Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Grafik Fungsi Kuadrat
1. Pendahuluan
Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memuat variabel berpangkat dua (kuadrat). Bentuk umumnya adalah:
dengan a ≠ 0, dan a, b, c ∈ ℝ.
Salah satu metode yang efektif untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah menggunakan grafik fungsi kuadrat (parabola). Dengan melihat posisi grafik terhadap sumbu-x, kita dapat menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan grafik fungsi kuadrat y = x2 − 4 berikut ini. Amati kapan grafik berada di atas sumbu-x (nilai y > 0) dan kapan grafik berada di bawah sumbu-x (nilai y < 0).
Grafik y = x2 − 4 dengan titik potong sumbu-x di (−2, 0) dan (2, 0)
Kegiatan: Menanya
- Untuk nilai x berapa saja grafik berada di atas sumbu-x?
- Untuk nilai x berapa saja grafik berada di bawah sumbu-x?
- Bagaimana hubungan antara posisi grafik dengan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat?
2. Konsep Pertidaksamaan Kuadrat dan Grafik
Hubungan antara pertidaksamaan kuadrat dan grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut:
| Pertidaksamaan | Arti pada Grafik | Daerah yang dicari |
|---|---|---|
| f(x) > 0 | Grafik di atas sumbu-x | Nilai x saat kurva di atas |
| f(x) < 0 | Grafik di bawah sumbu-x | Nilai x saat kurva di bawah |
| f(x) ≥ 0 | Grafik di atas atau menyentuh sumbu-x | Termasuk titik potong |
| f(x) ≤ 0 | Grafik di bawah atau menyentuh sumbu-x | Termasuk titik potong |
Kegiatan: Menalar
Perhatikan prinsip berikut:
- Jika a > 0 (parabola terbuka ke atas), grafik berada di atas sumbu-x untuk x < x1 atau x > x2, dan di bawah sumbu-x untuk x1 < x < x2.
- Jika a < 0 (parabola terbuka ke bawah), grafik berada di atas sumbu-x untuk x1 < x < x2, dan di bawah sumbu-x untuk x < x1 atau x > x2.
- Di sini x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0 dengan x1 < x2.
Kasus Berdasarkan Diskriminan
Nilai diskriminan D = b2 − 4ac menentukan jenis akar:
| Diskriminan | Jenis Akar | Grafik terhadap sumbu-x |
|---|---|---|
| D > 0 | Dua akar real berbeda | Memotong di 2 titik |
| D = 0 | Dua akar real sama (kembar) | Menyinggung di 1 titik |
| D < 0 | Tidak ada akar real | Tidak memotong sumbu-x |
3. Langkah-Langkah Penyelesaian dengan Grafik
Kegiatan: Mencoba
Ikuti langkah-langkah berikut untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat menggunakan grafik:
Ubah ke bentuk baku
Pindahkan semua suku ke satu ruas sehingga ruas lainnya = 0. Pastikan koefisien a > 0 (jika tidak, kalikan kedua ruas dengan −1 dan balik tanda pertidaksamaan).
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat
Selesaikan ax2 + bx + c = 0 menggunakan pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, atau rumus kuadrat (rumus abc).
Sketsa grafik fungsi kuadrat
Gambar parabola dengan memperhatikan: arah bukaan (ditentukan oleh tanda a) dan titik potong sumbu-x (akar-akar).
Tentukan daerah penyelesaian dari grafik
Perhatikan tanda pertidaksamaan: jika > 0 atau ≥ 0, pilih daerah di mana grafik di atas sumbu-x. Jika < 0 atau ≤ 0, pilih daerah di mana grafik di bawah sumbu-x.
Tuliskan himpunan penyelesaian
Nyatakan jawaban dalam notasi himpunan atau notasi interval.
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Perhatikan ringkasan penting berikut:
Untuk a > 0 dengan akar x1 < x2:
- ax2 + bx + c > 0 → HP = {x | x < x1 atau x > x2}
- ax2 + bx + c < 0 → HP = {x | x1 < x < x2}
- ax2 + bx + c ≥ 0 → HP = {x | x ≤ x1 atau x ≥ x2}
- ax2 + bx + c ≤ 0 → HP = {x | x1 ≤ x ≤ x2}
4. Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 − 4 > 0.
Pembahasan:
Langkah 1: Sudah dalam bentuk baku, a = 1 > 0.
Langkah 2: Cari akar: x2 − 4 = 0 → (x − 2)(x + 2) = 0 → x1 = −2, x2 = 2
Langkah 3: Grafik parabola terbuka ke atas (a > 0), memotong sumbu-x di −2 dan 2.
Langkah 4: Karena > 0, pilih daerah grafik di atas sumbu-x, yaitu x < −2 atau x > 2.
HP = {x | x < −2 atau x > 2} = (−∞, −2) ∪ (2, ∞)
Contoh 2:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 − 9 < 0.
Pembahasan:
Langkah 1: Bentuk baku, a = 1 > 0.
Langkah 2: x2 − 9 = 0 → (x − 3)(x + 3) = 0 → x1 = −3, x2 = 3
Langkah 3: Parabola terbuka ke atas.
Langkah 4: Karena < 0, pilih daerah grafik di bawah sumbu-x, yaitu antara kedua akar.
HP = {x | −3 < x < 3} = (−3, 3)
Contoh 3:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 − 5x + 6 ≤ 0.
Pembahasan:
Langkah 1: Bentuk baku, a = 1 > 0.
Langkah 2: x2 − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0 → x1 = 2, x2 = 3
Langkah 3: Parabola terbuka ke atas.
Langkah 4: Karena ≤ 0, pilih daerah grafik di bawah atau menyentuh sumbu-x (termasuk titik potong).
HP = {x | 2 ≤ x ≤ 3} = [2, 3]
Contoh 4:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 2x − 8 ≥ 0.
Pembahasan:
Langkah 2: x2 + 2x − 8 = 0 → (x + 4)(x − 2) = 0 → x1 = −4, x2 = 2
Langkah 3: Parabola terbuka ke atas (a = 1 > 0).
Langkah 4: Karena ≥ 0, pilih daerah grafik di atas atau menyentuh sumbu-x.
HP = {x | x ≤ −4 atau x ≥ 2} = (−∞, −4] ∪ [2, ∞)
Contoh 5:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 − x − 6 < 0.
Pembahasan:
Langkah 2: x2 − x − 6 = 0 → (x − 3)(x + 2) = 0 → x1 = −2, x2 = 3
Langkah 3: Parabola terbuka ke atas.
Langkah 4: Karena < 0, pilih daerah di bawah sumbu-x.
HP = {x | −2 < x < 3} = (−2, 3)
🟡 Tingkat Sedang
Contoh 6:
Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x2 − 5x − 3 > 0.
Pembahasan:
Langkah 1: Bentuk baku, a = 2 > 0.
Langkah 2: 2x2 − 5x − 3 = 0
Faktorkan: (2x + 1)(x − 3) = 0
x1 = −½, x2 = 3
Langkah 3: Parabola terbuka ke atas.
Langkah 4: Karena > 0, pilih daerah di atas sumbu-x.
HP = {x | x < −½ atau x > 3} = (−∞, −½) ∪ (3, ∞)
Contoh 7:
Tentukan himpunan penyelesaian dari −x2 + 4x − 3 ≥ 0.
Pembahasan:
Langkah 1: a = −1 < 0. Kalikan dengan −1 dan balik tanda:
x2 − 4x + 3 ≤ 0
Langkah 2: x2 − 4x + 3 = 0 → (x − 1)(x − 3) = 0 → x1 = 1, x2 = 3
Langkah 3: Sekarang a = 1 > 0, parabola terbuka ke atas.
Langkah 4: Karena ≤ 0, pilih daerah di bawah atau menyentuh sumbu-x.
HP = {x | 1 ≤ x ≤ 3} = [1, 3]
Contoh 8:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 − 2x − 15 ≤ 0.
Pembahasan:
Langkah 2: x2 − 2x − 15 = 0 → (x − 5)(x + 3) = 0 → x1 = −3, x2 = 5
Langkah 3: Parabola terbuka ke atas (a = 1 > 0).
Langkah 4: Karena ≤ 0, grafik di bawah/menyentuh sumbu-x.
HP = {x | −3 ≤ x ≤ 5} = [−3, 5]
Contoh 9:
Tentukan himpunan penyelesaian dari 3x2 + 7x − 6 < 0.
Pembahasan:
Langkah 2: 3x2 + 7x − 6 = 0
Faktorkan: (3x − 2)(x + 3) = 0 → x1 = −3, x2 = ⅔
Langkah 3: Parabola terbuka ke atas (a = 3 > 0).
Langkah 4: Karena < 0, grafik di bawah sumbu-x.
HP = {x | −3 < x < ⅔} = (−3, ⅔)
Contoh 10:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 6x + 9 > 0.
Pembahasan:
Langkah 2: x2 + 6x + 9 = 0 → (x + 3)2 = 0 → x = −3 (akar kembar)
Langkah 3: Parabola terbuka ke atas, menyinggung sumbu-x di x = −3.
Langkah 4: Grafik selalu di atas atau menyentuh sumbu-x. Karena > 0 (tidak termasuk = 0), maka semua x kecuali x = −3.
HP = {x | x ∈ ℝ, x ≠ −3} = (−∞, −3) ∪ (−3, ∞)
🔴 Tingkat Sulit
Contoh 11:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 2x + 5 > 0.
Pembahasan:
Langkah 2: Hitung diskriminan: D = 4 − 20 = −16 < 0
Langkah 3: Karena D < 0 dan a = 1 > 0, grafik parabola seluruhnya berada di atas sumbu-x (tidak pernah memotong).
Langkah 4: Grafik selalu positif untuk semua x real.
HP = ℝ = (−∞, ∞) — semua bilangan real
Contoh 12:
Tentukan himpunan penyelesaian dari −2x2 + 3x − 5 > 0.
Pembahasan:
Langkah 1: Kalikan −1 dan balik tanda: 2x2 − 3x + 5 < 0
Langkah 2: Hitung diskriminan: D = 9 − 40 = −31 < 0
Langkah 3: Karena D < 0 dan a = 2 > 0, grafik seluruhnya di atas sumbu-x.
Langkah 4: Kita mencari 2x2 − 3x + 5 < 0, tetapi grafik tidak pernah di bawah sumbu-x.
HP = ∅ (himpunan kosong)
Contoh 13:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 − 3x + 1 < 0.
Pembahasan:
Langkah 2: Gunakan rumus abc: D = 9 − 4 = 5
x = (3 ± √5) / 2
x1 = (3 − √5)/2 ≈ 0,382
x2 = (3 + √5)/2 ≈ 2,618
Langkah 3: Parabola terbuka ke atas (a = 1 > 0).
Langkah 4: Karena < 0, daerah di bawah sumbu-x.
HP = {x | (3−√5)/2 < x < (3+√5)/2}
Contoh 14:
Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan (x − 1)(2x + 3) > (x + 2)(x − 4).
Pembahasan:
Langkah 1: Jabarkan kedua ruas:
Ruas kiri: 2x2 + 3x − 2x − 3 = 2x2 + x − 3
Ruas kanan: x2 − 4x + 2x − 8 = x2 − 2x − 8
Pindahkan ke satu ruas:
2x2 + x − 3 − x2 + 2x + 8 > 0
x2 + 3x + 5 > 0
Langkah 2: D = 9 − 20 = −11 < 0
Langkah 3: Karena D < 0 dan a = 1 > 0, grafik selalu di atas sumbu-x.
HP = ℝ = (−∞, ∞)
Contoh 15:
Tentukan himpunan penyelesaian dari (2x − 1)/(x + 3) ≤ x dengan syarat x + 3 > 0.
Pembahasan:
Langkah 1: Karena x + 3 > 0 (yaitu x > −3), kita bisa kalikan kedua ruas tanpa mengubah tanda:
2x − 1 ≤ x(x + 3)
2x − 1 ≤ x2 + 3x
0 ≤ x2 + x + 1
Langkah 2: D = 1 − 4 = −3 < 0
Langkah 3: Karena D < 0 dan a = 1 > 0, x2 + x + 1 selalu positif.
Langkah 4: Pertidaksamaan 0 ≤ (selalu positif) selalu benar.
Namun kita memiliki syarat x > −3.
HP = {x | x > −3} = (−3, ∞)
5. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut untuk mengasah pemahamanmu. Tentukan himpunan penyelesaian dari masing-masing pertidaksamaan.
🟢 Tingkat Mudah
1. x2 − 16 > 0
2. x2 − 3x + 2 < 0
3. x2 + x − 12 ≥ 0
4. x2 − 7x + 10 ≤ 0
5. x2 − 25 < 0
🟡 Tingkat Sedang
6. 2x2 − 7x + 3 > 0
7. −x2 + 5x − 4 ≥ 0
8. 3x2 − 10x + 8 ≤ 0
9. x2 − 4x + 4 > 0
10. 4x2 + 4x − 3 < 0
🔴 Tingkat Sulit
11. x2 + 4x + 7 < 0
12. (x + 1)(3x − 2) ≥ (2x − 1)(x + 4)
13. x2 − 5x + 2 ≤ 0
14. −3x2 + 2x − 4 ≥ 0
15. 2x2 − x − 1 > x2 + 2x + 3