakan x − 3 = 5 dalam bahasa jarak, lalu tentukan nilai x.
▶ Lihat Pembahasan
Bahasa jarak: Jarak titik x ke titik 3 adalah 5 satuan.
Penyelesaian:
x − 3 = 5 → x = 8
x − 3 = −5 → x = −2
HP = {−2, 8}
Contoh 3:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x < 4 menggunakan konsep jarak.
▶ Lihat Pembahasan
Bahasa jarak: Jarak x ke 0 kurang dari 4 satuan.
Penyelesaian:
x berada kurang dari 4 satuan dari 0, artinya x berada di antara −4 dan 4.
HP = {x | −4 < x < 4}
Contoh 4:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x > 2 menggunakan konsep jarak.
▶ Lihat Pembahasan
Bahasa jarak: Jarak x ke 0 lebih dari 2 satuan.
Penyelesaian:
x berada lebih dari 2 satuan dari 0, artinya x berada di sebelah kiri −2 atau di sebelah kanan 2.
HP = {x | x < −2 atau x > 2}
Contoh 5:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x + 1 = 3 menggunakan konsep jarak.
▶ Lihat Pembahasan
Ubah bentuk: x − (−1) = 3
Bahasa jarak: Jarak titik x ke titik −1 adalah 3 satuan.
Penyelesaian:
x − (−1) = 3 → x + 1 = 3 → x = 2
x − (−1) = −3 → x + 1 = −3 → x = −4
HP = {−4, 2}
SEDANG Contoh Soal Tingkat Sedang
Contoh 6:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x − 4 ≤ 3 menggunakan konsep jarak.
▶ Lihat Pembahasan
Bahasa jarak: Jarak x ke 4 paling jauh 3 satuan.
Penyelesaian:
x berada dalam jarak ≤ 3 dari 4, maka:
4 − 3 ≤ x ≤ 4 + 3
1 ≤ x ≤ 7
HP = {x | 1 ≤ x ≤ 7} = [1, 7]
Contoh 7:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x + 2 > 5 menggunakan konsep jarak.
▶ Lihat Pembahasan
Ubah bentuk: x − (−2) > 5
Bahasa jarak: Jarak x ke −2 lebih dari 5 satuan.
Penyelesaian:
x berada lebih dari 5 satuan dari −2, maka:
x < −2 − 5 atau x > −2 + 5
x < −7 atau x > 3
HP = {x | x < −7 atau x > 3} = (−∞, −7) ∪ (3, ∞)
Contoh 8:
Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x − 6 ≤ 4 menggunakan konsep jarak.
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: Faktorkan: 2(x − 3) ≤ 4 → 2x − 3 ≤ 4 → x − 3 ≤ 2
Bahasa jarak: Jarak x ke 3 paling jauh 2 satuan.
Penyelesaian:
3 − 2 ≤ x ≤ 3 + 2
1 ≤ x ≤ 5
HP = [1, 5]
Contoh 9:
Suhu badan normal manusia adalah 37°C. Seseorang dianggap demam jika suhunya menyimpang lebih dari 1°C dari suhu normal. Nyatakan dalam bentuk nilai mutlak dan tentukan rentang suhu demam.
▶ Lihat Pembahasan
Model matematika:
Misalkan T = suhu badan. Demam terjadi jika jarak T ke 37 lebih dari 1:
T − 37 > 1
Penyelesaian:
T − 37 > 1 atau T − 37 < −1
T > 38 atau T < 36
Seseorang demam jika suhunya kurang dari 36°C atau lebih dari 38°C.
Contoh 10:
Tentukan semua bilangan bulat x yang memenuhi x − 2 ≤ 4.
▶ Lihat Pembahasan
Bahasa jarak: Jarak x ke 2 paling jauh 4 satuan.
Penyelesaian:
2 − 4 ≤ x ≤ 2 + 4
−2 ≤ x ≤ 6
Bilangan bulat yang memenuhi: {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Banyaknya bilangan bulat = 9.
SULIT Contoh Soal Tingkat Sulit
Contoh 11:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x − 1 + x − 5 = 6 menggunakan konsep jarak.
▶ Lihat Pembahasan
Interpretasi: Jumlah jarak x ke 1 dan jarak x ke 5 sama dengan 6.
Perhatikan: Jarak dari 1 ke 5 adalah |5 − 1| = 4.
Jika x berada di antara 1 dan 5: |x−1| + |x−5| = (x−1) + (5−x) = 4 (selalu 4, bukan 6)
Jika x ≥ 5: |x−1| + |x−5| = (x−1) + (x−5) = 2x − 6 = 6 → x = 6
Jika x ≤ 1: |x−1| + |x−5| = (1−x) + (5−x) = 6 − 2x = 6 → x = 0
HP = {0, 6}
Interpretasi: titik 0 berjarak 1 dari 1 dan 5 dari 5 (total 6). Titik 6 berjarak 5 dari 1 dan 1 dari 5 (total 6).
Contoh 12:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x − 3 < x + 1 menggunakan konsep jarak.
▶ Lihat Pembahasan
Interpretasi: Jarak x ke 3 kurang dari jarak x ke −1.
Artinya x lebih dekat ke 3 daripada ke −1.
Penyelesaian geometris: Titik tengah dari 3 dan −1 adalah (3 + (−1))/2 = 1.
Semua titik di sebelah kanan titik tengah (1) akan lebih dekat ke 3.
HP = {x | x > 1} = (1, ∞)
Verifikasi: x = 2 → |2−3| = 1 < |2+1| = 3 ✓
Contoh 13:
Tentukan himpunan penyelesaian dari 1 ≤ x − 2 ≤ 5 menggunakan konsep jarak.
▶ Lihat Pembahasan
Interpretasi: Jarak x ke 2 minimal 1 satuan dan maksimal 5 satuan.
Artinya x berada di “cincin” antara radius 1 dan radius 5 dari titik 2.
Penyelesaian:
|x − 2| ≥ 1 → x ≤ 1 atau x ≥ 3
|x − 2| ≤ 5 → −3 ≤ x ≤ 7
Irisan kedua syarat:
−3 ≤ x ≤ 1 atau 3 ≤ x ≤ 7
HP = [−3, 1] ∪ [3, 7]
Contoh 14:
Tentukan semua nilai x bilangan bulat yang memenuhi x − 3 + x − 7 ≤ 8.
▶ Lihat Pembahasan
Interpretasi: Jumlah jarak x ke 3 dan jarak x ke 7 paling banyak 8.
Kasus 1: x ≤ 3
(3−x) + (7−x) ≤ 8 → 10 − 2x ≤ 8 → x ≥ 1
Jadi: 1 ≤ x ≤ 3
Kasus 2: 3 < x < 7
(x−3) + (7−x) ≤ 8 → 4 ≤ 8 (selalu benar)
Jadi: 3 < x < 7
Kasus 3: x ≥ 7
(x−3) + (x−7) ≤ 8 → 2x − 10 ≤ 8 → x ≤ 9
Jadi: 7 ≤ x ≤ 9
Gabungan: 1 ≤ x ≤ 9
Bilangan bulat: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} → 9 bilangan
Contoh 15:
Sebuah pabrik memproduksi baut dengan diameter standar 10 mm. Toleransi kesalahan adalah 0,05 mm. Baut yang jaraknya lebih dari 0,02 mm dari standar perlu diperiksa ulang, tetapi masih boleh dipakai selama dalam toleransi. Tentukan rentang diameter baut yang perlu diperiksa ulang tapi masih bisa dipakai.
▶ Lihat Pembahasan
Misalkan d = diameter baut.
Toleransi: d − 10 ≤ 0,05
Perlu diperiksa: d − 10 > 0,02
Syarat gabungan: 0,02 < |d − 10| ≤ 0,05
Dari |d − 10| > 0,02: d < 9,98 atau d > 10,02
Dari |d − 10| ≤ 0,05: 9,95 ≤ d ≤ 10,05
Irisan:
9,95 ≤ d < 9,98 atau 10,02 < d ≤ 10,05
Baut dengan diameter di rentang ini perlu diperiksa ulang tapi masih bisa dipakai.
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan konsep jarak untuk menyelesaikannya.
MUDAH
- Nyatakan x = 9 dalam bahasa jarak dan tentukan nilai x.
- Tentukan himpunan penyelesaian dari x − 5 = 2.
- Tentukan himpunan penyelesaian dari x ≤ 6.
- Tentukan himpunan penyelesaian dari x > 3.
- Tentukan himpunan penyelesaian dari x + 4 = 2.
SEDANG
- Tentukan himpunan penyelesaian dari x − 5 < 3 menggunakan konsep jarak.
- Tentukan himpunan penyelesaian dari x + 3 ≥ 4 menggunakan konsep jarak.
- Tentukan himpunan penyelesaian dari 3x − 9 ≤ 6.
- Berat standar sebuah produk adalah 500 gram. Toleransi penyimpangan yang diperbolehkan adalah 5 gram. Nyatakan dalam bentuk nilai mutlak dan tentukan rentang berat yang diterima.
- Tentukan semua bilangan bulat yang memenuhi x − 4 ≤ 3.
SULIT
- Tentukan himpunan penyelesaian dari x − 2 < x + 4.
- Tentukan himpunan penyelesaian dari 2 ≤ x + 1 ≤ 6.
- Tentukan semua bilangan bulat x yang memenuhi x − 2 + x − 8 = 10.
- Tentukan semua bilangan bulat x yang memenuhi x − 1 + x − 9 ≤ 12.
- Sebuah mesin pengisi botol diatur untuk mengisi 330 mL. Botol dianggap cacat jika volumenya menyimpang lebih dari 5 mL dari standar. Botol yang menyimpang antara 2 mL dan 5 mL akan diberi label “B”. Tentukan rentang volume botol berlabel “B”.
| Bentuk Nilai Mutlak | Interpretasi Jarak | Penyelesaian |
|---|---|---|
| x − a = b | Jarak x ke a = b | x = a + b atau x = a − b |
| x − a < b | Jarak x ke a < b | a − b < x < a + b |
| x − a ≤ b | Jarak x ke a ≤ b | a − b ≤ x ≤ a + b |
| x − a > b | Jarak x ke a > b | x < a − b atau x > a + b |
| x − a ≥ b | Jarak x ke a ≥ b | x ≤ a − b atau x ≥ a + b |
Kunci penting: Selalu ubah bentuk x + c menjadi x − (−c) agar lebih mudah mengidentifikasi titik pusat.