Grafik Fungsi Nilai Mutlak
Materi Matematika Kelas X SMA/SMK
1. Pengertian Grafik Fungsi Nilai Mutlak
🔍 MengamatiFungsi nilai mutlak adalah fungsi yang didefinisikan sebagai:
Grafik fungsi nilai mutlak adalah representasi visual dari fungsi nilai mutlak pada bidang koordinat Kartesius. Ciri khas grafik ini adalah berbentuk huruf “V” (untuk koefisien positif) atau “V terbalik” (untuk koefisien negatif).
Pertanyaan Kunci:
- Mengapa grafik fungsi nilai mutlak selalu berada di atas atau menyentuh sumbu-x?
- Bagaimana bentuk grafik \(f(x) = |x|\) berbeda dengan \(f(x) = x\)?
- Di mana titik puncak (vertex) grafik fungsi nilai mutlak?
Karena nilai mutlak selalu menghasilkan nilai non-negatif (\(|x| \geq 0\)), maka:
- Grafik \(f(x) = |x|\) tidak pernah berada di bawah sumbu-x
- Bagian grafik yang seharusnya di bawah sumbu-x “dicerminkan” ke atas
- Titik sudut (vertex) terjadi di tempat ekspresi dalam tanda mutlak bernilai nol
Bentuk Umum:
Keterangan:
- \(a\) = menentukan arah buka dan kecuraman grafik
- \(h\) = pergeseran horizontal (titik puncak di \(x = h\))
- \(k\) = pergeseran vertikal (titik puncak di \(y = k\))
- Titik puncak (vertex) = \((h, k)\)
Perhatikan tabel nilai dan grafik \(f(x) = |x|\):
| \(x\) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)=|x|\) | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Kesimpulan:
- Grafik \(f(x) = |x|\) berbentuk huruf V dengan titik puncak di \((0,0)\)
- Grafik simetris terhadap sumbu-y
- Untuk \(x \geq 0\), grafik berupa garis \(y = x\)
- Untuk \(x < 0\), grafik berupa garis \(y = -x\)
2. Langkah-Langkah Menggambar Grafik Fungsi Nilai Mutlak
🔍 MengamatiUntuk menggambar grafik \(f(x) = a|x – h| + k\), ikuti langkah berikut:
- Tentukan titik puncak (vertex): Titik puncak berada di \((h, k)\). Ini adalah titik sudut grafik berbentuk V.
- Tentukan arah buka grafik:
- Jika \(a > 0\): grafik terbuka ke atas (bentuk V)
- Jika \(a < 0\): grafik terbuka ke bawah (bentuk V terbalik)
- Buat tabel nilai: Pilih beberapa nilai \(x\) di sekitar \(x = h\), hitung \(f(x)\).
- Plot titik-titik pada bidang koordinat.
- Hubungkan titik-titik membentuk dua garis lurus yang bertemu di vertex.
- Tentukan domain dan range:
- Domain: selalu \(\mathbb{R}\) (semua bilangan real)
- Range: \(y \geq k\) jika \(a > 0\); \(y \leq k\) jika \(a < 0\)
- Bagaimana nilai \(a\) mempengaruhi kecuraman grafik?
- Apa yang terjadi jika \(|a| > 1\) atau \(0 < |a| < 1\)?
Pengaruh nilai \(a\):
- \(|a| > 1\): grafik lebih curam (sempit)
- \(|a| = 1\): grafik standar
- \(0 < |a| < 1\): grafik lebih landai (lebar)
Contoh: Gambar grafik \(f(x) = 2|x – 1| – 3\)
- Vertex: \((1, -3)\)
- \(a = 2 > 0\) → terbuka ke atas
- Tabel nilai:
| \(x\) | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 1 | -1 | -3 | -1 | 1 |
Grafik \(f(x) = 2|x-1|-3\) memiliki vertex di \((1,-3)\), terbuka ke atas dengan kecuraman 2. Grafik memotong sumbu-x di titik \(x = -0.5\) dan \(x = 2.5\).
3. Transformasi Grafik Fungsi Nilai Mutlak
🔍 MengamatiGrafik fungsi nilai mutlak dapat ditransformasi dari grafik dasar \(y = |x|\) dengan cara:
| Transformasi | Fungsi | Efek pada Grafik |
|---|---|---|
| Geser ke kanan \(h\) | \(y = |x – h|\) | Vertex berpindah ke \((h, 0)\) |
| Geser ke kiri \(h\) | \(y = |x + h|\) | Vertex berpindah ke \((-h, 0)\) |
| Geser ke atas \(k\) | \(y = |x| + k\) | Vertex berpindah ke \((0, k)\) |
| Geser ke bawah \(k\) | \(y = |x| – k\) | Vertex berpindah ke \((0, -k)\) |
| Refleksi sumbu-x | \(y = -|x|\) | V terbalik |
| Dilatasi vertikal | \(y = a|x|\) | Lebih curam jika \(|a|>1\) |
Menggambar grafik dari fungsi linear yang dimutlakkan:
Untuk \(f(x) = |g(x)|\) dimana \(g(x)\) adalah fungsi linear:
- Gambar grafik \(y = g(x)\) terlebih dahulu
- Bagian grafik yang berada di atas sumbu-x tetap
- Bagian grafik yang berada di bawah sumbu-x dicerminkan ke atas (terhadap sumbu-x)
Perbandingan grafik dengan berbagai transformasi:
Setiap parameter dalam \(f(x)=a|x-h|+k\) memiliki peran spesifik: \(h\) menggeser horizontal, \(k\) menggeser vertikal, \(a\) mengubah kecuraman dan arah buka grafik.
4. Contoh Soal & Pembahasan
🟢 Contoh Soal Mudah
Soal 1:
Tentukan titik puncak grafik \(f(x) = |x – 3|\).
Pembahasan:
Bentuk umum: \(f(x) = a|x-h|+k\)
\(f(x) = |x-3| = 1 \cdot |x-3| + 0\)
Maka \(h=3\), \(k=0\)
Titik puncak = \((3, 0)\)
Soal 2:
Tentukan titik puncak dan arah buka grafik \(f(x) = |x| + 2\).
Pembahasan:
\(f(x) = 1 \cdot |x – 0| + 2\)
\(a = 1 > 0\) → terbuka ke atas
Titik puncak = \((0, 2)\), terbuka ke atas
Soal 3:
Tentukan range dari \(f(x) = |x + 1|\).
Pembahasan:
\(f(x) = |x+1| = |x-(-1)| + 0\)
Vertex di \((-1, 0)\), \(a = 1 > 0\) (terbuka ke atas)
Nilai minimum \(f(x) = 0\)
Range: \(y \geq 0\) atau \([0, \infty)\)
Soal 4:
Gambar sketsa grafik \(f(x) = |x|\) dan tentukan titik potong dengan garis \(y = 2\).
Pembahasan:
\(|x| = 2\)
\(x = 2\) atau \(x = -2\)
Titik potong: \((-2, 2)\) dan \((2, 2)\)
Soal 5:
Tentukan persamaan sumbu simetri grafik \(f(x) = |x – 4| + 1\).
Pembahasan:
Vertex di \((4, 1)\). Grafik nilai mutlak simetris terhadap garis vertikal yang melalui vertex.
Sumbu simetri: \(x = 4\)
🟡 Contoh Soal Sedang
Soal 1:
Gambar grafik \(f(x) = |2x – 4|\) dan tentukan titik potong dengan sumbu-x dan sumbu-y.
Pembahasan:
\(f(x) = |2x-4| = 2|x-2|\)
Vertex: \((2, 0)\), \(a = 2\) (terbuka ke atas, lebih curam)
Potong sumbu-x: \(f(x) = 0 \Rightarrow |2x-4| = 0 \Rightarrow x = 2\). Titik: \((2, 0)\)
Potong sumbu-y: \(f(0) = |2(0)-4| = |-4| = 4\). Titik: \((0, 4)\)
Titik potong sumbu-x: \((2,0)\); sumbu-y: \((0,4)\)
Soal 2:
Tentukan persamaan grafik fungsi nilai mutlak yang memiliki vertex di \((1, -2)\) dan melalui titik \((3, 2)\).
Pembahasan:
Bentuk umum: \(f(x) = a|x-1| – 2\)
Substitusi titik \((3, 2)\):
\(2 = a|3-1| – 2\)
\(2 = 2a – 2\)
\(4 = 2a\)
\(a = 2\)
\(f(x) = 2|x-1| – 2\)
Soal 3:
Tentukan titik potong grafik \(f(x) = |x – 1| – 2\) dengan sumbu-x.
Pembahasan:
Syarat potong sumbu-x: \(f(x) = 0\)
\(|x-1| – 2 = 0\)
\(|x-1| = 2\)
Kasus 1: \(x – 1 = 2 \Rightarrow x = 3\)
Kasus 2: \(x – 1 = -2 \Rightarrow x = -1\)
Titik potong sumbu-x: \((-1, 0)\) dan \((3, 0)\)
Soal 4:
Gambar grafik \(f(x) = -|x + 2| + 3\) dan tentukan range-nya.
Pembahasan:
\(f(x) = -1 \cdot |x – (-2)| + 3\)
Vertex: \((-2, 3)\), \(a = -1 < 0\) (terbuka ke bawah)
Nilai maksimum \(f(x) = 3\) (di vertex)
Range: \(y \leq 3\) atau \((-\infty, 3]\)
Soal 5:
Tentukan banyaknya titik potong grafik \(f(x) = |x – 2| + 1\) dengan garis \(y = 4\).
Pembahasan:
\(|x – 2| + 1 = 4\)
\(|x – 2| = 3\)
Kasus 1: \(x – 2 = 3 \Rightarrow x = 5\)
Kasus 2: \(x – 2 = -3 \Rightarrow x = -1\)
Ada 2 titik potong: \((-1, 4)\) dan \((5, 4)\)
🔴 Contoh Soal Sulit
Soal 1:
Gambar grafik \(f(x) = |x + 1| + |x – 2|\) dan tentukan nilai minimum-nya.
Pembahasan:
Titik kritis: \(x = -1\) dan \(x = 2\). Bagi menjadi 3 interval:
Interval \(x < -1\):
\(f(x) = -(x+1) + -(x-2) = -x-1-x+2 = -2x+1\)
Interval \(-1 \leq x \leq 2\):
\(f(x) = (x+1) + -(x-2) = x+1-x+2 = 3\)
Interval \(x > 2\):
\(f(x) = (x+1) + (x-2) = 2x – 1\)
Grafik berbentuk: garis menurun, lalu datar di \(y=3\), lalu naik.
Nilai minimum = 3 (untuk \(-1 \leq x \leq 2\))
Soal 2:
Tentukan semua nilai \(x\) yang memenuhi \(|x – 1| + |x + 3| = 6\) menggunakan pendekatan grafik.
Pembahasan:
Titik kritis: \(x = 1\) dan \(x = -3\)
\(x < -3\): \(-(x-1) + -(x+3) = -2x – 2 = 6 \Rightarrow x = -4\) ✓
\(-3 \leq x \leq 1\): \(-(x-1) + (x+3) = 4 = 6\) → Tidak memenuhi
\(x > 1\): \((x-1) + (x+3) = 2x + 2 = 6 \Rightarrow x = 2\) ✓
Solusi: \(x = -4\) atau \(x = 2\)
Soal 3:
Tentukan luas daerah yang dibatasi grafik \(f(x) = |x – 2| – 1\), sumbu-x, garis \(x = 0\) dan \(x = 5\).
Pembahasan:
Vertex di \((2, -1)\). Potong sumbu-x: \(|x-2| = 1 \Rightarrow x = 1\) atau \(x = 3\)
Grafik di bawah sumbu-x untuk \(1 < x < 3\)
Luas = Luas di atas sumbu-x + |Luas di bawah sumbu-x|
Di atas (\(0 \leq x \leq 1\)): segitiga alas 1, tinggi \(f(0)=1\). L₁ = \(\frac{1}{2}(1)(1) = 0.5\)
Di bawah (\(1 \leq x \leq 3\)): segitiga alas 2, tinggi 1. L₂ = \(\frac{1}{2}(2)(1) = 1\)
Di atas (\(3 \leq x \leq 5\)): segitiga alas 2, tinggi \(f(5)=2\). L₃ = \(\frac{1}{2}(2)(2) = 2\)
Total luas = 0.5 + 1 + 2 = 3.5 satuan luas
Soal 4:
Tentukan persamaan grafik fungsi nilai mutlak yang melalui titik \((0, 5)\), \((2, 1)\), dan \((4, 5)\).
Pembahasan:
Karena \((0,5)\) dan \((4,5)\) memiliki \(y\) sama, sumbu simetri di \(x = \frac{0+4}{2} = 2\)
Vertex di \(x = 2\), \(y = 1\). Jadi vertex = \((2, 1)\)
Bentuk: \(f(x) = a|x – 2| + 1\)
Substitusi \((0, 5)\): \(5 = a|0-2| + 1 = 2a + 1\)
\(a = 2\)
Verifikasi \((4, 5)\): \(f(4) = 2|4-2|+1 = 5\) ✓
\(f(x) = 2|x – 2| + 1\)
Soal 5:
Tentukan banyaknya solusi persamaan \(|x^2 – 4| = |x – 2|\) menggunakan sketsa grafik.
Pembahasan:
\(|x^2 – 4| = |x – 2|\)
\(|(x-2)(x+2)| = |x-2|\)
Kasus 1: \(x = 2\) → \(|0| = |0|\) ✓
Kasus 2: \(x \neq 2\), bagi kedua ruas dengan \(|x-2|\):
\(|x + 2| = 1\)
\(x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1\)
\(x + 2 = -1 \Rightarrow x = -3\)
Ada 3 solusi: \(x = -3, -1, 2\)
5. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
🟢 Latihan Mudah
- Tentukan titik puncak grafik \(f(x) = |x + 5|\).
- Tentukan arah buka dan range grafik \(f(x) = -|x| + 4\).
- Tentukan titik potong grafik \(f(x) = |x – 2|\) dengan sumbu-y.
- Gambar sketsa grafik \(f(x) = |x| – 1\) dan tentukan titik potong sumbu-x.
- Tentukan persamaan sumbu simetri grafik \(f(x) = |x + 3| – 2\).
🟡 Latihan Sedang
- Gambar grafik \(f(x) = |3x – 6|\) dan tentukan titik potong dengan kedua sumbu.
- Tentukan persamaan fungsi nilai mutlak yang vertex-nya di \((-1, 3)\) dan melalui titik \((1, 7)\).
- Tentukan banyaknya titik potong grafik \(f(x) = |x + 1| – 3\) dengan garis \(y = 1\).
- Gambar grafik \(f(x) = -2|x – 3| + 4\) dan tentukan domain serta range-nya.
- Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi \(|x – 4| + 2 = 5\) secara grafik.
🔴 Latihan Sulit
- Gambar grafik \(f(x) = |x – 1| + |x – 3|\) dan tentukan nilai minimum-nya.
- Tentukan luas daerah yang dibatasi grafik \(f(x) = |x + 1| – 2\) dan sumbu-x.
- Tentukan semua nilai \(c\) sehingga garis \(y = c\) memotong grafik \(f(x) = |2x – 1| + |x + 2|\) tepat di dua titik.
- Tentukan persamaan fungsi nilai mutlak yang melalui titik \((-2, 7)\), \((1, 1)\), dan \((4, 7)\).
- Tentukan banyaknya solusi persamaan \(|x^2 – 9| = |2x – 6|\) dengan bantuan grafik.