Menyelesaikan Pertidaksamaan Pecahan
Matematika SMA/SMK — Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan
📘 Materi
1. Pengertian Pertidaksamaan Pecahan
Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang memuat variabel pada penyebut (dan/atau pembilang) dalam bentuk pecahan. Bentuk umumnya:
dengan $g(x) \neq 0$ (penyebut tidak boleh sama dengan nol).
2. Prinsip Dasar Penyelesaian
PENTING: Pada pertidaksamaan pecahan, kita tidak boleh mengalikan silang dengan penyebut secara langsung kecuali kita mengetahui tanda penyebut tersebut. Jika kita mengalikan dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan harus dibalik.
Langkah-langkah Penyelesaian:
- Pindahkan semua suku ke satu ruas sehingga ruas lainnya bernilai 0.
- Sederhanakan menjadi satu pecahan tunggal.
- Faktorkan pembilang dan penyebut.
- Tentukan titik-titik kritis (pembilang = 0 dan penyebut = 0).
- Buat garis bilangan dan uji tanda pada setiap interval.
- Pilih interval yang memenuhi pertidaksamaan.
- Tuliskan himpunan penyelesaian (ingat: titik yang membuat penyebut = 0 selalu dikeluarkan).
3. Metode Tabel Tanda (Sign Chart)
Contoh metode tabel tanda untuk $\dfrac{(x-2)(x+3)}{x-5} > 0$:
Titik kritis: $x = -3, \; x = 2, \; x = 5$
| Interval | $x+3$ | $x-2$ | $x-5$ | Hasil Pecahan |
|---|---|---|---|---|
| $x < -3$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ |
| $-3 < x < 2$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $2 < x < 5$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ |
| $x > 5$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
Karena $\dfrac{(x-2)(x+3)}{x-5} > 0$, kita pilih interval dengan hasil $+$:
HP = $\{x \mid -3 < x < 2 \text{ atau } x > 5\}$
Dalam notasi interval: $(-3, 2) \cup (5, \infty)$
4. Pertidaksamaan Pecahan dengan Ruas Kanan ≠ 0
Jika ruas kanan bukan nol, pindahkan terlebih dahulu ke ruas kiri:
Penyelesaian:
$\dfrac{x+1}{x-2} – 3 > 0$
$\dfrac{x+1 – 3(x-2)}{x-2} > 0$
$\dfrac{x+1 – 3x+6}{x-2} > 0$
$\dfrac{-2x+7}{x-2} > 0$
Titik kritis: $x = \frac{7}{2}$ dan $x = 2$
HP = $\left\{x \mid 2 < x < \dfrac{7}{2}\right\}$
5. Pertidaksamaan Pecahan Ganda (Pecahan di Kedua Ruas)
Jika kedua ruas berupa pecahan:
Pindahkan ke satu ruas dan samakan penyebutnya.
6. Kasus Khusus: Tanda ≥ dan ≤
Untuk pertidaksamaan $\dfrac{f(x)}{g(x)} \geq 0$ atau $\dfrac{f(x)}{g(x)} \leq 0$:
- Titik yang membuat pembilang = 0 → dimasukkan ke himpunan penyelesaian (gunakan kurung siku [ ])
- Titik yang membuat penyebut = 0 → selalu dikeluarkan (gunakan kurung biasa ( ))
7. Ringkasan Aturan Penting
| Aturan | Keterangan |
|---|---|
| Penyebut ≠ 0 | Titik yang membuat penyebut = 0 selalu dikeluarkan |
| Jangan kalikan silang | Kecuali diketahui tanda penyebut pasti positif/negatif |
| Pindahkan ke satu ruas | Buat ruas kanan = 0 |
| Tanda ≥ atau ≤ | Pembilang = 0 boleh dimasukkan, penyebut = 0 tetap dikeluarkan |
📝 Contoh Soal & Pembahasan
Mudah
Contoh 1: Selesaikan $\dfrac{x-1}{x+2} > 0$
Pembahasan:
Titik kritis: $x = 1$ (pembilang = 0) dan $x = -2$ (penyebut = 0)
Uji tanda:
- $x < -2$: $\dfrac{(-)}{(-)} = +$ ✓
- $-2 < x < 1$: $\dfrac{(-)}{(+)} = -$ ✗
- $x > 1$: $\dfrac{(+)}{(+)} = +$ ✓
HP = $\{x \mid x < -2 \text{ atau } x > 1\} = (-\infty, -2) \cup (1, \infty)$
Contoh 2: Selesaikan $\dfrac{x+3}{x-4} < 0$
Pembahasan:
Titik kritis: $x = -3$ dan $x = 4$
Uji tanda:
- $x < -3$: $\dfrac{(-)}{(-)} = +$ ✗
- $-3 < x < 4$: $\dfrac{(+)}{(-)} = -$ ✓
- $x > 4$: $\dfrac{(+)}{(+)} = +$ ✗
HP = $(-3, 4)$
Contoh 3: Selesaikan $\dfrac{2x}{x-1} \geq 0$
Pembahasan:
Titik kritis: $x = 0$ (pembilang = 0) dan $x = 1$ (penyebut = 0)
Uji tanda:
- $x < 0$: $\dfrac{(-)}{(-)} = +$ ✓
- $0 < x < 1$: $\dfrac{(+)}{(-)} = -$ ✗
- $x > 1$: $\dfrac{(+)}{(+)} = +$ ✓
Karena tanda ≥, titik $x=0$ dimasukkan (pembilang=0), tapi $x=1$ dikeluarkan (penyebut=0).
HP = $(-\infty, 0] \cup (1, \infty)$
Contoh 4: Selesaikan $\dfrac{x+5}{x} \leq 0$
Pembahasan:
Titik kritis: $x = -5$ dan $x = 0$
Uji tanda:
- $x < -5$: $\dfrac{(-)}{(-)} = +$ ✗
- $-5 < x < 0$: $\dfrac{(+)}{(-)} = -$ ✓
- $x > 0$: $\dfrac{(+)}{(+)} = +$ ✗
Titik $x=-5$ dimasukkan, $x=0$ dikeluarkan.
HP = $[-5, 0)$
Contoh 5: Selesaikan $\dfrac{3}{x-2} > 0$
Pembahasan:
Pembilang = 3 (selalu positif). Agar pecahan > 0, maka penyebut harus positif.
$x – 2 > 0 \implies x > 2$
HP = $(2, \infty)$
Sedang
Contoh 6: Selesaikan $\dfrac{x-3}{x+1} > 2$
Pembahasan:
$\dfrac{x-3}{x+1} – 2 > 0$
$\dfrac{x-3 – 2(x+1)}{x+1} > 0$
$\dfrac{x-3-2x-2}{x+1} > 0$
$\dfrac{-x-5}{x+1} > 0$
Titik kritis: $x = -5$ dan $x = -1$
Uji tanda:
- $x < -5$: $\dfrac{(+)}{(-)} = -$ ✗
- $-5 < x < -1$: $\dfrac{(-)}{(-)} = +$ ✓
- $x > -1$: $\dfrac{(-)}{(+)} = -$ ✗
HP = $(-5, -1)$
Contoh 7: Selesaikan $\dfrac{x^2 – 4}{x + 3} \leq 0$
Pembahasan:
Faktorkan: $\dfrac{(x-2)(x+2)}{x+3} \leq 0$
Titik kritis: $x = 2, \; x = -2, \; x = -3$
Uji tanda:
- $x < -3$: $\dfrac{(-)(-)} {(-)} = \dfrac{+}{-} = -$ ✓
- $-3 < x < -2$: $\dfrac{(-)(-)}{(+)} = +$ ✗
- $-2 < x < 2$: $\dfrac{(-)(+)}{(+)} = -$ ✓
- $x > 2$: $\dfrac{(+)(+)}{(+)} = +$ ✗
Titik $x=-2$ dan $x=2$ dimasukkan, $x=-3$ dikeluarkan.
HP = $(-\infty, -3) \cup [-2, 2]$
Contoh 8: Selesaikan $\dfrac{2x+1}{x-3} \geq 1$
Pembahasan:
$\dfrac{2x+1}{x-3} – 1 \geq 0$
$\dfrac{2x+1-(x-3)}{x-3} \geq 0$
$\dfrac{x+4}{x-3} \geq 0$
Titik kritis: $x = -4$ dan $x = 3$
Uji tanda:
- $x < -4$: $\dfrac{(-)}{(-)} = +$ ✓
- $-4 < x < 3$: $\dfrac{(+)}{(-)} = -$ ✗
- $x > 3$: $\dfrac{(+)}{(+)} = +$ ✓
Titik $x=-4$ dimasukkan, $x=3$ dikeluarkan.
HP = $(-\infty, -4] \cup (3, \infty)$
Contoh 9: Selesaikan $\dfrac{x}{x-2} < \dfrac{1}{x+1}$
Pembahasan:
$\dfrac{x}{x-2} – \dfrac{1}{x+1} < 0$
$\dfrac{x(x+1) – (x-2)}{(x-2)(x+1)} < 0$
$\dfrac{x^2+x-x+2}{(x-2)(x+1)} < 0$
$\dfrac{x^2+2}{(x-2)(x+1)} < 0$
Perhatikan: $x^2+2 > 0$ untuk semua $x$ (selalu positif, diskriminan negatif).
Jadi cukup lihat kapan $(x-2)(x+1) < 0$.
$(x-2)(x+1) < 0 \implies -1 < x < 2$
HP = $(-1, 2)$
Contoh 10: Selesaikan $\dfrac{x-1}{x^2-9} > 0$
Pembahasan:
$\dfrac{x-1}{(x-3)(x+3)} > 0$
Titik kritis: $x = 1, \; x = 3, \; x = -3$
Uji tanda:
- $x < -3$: $\dfrac{(-)}{(-)(-)} = \dfrac{-}{+} = -$ ✗
- $-3 < x < 1$: $\dfrac{(-)}{(-)(+)} = \dfrac{-}{-} = +$ ✓
- $1 < x < 3$: $\dfrac{(+)}{(-)(+)} = \dfrac{+}{-} = -$ ✗
- $x > 3$: $\dfrac{(+)}{(+)(+)} = +$ ✓
HP = $(-3, 1) \cup (3, \infty)$
Sulit
Contoh 11: Selesaikan $\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-1} \leq 0$
Pembahasan:
$\dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x+1)} \leq 0$
Titik kritis: $x = -1, \; x = 1, \; x = 2, \; x = 3$
Uji tanda pada 5 interval:
| Interval | $x+1$ | $x-1$ | $x-2$ | $x-3$ | Hasil |
|---|---|---|---|---|---|
| $x<-1$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $-1 |
$+$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ |
| $1 |
$+$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $2 |
$+$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ |
| $x>3$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
Pilih interval ≤ 0. Titik $x=2, x=3$ dimasukkan; $x=-1, x=1$ dikeluarkan.
HP = $(-1, 1) \cup [2, 3]$
Contoh 12: Selesaikan $\dfrac{2x-1}{x+3} \geq \dfrac{x}{x-1}$
Pembahasan:
$\dfrac{2x-1}{x+3} – \dfrac{x}{x-1} \geq 0$
$\dfrac{(2x-1)(x-1) – x(x+3)}{(x+3)(x-1)} \geq 0$
Pembilang: $(2x^2-3x+1) – (x^2+3x) = x^2 – 6x + 1$
$\dfrac{x^2-6x+1}{(x+3)(x-1)} \geq 0$
Akar pembilang: $x = \dfrac{6 \pm \sqrt{36-4}}{2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$
$x_1 = 3 – 2\sqrt{2} \approx 0{,}17$ dan $x_2 = 3 + 2\sqrt{2} \approx 5{,}83$
Titik kritis urut: $x = -3, \; 3-2\sqrt{2}, \; 1, \; 3+2\sqrt{2}$
Uji tanda pada 5 interval (pembilang positif di luar akar-akarnya):
- $x < -3$: $\dfrac{(+)}{(-)(-)} = +$ ✓
- $-3 < x < 3-2\sqrt{2}$: $\dfrac{(+)}{(+)(-)} = -$ ✗
- $3-2\sqrt{2} < x < 1$: $\dfrac{(-)}{(+)(-)} = +$ ✓
- $1 < x < 3+2\sqrt{2}$: $\dfrac{(-)}{(+)(+)} = -$ ✗
- $x > 3+2\sqrt{2}$: $\dfrac{(+)}{(+)(+)} = +$ ✓
HP = $(-\infty, -3) \cup [3-2\sqrt{2}, 1) \cup [3+2\sqrt{2}, \infty)$
Contoh 13: Selesaikan $\dfrac{x+2}{x-1} + \dfrac{x-1}{x+2} \leq 3$
Pembahasan:
$\dfrac{x+2}{x-1} + \dfrac{x-1}{x+2} – 3 \leq 0$
$\dfrac{(x+2)^2 + (x-1)^2 – 3(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)} \leq 0$
Pembilang: $(x^2+4x+4)+(x^2-2x+1)-3(x^2+x-2)$
$= 2x^2+2x+5 – 3x^2-3x+6 = -x^2-x+11$
$= -(x^2+x-11)$
$\dfrac{-(x^2+x-11)}{(x-1)(x+2)} \leq 0 \implies \dfrac{x^2+x-11}{(x-1)(x+2)} \geq 0$
Akar $x^2+x-11=0$: $x = \dfrac{-1\pm\sqrt{45}}{2} = \dfrac{-1\pm 3\sqrt{5}}{2}$
$x_1 \approx -3{,}85$ dan $x_2 \approx 2{,}85$
Titik kritis urut: $\approx -3{,}85, \; -2, \; 1, \; 2{,}85$
Uji tanda pada 5 interval dan tentukan yang ≥ 0:
HP = $\left[\dfrac{-1-3\sqrt{5}}{2},\; -2\right) \cup \left(1,\; \dfrac{-1+3\sqrt{5}}{2}\right]$
Contoh 14: Selesaikan $\dfrac{|x-2|}{x+1} > 1$ untuk $x > 2$
Pembahasan:
Karena $x > 2$, maka $|x-2| = x-2$ dan $x+1 > 0$.
$\dfrac{x-2}{x+1} > 1$
$\dfrac{x-2}{x+1} – 1 > 0$
$\dfrac{x-2-(x+1)}{x+1} > 0$
$\dfrac{-3}{x+1} > 0$
Karena pembilang = $-3 < 0$, maka penyebut harus negatif: $x+1 < 0 \implies x < -1$.
Namun syarat $x > 2$, sehingga irisan kosong.
HP = $\emptyset$ (himpunan kosong)
Contoh 15: Selesaikan $\dfrac{x^2-4x+3}{x^2+2x-8} < \dfrac{x-1}{x+4}$
Pembahasan:
Faktorkan: $\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x+4)(x-2)} < \dfrac{x-1}{x+4}$
$\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x+4)(x-2)} – \dfrac{x-1}{x+4} < 0$
$\dfrac{(x-1)(x-3) – (x-1)(x-2)}{(x+4)(x-2)} < 0$
$\dfrac{(x-1)[(x-3)-(x-2)]}{(x+4)(x-2)} < 0$
$\dfrac{(x-1)(-1)}{(x+4)(x-2)} < 0$
$\dfrac{-(x-1)}{(x+4)(x-2)} < 0 \implies \dfrac{x-1}{(x+4)(x-2)} > 0$
Titik kritis: $x = -4, \; x = 1, \; x = 2$
Uji tanda:
- $x < -4$: $\dfrac{(-)}{(-)(-)} = -$ ✗
- $-4 < x < 1$: $\dfrac{(-)}{(+)(-)} = +$ ✓
- $1 < x < 2$: $\dfrac{(+)}{(+)(-)} = -$ ✗
- $x > 2$: $\dfrac{(+)}{(+)(+)} = +$ ✓
HP = $(-4, 1) \cup (2, \infty)$
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan contoh soal terlebih dahulu.
Mudah
- Selesaikan $\dfrac{x-4}{x+1} > 0$
- Selesaikan $\dfrac{x+2}{x-3} < 0$
- Selesaikan $\dfrac{5}{x+4} \leq 0$
- Selesaikan $\dfrac{x}{x-5} \geq 0$
- Selesaikan $\dfrac{2x-6}{x+1} > 0$
Sedang
- Selesaikan $\dfrac{x+1}{x-2} \leq 3$
- Selesaikan $\dfrac{x^2-9}{x+2} > 0$
- Selesaikan $\dfrac{3x-1}{x+4} \geq 2$
- Selesaikan $\dfrac{x}{x+3} > \dfrac{2}{x-1}$
- Selesaikan $\dfrac{x^2-x-6}{x^2-4} < 0$
Sulit
- Selesaikan $\dfrac{x^2-2x-3}{x^2+x-2} \leq 0$
- Selesaikan $\dfrac{x-1}{x+2} + \dfrac{x+2}{x-1} \geq 4$
- Selesaikan $\dfrac{2x^2-5x+2}{x^2-4x+3} > 1$
- Selesaikan $\dfrac{x^2+3x-4}{x^2-x-6} \leq \dfrac{x+4}{x-3}$
- Selesaikan $\dfrac{x^3-x}{x^2-4} \geq 0$