Menyelesaikan Pertidaksamaan Bentuk Akar
Matematika
1. Konsep Dasar Pertidaksamaan Bentuk Akar
Mengamati
Perhatikan pertidaksamaan berikut:
Pertidaksamaan di atas melibatkan bentuk akar (radikal). Penyelesaiannya memerlukan syarat-syarat tertentu agar akar terdefinisi.
Menanya
- Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat bentuk akar?
- Apa syarat agar bentuk akar terdefinisi?
- Kapan kita boleh mengkuadratkan kedua ruas?
Menalar
Pertidaksamaan bentuk akar adalah pertidaksamaan yang memuat variabel di dalam tanda akar (radikal). Bentuk umumnya:
📐 Definisi
Pertidaksamaan bentuk akar adalah pertidaksamaan yang memuat ekspresi \(\sqrt[n]{f(x)}\) di mana \(f(x)\) adalah fungsi yang mengandung variabel \(x\).
Syarat terdefinisi: Untuk akar kuadrat \(\sqrt{f(x)}\), berlaku syarat \(f(x) \geq 0\).
⚠️ Penting!
Setiap penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar WAJIB memperhatikan:
- Syarat terdefinisi (domain): ekspresi di bawah akar harus \(\geq 0\)
- Syarat saat mengkuadratkan: kedua ruas harus non-negatif
- Irisan dari semua syarat dengan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
2. Sifat-Sifat Pertidaksamaan Bentuk Akar
Menalar
Sifat-sifat penting yang digunakan dalam penyelesaian:
📐 Sifat-Sifat Dasar
Sifat 1: Jika \(\sqrt{f(x)} \geq 0\) selalu berlaku
Akar kuadrat selalu menghasilkan nilai non-negatif.
Sifat 2: Fungsi akar kuadrat adalah fungsi naik
Jika \(a \geq b \geq 0\), maka \(\sqrt{a} \geq \sqrt{b}\)
Sifat 3: Mengkuadratkan kedua ruas
Jika kedua ruas non-negatif, mengkuadratkan mempertahankan arah ketidaksamaan.
Tipe-Tipe Pertidaksamaan Bentuk Akar
Tipe A: \(\sqrt{f(x)} > a\) (konstanta positif)
Penyelesaian \(\sqrt{f(x)} > a\) dengan \(a > 0\):
Kuadratkan kedua ruas:
Syarat: \(f(x) \geq 0\)
HP = \(\{x \mid f(x) > a^2\}\)
Penyelesaian \(\sqrt{f(x)} > a\) dengan \(a < 0\):
Karena \(\sqrt{f(x)} \geq 0 > a\), maka penyelesaiannya adalah semua \(x\) yang memenuhi \(f(x) \geq 0\).
Tipe B: \(\sqrt{f(x)} < a\)
Penyelesaian \(\sqrt{f(x)} < a\):
Jika \(a \leq 0\): Tidak ada penyelesaian (HP = \(\emptyset\))
Jika \(a > 0\): Kuadratkan kedua ruas:
HP = \(\{x \mid 0 \leq f(x) < a^2\}\)
Tipe C: \(\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}\)
Penyelesaian:
Karena kedua ruas sudah non-negatif, kuadratkan:
Syarat: \(f(x) \geq 0\) DAN \(g(x) \geq 0\)
HP = \(\{x \mid f(x) > g(x),\ f(x) \geq 0,\ g(x) \geq 0\}\)
Tipe D: \(\sqrt{f(x)} > g(x)\) (g(x) bukan konstanta)
Penyelesaian: Perlu membagi menjadi 2 kasus:
Kasus 1: Jika \(g(x) < 0\), maka \(\sqrt{f(x)} \geq 0 > g(x)\) otomatis terpenuhi.
Syarat: \(f(x) \geq 0\) DAN \(g(x) < 0\)
Kasus 2: Jika \(g(x) \geq 0\), kuadratkan kedua ruas:
\(f(x) > [g(x)]^2\) DAN \(g(x) \geq 0\) DAN \(f(x) \geq 0\)
HP = Kasus 1 ∪ Kasus 2
Tipe E: \(\sqrt{f(x)} < g(x)\)
Penyelesaian:
Syarat: \(f(x) \geq 0\) DAN \(g(x) > 0\) (ruas kanan harus positif)
Kuadratkan: \(f(x) < [g(x)]^2\)
HP = \(\{x \mid f(x) < [g(x)]^2,\ f(x) \geq 0,\ g(x) > 0\}\)
3. Teknik Penyelesaian Pertidaksamaan Bentuk Akar
Mencoba
Ikuti langkah-langkah sistematis berikut untuk menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar:
Langkah-Langkah Penyelesaian:
- Identifikasi tipe pertidaksamaan – Tentukan apakah termasuk Tipe A, B, C, D, atau E.
- Tentukan syarat terdefinisi – Pastikan ekspresi di bawah akar \(\geq 0\).
- Tentukan syarat mengkuadratkan – Pastikan kedua ruas non-negatif sebelum dikuadratkan.
- Kuadratkan kedua ruas – Eliminasi tanda akar.
- Selesaikan pertidaksamaan hasil kuadrat – Gunakan teknik aljabar biasa.
- Iriskan semua syarat – HP adalah irisan dari syarat terdefinisi, syarat mengkuadratkan, dan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.
Mengkomunikasikan
Dalam menuliskan penyelesaian, selalu sertakan:
- Syarat-syarat yang digunakan
- Proses pengkuadratan dan alasannya
- Garis bilangan untuk menentukan irisan
- Himpunan penyelesaian dalam notasi himpunan atau interval
4. Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH Contoh Soal Tingkat Mudah
Soal 1: Tentukan himpunan penyelesaian dari \(\sqrt{x – 1} > 3\)
Lihat Pembahasan
Tipe A: \(\sqrt{f(x)} > a\) dengan \(a = 3 > 0\)
Langkah 1: Syarat terdefinisi: \(x – 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1\)
Langkah 2: Kuadratkan kedua ruas (kedua ruas positif):
Langkah 3: Irisan syarat: \(x \geq 1\) ∩ \(x > 10\) = \(x > 10\)
HP = \(\{x \mid x > 10\}\) atau \((10, \infty)\)
Soal 2: Tentukan himpunan penyelesaian dari \(\sqrt{2x + 4} \leq 4\)
Lihat Pembahasan
Tipe B: \(\sqrt{f(x)} \leq a\) dengan \(a = 4 > 0\)
Langkah 1: Syarat terdefinisi: \(2x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2\)
Langkah 2: Kuadratkan kedua ruas:
Langkah 3: Irisan: \(x \geq -2\) ∩ \(x \leq 6\) = \(-2 \leq x \leq 6\)
HP = \(\{x \mid -2 \leq x \leq 6\}\) atau \([-2, 6]\)
Soal 3: Tentukan himpunan penyelesaian dari \(\sqrt{x + 5} \geq 0\)
Lihat Pembahasan
Karena \(\sqrt{x+5} \geq 0\) selalu benar untuk setiap \(x\) yang membuat akar terdefinisi.
Syarat terdefinisi: \(x + 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5\)
HP = \(\{x \mid x \geq -5\}\) atau \([-5, \infty)\)
Soal 4: Tentukan himpunan penyelesaian dari \(\sqrt{3x – 6} < 6\)
Lihat Pembahasan
Tipe B: \(\sqrt{f(x)} < a\) dengan \(a = 6 > 0\)
Langkah 1: Syarat: \(3x – 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\)
Langkah 2: Kuadratkan:
Langkah 3: Irisan: \(x \geq 2\) ∩ \(x < 14\) = \(2 \leq x < 14\)
HP = \([2, 14)\)
Soal 5: Tentukan himpunan penyelesaian dari \(\sqrt{x} > -2\)
Lihat Pembahasan
Karena \(\sqrt{x} \geq 0 > -2\), pertidaksamaan ini selalu benar untuk semua \(x\) yang memenuhi syarat terdefinisi.
Syarat: \(x \geq 0\)
HP = \(\{x \mid x \geq 0\}\) atau \([0, \infty)\)
SEDANG Contoh Soal Tingkat Sedang
Soal 6: Tentukan HP dari \(\sqrt{x + 3} > \sqrt{2x – 1}\)
Lihat Pembahasan
Tipe C: \(\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}\)
Syarat 1: \(x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3\)
Syarat 2: \(2x – 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}\)
Kuadratkan:
Irisan: \(x \geq \frac{1}{2}\) ∩ \(x < 4\) = \(\frac{1}{2} \leq x < 4\)
HP = \(\left[\frac{1}{2}, 4\right)\)
Soal 7: Tentukan HP dari \(\sqrt{x^2 – 4} \leq \sqrt{3x}\)
Lihat Pembahasan
Tipe C: \(\sqrt{f(x)} \leq \sqrt{g(x)}\)
Syarat 1: \(x^2 – 4 \geq 0 \Rightarrow x \leq -2\) atau \(x \geq 2\)
Syarat 2: \(3x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0\)
Irisan syarat: \(x \geq 2\)
Kuadratkan:
Irisan dengan syarat \(x \geq 2\): \(2 \leq x \leq 4\)
HP = \([2, 4]\)
Soal 8: Tentukan HP dari \(\sqrt{2x + 3} > x – 1\)
Lihat Pembahasan
Tipe D: \(\sqrt{f(x)} > g(x)\)
Syarat terdefinisi: \(2x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{3}{2}\)
Kasus 1: \(g(x) < 0 \Rightarrow x – 1 < 0 \Rightarrow x < 1\)
Irisan dengan syarat: \(-\frac{3}{2} \leq x < 1\)
Kasus 2: \(g(x) \geq 0 \Rightarrow x \geq 1\), kuadratkan:
Akar: \(x = \frac{4 \pm \sqrt{16+8}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}\)
Irisan dengan \(x \geq 1\): \(1 \leq x < 2 + \sqrt{6}\)
HP = Kasus 1 ∪ Kasus 2:
HP = \(\left[-\frac{3}{2},\ 2+\sqrt{6}\right)\)
Soal 9: Tentukan HP dari \(\sqrt{x + 2} \leq x\)
Lihat Pembahasan
Tipe E: \(\sqrt{f(x)} \leq g(x)\)
Syarat 1: \(x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2\)
Syarat 2: \(x \geq 0\) (ruas kanan harus non-negatif)
Kuadratkan:
Irisan: \(x \geq 0\) ∩ (\(x \leq -1\) atau \(x \geq 2\)) = \(x \geq 2\)
HP = \([2, \infty)\)
Soal 10: Tentukan HP dari \(\sqrt{5 – x} \geq \sqrt{x + 1}\)
Lihat Pembahasan
Tipe C: \(\sqrt{f(x)} \geq \sqrt{g(x)}\)
Syarat 1: \(5 – x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5\)
Syarat 2: \(x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1\)
Kuadratkan:
Irisan: \(-1 \leq x \leq 5\) ∩ \(x \leq 2\) = \(-1 \leq x \leq 2\)
HP = \([-1, 2]\)
SULIT Contoh Soal Tingkat Sulit
Soal 11: Tentukan HP dari \(\sqrt{x^2 – 5x + 6} > x – 2\)
Lihat Pembahasan
Tipe D: \(\sqrt{f(x)} > g(x)\)
Syarat: \(x^2 – 5x + 6 \geq 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) \geq 0\)
\(x \leq 2\) atau \(x \geq 3\)
Kasus 1: \(x – 2 < 0 \Rightarrow x < 2\)
Irisan dengan syarat: \(x \leq 2\) ∩ \(x < 2\) = \(x < 2\)
Kasus 2: \(x – 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\), kuadratkan:
Irisan dengan \(x \geq 2\) dan syarat (\(x \leq 2\) atau \(x \geq 3\)):
\(x \geq 2\) ∩ \(x < 2\) = \(\emptyset\)
HP = Kasus 1 ∪ Kasus 2 = \((-\infty, 2)\)
HP = \((-\infty, 2)\)
Soal 12: Tentukan HP dari \(\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-1} > 3\)
Lihat Pembahasan
Syarat: \(2x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{2}\) dan \(x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1\)
Syarat gabungan: \(x \geq 1\)
Isolasi salah satu akar:
Kasus 1: \(3 – \sqrt{x-1} < 0 \Rightarrow \sqrt{x-1} > 3 \Rightarrow x > 10\)
Untuk \(x > 10\), ruas kanan negatif, ruas kiri non-negatif → otomatis terpenuhi.
Kasus 2: \(3 – \sqrt{x-1} \geq 0 \Rightarrow x \leq 10\), kuadratkan:
Sub-kasus 2a: \(7 – x \leq 0 \Rightarrow x \geq 7\). Ruas kiri non-negatif → terpenuhi. Jadi \(7 \leq x \leq 10\).
Sub-kasus 2b: \(7 – x > 0 \Rightarrow x < 7\). Kuadratkan:
Akar: \(x = \frac{50 \pm \sqrt{2500-340}}{2} = 25 \pm \sqrt{540} = 25 \pm 6\sqrt{15}\)
\(25 – 6\sqrt{15} \approx 1.77\)
Irisan dengan \(1 \leq x < 7\): \(25 – 6\sqrt{15} < x < 7\)
HP = \((25-6\sqrt{15},\ 7) \cup [7, 10] \cup (10, \infty)\)
HP = \((25-6\sqrt{15},\ \infty)\)
Soal 13: Tentukan HP dari \(\sqrt{x+3} < 2x – 1\)
Lihat Pembahasan
Tipe E: \(\sqrt{f(x)} < g(x)\)
Syarat 1: \(x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3\)
Syarat 2: \(2x – 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}\)
Kuadratkan:
Akar: \(x = \frac{5 \pm \sqrt{25+32}}{8} = \frac{5 \pm \sqrt{57}}{8}\)
\(\frac{5+\sqrt{57}}{8} \approx 1.57\) dan \(\frac{5-\sqrt{57}}{8} \approx -0.32\)
Irisan: \(x > \frac{1}{2}\) ∩ (\(x < \frac{5-\sqrt{57}}{8}\) atau \(x > \frac{5+\sqrt{57}}{8}\))
Karena \(\frac{5-\sqrt{57}}{8} < \frac{1}{2}\), bagian pertama kosong.
HP = \(\left(\frac{5+\sqrt{57}}{8},\ \infty\right)\)
Soal 14: Tentukan HP dari \(\sqrt{x+1} + \sqrt{x-2} \leq 3\)
Lihat Pembahasan
Syarat: \(x + 1 \geq 0\) dan \(x – 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\)
Isolasi: \(\sqrt{x+1} \leq 3 – \sqrt{x-2}\)
Syarat ruas kanan: \(3 – \sqrt{x-2} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x-2} \leq 3 \Rightarrow x \leq 11\)
Kuadratkan:
Irisan: \(x \geq 2\) ∩ \(x \leq 11\) ∩ \(x \leq 3\) = \(2 \leq x \leq 3\)
HP = \([2, 3]\)
Soal 15: Tentukan HP dari \(\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-1}} \geq 2\)
Lihat Pembahasan
Syarat: \(x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2\) dan \(x – 1 > 0 \Rightarrow x > 1\)
Syarat gabungan: \(x > 1\)
Karena \(\sqrt{x-1} > 0\) untuk \(x > 1\), kalikan kedua ruas:
Kuadratkan (kedua ruas non-negatif):
Irisan: \(x > 1\) ∩ \(x \leq 2\) = \(1 < x \leq 2\)
HP = \((1, 2]\)
5. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Tentukan himpunan penyelesaian dari masing-masing pertidaksamaan.
MUDAH
- \(\sqrt{x + 7} > 5\)
- \(\sqrt{3x – 2} \leq 4\)
- \(\sqrt{4 – x} < 3\)
- \(\sqrt{2x + 6} \geq 2\)
- \(\sqrt{x – 4} > 0\)
SEDANG
- \(\sqrt{2x + 5} > \sqrt{x + 7}\)
- \(\sqrt{x^2 – 9} \leq \sqrt{4x}\)
- \(\sqrt{3x – 2} < x – 2\)
- \(\sqrt{x + 6} \geq x\)
- \(\sqrt{4x – 3} > \sqrt{2x + 1}\)
SULIT
- \(\sqrt{x+4} + \sqrt{x-1} > 5\)
- \(\sqrt{2x+3} – \sqrt{x+1} \leq 1\)
- \(\frac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{2x-1}} < 2\)
- \(\sqrt{x^2 – 3x + 2} > x – 3\)
- \(\sqrt{x+1} + \sqrt{2x-3} \geq \sqrt{5x+1}\)