Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Matematika
1. Pengertian Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan garis bilangan berikut. Titik-titik mana saja yang berjarak kurang dari 3 satuan dari titik 0?
Daerah biru menunjukkan himpunan titik yang berjarak kurang dari 3 dari 0, yaitu: −3 < x < 3, yang dapat ditulis sebagai |x| < 3.
Kegiatan: Menanya
- Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak?
- Apa perbedaan penyelesaian |f(x)| < a dan |f(x)| > a?
- Bagaimana jika kedua ruas memuat nilai mutlak?
Kegiatan: Menalar
Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang memuat ekspresi dalam tanda nilai mutlak ( | | ). Penyelesaiannya memanfaatkan definisi nilai mutlak untuk mengubah pertidaksamaan menjadi bentuk tanpa nilai mutlak.
Ingat definisi nilai mutlak:
|x| = −x, jika x < 0
Dari definisi ini, kita turunkan sifat-sifat pertidaksamaan nilai mutlak.
2. Sifat 1: |f(x)| < a dan |f(x)| ≤ a
Teorema
Untuk a > 0:
Interpretasi geometris: Titik-titik yang berjarak kurang dari a satuan dari 0 berada di antara −a dan a.
Kegiatan: Mencoba
Cobalah selesaikan: |2x − 1| < 5
Langkah:
- Tulis menjadi: −5 < 2x − 1 < 5
- Tambah 1 ke semua ruas: −4 < 2x < 6
- Bagi 2 ke semua ruas: −2 < x < 3
Himpunan penyelesaian: {x | −2 < x < 3} atau interval (−2, 3)
Langkah Umum Menyelesaikan |f(x)| < a:
- Pastikan a > 0 (jika a ≤ 0, maka tidak ada solusi untuk tanda <)
- Ubah menjadi: −a < f(x) < a
- Selesaikan pertidaksamaan linear/kuadrat gabungan tersebut
- Tuliskan himpunan penyelesaian dalam notasi himpunan atau interval
| Bentuk | Ekuivalen dengan | Grafik pada Garis Bilangan |
|---|---|---|
| |x| < a | −a < x < a | Interval terbuka (−a, a) |
| |x| ≤ a | −a ≤ x ≤ a | Interval tertutup [−a, a] |
| |x − b| < a | b − a < x < b + a | Interval terbuka (b−a, b+a) |
3. Sifat 2: |f(x)| > a dan |f(x)| ≥ a
Teorema
Untuk a > 0:
Interpretasi geometris: Titik-titik yang berjarak lebih dari a satuan dari 0 berada di luar interval (−a, a).
Daerah biru: himpunan penyelesaian |x| > a → x < −a atau x > a
Kegiatan: Mencoba
Selesaikan: |3x + 2| > 7
Langkah:
- Kasus 1: 3x + 2 > 7 → 3x > 5 → x > 5/3
- Kasus 2: 3x + 2 < −7 → 3x < −9 → x < −3
HP: {x | x < −3 atau x > 5/3} atau (−∞, −3) ∪ (5/3, ∞)
Langkah Umum Menyelesaikan |f(x)| > a:
- Pastikan a > 0 (jika a < 0, maka solusinya semua bilangan real)
- Pisahkan menjadi dua kasus: f(x) > a atau f(x) < −a
- Selesaikan masing-masing kasus secara terpisah
- Gabungkan kedua himpunan penyelesaian dengan “atau” (union ∪)
4. Sifat 3: |f(x)| ≤ |g(x)| (Kuadrat Kedua Ruas)
Teorema
Pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak di kedua ruas dapat diselesaikan dengan mengkuadratkan kedua ruas:
⟺ [f(x) − g(x)][f(x) + g(x)] ≤ 0
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada teman sebangkumu mengapa metode kuadrat kedua ruas selalu valid untuk pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak di kedua ruas.
Petunjuk: Karena |a|² = a² untuk semua bilangan real a, maka mengkuadratkan tidak mengubah kebenaran pertidaksamaan ketika kedua ruas non-negatif (nilai mutlak selalu ≥ 0).
Kegiatan: Mencoba
Selesaikan: |x − 1| ≤ |2x + 3|
- Kuadratkan: (x − 1)² ≤ (2x + 3)²
- x² − 2x + 1 ≤ 4x² + 12x + 9
- 0 ≤ 3x² + 14x + 8
- 3x² + 14x + 8 ≥ 0
- Faktorkan: (3x + 2)(x + 4) ≥ 0
- Titik nol: x = −2/3 dan x = −4
- Uji tanda: HP = {x | x ≤ −4 atau x ≥ −2/3}
HP: (−∞, −4] ∪ [−2/3, ∞)
5. Contoh Soal — Tingkat Mudah
Contoh 1:
Selesaikan |x| < 4
⟺ −4 < x < 4
HP = {x | −4 < x < 4} = (−4, 4)
Contoh 2:
Selesaikan |x| > 2
⟺ x < −2 atau x > 2
HP = (−∞, −2) ∪ (2, ∞)
Contoh 3:
Selesaikan |x − 3| ≤ 5
⟺ −5 ≤ x − 3 ≤ 5
⟺ −5 + 3 ≤ x ≤ 5 + 3
⟺ −2 ≤ x ≤ 8
HP = [−2, 8]
Contoh 4:
Selesaikan |x + 1| < 3
⟺ −3 < x + 1 < 3
⟺ −4 < x < 2
HP = (−4, 2)
Contoh 5:
Selesaikan |2x| ≥ 6
⟺ 2x ≤ −6 atau 2x ≥ 6
⟺ x ≤ −3 atau x ≥ 3
HP = (−∞, −3] ∪ [3, ∞)
6. Contoh Soal — Tingkat Sedang
Contoh 1:
Selesaikan |2x − 5| < 7
⟺ −7 < 2x − 5 < 7
⟺ −7 + 5 < 2x < 7 + 5
⟺ −2 < 2x < 12
⟺ −1 < x < 6
HP = (−1, 6)
Contoh 2:
Selesaikan |3x + 4| ≥ 10
Kasus 1: 3x + 4 ≥ 10 → 3x ≥ 6 → x ≥ 2
Kasus 2: 3x + 4 ≤ −10 → 3x ≤ −14 → x ≤ −14/3
HP = (−∞, −14/3] ∪ [2, ∞)
Contoh 3:
Selesaikan |4 − x| < 2
⟺ −2 < 4 − x < 2
Kurangi 4: −6 < −x < −2
Kalikan −1 (balik tanda): 2 < x < 6
HP = (2, 6)
Contoh 4:
Selesaikan |x − 2| > |x + 1|
(x − 2)² > (x + 1)²
x² − 4x + 4 > x² + 2x + 1
−4x + 4 > 2x + 1
3 > 6x
x < 1/2
HP = (−∞, 1/2)
Contoh 5:
Selesaikan 2|x − 1| + 3 < 9
2|x − 1| < 6
|x − 1| < 3
⟺ −3 < x − 1 < 3
⟺ −2 < x < 4
HP = (−2, 4)
7. Contoh Soal — Tingkat Sulit
Contoh 1:
Selesaikan |x² − 4| < 5
⟺ −5 < x² − 4 < 5
Bagian kiri: x² − 4 > −5 → x² > −1 → selalu benar (x² ≥ 0)
Bagian kanan: x² − 4 < 5 → x² < 9 → −3 < x < 3
Irisan: selalu benar ∩ (−3, 3) = (−3, 3)
HP = (−3, 3)
Contoh 2:
Selesaikan |x² − 5x + 4| ≤ 2
⟺ −2 ≤ x² − 5x + 4 ≤ 2
Bagian kiri: x² − 5x + 4 ≥ −2
x² − 5x + 6 ≥ 0
(x − 2)(x − 3) ≥ 0
HP₁: x ≤ 2 atau x ≥ 3
Bagian kanan: x² − 5x + 4 ≤ 2
x² − 5x + 2 ≤ 0
x = (5 ± √17)/2
HP₂: (5 − √17)/2 ≤ x ≤ (5 + √17)/2
≈ 0,44 ≤ x ≤ 4,56
Irisan HP₁ ∩ HP₂:
HP = [(5−√17)/2, 2] ∪ [3, (5+√17)/2]
Contoh 3:
Selesaikan |2x − 1| + |x + 3| < 8
Bagi menjadi 3 interval:
Interval 1: x < −3
−(2x−1) + (−(x+3)) < 8
−2x+1−x−3 < 8
−3x−2 < 8 → −3x < 10 → x > −10/3
Irisan: −10/3 < x < −3 ✗ (karena −10/3 ≈ −3,33 < −3)
HP₁: (−10/3, −3)
Interval 2: −3 ≤ x < 1/2
−(2x−1) + (x+3) < 8
−2x+1+x+3 < 8
−x+4 < 8 → −x < 4 → x > −4
Irisan: −3 ≤ x < 1/2 (karena −4 < −3)
HP₂: [−3, 1/2)
Interval 3: x ≥ 1/2
(2x−1) + (x+3) < 8
3x+2 < 8 → 3x < 6 → x < 2
Irisan: 1/2 ≤ x < 2
HP₃: [1/2, 2)
Gabungan: HP₁ ∪ HP₂ ∪ HP₃
HP = (−10/3, 2)
Contoh 4:
Selesaikan |x − 1| ≥ |x² − 1|
Maka: |x − 1| ≥ |x − 1| · |x + 1|
Kasus 1: x = 1
|0| ≥ |0| → 0 ≥ 0 ✓ (termasuk solusi)
Kasus 2: x ≠ 1
Bagi kedua ruas dengan |x − 1| > 0:
1 ≥ |x + 1|
⟺ −1 ≤ x + 1 ≤ 1
⟺ −2 ≤ x ≤ 0
Gabungan: [−2, 0] ∪ {1}
HP = [−2, 0] ∪ {1}
Contoh 5:
Selesaikan (|x − 2|)/(|x + 1|) ≤ 1, x ≠ −1
Karena |x + 1| > 0 (x ≠ −1), kalikan kedua ruas:
|x − 2| ≤ |x + 1|
Kuadratkan:
(x − 2)² ≤ (x + 1)²
x² − 4x + 4 ≤ x² + 2x + 1
−4x + 4 ≤ 2x + 1
3 ≤ 6x
x ≥ 1/2
Dengan syarat x ≠ −1 (sudah terpenuhi karena x ≥ 1/2)
HP = [1/2, ∞)
8. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Tentukan himpunan penyelesaiannya!
Tingkat Mudah
- |x| ≤ 5
- |x| > 3
- |x − 4| < 2
- |x + 2| ≤ 6
- |3x| ≥ 12
Tingkat Sedang
- |4x − 3| < 9
- |2x + 7| ≥ 5
- |5 − 2x| ≤ 3
- 3|x − 2| − 1 < 8
- |x + 4| > |x − 2|
Tingkat Sulit
- |x² − 9| ≤ 7
- |x² − 3x − 4| < 6
- |x − 2| + |x + 1| ≤ 5
- |2x + 1| ≥ |x² − 3|
- |x − 3| / |x + 2| < 2, x ≠ −2
Ringkasan Rumus
| Bentuk | Ekuivalen | Tipe HP |
|---|---|---|
| |f(x)| < a | −a < f(x) < a | Interval terbatas (irisan) |
| |f(x)| ≤ a | −a ≤ f(x) ≤ a | Interval terbatas (irisan) |
| |f(x)| > a | f(x) < −a atau f(x) > a | Dua interval (gabungan) |
| |f(x)| ≥ a | f(x) ≤ −a atau f(x) ≥ a | Dua interval (gabungan) |
| |f(x)| ≤ |g(x)| | [f(x)]² ≤ [g(x)]² | Metode kuadrat |